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专项 01 菱形综合能力提升训练
一．选择题（共15小题）
1．如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），点D在x
轴上，则顶点B的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（5，2） C．（4，4） D．（5，4）
2．已知边长为10cm的菱形，一条对角线长为12cm，则它的面积为（ ）
A．96 B．80 C．60 D．48
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的
平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（ ）
A．11 B．12 C．24 D．22
4．如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB＝60°，作DE∥AC，CE∥BD，
DE与CE相交于点E．若四边形OCED的周长是24，则BC的长为（ ）
A．12 B．6 C．6 D．6
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AB＝5，DE＝
4，则在下列结论中正确的是（ ）A．DB＝5 B．AE＝4 C．BE＝2 D．OA＝3
6．如图，菱形 ABCD 中，AC＝48，BD＝14，DH⊥AB 于点 H，则线段 BH 的长为
（ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，且AC＝6，BD＝
8，则线段OE的长为（ ）
A．3 B．2.4 C．2.5 D．
8．下列说法中，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B．平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等
C．已知一次函数y＝（a2+1）x﹣3，则随x的增大而增大
D．函数y＝2x+b的图像不经过第二象限，则b＜0
9．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝
BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）
A． B． C． D．8
10．如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若
BF：CE＝1：2，EF＝ ，则菱形ABCD的边长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．
11．如图，在菱形ABCD中，O是AC的中点，OE⊥BC，垂足为E．若AC＝6，S菱形ABCD
＝24，则OE的长为（ ）
A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.8
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB垂足为点E，∠ADC
＝130°，则∠BOE的大小为（ ）
A．65° B．60° C．35° D．25°
13．如图，在平面直角标系中，已知菱形ABCD，∠DAB＝60°，对角线AC、BD的交点与
坐标原点O重合，且点A的坐标为（ ）．将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转，
每次旋转45°，则第2021次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（0， ） B．（ ， ） C．（ ，0） D．（ ， ）
14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重
合），当△ABE是等腰三角形时，∠EAD的度数为（ ）A．30° B．70° C．30°或60° D．40°或70°
15．如图，在菱形ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，AC＝8，BD＝6，当△OPD是
以PD为底的等腰三角形时，CP的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共4小题）
16．如图1是一款木制活动衣帽架，图2是该衣帽架的平面示意图，它由3个全等的菱形
构成，菱形的边长AB为30cm，小南将该衣帽架的两端点B、E固定在墙上，使得B、E
两点间的距离为108cm．在不考虑材料宽度的情况下，A、C两点间的距离是 ．
17．两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形ABCD中，
边AB＝10，对角线AC＝12，那么△ABC与△ADC的“重心距”为 ．18．如图，菱形ABCD的边长是4，∠A＝60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形
BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB．则PB＝ ．
19．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连
接 CE、AF 交于点 H，连接 DH 交 AC 于点 O，∠CHD＝60°．则下列结论：
①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确
的是 ．
三．解答题（共11小题）
20．如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BEDF是菱形；
（3）若AC＝8，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
21．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O．点E，F在BD上，且BE＝DF，连
接AE并延长▱，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．（1）求证：四边形AGCH是平行四边形；
（2）若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．
22．如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分
∠BAD．
（1）求证：∠DAC＝∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）如图2，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E连接OE，若AB＝ ，BD＝2，
求OE的长．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连接AD，EC为△ADC的一条中线，
过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接FB．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AC﹣AB＝2，四边形ADBF的面积为12，求BC的长．24．如图，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA
的中点，动点P在线段CB上以每秒4个单位长度的速度由点C向点B运动．设动点P的
运动时间为t秒．
（1）点P的坐标为 （用含t的代数式表示）；
（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
（3）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？
若存在，求t的值，并求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
25．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠BAD＝60°．动点E、F分别从点B、D同时出
发，以1cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接
GE、FH．设运动的时间为ts（0＜t＜4）．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当t为何值时，四边形EHFG为菱形；
（3）试探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若
不存在，请说明理由．26．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
（2）如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，如果AB＝10，那么△AEF的周长是否存在最小值？如果存在，
请求出来．
27．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明．（提示：延长GP
交CD于点E）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满足（1）中的结论吗？写
出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，直接写出你
猜想．28．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），
作∠EDF交BC于点F，且∠EDF＝60°．
（1）直接写出菱形ABCD的面积；
（2）当点E在边AB上运动时，
①连接EF，求证：△DEF是等边三角形；
②探究四边形DEBF的面积的变化规律，写出这个规律，并说明理由；
③直接写出四边形DEBF周长的最小值．
29．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段
AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4 ，∠BAD＝60°，且AB＞4 ．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP＝6，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP
长的最大值和最小值．30．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段
DF的中点，连接PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及数量
关系．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解
决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及 的值；
（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线
段DF的中点，连接PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；
（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图
3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
31．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分
别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是
否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．专项 01 菱形综合能力提升训练
一．选择题（共15小题）
1．如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），点D在x
轴上，则顶点B的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（5，2） C．（4，4） D．（5，4）
【答案】C
【解答】解：连接AC，BD，交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝EC，BE＝DE，
∵A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），
∴E（4，2），
∴B（4，4）．
故选：C．2．已知边长为10cm的菱形，一条对角线长为12cm，则它的面积为（ ）
A．96 B．80 C．60 D．48
【答案】A
【解答】解：如图，
∵菱形ABCD的边长为10cm，BD＝12cm，
∴AC⊥BD，OA＝ AC，OD＝ BD＝ ×12＝6（cm），
∵AD＝10cm，
在Rt△AOD中，OA＝ ＝8（cm），
∴AC＝2OA＝16（cm），
∴S菱形ABCD ＝ AC•BD＝ ×16×12＝96（cm2）．
故选：A．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的
平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（ ）
A．11 B．12 C．24 D．22
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BE，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝6，在Rt△BCO中，BO＝ ＝4，
∴BD＝8，
又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE ＝ DE•BD＝ ×6×8＝24．
故选：C．
4．如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB＝60°，作DE∥AC，CE∥BD，
DE与CE相交于点E．若四边形OCED的周长是24，则BC的长为（ ）
A．12 B．6 C．6 D．6
【答案】B
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
∵四边形OCED的周长是24，
∴CO＝DO＝6，
∴BD＝12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝AB＝6，
∴BC＝ ．故选：B．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AB＝5，DE＝
4，则在下列结论中正确的是（ ）
A．DB＝5 B．AE＝4 C．BE＝2 D．OA＝3
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，
∵AB＝5，
∴AD＝5，
∵DE⊥AB于点E，DE＝4
在Rt△AED中，根据勾股定理得，AE＝ ＝3，故B错误；
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，故C正确；
在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD＝ ，故A错误；
∴OB＝ BD＝ ，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝ ，故D错误．
故选：C．
6．如图，菱形 ABCD 中，AC＝48，BD＝14，DH⊥AB 于点 H，则线段 BH 的长为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形．
∴AO＝ AC＝24，BO＝ ，且AC⊥BD．
在Rt△AOB中，
AB＝ ．
∵BD＝14．
∴S△ABD ＝ BD•AO＝ ×14×24＝168．
∵S△ABD ＝ AB•DH．
∴DH＝ ．
在Rt△BDH中，BH＝ ＝ ．
故答案为：B．
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，且AC＝6，BD＝
8，则线段OE的长为（ ）
A．3 B．2.4 C．2.5 D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形．
∴AO＝ AC＝3，OD＝ BD＝4，且AC⊥BD．在Rt△AOD中，AD＝ ＝5．
∵OE是斜边AD上的中线．
∴OE＝ AD＝2.5．
故选：C．
8．下列说法中，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B．平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等
C．已知一次函数y＝（a2+1）x﹣3，则随x的增大而增大
D．函数y＝2x+b的图像不经过第二象限，则b＜0
【答案】D
【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A不符合题意；
B、平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，故B不符合题意；
C、a2+1≥1，故一次函数y＝（a2+1）x﹣3，则随x的增大而增大，故C不符合题意；
D、函数y＝2x+b的图像不经过第二象限，则b≤0，故D符合题意．
故选：D．
9．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝
BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解答】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝6﹣x，
在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝ ，
∴CG＝ ，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝ ×2＝ ，
即图中重叠（阴影）部分的面积为 ，
故选：B．
10．如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若
BF：CE＝1：2，EF＝ ，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】B【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．
∵EF⊥AB，DH⊥AB，
∴DH∥EF，
∴四边形DHFE为平行四边形，
∴HF＝DE，DH＝EF＝ ．
∵点E是边CD的中点，
∴DE＝ CD，
∴HF＝ CD＝ AB．
∵BF：CE＝1：2，
∴设BF＝x，则CE＝2x，
∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，
AD＝AB＝4x，
∴AF＝AB+BF＝5x．
∴AH＝AF﹣HF＝3x．
在Rt△ADH中，
∵DH2+AH2＝AD2，
∴ ．
解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），
∴x＝1．
∴AB＝4x＝4．
即菱形ABCD的边长是4，故选：B．
11．如图，在菱形ABCD中，O是AC的中点，OE⊥BC，垂足为E．若AC＝6，S菱形ABCD
＝24，则OE的长为（ ）
A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.8
【答案】C
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，
∴点O为AC与BD的交点，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝6，S菱形ABCD ＝24，
∴ AC•BD＝3BD＝24，
∴BD＝8，
∴OB＝4，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC＝3，
∴BC＝ ＝5，
∵S△BOC ＝ OB•OC＝ BC•OE，
即 4×3＝ ×5OE，
∴OE＝2.4．
故选：C．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB垂足为点E，∠ADC
＝130°，则∠BOE的大小为（ ）A．65° B．60° C．35° D．25°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AC⊥BD，
∵∠ADC＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝ ∠BAD＝ ×50°＝25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°，
∴∠BOE＝90°﹣65°＝25°．
故选：D．
13．如图，在平面直角标系中，已知菱形ABCD，∠DAB＝60°，对角线AC、BD的交点与
坐标原点O重合，且点A的坐标为（ ）．将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转，
每次旋转45°，则第2021次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（0， ） B．（ ， ） C．（ ，0） D．（ ， ）
【答案】C
【解答】解：∵A点坐标为（ ），
∴直线AC是一三象限角平分线，且OA＝ × ＝ ，∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°
∴∠DAO＝30°，BD⊥AC，
∴OD＝ AO＝ ，
此时，D点坐标是 ，
根据题意，旋转角为45°，所以：
逆时针旋转第一次后D 坐标为 ，
1
逆时针旋转第一次后D 坐标为 ，
2
逆时针旋转第一次后D 坐标为 ，
3
逆时针旋转第一次后D 坐标为 ，
4
逆时针旋转第一次后D 坐标为 ，
5
逆时针旋转第一次后D 坐标为 ，
6
逆时针旋转第一次后D 坐标为 ，
7
逆时针旋转第一次后D 坐标为 ；
8
2021次旋转，8次一个循环，剩余5次，等同于D ，
5
所以D坐标为 ．
故选：C．
14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重
合），当△ABE是等腰三角形时，∠EAD的度数为（ ）A．30° B．70° C．30°或60° D．40°或70°
【答案】C
【解答】解：在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，
∴∠BAE＝∠AEB＝ （180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故选：C．
15．如图，在菱形ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，AC＝8，BD＝6，当△OPD是
以PD为底的等腰三角形时，CP的长为（ ）A．2 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：作OE⊥PD于E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝OB＝ BD＝3，OC＝OA＝ AC＝4，
∴CD＝ ＝5，
∵△OCD的面积＝ CD×OE＝ OD×OC，
∴OE＝ ＝ ，
∵OD＝OP，OE⊥PD，
∴PE＝DE，
由勾股定理得：DE＝ ＝ ＝ ，
∴PD＝2DE＝ ，
∴CP＝CD﹣PD＝5﹣ ＝ ；
故选：C．
二．填空题（共4小题）
16．如图1是一款木制活动衣帽架，图2是该衣帽架的平面示意图，它由3个全等的菱形
构成，菱形的边长AB为30cm，小南将该衣帽架的两端点B、E固定在墙上，使得B、E
两点间的距离为108cm．在不考虑材料宽度的情况下，A、C两点间的距离是 ．【答案】 48 cm
【解答】解：连接AC和BE交于点O，
∵BE间的距离调节到108cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
∴BD＝36cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BO＝18cm，
∵菱形的边长AB＝30cm，
在Rt△ABO中，AO＝ ＝24（cm），
∴AC＝48（cm），
故答案为：48cm．
17．两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形ABCD中，
边AB＝10，对角线AC＝12，那么△ABC与△ADC的“重心距”为 ．
【答案】【解答】解：连接BD，BD与AC交与点O，设点E为△ABC的重心，点F为△ADC的
重心，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝6，OB＝OD．
∴OB＝OD＝ ＝8．
∵点E为△ABC的重心，点F为△ADC的重心，
∴OE＝ OB＝ ，OF＝ OD＝ ．
∴△ABC与△ADC的“重心距”为：OE+OF＝ ．
故答案为： ．
18．如图，菱形ABCD的边长是4，∠A＝60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形
BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB．则PB＝ ．
【答案】
【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB＝BC＝CD＝4，
∵∠A＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝4，∠DBC＝60°，
∴∠DBA＝60°，
∵点G为AB的中点，∴菱形BEFG的边长为2，
即BE＝EF＝BG＝2，
∵点E在CB的延长线上，∠GBE＝60°，
∴∠FBG＝30°，
连接EG，交BF于O，
∵四边形BEFG是菱形，
∴EG⊥FB，∠OBG＝30°，OB＝OF，
∴OG＝ BG＝1，
∴OB＝ OG＝ ，
∴FB＝2OB＝2 ，
∵∠DBF＝∠DBA+∠FBG＝90°，
∴DF＝ ，
∵点P为FD的中点，
∴PB＝ DF＝ ．
故答案为： ．
19．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连
接 CE、AF 交于点 H，连接 DH 交 AC 于点 O，∠CHD＝60°．则下列结论：
①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确
的是 ．【答案】①②③④
【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B＝∠EAC＝60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
②由①得∠BAF＝∠ACE，
∵∠AEH＝∠B+∠BCE，
∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝
60°+60°＝120°；
故②正确；
③在HD上截取HK＝AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK＝AH，∠AKH＝60°，
∴∠AKD＝∠AHC＝120°，在△AKD和△AHC中，
，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH＝DK，
∴DH＝HK+DK＝AH+CH；
故③正确；
④∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH＝OD：AD，
∴AD2＝OD•DH．
故④正确．
故答案为：①②③④．
三．解答题（共11小题）
20．如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BEDF是菱形；
（3）若AC＝8，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CB，∠DAE＝∠BCF＝45°．
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF．
即OE＝OF．
∵BD⊥AC，即BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，AC＝8，
∴OD＝OA＝ AC＝4，
∵AE＝2，
∴OE＝AO﹣AE＝2．
由（2）可得EF⊥BD，
在Rt△DOE中，DE＝ ＝2 ．
∵由（2）得四边形BEDF是菱形
∴四边形BEDF的周长为4DE＝4×2 ＝8 ．
21．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O．点E，F在BD上，且BE＝DF，连
接AE并延长▱，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：四边形AGCH是平行四边形；
（2）若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∴四边形AGCH是平行四边形；
（2）∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵AH∥CG，
∴∠HAC＝∠GCA，
∴∠GAC＝∠GCA，
∴CG＝AG；
∴ AGCH是菱形．
▱
22．如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分
∠BAD．
（1）求证：∠DAC＝∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）如图2，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E连接OE，若AB＝ ，BD＝2，
求OE的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∴CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝ BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝ ，OB＝1，
∴OA＝ ＝2，
∴OE＝OA＝2．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连接AD，EC为△ADC的一条中线，
过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接FB．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AC﹣AB＝2，四边形ADBF的面积为12，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，且∠AEF＝∠CED，AE＝DE
∴△AEF≌△DEC（AAS）
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点
∴BD＝DC
∴AF＝BD，且AF∥CD
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD，
∴平行四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF的面积为12，
∴S△ABD ＝6
∵D是BC的中点
S△ABD ＝S△ADC ，
∴S△ABC ＝12＝ ×AB×AC，
设AB＝x，则AC＝2+x，
∴12＝ ，
解得x ＝4，x ＝﹣6（不合题意，舍去）
1 2
∴AB＝4，AC＝2+x＝6，
∴在Rt△ABC中，BC＝ ．
24．如图，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段CB上以每秒4个单位长度的速度由点C向点B运动．设动点P
的运动时间为t秒．
（1）点P的坐标为 （用含t的代数式表示）；
（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
（3）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？
若 存 在 ， 求 t 的 值 ， 并 求 出 点 Q
的坐标；若不存在，说明
理由．
【解答】解：（1）∵动点P的运动时间为t秒，以每秒4个单位长度的速度由点C向点
B运动，
∴CP＝4t，
∵C（0，8），CP⊥y轴，
∴P（4t，8），
故答案为：（4t，8）；
（2）∵四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），
∴BC＝OA＝20，AB＝OC＝8，
∵点D是OA的中点，
∴ ，
由题意可知，PC＝4t，
∴BP＝BC﹣PC＝20﹣4t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB＝OD＝10，
∴20﹣4t＝10，∴t＝2.5；
（3）直线CB上存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形，当t＝1.5
时，Q（16，8）；t＝4时，Q（6，8）；t＝1时，Q（﹣6，8），理由：
分三种情况：
①当Q点在P的右边时，如图，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD＝OP＝PQ＝10，
∴在Rt△OPC中，
由勾股定理得：PC＝ ＝6，
∴4t＝6，
∴t＝1.5，
∴Q（16，8）；
②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图，
∵四边形ODPQ为菱形，
∴OD＝DP＝PQ＝OQ＝10，
同①的方法得出，CQ＝ ＝6，
∴Q（6，8），
∴CP＝CQ+PQ＝16，
∴4t＝16，
∴t＝4；③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图，
∵四边形ODPQ为菱形，
∴OD＝DP＝PQ＝OQ＝10，
同①的方法得出，CQ＝ ＝6，
∴Q（﹣6，8），
∴CP＝PQ﹣CQ＝4，
∴4t＝4，
∴t＝1．
综上所述，直线CB上存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形，当t
＝1.5时，Q（16，8）；t＝4时，Q（6，8）；t＝1时，Q（﹣6，8）．
25．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠BAD＝60°．动点E、F分别从点B、D同时出
发，以1cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接
GE、FH．设运动的时间为ts（0＜t＜4）．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当t为何值时，四边形EHFG为菱形；
（3）试探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若
不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：
∵动点E、F同时运动且速度相等，
∴DF＝BE，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AD＝BC，AB∥DC，
在△ADF与△CBE中， ，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB，
∴∠FAB＝∠BEC，
∴AF∥CE；
（2）过D作DM⊥AB于M，连接GH，EF，
∴DF＝BE＝t，
∵AF∥CE，AB∥CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵G、H是AF、CE的中点，
∴GH∥AB，
∵四边形EGFH是菱形，
∴GH⊥EF，
∴EF⊥AB，∠FEM＝90°，
∵DM⊥AB，
∴DM∥EF，
∴四边形DMEF是矩形，
∴ME＝DF＝t，
∵AD＝4，∠DAB＝60°，DM⊥AB，
∴AM＝ AD＝2，
∴BE＝4﹣2﹣t＝t，
∴t＝1，
（3）不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，∵四边形EHFG为矩形，
∴EF＝GH，
∴EF2＝GH2，
即（2﹣2t）2+（2 ）2＝（4﹣t）2，
解得t＝0，0＜t＜4，
∴与原题设矛盾，
∴不存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形．
26．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
（2）如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，如果AB＝10，那么△AEF的周长是否存在最小值？如果存在，
请求出来．
【解答】证明：（1）如图1所示：连接AC．
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°．
∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°．
∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°．
∴∠FEC＝∠CFE．
∴EC＝CF．
∴BE＝DF．
（2）如图2所示：连接AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，∠BAC＝60°．
∴∠B＝∠ACF＝60°．
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF．
在△ABE和△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF．
∴AE＝AF．
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
（3）由垂线段最短可知：当AE⊥BC时，AE有最小值．
∵AE⊥BC，∠B＝60°，∴ ．
∴AE＝10× ＝5 ．
∴△AEF周长的最小值为3× ＝15 ．
27．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明．（提示：延长GP
交CD于点E）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满足（1）中的结论吗？写
出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，直接写出你
猜想．
【解答】证明：（1）PC⊥PG且PG＝ PC，
如图1：延长GP交DC于点E，
∵点P是DF的中点，
∴DP＝FP，
∵△BGF是正三角形，
∴∠FGB＝60°，
∴∠CGF＝180°﹣60°＝120°，
又∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠DCG＝120°，∴DC∥GF，
∴∠PDE＝∠PFG，
在△PED和△PGF中，
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG，
∵DC＝BC，
∴CE＝CG，
∴CP是EG的中垂线，即PC⊥PG
在RT△CPG中，∠PCG＝60°，
∴PG＝ PC．
（2）猜想：CP⊥PG 且PG＝ PC．
如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，
∵∠ABC＝60°，△BGF是正三角形，
∴∠BFG＝60°，
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP＝∠GFP，
在△DPE和△FPG中
∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，
∵∠CDE＝CBG＝60°，CD＝CB，
在△CDE和△CBG中，∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，
∴∠ECG＝∠DCB＝120°，
∵PE＝PG，
∴PC⊥PG，∠PCG＝ ∠ECG＝60°
∴PG＝ PC；
（3）猜想：PG＝ PC，PG⊥PC．
如图3，延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，作FE∥DC
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
在△GFP和△HDP中，
∴△GFP≌△HDP（SAS），
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC＝120°，
∵△BFG是等边三角形，∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
在△HDC和△GBC中，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，
即∠HCG＝120°
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴PG＝ PC．
28．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），
作∠EDF交BC于点F，且∠EDF＝60°．
（1）直接写出菱形ABCD的面积；
（2）当点E在边AB上运动时，
①连接EF，求证：△DEF是等边三角形；
②探究四边形DEBF的面积的变化规律，写出这个规律，并说明理由；
③直接写出四边形DEBF周长的最小值．
【解答】解：（1）连接BD、AC．
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，AC⊥BD，∠DAO＝ ∠A＝30°．
∵AD＝AB，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴BD＝AD＝AB＝6．
∵在Rt△ADO中，∠DAO＝30°，
∴OD＝ AD＝3，AO＝ ＝3 ．
∴AC＝6 ．
∴菱形ABCD的面积＝ ＝ ＝18 ．
（2）①由（1）可知：△ABD为等边三角形．
∴AD＝BD，∠ADB＝60°．
∵∠ADE+∠EDB＝60°，∠FDB+∠EDB＝60°，
∴∠ADE＝∠FDB．
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠DBF＝ ∠ABC＝ ．
∴∠DAE＝∠DBF．
在△DAE和△DBF中，
，
∴△DAE≌△DBF．
∴DE＝DF．
又∵∠EDF＝60°
∴△EDF为等边三角形．
②四边形DEBF的面积＝9 ．
理由：∵△DAE≌△DBF．
∴S△ADE ＝S△BDF ，
∴四边形DEBF的面积＝△EDB的面积+△DBF的面积＝△EDB的面积+△DAE的面积＝ ×菱形ABCD的面积＝ ．
③∵△DAE≌△DBF．
∴BF＝AE．
∴BF+BE＝AE+BE＝AB＝6．
∴当ED、DF有最小值时，四边形的周长最短．
由垂线最短，可知当DE⊥AB时，ED、DF最短．
在Et△ADE中，∠DAE＝60°，
∴sin60°＝ ．
∴DE＝ ＝3 ．
∴四边形DEBF的周长的最小值＝DE+DF+BE+BF＝DE+DF+AB＝3 +3 +6＝6
+6．
29．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段
AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4 ，∠BAD＝60°，且AB＞4 ．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP＝6，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP
长的最大值和最小值．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，
∵PE＝PF，
∴FG＝EG＝ EF＝2 ，∠FPG＝ ，
在△FPG中，sin∠FPG＝ ＝ ＝ ，
∴∠FPG＝60°，∴∠EPF＝2∠FPG＝120°；
（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，DC＝BC，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴PM＝PN，
在R△PME于R△PNF中，
t t
，
∴R△PME≌R△PNF，
t t
∴FN＝EM，在R△PMA中，∠PMA＝90°，∠PAM＝ ∠DAB＝30°，
t
∴AM＝AP•cos30°＝3 ，同理AN＝3 ，
∴AE+AF＝（AM﹣EM）+（AN+NF）＝6 ；
（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，
当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，
设AC与EF交于点O，
∵PE＝PF，
∴OF＝ EF＝2 ，
∵∠FPA＝60°，
∴OP＝2，
∵∠BAD＝60°，
∴∠FAO＝30°，
∴AO＝6，
∴AP＝AO+PO＝8，
同理AP′＝AO﹣OP＝4，
∴AP的最大值是8，最小值是4．30．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段
DF的中点，连接PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及数量
关系．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解
决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及 的值；
（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线
段DF的中点，连接PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；
（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图
3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．【解答】解：（1）PG⊥PC， ＝ ；
理由如下：延长GP交DC于H，如图1所示：
∵四边形ABCD和BEFG均为菱形，
∴DC＝BC，GF＝BG，DC∥AE∥GF，
∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DHP和△FGP中，
，
∴△DHP≌△FGP（AAS），
∴HP＝GP，DH＝FG＝BG，
∴CH＝CG，
∴CP⊥HG，即PG⊥PC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠HCG＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CGP＝ （180°﹣120°）＝30°，
∴ ＝ ；
（2）PG⊥PC，PG＝PC；理由如下：
延长GP交CD于H，如图2所示：
∵P是DF中点，
∴DP＝FP，
∵点ABE在同一直线上，
∴DC∥GF，
∴∠FDC＝∠GFP，
在△DPH和△GPF中，
，
∴△DPH≌△GPF（ASA）∴HP＝GP，GF＝DH，
∴CH＝CG，
又∵∠HCG＝90°，
∴RT△HCG中，P为HG中点，
∴PC＝ GH＝PG，PC⊥PG；
（3）在（2）中得到的两个结论不发生变化；理由如下：
过点F作FH∥DC交CP的延长线于H，交CB的延长线于N，交BE于M，
连接CG、HG，如图3所示：
则∠CDP＝∠PFH，
在△CDP和△FHP中，
，
∴△CDP≌△FHP（ASA），
∴CP＝PH，CD＝FH，
∵∠BNM＝∠MEF＝90°，∠BMN＝∠EMF，
∴∠NBM＝∠EFM，
∵∠CBG+∠NBM＝180°﹣90°＝90°，
∠EFM+∠MFG＝90°，
∴∠CBG＝∠MFG，
在△CBG和△FHG中，
，
∴△CBG≌△FHG（SAS），
∴CG＝GH，∠BGC＝∠FGH，
∴∠CGH＝∠BGC﹣∠HGB＝∠FGH﹣∠HGB＝∠BGF＝90°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴PG＝PC，且PG⊥PC．31．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分
别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是
否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
【解答】解：（1）如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE ＝S△ACF ，
故S四边形AECF ＝S△AEC +S△ACF ＝S△AEC +S△ABE ＝S△ABC ，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝2，
S四边形AECF ＝S△ABC ＝ ．
△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小＝4+．
