文档内容
几何-曲线型几何-圆-3 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
圆 B 1.了解有关圆的概念和性质 少考
2.学习圆的周长和面积公式的推导
3.运用圆的性质以及周长和面积公
式进行计算
知识提要
圆
概念
圆是由一条曲线围成的平面图形．
圆中心的一点叫圆心，用 O 表示．
连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示．
通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母 d 来表示．
直径所在的直线是圆的对称轴．
性质
圆有无数条半径，无数条直径，并且所有半径都相等，所有直径都相等；
在同圆或等圆中，直径是半径的 2 倍．d=2r；圆有无数条对称轴；
圆绕着圆心任意旋转，所得到的图形与原来的圆重合；
所有平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．
公式
圆的周长公式：C=2πr
圆的面积公式：S=πr2
精选例题
圆
1. 在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆
的直径分别为 24.2m，19.3m，4.9m，这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的
鞋匠刀形 (Arbelos)，即下图中阴影部分所示的图形，那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周
长为 （圆周率用 π 表示）．
【答案】 24.2π
【分析】
三个半圆的周长和(19.3×π+4.9×π+24.2×π)÷2=24.2π
2. 如图所示的图形由 1 个大的半圆弧和 6 个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为
1，则这个图形的周长为 （圆周率用 π 表示）．
【答案】 π
【分析】 若大圆里有若干个小圆，且大圆的直径等于这些小圆的直径和，则大圆的周
长等于所有小圆的周长和，则该图形周长等于一个大圆的周长，πd=π．
3. 如图所示，大圆的直径是小圆的 5 倍，大圆内的“S”形曲线（图中虚线）由两段半圆弧
组成．如果已知阴影部分的面积等于 4，那么图中空白部分的面积等于 ．
【答案】 21
【分析】 设小圆的半径为 r，则阴影部分的面积为：
1 1
[π(2r) 2-2πr2]+ [π(3r) 2-3πr2]=πr2+3πr2=4πr2,
2 2
所以
πr2=1,
故空白面积为：π(5r) 2-4=25πr2-4=21.
4. 埃及人擅长数学，他们很早之前就发明了一个计算圆的面积的公式：
8d
S=( ) 2
9
其中，d 是圆的直径．在这个公式当中，相当于将圆周率 π 取值为 ．
（保留两位小数）
【答案】 3.16
【分析】 由圆的面积公式
8d d
S=( ) 2=π( ) 2
9 2
那么
8
π=( ) 2×4≈3.16
9
5. 一个长方形的长为 9，宽为 6，一个半径为 1 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内
这圆无法运动到的部分，面积的和是 ．（π 取 3）
【答案】 1
【分析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角
处运动时的情况如下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分
面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．
阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：
每个角阴影部分面积为
90 1
1×1-π×12× = ;
360 4
那么圆无法运动到的部分面积为
1
4× =1.
4方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如下图所示，则阴影面积为
2×2-3×12=1.
6. 如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径 R=3，则阴影部分面积与最大的圆面积
之比为 ．
【答案】 3:8
【分析】 大圆的面积为 S=π×R2=πR2
阴影部分的面积为：
1 1 R 1 1 3
S =[ πR2- ( ) 2 ]×5=( πR2- πR2 )×5= πR2
阴影 5 2 2 5 8 8
所以阴影部分和大圆的面积比为3
πR2: πR2=3:8
8
7. 如图所示的 7 个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1，2，3，4，5，6，
7，则图中阴影部分的面积是 平方米．（π 取 3）
【答案】 0.84
【分析】 阴影面积为：
π×12+π×(32-22 )+π×(52-42 )+π×(72-62
)
π×1+π×(3+2)+π×(5+4)+π×(7+6)¿=¿28π¿=¿84(平方分米)¿=¿0.84(平方米).¿
¿
8. 如图所示，已知大圆的半径为 2，则阴影部分 Ⅰ 与Ⅱ的面积之和为
（圆周率用 π 表示）．
【答案】 π-2
1
【分析】 Ⅰ和Ⅱ部分面积为 大圆-直角边为2的等腰直角三角形，如图所示：
4Ⅰ和Ⅱ部分面积和为
1 1
π×22- ×2×2=π-2.
4 2
9. 如图是由正方形和半圆形组成的图形，其中 P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边
BC 的中点，那么阴影部分的面积是 ．（π 取 3.14）
【答案】 51.75
【分析】
102+
1
×π×
(10) 2
-
[1
×5×15+
1
×(15+5)×5
]
2 2 2 2
100+12.5π-87.5¿=¿51.75.¿
¿
10. 如图所示的图形由 1 个大的半圆弧和 6 个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为
20，则这个图形的周长为 （圆周率用 π 表示）．【答案】 20π
【分析】 周长等于一个大圆的周长，πd=20π．
11. 如图所示，四个全等的圆每个半径均为 2m，阴影部分的面积是 ．
【答案】 16m2．
【分析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我
们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积．如下图，割补后阴影部分的面积与正方形
的面积相等，等于 (2×2) 2=16(m2 )．12. 下图的 4 个圆半径都是 10 厘米，试求阴影部分的面积总和是 平方厘
米．（圆周率 π 取近似值 3）
【答案】 400
1
【分析】 将图中左边一半的阴影部分割补成下图，下图的阴影为一个圆减去 圆，
3
余下 2 圆，所以原题中整个阴影的面积为 ( 2× 2 = 4) 圆， 4 ×3×102=400(平方厘米)．
3 3 3 3
13. 如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径 R=3，则阴影部分图形的周长为
，面积为 ．（圆周率用 π 表示）27
【答案】 21π； π
8
【分析】 阴影部分图形的周长是大圆的周长加 2.5 个中圆的周长加 5 个小圆的周长：
3 3
2×3×π+2.5×2× ×π+5×2× π=21π
2 4
阴影部分图形的面积是大圆的面积减 2.5 个中圆的面积：
5 3 27
32π- ×( ) 2π= π
2 2 8
14. 如图，斜边为 6 的等腰直角三角形 ABC 放在半径为 5 的圆内，现在保持 B、C 和圆
接触，让三角形 ABC 沿箭头方向在圆内旋转一周，那么三角形 ABC 扫过的图形面积是
．（π 取 3.14）
【答案】 75.36
【分析】 连接 OA 并延长，交 BC 于 E，得到直角三角形 OBE，BE=3，根据勾股定理可知，OE=5，则
OA=4-3=1.
所以扫过阴影面积为：
π52-π12=24π=75.36.
15. 一只羊被拴在一个长为 4 米，宽为 3 米的长方形的羊圈内，在 B 处有一个缺口，羊可
以自由出入，拴绳长 9 米，那么羊能够到达的地方的面积约为 平方米．（
π 取 3.14）
【答案】 50.465
3
【分析】 长方形的对角线长为 5，在羊圈外，羊能够到达的图形包括 个半径为 4
4
1
的圆以及 个半径为 1 的圆，所以羊能够达到的总面积为
4
3 1
3×4+ ×π×42+ ×π×12≈50.465(平方米)．
4 4
16. 如右图所示，ABCD 是边长为 10 厘米的正方形，且 AB 是半圆的直径，则阴影部分的
面积是 平方厘米．（取 π=3.14）【答案】 17.875
【分析】 详解：如图2所示，阴影部分面积等于梯形 ABCD 的面积 减去一个四分
1
之一圆的面积，即 (5+10)×5÷2- ×52π=17.875．
4
17. 如图所示，已知最大的圆的直径是 100cm，则最小的圆的直径是 cm．【答案】 50
【分析】
已知最大的圆的直径是 100cm，而最大的圆的直径刚好是大正方形的对角线所以大正方形的
面积为
100×100÷2=5000(cm2
)
图中的小正方形旋转为右图：由此可见，小正方形的面积为大正方形面积的一半．所以小正方
形的面积为
5000÷2=2500(cm2
)
所以小正方形的为 50cm 而最小的圆的直径刚好等于小正方形的边长，即最小的圆的直径是
50cm．
18. 如图，大圆半径为小圆半径两倍，已知图中阴影部分面积为 S ，空白部分面积为 S ，那
1 2
么这两部分面积之比为 ．（π 取 3.14）
57
【答案】
100
【分析】 设小圆半径为 R，S =(4R) 2÷2=8R2，S =π(2R) 2-8R2=4πR2-8R2，
2 1
S (π-2)4R2 57
所以 1= = ．
S 2×4R2 100
219. 如图是小明用一些半径为 1 厘米、2 厘米、4 厘米、8 厘米的圆、半圆、圆弧和一个正
方形组成的一个鼠头图案，图中阴影部分的总面积为 平方厘米．
【答案】 64
【分析】 半径为 1 厘米的圆的面积为：
π×12=π(平方厘米);
半径为 2 厘米的圆的面积为：
π×22=4π(平方厘米);
半径为 4 厘米的圆的面积为：
π×42=16π(平方厘米);
半径为 8 厘米的圆的面积为：
π×82=64π(平方厘米);
所以阴影部分的面积为：
1
4×π+(16π-4π)+8×8- ×64π=64(平方厘米).
4
20. 在图中所示的 10×12 的网格图中，猴子 KING 的图片是由若干圆弧和线段组成，其中
最大的圆的半径是 4，图中阴影部分的面积是 ．（圆周率 π 取 3）【答案】 21.5
【分析】 根据半径为 4 可观察得出小正方形的边长为 1，
阴影部分的面积=大圆面积-空白面积.
大圆的面积：
S=π×42=48,
空白面积：
3
S=5×2+ ×π×12×2+π×22=10+4.5+12=26.5,
4
阴影部分面积：
48-26.5=21.5.
21. 如下图所示的四个正方形的边长都是 1，图中的阴影部分的面积依次用 S ,S ,S ,S 表
1 2 3 4
示，则 S ,S ,S ,S 从小到大排列依次是 ．
1 2 3 4
【答案】 S 1) 倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的
滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【答案】 n-1 或 n+1．
【分析】 为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．
设小圆的半径为“单位 1”，则大圆的半径为“n”．
⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为 2π×(n-1)．
2π×(n-1)
所以小圆绕自己的圆心转动了： =n-1（圈）．
2π
⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．
因为圆心滚动的距离为 2π×(n+1)．
2π×(n+1)
所以小圆绕自己的圆心转动了： =n+1（圈）．
2π
55. 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积与灰
色部分面积什么关系．【答案】 相等
【分析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积
1
的 ，则 4 个小圆的面积之和等于大圆的面积．而 4 个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆
4
盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．
56. 奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径为 8 厘米的五个
环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积
是 77.1 平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．（π=3.14）
【答案】 4.1 平方厘米．
【分析】 ⑴每个圆环的面积为：
π×42-π×32=7π=21.98(平方厘米)
⑵五个圆环的面积和为：
21.98×5=109.9(平方厘米)
⑶八个阴影的面积为：
109.9-77.1=32.8(平方厘米)
⑷每个阴影的面积为：
32.8÷8=4.1(平方厘米)57. △ABC 为等腰直角三角形，D 为半圆中点，BC 为半圆直径．已知 AB=BC=10，那么
阴影部分面积为多少？（圆周率取 3.14）
【答案】 32.125
【分析】 设 BC 中点为 O，连接 OD，则 OD=5，OB=5，
2 1 1 2
BP:PO=AB:OD=10:5=2:1，BP=5× =3 ，PO=OB-BP=5-3 =1 ，
3 3 3 3
1 1 1 2 1 2 1
S = ×AB×BP= ×10×3 =16 ，S = ×5×1 =4 ，
△ABP 2 2 3 3 △OPD 2 3 6
2 1 1 1 25
阴影部分的面积为 16 + ×π×52-4 =12 + π=32.125．
3 4 6 2 4
58. 如图，大圆半径为小圆的直径，已知大圆半径是 20 厘米，那么阴影面积是多少？（π 取
3.14）【答案】 456 平方厘米
【分析】
如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正
方形，那么阴影面积是大圆减正方形面积．大圆半径为 20 厘米，则正方形面积是
1
S= ×402=800(平方厘米),
2
阴影面积是
S=202π-800=456(平方厘米).
59. 下图中，阴影部分面积为多少？（AB=3）【答案】 4.5
【分析】 方法一：阴影=小圆-柳叶=4.5；
方法二：阴影=小正方形EHFG=3×3÷2=4.5．
60. 根据图中所给的数值，求这个图形的外周长和面积．（π 取 3.14）
【答案】 14.28；15.14．
1
【分析】 图形的周长是由 4 个 2 和 4 个 圆弧组成，所以周长
4
1
4×2+4× π×2=14.28,
4
图形的面积为：
πr2+4×2×1+22=3.14+12=15.14.
61. 在一块圆形铁板上截下 7 个大小相等的小圆片，如图所示，已知大圆板的半径为 90 厘
米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π 取 3）【答案】 5400
【分析】 阴影面积 = 总面积 - 空白的面积，小圆板的半径为 90÷3=30(厘米)，
阴影部分的面积为 π×902-7×π×302=1800π=5400(平方厘米)．
62. 如图，三角形 ABC 是直角三角形，阴影部分 ① 比阴影部分 ② 的面积小 28 平方厘米，
AB 长 40 厘米．求 BC 的长度？（π 取 3.14）
【答案】 32.8 厘米
1
【分析】 图中半圆的直径为 AB，所以其面积为 ×202×π≈200×3.14=628．
2空白部分 ③ 与 ① 的面积和为 628，② - ① =28，所以 ②、③ 部分的面积和
628+28=656．
1 1
有直角三角形 ABC 的面积为 ×AB×BC= ×40×BC=656．所以 BC=32.8 厘米．
2 2
63. 图中的长方形的长与宽的比为 8:3，求阴影部分的面积．
【答案】 244
【分析】 如下图，设半圆的圆心为 O，连接 OC．
从图中可以看出，OC=20，OB=20-4=16，根据勾股定理可得 BC=12．
阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，
1
为：π×202× -(16×2)×12=200π-384=244．
2
64. 一个大圆内有 3 个小圆，大圆直径等于内部小圆直径和，那么大圆的周长和小圆周长什么
关系？【答案】 周长相等．
【分析】 设大圆的直径为 D，小圆的直径分别为 d ，d ，d ，有
1 2 3
D=d +d +d ,
1 2 3
小圆的周长之和为：
πd +πd +πd =π(d +d +d )=πD,
1 2 3 1 2 3
所以大圆周长和所有小圆周长之和相等．
65. 如图所示，两条线段相互垂直，全长为 30 厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有
离开也没有滑动）．在圆周上设一个定点 P，点 P 从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止
滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点 P 是不接触直线的．那么，圆的半径是多
少厘米？（设圆周率为 3.14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全
部写出）
【答案】 4.47 或 2.31．
【分析】 如上图：因为在圆滚动的全部过程中点 P 是不接触直线的，所以这个圆的
运动情况有两种可能．一种是圆滚动了不足一圈，根据 P 点的初始位置和终止位置，可知圆
滚动了 270∘．另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一
圈，根据 P 点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了
270∘+360∘=630∘.
因为两条线段共长 30 厘米，所以 270∘ 的弧长或者 630∘ 的弧长再加上两个半径是 30 厘
米．
270
2πr× +2r=30(厘米),
360
或者630
2πr× +2r=30(厘米),
360
所以圆的半径是 4.47 厘米或 2.31 厘米．
66. 面积为 78.5 平方厘米的圆，周长是多少厘米？（π 取 3.14）
【答案】 3.14 厘米
【分析】 r2=78.5÷3.14=25,r=5.C=2×3.14×5=3.14 厘米．
67. 如图，求阴影部分的面积．（π 取 3.14）
【答案】 2.28
【分析】 阴影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积，而四块扇形恰好构成一个
整圆．圆的直径等于正方形的对角线．设正方形对角线为 l，圆的直径为 d，则
l2
=4,
2
则
l2=8,d2=8,
圆的面积为
πd2
S= =2π=6.28,
4
阴影的面积为
S =6.28-4=2.28.
阴
68. 半径分别为 1,2,3,4 厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（π 取 3.14）【答案】 62.8 厘米
【分析】 (1+2+3+4)×3.14×2=62.8．
69. 图中有 7 个相同的面积为 10 的圆，那么阴影部分面积是多少．
【答案】 20
【分析】 如图，三个小箭头形状能拼成一个半圆，所以原图面积为 2 个圆，为 20．
70. 已知该图为半圆形，两个小圆也是半圆，并且小圆的直径分别是 6 和 8，求阴影部分的
周长是多少？【答案】 14π
【分析】 阴影部分由三段弧形围成，围成阴影区域的周长为三个圆周长的一半．
三个圆的直径分别是 6，8，14．
阴影部分的周长也就是
6×π 8×π (6+8)×π
+ + =14π.
2 2 2
71. 下图中大圆的半径为 12 厘米，六个大小相同的小圆都分别与其相邻的两个小圆及这个大
圆相切．请问小圆的半径是多少？
【答案】 4 厘米．
【分析】 连线如下图所示，可以看出大圆半径是小圆半径的 3 倍，所以小圆半径为
4 厘米．72. 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1．求阴影部分的
面积．
【答案】 2.5
【分析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图
形．1
由右图可见，阴影部分面积等于 大圆面积减去一个小圆面积，再加上 120∘ 的小扇形面积
6
1 1 2
（即 小圆面积），所以相当于 大圆面积减去 小圆面积．而大圆的半径为小圆的 3
3 6 3
倍，所以其面积为小圆的 32=9 倍，那么阴影部分面积为
(1
×9-
2)
×π×12=
5
π=2.5．
6 3 6
73. 如图，正方形的面积是 8，阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 4.56
【分析】 四个半圆的面积之和减去正方形的面积就是阴影部分的面积，四个半圆可以
拼成两个相同的圆，而这个圆和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积是 6.28，
那么阴影部分的面积就是 6.28×2-8=4.56．
74. 如下图所示，弧 IFD 与 JED 是分别以 A、B 为圆心、以 AD、BD 为半径的圆弧，
已知 AD=DB=DC=4 厘米，且 AGDHB、AFC 与 BEC 分别是三条直线段．线段 IA、
22
FG、CD、EH、JB 都分别垂直于 AB．请问图中阴影部分的面积是多少？（取 π= ）
7120
【答案】
7
【分析】 等腰直角三角形 AGF 中 AF=AD=4 厘米，
S =42÷4=4(平方厘米),
△AFG
那么，阴影部分面积为
2× (1 ×AD2×π-S ) (22 ) 120
4 △AGF 2× ×4-4 ¿=¿ (平方厘米).¿
7 7
¿
75. 如图，两个正方套着两个圆。两个同心圆的周长差是 18.84cm，两个正方形的周长差是多
少？
【答案】 24cm
【分析】 同心圆的周长之差是 18.84cm，那么直径的差就是 18.84÷3.14=6，观察
图形，直径差也就是大小正方形边长的差．周长差是其四倍，也就是 6×4=24(cm)．76. 把一张长 12cm，宽 8cm 的红纸剪出一个最大的圆，剪剩下的面积是多少？
【答案】 39.76 平方厘米．
【分析】 所能裁出的圆，最大直径为 8cm，半径为 4cm，圆的面积是
π×4×4=50.24(平方厘米),
红纸原来的面积是
12×8=96(平方厘米),
剩下的面积是
96-50.24=39.76(平方厘米).
77. 如图，BD=DC=DA=1．求阴影部分面积．
【答案】 0.6775
【分析】 方法一： 1 π×12- ( 12÷2+ 1 × 1 π ) =0.6775；
2 4 2
方法二： (1 π×12-1×1 ) + (12 - 1 × 1 π ) =0.6775．
2 2 4 2
78. 在一个边长是 20 厘米的正方形纸片上剪下四个大小一样圆，这四个圆的面积和最大是多
少？【答案】 100π 平方厘米
【分析】 设正方形的边长为 a，要使这四个大小一样的圆面积和最大，那么圆的半径
a
为 ，所以四个圆的面积和为
4
4×π×
(a) 2
=4×π×52=100π(平方厘米).
4
79. 如图，图中小圆的面积是 3.14，大圆的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 6.28
【分析】 大圆、正方形和小圆之间的比是 2π:4:π，即大圆的面积是小圆面积的 2
倍．
80. 如图，是一个边长是 12 厘米的正方形，阴影部分的面积是多少平方厘米？（π≈3.14）【答案】 41.04
【分析】 根据容斥原理，阴影面积是
1
×
(12) 2
×3.14+
1
×122×3.14-
1
×12×12=41.04(平方厘米).
2 2 8 2
81. 如图，分别以三角形的三条边为直径作圆，求阴影部分的面积．（π 取 3）
【答案】 6
【分析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前
我们还不能直接求出它们的面积，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，
两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分．
1 1 1
阴影部分面积= 小圆面积+ 中圆面积+三角形面积- 大圆面积
2 2 2
1 3 1 4 1 1 5
= ⋅π⋅( ) 2+ ⋅π⋅( ) 2+ ×3×4- ⋅π⋅( ) 2
2 2 2 2 2 2 2
= 6
82. 如图（1）是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径．如图（2）所示，让 A 点不动，
把整个半圆逆时针转 60∘，此时 B 点移动到 C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方
厘米？（π 取 3.14）【答案】 4.71 平方厘米
【分析】 图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个
半圆面积与一个圆心角为 60∘ 的扇形面积之和．因此阴影面积等于圆心角为 60∘ 的扇形面积，
1
即
×π×32=4.71．
6
83. 如图，ABCD 是边长为 4 厘米的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直径画半圆，
求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．（π 取 3）
【答案】 8 平方厘米．
1 1
【分析】 8×( ×π×22- ×22 )=8π-16≈24-16=8(平方厘米)．
4 2
84. 在右图所示的正方形 ABCD 中，对角线 AC 长 2 厘米．扇形 ADC 是以 D 为圆心，
以 AD 为半径的圆的一部分．求阴影部分的面积．【答案】 1.14 平方厘米
π 1
【分析】 如右图所示，S = ×AD2- AD2 ，
1 4 2
S +S =
1
π×
(AC) 2
-
1
AD2=
1
π×AC2-
1
AD2 ．
2 3 2 2 2 8 2
因为 AC2=2AD2=4，
所以阴影部分的面积为：
π 1 1 1 1 1
×AD2- AD2+ π×AC2- AD2= π×AC2- AC2=π-2=1.14(平方厘米)．
4 2 8 2 4 2
另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形 ADC 面积之和减去正方形 ABCD 的面
π 1
积，所以阴影部分的面积为
×AD2+ π×AC2-AD2=1.14(平方厘米)．
4 8
4 3
85. 大小两圆相交部分（如下图中阴影区域）面积是大圆面积的 ，是小圆面积的 ，量得
15 5
小圆的半径是 5 厘米．问：大圆的半径是多少厘米？【答案】 7.5 厘米
4 3
【分析】 小圆与大圆面积之比为 : =4:9，
15 5
小圆与大圆的半径之比为 2:3，
所以大圆半径是 5÷2×3=7.5(厘米)．
86. 已知一个半圆的面积是 56.52，求这个半圆的周长．（π 取 3.14）
【答案】 30.84 厘米
【分析】 圆的 面积=πr2，已知面积是 56.52×2=113.04(平方厘米)，可以求出
r=6 厘米，半圆形的 周长=πr+2r=3.14×6+2×6=30.84(厘米)．
4 3
87. 如图，大小两圆的相交部分（即阴影区域）的面积是大圆面积的 ，是小圆面积的 ．
15 5
如果量得小圆的半径是 5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？【答案】 7.5 厘米
3
【分析】 小圆的面积为 π×52=25π，则大小圆相交部分面积为 25π× =15π，
5
4 225 225 15 15
那么大圆的面积为 15π÷ = π，而 = × ，所以大圆半径为 7.5 厘米．
15 4 4 2 2
88. 如图，在一块面积为 28.26 平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：
余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 6.28．
【分析】 28.26×3.14=32，大圆半径是 3 厘米．小圆半径是 1 厘米，所以边角料
面积为 28.26-7×12×3.14=6.28 平方厘米．
89. 有一个圆形花坛，直径为 20 米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？
如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞
了多少米？（π 取 3.14）【答案】 62.8 米．
【分析】 小圆半径是 5 米，飞行路线为两个小圆周长，所以是 2π×5×2=62.8 米．
无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和
也等于大圆．
90. 在水平地面上匀速行驶的拖拉机速度是每秒 5 米，已知拖拉机前轮直径 0.8 米，后轮直
径 1.25 米．设某一时刻两轮上与地面接触的点为 A 和 B，那么经过多少秒后，A 和 B
再次同时与地面接触？（圆周率取近似值 3）
【答案】 2 秒．
【分析】 前轮与后轮的周长比是 0.8:1.25=16:25，因此走同样的路程，前轮与后
轮转的圈数比是 25:16；从此时到 A 和 B 再次同时与地面接触，两轮都转了整数圈，所以
A 轮转了 25 圈，B 轮转了 16 圈，走的路程是 0.8×3×25=60 米，需要的时间是
60÷5=12 秒．
91. 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是 9 个圆，右图中阴影部分是 16 个
圆．哪个图中阴影部分的面积大？为什么？【答案】 两图中阴影部分的面积相等．
【分析】 设正方形的边长为 a，每一个圆的半径为 r，则正方形的每一条边上都有
a a a
个圆，从而正方形内部共有 × 个圆，于是这些圆的总面积为：
2r 2r 2r
a a 1
S =πr2 ⋅ ⋅ = πa2 ．
阴影 2r 2r 4
可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边
长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分
的面积就是一定的．
由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等．
92. 如图，15 枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到
起始位置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？
【答案】 见解析．
【分析】 当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等
边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了
180∘-60∘-60∘=60∘.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 120∘．
当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的
圆旋转了
360∘-60∘-60∘-90∘=150∘.
而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 300∘．
长方形的外圈有 12 个硬币，其中有 4 个在角上，其余 8 个在边上，所以这枚硬币滚动一
圈有 8 次是在长方形的一条边之内滚动，4 次是从长方形的一条边滚动到另一条边．
120∘×8+300∘×4=2160∘,
所以这枚硬币转动了 2160∘，即自身转动了 6 圈．
另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个 2π 即滚动了一圈．
93. 如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB=20，阴影甲的面积比阴影乙的面
积大 7，求 BC 长．（π 取 3.14）
【答案】 15
【分析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处
理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成 1
个半圆和 1 个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．
因为阴影甲比阴影乙面积大 7，也就是半圆面积比直角三角形面积大 7．
半圆面积为：
1
×π×102=157,
2
则直角三角形的面积为
157-7=150,
可得
BC=2×150÷20=15.94. 下图是两个圆，它们的面积之和为 1991 平方厘米，小圆的周长是大圆周长的 90%．问：
大圆的面积是多少？
【答案】 1100 平方厘米
【分析】 小圆的周长是大圆周长的 90%，则两圆的半径比为 9:10，面积比为
81:100，大圆面积为 1991÷(81+100)×100=1100(平方厘米)．
95. 如图，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上，一些线
段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？【答案】 16
【分析】 方法一：根据题意，令空白部分的半圆的半径为 r，则可知：
(r+6) 2+(r+2) 2=4r2，解之得：r=10．
S =(2r) 2-πr2=400-100π；
中间阴影
[1 1 ]
S = (2+r)(6+r)- πr2 ×4=384-100π．
四角阴影 2 4
所以 S -S =(400-100π)-(384-100π)=16．
中间阴影 四角阴影
方法二：四角上的阴影部分加上一个圆的面积等于 4 个直角三角形的面积，中间阴影
部分加上一个圆的面积等于中间正方形的面积，根据差不变原理，阴影部分的面积差等于正方
形面积与 4 个直角三角形的面积差，根据弦图可得，两者的差为 (6-2) 2=16．
96. 如图所示，小半圆的直径在大半圆直径上，且线段 EF 平行于大圆直径与小圆相切，若
EF=5 厘米，求大半圆比小半圆面积多多少？（注：π 取 3.14）
【答案】 9.8125 平方厘米．
【分析】不妨设大半圆的半径是 R，小半圆的半径是 r，我们将小半圆的圆心与大半圆的圆心重叠，
那么面积差就是圆环的一半，根据
1
S= π(R2-r2 ),
2
三角形 AOF 是直角三角形，根据勾股定理：
R2-r2=
(5) 2
=2.52,
2
所以面积差是 S=3.14×2.52÷2=9.8125(平方厘米)．
97. 已知右图中正方形的边长为 20 厘米，中间的三段圆弧分别以 O 、O 、O 为圆心，求
1 2 3
阴影部分的面积．（π=3）
【答案】 150 平方厘米
【分析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面
积，等于大正方形的面积减去一个 90∘ 扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：
1
S -S -[(S -S )÷4]=20×20- π×(20) 2-[(20×20-100π)÷4]=75(平方厘米),
正方形 扇形 正方形 圆 4
所以阴影部分的面积为 75×2=150(平方厘米)．
98. 如下图所示，图中的曲线是用半径长度的比为 2:1.5:0.5 的 6 条半圆曲线连成的．问：
涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少？5
【答案】
11
【分析】 不妨设 1 是最小的半圆的半径．于是其余两种半圆的半径便是 3 和 4．
分别用 S 及 S 表示涂有阴影及未涂阴影部分的面积，由图可知
1 2
S =π ( 12+ 1 ×12+ 1 ×(42-32 ) ) =5π,
1 2 2
S =π×42-S =11π.
2 1
所以
S :S =5:11.
1 2
99. 如图，已知长方形的面积是 12，则图中阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 2.58【分析】 长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是 6，方中圆，方和圆的面
积比是 4:π，可求出小圆的面积是 1.5π，那么阴影部分的面积是
12-1.5π×2=2.58.
100. 如下图所示，曲线 PRSQ 和 ROS 是两个半圆．RS 平行于 PQ．如果大半圆的半径是
1 米，那么阴影部分是多少平方米？（π 取 3.14）
【答案】 1.07
【分析】 如左下图所示，弓形 RS 的面积等于扇形 ORS 的面积与三角形 ORS 的
1 1 π 1
面积之差，为 ×π×12- ×1×1= - （平方米），
4 2 4 2
1 (RS) 2 1 OR2+OS2 1 12+12 π
半圆 ROS 的面积为 ×π× = π× = π× = （平方米），
2 2 2 4 2 4 4
π 1 π 1
所以阴影部分的面积为 - + = ×(π-1)=1.07（平方米）．
4 2 4 2
101. 如图，已知正方形的边长是 2，求大圆及小圆的面积．（π 取 3.14）【答案】 6.28；3.14
【分析】 方中圆，方和圆的面积比为 4:π，可求出小圆的面积是 3.14，大圆的面积
是小圆面积的 2 倍，是 6.28．
102. 求如图中阴影部分的面积．（圆周率取 3.14 ]）
【答案】 4.56
【分析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针 90∘，则阴影部分转
化为四分之一圆减去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为
1 1
×π×42- ×4×4=4.56.
4 2
103. 一个大圆内有 4 个小圆，其直径的和等于大圆的直径．问：大圆周长与所有小圆周长之
和哪个长？为什么？【答案】 周长相等．
【分析】 设大圆的直径为 D，小圆的直径分别为 d ，d ，d ，d ，有
1 2 3 4
D=d +d +d +d ,
1 2 3 4
小圆的周长之和为：
πd +πd +πd +πd =π(d +d +d +d )=πD,
1 2 3 4 1 2 3 4
所以大圆周长和所有小圆周长之和相等．
104. 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为 2:1.5:0.5 的 6 条半圆曲线连成的．问：涂
有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？
【答案】 5:11
【分析】 假设最小圆的半径为 r，则三种半圆曲线的半径分别为 4r，3r 和 r．
1 1 1
阴影部分的面积为： π(4r) 2- π(3r) 2+ πr2+πr2=5πr2 ，
2 2 2
空白部分的面积为：π(4r) 2-5πr2=11πr2，
则阴影部分面积与空白部分面积的比为 5:11．
105. 已知三角形 ABC 是直角三角形，AC=4 厘米，BC=2 厘米，求阴影部分的面积．（
π 取 3.14）【答案】 3.85 平方厘米．
【分析】 设两个半圆的交点为 D，接 CD，
S =S -S +S -S
阴影 大半圆 △ADC 小半圆 △BDC
¿ ¿
所以，
1 (4) 2 1 (2) 2 1
S阴影 = π× + π× - ×2×4
2 2 2 2 2
¿ =3.85(平方厘米).
106. 下图中四个圆的半径都是 5 厘米，求阴影部分的面积。
【答案】 257 平方厘米．
【分析】 直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方
形中的空白部分是 4 个四分之一圆，利用割补法，可以得到下图。其中的阴影部分的面积与
原图相同，等于一个正方形与 4 个半圆（即 2 个圆）的面积之和，为
(2r) 2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257(厘米2 ).107. 某仿古钱币直径为 4 厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧（如
图）．求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？
【答案】 10.84cm2
【分析】 将古钱币分成 8 个部分，外部的 4 个弓形的面积和等于大圆减去内接正
方形，中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：
(4) 2 (4) 2 (4) 2
π - ×2+ ×2÷4×π=6π-8=10.84 (cm2 )．
2 2 2
108. 如图，中三个圆的半径都是 5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．（圆
周率取3．14）【答案】 39.25 平方厘米．
【分析】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为
5×5×3.14÷2=39.25(cm2
)
109. 一枚半径为 1cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚
过后回到原来的位置，那么与原 A 点重合的点是哪个．硬币自己转动几周，硬币圆心的运动
轨迹周长为多少．【答案】 6π
1
【分析】 先计算轨迹的长度：三个半径为 2 的半圆， ×(2×2π)×3=6π，
2
6π÷2π=3，即为 3 周，所以答案为 A 点，3 周，6π．
110. 已知该图为半圆型，两个小圆也是半圆，并且小圆的直径分别是 3 和 5，求阴影部分的
周长是多少？【答案】 8π
【分析】 阴影部分由三段弧形围成，围成阴影区域的周长为三个圆周长的
一半．也就是
3×π 5×π (3+5)×π
+ + =8π.
2 2 2
111. 图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每
个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 8 平方厘米
【分析】 如图，阴影部分总面积等于虚边正方形面积，该正方形的对角线长为圆直径
的两倍，等于 4 厘米，所以面积为 4×4÷2=8 平方厘米．112. 12 个相同的硬币可以排成下面的 4 种正多边形（圆心的连线）．用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这
枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？
【答案】 6
【分析】 对于同样是 12 个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”
上的转动，一是在”边”上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度 ÷2π= 自身转动圈数．结
论：一样多；都是 6 圈．
113. 把四个直径为 8cm 的圆柱形饮料瓶捆扎在一起，截图如下图，那么围绕一周的绳子长
度是多少？
【答案】 57.12cm
【分析】 为绕一周的长度，分为四段弧和四段直线段．
四段弧形，考虑实际情况，以下图为例：曲直交换的位置，从而得知每段对应圆周的四分之一，总共正好一个周长，即 π×d，
得 25.12cm．
四段直的，每段长为直径，所以为 8×4=32cm．总计围绕一周的长度为 57.12cm．
114. 左图是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径．让 A 点不动，把整个半圆逆时针转
60∘，此时 B 点移动到 C 点，如右图所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π
取 3.14．）
【答案】 略
【分析】 右图中阴影部分面积等于以 AC 为直径的半圆以及以 AC 为半径的 60∘
扇形的面积和减去以 AB 为直径的半圆面积．
那么阴影部分的面积等于以 AC 为半径的 60∘ 扇形的面积，即
60
×32×π≈1.5×3.14=4.71(平方厘米).
360
115. （1）在一个直径为 d 米的地球仪赤道上用铁丝打一个箍，需要多长的铁丝？
（2）如果要把这个铁丝箍向外扩张 1 米（直径增加 2 米），需要增加多长的铁丝？
（3）地球的赤道半径约是 6370 千米，如果我们也可以给地球的赤道上用铁丝打一个箍，再
把这个铁丝箍向外扩张 1 米，需要增加多长的铁丝？（π 可直接用 π 表示，不需要代入数
值）【答案】 见解析．
【分析】 （1）需要铁丝的长度为 πd 米．
（2）需要增加铁丝的长度为 π(d+2)-πd=2π 米．
（3）需要增加铁丝的长度为 π(d+2)-πd=2π 米．
116. 如图中，正方形的边长是 5cm，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？（圆
周率取 3.14）
【答案】 142.75cm2
【分析】 ( π×52× 3 +5×5÷2 ) ×2=142.75(cm2 )．
4
117. 有个运动场（如图），它的两头是半圆形，中间是长方形，已知长方形部分的长为 120
米，半圆部分的半径是 50 米．围绕这个运动场跑 2 圈是多少米？这个运动场的面积是多少
米？
【答案】 1108；19850【分析】 分析图形的构成，可知长方形的宽就是圆的直径．
操场一周长为两个长方形的长，加上两端弧，也就是加上一个圆周的长度．
周长为：
120×2+2π×50=554m,
跑两圈为 1108 米．
面积是长方形面积加上一个整圆的面积：
120×100+π×502=19850m2.
118. 如下图所示，AB 为圆 O 的直径，点 D 在圆 O 上．在梯形 ABCD 中，线段 AB
与线段 DC 都分别垂直于 BC；AB=2CD；弧 DMB 是以点 C 为圆心的圆弧．请问下图
22
中阴影部分的面积与圆 O 的面积之比是多少？（取 π= ）
7
13
【答案】
44
22
【分析】 不妨设两圆的半径为 1，则圆 O 的面积为 ，阴影部分的面积等于梯形
7
ABCD 的面积减去弓形 DMB 的面积的 2 倍：
1 1 22 1 13
×(1+2)×1-2× × ×12+2× ×12= ,
2 4 7 2 14
所以面积比为
13 22 13
: = .
14 7 44119. 如图，等腰直角三角形的一腰的长是 8 厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那
么阴影部分的面积共有多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 18.24
【分析】 如下图，我们将原题中阴影部分分成 ①、②、③、④ 4 个部分，并且这
4 个部分的面积相等．
有 ②、③ 部分的面积和为二分之一圆的面积与其内等腰直角三角形的面积差．
二分之一圆的面积为
1
×4×4×π≈8×3.14=25.12.
2
其内等腰直角的底为 8，高为 4，所以其面积为
1
×8×4=16,
2
所以 ②、③ 部分的面积和为
25.12-16=9.12(平方厘米).
而 ①、②、③、④ 四部分的面积和为 ②、③ 部分的面积和的 2 倍，即为
9.12×2=18.24(平方厘米).
所以，原题中阴影部分的面积共有 18.24 平方厘米．
120. 平面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部
分的面积是多少？【答案】 20
【分析】 题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与 6 个下图阴影部分的面积和．
而图形 ① 可以通过割补得到图形 ②，
1
而图形 ② 是一个圆心角为 60∘ 的扇形，即 圆．
6
1
所以，原题图中阴影部分面积为 1 个完整圆与 6 个 圆，即 2 个圆的面积．
6
即原题图中阴影部分面积为 2×10=20.
121. 下图中，一个小六边形内接于一圆，一个大六边形外切于同一圆．若大正六边形的面积为
10 平方单位，请问小正六边形的面积为多少平方单位？【答案】 7.5
【分析】 旋转，使得内部的六边形与外面的六边形相接，然后可以把内部的六边形分
割，如下图所示，所以内部六边形面积为 10÷24×18=7.5(平方单位)．
122. 下图中，AB=3，阴影部分的面积是多少．【答案】 4.5
【分析】 如图可知 EF= 3，设大半圆半径为 R，小圆半径为 r，如右图 R=EH，
r=HG=EG，根据勾股定理得 R2=2r2，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知
S =S -S
阴影 小圆 柳叶
=S -2(S -S )
小圆 扇形EHF △EHF
=S -2S +2S
小圆 扇形EHF △EHF
=S -S +2S
小圆 大半圆 △EHF
=2S
△EHF
=EF×GH=3×3÷2=4.5
123. 如图，半径分别是 15 厘米、10 厘米、5 厘米的圆形齿轮 A、B、C 为某传动机械的
一部分，A 匀速转动后带动 B 匀速转动，而后带动 C 匀速转动，请问：
（1）当 A 匀速顺时针转动，C 是顺时针转动还是逆时针转动？
（2）当 A 转动一圈时，C 转动了几圈？【答案】 （1）顺时针转动；（2）3
【分析】 （1）当 A 顺时针转动时，带动逆时针转动，
当 B 逆时针转动时带动 C 顺时针转动．所以当 A 匀速顺时针转动时，C 顺时针转动．
（2）当 A 转动时可带动 B 转动，而 B 转动时可带动 C 转动，且 A，B，C 转动时，
所转过的长度相等，即当 A 转动一圈时，即 A 上的定点转了一圈，转过的长度为圆 A 的
周长，
L =2×π×15=30π(厘米),
A
此时，C 上的点也转过了 30π 厘米，所以当 A 转动一圈时，C 转动的圈数是：
30π
=3(圈).
2×π×5
所以当 A 转动一圈时，C 转动了 3 圈．
124. 下图中，点 P、Q、R 是三个半径都为 7 厘米的圆之圆心．请问图中阴影部分的面积为
22
多少平方厘米？（取 π= ）
7【答案】 77
1
【分析】 通过割补可将一块阴影变为 圆（见右图），题中阴影部分面积为半圆面
6
1 22
积即 × ×72=77(平方厘米)．
2 7
125. 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB 弦约等于 17 厘
米，半径为 10 厘米，求阴影部分的面积．1
【答案】 124 平方厘米
3
【分析】 阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．
由已知条件，若分别连结 AO ，AO ，BO ，BO ，O O ，如图所示，就可以得到两个等
1 2 1 2 1 2
边三角形（各边长均等于半径），则 ∠AO O =∠BO O =60∘，即 ∠AO B=120∘．
2 1 2 1 2
这样就可以求出以 O 为圆心的扇形 AO BO 的面积，然后再减去三角形 AO B 的面积，
2 1 2 2
就得到弓形的面积，三角形 AO B 的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦 AB，高
2
是 O O 的一半．
1 2
所以，阴影部分面积 =2×(S -S )
扇形AO B △AO B
2 2
=2× ( 3.14×102× 120 - 1 ×17× 10)
360 2 2
1 1
=209 -85=124 (平方厘米)．
3 3
126. 如图所示有一个大半圆，在其直径上又并排着四个小半圆，请问大半圆的周长和四个小半
圆的周长之和是什么关系？【答案】 周长相等．
【分析】 设大圆的半径为 R，小圆的半径分别为 r ，r ，r ，r ，有
1 2 3 4
R=r +r +r +r ,
1 2 3 4
五个小半圆的周长之和为：
(π+2)r +(π+2)r +(π+2)r +(π+2)r
1 2 3 4(π+2)(r +r +r +r )¿=¿(π+2)R,¿
¿ 1 2 3 4
所以大圆周长和所有小圆周长之和相等．
127. 图中的三个图形都是由 A、B、C、D（线段或圆）中的两个组合而成，记为 A×B、
C×D、A×D．请你画出表示 A×C 的图形．
【答案】 见解析．
【分析】 观察上图，第一个图形和第三个图形的共同之处是都有一条竖向线段，而它
们共有的字母是 A，因此 A 表示竖向线段；第二个图形与第三个图形的共同之处是都有一
条横向线段，它们的共同字母是 D，因此 D 表示横向线段．这样，由第一个图形可知 B
表示大圆，由第二个图形可知 C 表示小圆，从而 A×C 表示的图形应为竖向线段和小圆组
合而成，即下图．1
128. 古埃及人计算圆形面积的方法：将直径减去直径的 ，然后再平方．由此看来，古埃及
9
人认为圆周率 π 等于多少？（结果精确到小数点后两位数字）
【答案】 3.16．
1
【分析】 假设半径为 r，那么直径为 2r．直径减去直径的 ，然后再平方，得到的
9
是 (8 ×2r ) 2 = 256 r2 ，所以古埃及人认为圆周率 π 等于 256 ，约等于 3.16．
9 81 81
129. 在半径为 1 的圆内，画 13 个点，其中任意 3 点不共线．请证明：一定存在 3 个点，
π
以它 们为顶点的三角形面积小于 ．
6
【答案】 略
π
【分析】 证明：将半径为 1 的圆八等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是 ，根
6
据抽屉原理，至少有三个点在同—部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即
π
．
6
130. 如图，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘 A 直径为 10 厘米，盘 B 直径
为 40 厘米，盘 C 直径为 20 厘米．问：A 顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米？
（π 取 3.14．）【答案】 31.4
1 1
【分析】 A 顺时针转一周时，C 顺时针转 周，同轴的 B 也顺时针转 周，从
2 2
而绳索被拉动的距离等于 B 的半个圆周长即 π×20≈62.8，这时重物应该上升去
1
×62.8=31.4．所以重物上升 31.4 厘米．
2
131. 一个大圆内有 2 个相同的小圆，其直径的和等于大圆的直径．问：大圆周长与两个小圆
周长之和哪个长？为什么？
【答案】 周长相等．
【分析】 设大圆的直径为 D，小圆的直径分别为 d ，d ，有 D=d +d ，小圆的周
1 2 1 2
长之和为：πd +πd =π(d +d )=πD，所以大圆周长和所有小圆周长之和相等．
1 2 1 2132. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 内接一个等腰梯形 ABCD，梯形的上底是 60，下底是
100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 2258
【分析】 由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以 AB、BC、CD 为直径的半
圆面积减去以 AD 为直径的半圆面积，作 OE 垂直于 BC，根据勾股定理可得梯形的高
OE 为 40，则 AB2=BF2+AF2=402+202=2000，阴影部分的面积为：
1 1 (AB) 2 1 (CD) 2 1 (BC) 2 1 (AO) 2
(AD+BC)⋅OE+ π + π + π - π =2258.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
133. 在下图中，AC 为圆 O 的直径，三角形 ABC 为等腰直角三角形，其中 ∠C=90∘．
以 B 为圆心，BC 为半径作弧 CD 交线段 AB 于 D 点．若 AC=10 厘米，试求下图中
阴影部分面积之和．（令 π=3）
【答案】 62.5 平方厘米
【分析】 阴影部分面积为圆加扇形减三角形，阴影面积为：1 1
π×52+ ×π×102- ×102=62.5(平方厘米).
8 2
134. 如下图所示，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC 和 BC 为直径在
△ABC 外作半圆 AEC 和 BFC．当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）
AEC 和 BFC 的面积和最大．
【答案】 当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大．
【分析】 因为 ∠ACB=90∘，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之
和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于 △ABC 的面积，当 C 在弧 AB 中点时，△ABC
中 AB 边上的高最大，从而 △ABC 的面积最大，所以当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分
面积最大．
135. 在下图中大圆的面积为 30，三个小圆完全相同，那么图中阴影部分的面积为多少？
【答案】 20【分析】 大圆的半径是小圆的三倍，所以，大圆的面积是小圆面积的 9 倍．那么，
阴影面积是整个面积的三分之二，即阴影面积为 20．
136. 图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？
【答案】 1:1
【分析】 根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：
阴影部分甲=120∘的扇形-三角形-小弓形;
阴影部分乙=三角形+小弓形;
由于 120∘ 扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：
综上所述：(1 1) 1
阴影部分甲的面积=圆的面积的 - =圆的面积的 .
3 6 6
所以甲、乙面积之比为 1:1．
137. 如图，这是一个卡通图案，图中的正方形边长是 4 厘米，各个小半圆的半径相同，则阴
影部分的面积是多少平方厘米（π 取 3.14）．
【答案】 22.28
【分析】 四个小半圆互相抵消，阴影部分等于正方形加半圆，故面积为：
1
42+ π22=22.28(cm2 ).
2
138. 面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分
的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 20
【分析】 阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形．这个图形可以割补成
一个顶角为 60∘ 的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分
的面积等于两个圆的面积，为 20．139. 如下图所示，圆 O 的直径 AB 与 CD 互相垂直，AB=10 厘米，以 C 为圆心，CA
为半径画弧．求月牙形 ADBEA（阴影部分）的面积．
【答案】 25 平方厘米
1
【分析】 因为 S = π AO2 ，
半圆ADB 2
1 1 1 1
S = π AC2= π(AO2+CO2 )= π AO2 ，以 AC 为半径的 圆和圆 O 的一半
扇形ACB 4 4 2 4
面积是相等的，所以 $\text{月牙形$ ADBEA $(阴影部分)的面积}=\triangle ABC\text{的面积}
=\dfrac 1 2\times 10\times 5=25\text{(平方厘米)}$．
140. 下图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为 10 厘米的正五边形．求五边形内阴影
部分的面积．（π=3.14）【答案】 117.75 平方厘米
【分析】 我们用两条线将五边形分成了三个三角形，如下图所示，可以看出，这个五
边形的五个角的度数和是 180×3=540∘,540÷360=1.5 倍，即阴影部分面积相当于 1.5 个
半径为 5 的圆的面积，所以阴影部分的面积是 π×52×1.5=117.75(平方厘米)．141. 一个半径为 3 分米的扇形，面积为 6.28 平方分米，那么它的圆心角是多少度？（π 取
3.14）
【答案】 80 度
6.28
【分析】 扇形所在大圆的面积是 3.14×32=28.26，圆心角是 ×360=80 度．
28.26
142. 在下图中，线段 AB 是圆 C 的直径，在线段 AB 上作两个半圆 APC 及 CQB．圆
PQR 分别与这三个半圆都相切．若 AB=28 厘米，试求圆 PQR 的半径的长度．14
【答案】
3
14
【分析】 如下图所示，设小圆半径为 x 厘米，则 (14-x) 2+72=(x+7) 2，x= ．
3
143. 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，如下图所示，裁出七个同样大小的圆铝板．
所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【答案】 8 平方厘米
【分析】 可以看出大圆半径是小圆的 3 倍，
所以大圆面积是小圆的 9 倍，
所以余下面积为 36÷9×(9-7)=8(平方厘米)．
144. 请按照图中尺寸求出两图中阴影部分的面积分别为多少．（π 取 3.14）
【答案】 4.56；28.5
【分析】 （1）4× (1 ×π×22- 1 ×2×2 ) =4π-8=4.56；
4 2
（2）
1
×π×
(10) 2
-
[1
×10×10-
45
×π×102
]
2 2 2 360
25π-50¿=¿28.5.¿
¿145. 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如图），此时橡皮筋的
长度是多少厘米？（π 取 3）
【答案】 45
【分析】 由右图知，绳长等于 6 个线段 AB 与6个 BC 弧长之和．
将图中与 BC 弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到 6 个角的和是 360∘，
所以 BC 弧所对的圆心角是 60∘，6 个 BC 弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长．
而线段 AB 等于塑料管的直径，
由此知绳长为：5×6+5π=45(厘米)．
146. 下图是一个对称的图形，黑色部分面积大还是灰色部分面积大？【答案】 一样大
【分析】 大圆半径是小圆半径的两倍，所以大圆面积是小圆面积的 4 倍，所以四个
小圆的面积等于大圆的面积，由容斥原理得两部分的面积一样大．
147. 如图所示，一块半径为 2 厘米的圆板，从位置 ① 起始，依次沿线段 AB、BC、CD
滚到位置 ②．如果 AB、BC、CD 的长都是 20 厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平
方厘米？（π 取 3.14，答案保留两位小数．）
【答案】 228.07
【分析】 小圆滚动时所经过的区域如下图所示．半圆 FEQ、半圆 JKL 的面积之和是 4π 平方厘米；长方形 FGBQ、BHIP、IJLM 的面
积之和是
(18+16+14)×4=192(平方厘米);
60∘ 的扇形 BGH 的面积为
1 8π
×42×π= ;
6 3
PIMNO 部分的面积为 (12+π) 平方厘米．
所以总面积为
8π 23
4π+192+ +12+π=204+ π≈228.07(平方厘米).
3 3
148. 下图中的大正方形边长为 4 厘米，每个圆弧皆是半径为 1 厘米的半圆或四分之一圆，
( 22)
请问阴影部分面积为多少平方厘米？ π=
7
【答案】 10【分析】 将图形分割如下图所示，阴影部分可拼成 10 个小正方形．所以阴影部分
面积为 1×1×10=10(平方厘米)．
149. 有一飞镖形建筑物 ABCD，其各边之长度如下图所示，AB=60 米、BC=70 米、
CD=40 米、AD=30 米，并且已知 ∠ADC=90∘．在其外围拟建一条步道，使得此步道的
外缘距离建筑物之最近距离都保持 5 米．请问沿着此步道之外缘绕一圈共需走多少米？（取
π=3.14）
【答案】 229.25【分析】 可知步道可分为直线段与圆弧段，直线段之长度和为
60+70+(30-5)+(40-5)=190(米)．而三个圆弧的角度和为 360∘+90∘=450∘．
450∘
所以三个圆弧段的长度和为 2×5×3.14× =39.25(米)．故绕一圈需走
360∘
190+39.25=229.25(米)．
150. 图中有半径分别为 5 厘米、4 厘米、3 厘米的三个圆，A 部分（即两小圆重叠部分）
的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？
【答案】 一样大．
【分析】 如图所示，半径为 5 厘米的圆与半径为 4 里面的圆面积之差为
π×52-π×42=9π,
它等于半径为 3 厘米的圆面积
π×32=9π,
同时等于图中阴影部分面积与 B 部分面积之和．
而小圆面积又等于 A 部分的面积与 B 部分面积之和，因此 A 部分的面积与阴影部分面积
相等．
151. 如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB=20，阴影甲（上方阴影）的面
积比阴影乙（下方阴影）的面积大 7，求 BC 长．（π 取 3.14）【答案】 15
【分析】 阴影甲和阴影乙的面积差等于半圆的面积减去直角三角形ABC的面积，半
1 (20) 2
圆的面积为 ×π× =50π≈157，
2 2
S 2×150
所以 S =157-7=150，BC= △ABC = =15．
△ABC AB 20
152. 有一个直角三角形 PQR，直角在 Q 点，以其三边为直径作三个半圆．矩形 STUV 的
各边与半圆相切且平行于 PQ 或 QR，如下图所示．如果 PQ=6 厘米，QR=8 厘米，则
STUV 的面积是多少平方厘米？
【答案】 144
【分析】 由勾股定理得大半圆的直径为 10 厘米，则三个半圆的半径分别为 3 厘米，
4 厘米，5 厘米．可知：SV =3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)．面积为
12×12=144(平方厘米)．153. 如图所示，正方形 ABCD 的面积是 64 平方厘米，E、F 分别为所在半圆弧的中点．
求阴影部分的面积．（π 取 3.14）
【答案】 73.12 平方厘米．
【分析】 从图中可以看出，两块空白图形的面积等于半圆面积加上正方形面积减去
△AED 的面积，即
8×8+π×42÷2-8×12÷2=41.12
而阴影部分面积等于整个图形面积减去空白的面积，即
8×8+π×42-41.12=73.12(平方厘米).
154. 图中的 4 个圆的圆心恰好是正方形的 4 个顶点，如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么
阴影部分的总面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）【答案】 10.28 平方厘米
【分析】 图中的阴影部分恰好可以拼成一个边长为 2 的正方形和两个半径为 1 的
圆，2×2+3.14×1×1×2=10.28．
155. 如图，求阴影部分的面积．
【答案】 24
【分析】 阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为 6 和 8 的半
圆面积减去直径为 10 的半圆的面积，
1 1 (6) 2 1 (8) 2 1 (10) 2
×6×8+ ×π× + ×π× - ×π× =24.
2 2 2 2 2 2 2
注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用．
156. 如图所示，扇形 AOB 的圆心角是 90 度，半径是 2，C 是弧 AB 的中点．求两个阴
影部分的面积差．（π 取 3.14）
【答案】 0
【分析】 两个阴影分别加上下部的空白部分可得到扇形和半圆，而扇形和半圆面积相
等，所以，面积之差是 0．
157. 如下图所示，AB 是一根长度为 1 的线段，要移到与它相距为 2 的 CD 处（CD=1）．
在移动过程中，AB 扫过的面积至少是多少？【答案】 可以任意小，即可以无限接近 0，但不等于 0．
【分析】 如下图所示，先将线段 AB 绕 B 点顺时针旋转 n∘ 至 EB，再将 EB 沿
直线 BE 平移到 FG，然后线段 FG 绕 G 点逆时针旋转 n∘ 至 GH，最后将 GH 沿直线
平移到 CD．由于平移时是沿着线段所在的直线移动，所以平行移动时扫过的面积为 0．在
nπ
整个移动的过程中，线段扫过的面积就只是两个扇形（阴影部分），面积和为 ．当 n 无
180
限接近 0 时，面积无限接近 0．
158. 如下图所示，阴影正方形的顶点分别是大正方形 EFGH 各边的中点，分别以大正方形
各边的一半为直径向外作半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，形成 8 个
“月牙形”．这 8 个“月牙形”的总面积为 5 平方厘米，问大正方形 EFGH 的面积是多
少平方厘米？【答案】 10
【分析】 因为两个“月牙形”的面积等于一个空白三角形的面积，所以 8 个“月牙
形”的面积等于 4 个空白三角形的面积（大正方形的一半），所以大正方形的面积为
5×2=10(平方厘米)．
159. 如下图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图
中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？（π 取 3）
【答案】 19
【分析】 本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．
如上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形．可以看出，与原图相比，
正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补
1
在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图
4
形的面积为 42+π×12=19（平方厘米）．在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的
图形，从而利用面积公式进行求解．这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关
键。
