几何-直线型几何-勾股定理和弦图-2
星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
勾股定理和弦图 B 1.能够理解勾股定理的概念 少考
2.熟练应用勾股定理和弦图来解决
相关的几何问题
知识提要
勾股定理和弦图
勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2
+
AC2
=
BC2
勾股图与弦图4ab
(a+b) 2- =a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2
24ab
(a-b) 2+ =a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2
2
精选例题
勾股定理和弦图
1. 如下图所示的三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 中，最长的是 ．
【答案】 BC
【分析】 根据勾股定理：AB2=22+42=20，AC2=12+52=26，BC2=32+52=34．
显然 BC 最长．
2. 如图，AE⊥AB 且 AE＝AB，BC⊥CD 且 BC＝CD，那么，按照图中所标注的数
据，图中实线所围成的图形面积为 ．【答案】 40.5
【分析】 由弦图知：
AF=2,AG=6,CG=3,CH=2,
则
FH=2+6+3+2=13,
梯形 EFHD 的面积为
(6+3)×13÷2=58.5,
原图形面积为
58.5-(2×6+2×3)=40.5.
3. 如下图所示，加油站 A 和商店 B 在马路的 MN 同一侧，A 到 MN 的距离为 5 米，
B 到 MN 的距离为 3 米，DC=6 米．行人 P 在马路 MN 上行走．问：当 P 到 A 的
距离和 P 到 B 的距离之和最小时，这个和最小等于 米．
【答案】 10
【分析】 如下图所示，关于直线 MN 作 B 的对称点 Bʹ，那么可知 PBʹ=PB，所
以 PA+PB=PA+PBʹ，那么当 A、Bʹ、P 共线时，距离之和最小，因为 CD=6，
DA+CBʹ=5+3=8，那么根据勾股定理可得此时距离和为 10 米．4. 有一个直角边为 1 和 1 的直角三角形，以它的斜边和 1 为直角边，向外作另一个直角三
角形．重复以上操作，如下图．求第 1023 个直角三角形的斜边长度是 ．
第 个直角三角形的斜边长度是 17．
【答案】 32；288
【分析】 第 n 个直角三角形的斜边长度的平方为 n+1，1023+1=1024=322，
172=289=1+288
5. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条
“路”，他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草．【答案】 5
【分析】 依题意，这条路和长方形花圃的两条边恰好形成一个直角三角形，由勾股定
理可以计算出，这条路的长度为 5m．少走了 3+4-5=2(km)
6. 如下图所示，已知长方形长是宽的 2 倍，对角线的长是 9，则长方形的面积是
．
【答案】 32.4
【分析】 可以根据勾股定理进行分析：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的
平方．因为长方形的长是宽的 2 倍，设长方形的宽为 a，那么长用 2a 来表示，长方形的面
81
积可以用 2a×a 来表示．根据勾股定理，2a×2a+a×a=9×9，得出 a×a= ，那么长
5
81 162
方形的面积等于 ×2= =32.4．
5 5
7. 如下图所示，两个正方形 ABCD 和 DEFG 的边长都是整数厘米，点 E 在线段 CD 上，
且 CE<DE，线段 CF=5 厘米，则五边形 ABCFG 的面积等于 平方厘
米．【答案】 71
【分析】 CF=5 厘米，又 CE 和 EF 都是整数，根据勾股定理可知 CE=3，
1
EF=4，CD=7，所 以五边形 ABCFG 的面积为：42+72+ ×4×3=71(平方厘米)．
2
8. 下图所示，长方形 ABCD 的长 BC=10 厘米，宽 AB=6 厘米．在 BC 上取点 M，
在 AD 上取点 N，使得四边形 BMDN 是一个菱形．则菱形 BMDN 的面积是
．
【答案】 40.8
【分析】 因为 BMDN 是一个菱形，可设 BM=MD=ND=BN=x，则
AN=10-x．在 直角三角形 ABN 中，由勾股定理得 62+(10-x) 2=x2，即 136=20x，
解得 x=6.8．菱形 BMDN 的面积 =6.8×6=40.8平方厘米．9. 华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科．请小朋友求解《九章算术》中的一个古代
问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”白话译
文：如下图所示，有圆柱形木棍直立地面，高 20 尺，圆柱底面周长 3 尺．葛藤生于圆柱底
部 A 点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的 B 点．则葛藤的长度是
尺．
【答案】 29
【分析】 从 A 点将葛藤剪断，顶点处 B 不动，将缠绕的葛藤解开拉直，如下图所
示，A 点变为地面上的 C 点．则葛藤长为直角三角形 BAC 的斜边 BC．由 AB=20，
AC=3×7=21 得：BC2=202+212=292．所以 BC=29(尺)．
10. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中
正确的是【答案】 C
【分析】 A：242+152≠202；
B：202+152≠242；
D：24 和 20 写反了；
C：242+72=252，152+202=252
11. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 AB 上有一点 D，已知 CD=5，BD-AD=2，
那么三角形 ABC 的面积是 ．
【答案】 24
【分析】 等腰直角三角形，面积等于斜边高的平方．
过 C 点做斜边 AB 的垂线，交 AB 于点 E，由于 BD-AD=2，得到 DE=1．
根据勾股定理，CE2=CD2-DE2=52-12=24.
所以 S =24.
△ABC
12. 如图，分别以一个面积为 169 的正方形的四条边为底，做 4 个面积为 101.4 平方厘米
的等腰三角形．图中阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】 49
【分析】 169=132, 可见大正方形的边长为 13；
等腰三角形的高为
101.4×2
=15.6,
13
则若设等腰三角形的腰为 x，如下图所示，
根据勾股定理：x2=6.52+15.62
则
x=16.9;
则图中
101.4×2
AB= =12
16.9
再根据勾股定理：
AC2+122=132
AC=5;
从弦图的角度看原图，易知中间正方形的边长为 12-5=7, 则其面积为
72=49
13. 甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了 4 km，乙往南走了 3 km，此时甲、
乙两人相距 km．
【答案】 2
【分析】 依题意，甲、乙的最终位置和他们的出发点形成一个直角三角形，这个三角
形的直角边分别为 3 km 和 4 km，因此由勾股定理，这时候甲、乙两人相距 5 km．
14. 下图中有三个直角三角形．请问 x= 厘米．
【答案】 15
【分析】 ①、② 两个直角三角形完全一样，所以 ①、② 两直角三角形的两直角边
分别为 9 cm和 12 cm，由勾股定理得，x2=92+122=152，所以 x=15(厘米)．
15. 如下图所示，长方体的三条棱长分别为 3、4、12，对角线 AC= ．【答案】 13
【分析】 如下图所示，根据勾股定理，边长为 3 和 4 的长方形的对角线长为 5，
这条对角线和长为 12 的边垂直，在直角三角形 ABC 中，AC2=52+122，所以 AC 长为
13．
16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边
长为 7 cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为 cm．【答案】 49
【分析】 将左上的小正方形的面积计为 S ，将右上的小正方形的面积计为 S ，由勾
1 2
股定理，有 S +S =S ，S +S =S ，S +S =72=49．
A B 1 C D 2 1 2
17. 如下图所示的等腰梯形上底长度等于 3，下底长度等于 9，高等于 4．这个等腰梯形的周
长等于 ．
【答案】 22
【分析】 两边的直角三角形的较短直角边为 (9-3)÷2=3，腰长的平方为
32+42=52，所 以周长为 3+5+9+5=22．
1
18. 如下图所示，一个 圆中有一个正方形，阴影正方形的面积是 16，那么图中的扇形面积
4
是 ．（π 取 3）【答案】 30
【分析】 给图中标上字母，如下图所示，由于阴影正方形的面积为 16，则边长为 4，
OC=CH=ED=2,OD=2+4=6，根据勾股定理，可知扇形的半径满足：
r2=22+62=40.
所以图中扇形的面积为：
1
π×40=30.
4
19. 如图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从
一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．【答案】 13
【分析】 由勾股定理，122+(13-8) 2=169=132，至少飞了 13 米．
20. 如下图是一张长方形折叠起来后形成的图形，其中长方形的长 BC 为 18 厘米，宽 AB
为 12 厘米，则 DF 的长为 厘米．
【答案】 13
【分析】 设 AF=x，(18-x) 2=122+x2，算出 x=5，DF=13 厘米．也可以直接
考虑常用勾股数为 5、12、13．21. 如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部
4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
【答案】 8 米
【分析】 由勾股定理，折断处以上的长度是 5 米，总长度为 3+5=8（米）．
22. 如下图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于 1680 平方厘米．阴
影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个
圆的面积等于 平方厘米．
【答案】 105
【分析】 如下图所示，设小圆半径为 r，大圆半径为 R，则 (R-r) 2+R2=(R+r) 2，
R=4r，所以大圆面积是小圆的 16 倍，所以小圆面积为 1680÷16=105(平方厘米)．23. 任何一个直角三角形都有这样的性质：以两个直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜
边为边长的正方形的面积．这就是著名的勾股定理．在西方又被称为毕达哥拉斯定理．勾股定
理有着悠悠 4000 年的历史，出现了数百个不同的证明，魏晋时期的中国古代数学家刘徽给
出了如下左图所示的简洁而美妙的证明方法，如下右图则是以这个方法为基础设计的刘徽模式
勾股拼图板：
如果上图中两个正方形的边长分别为 3 与 4，那么，三角形 ACE 的面积 =
（用分数表示），三角形 BCD 的面积 = （用分数表示）．
27 3
【答案】 ，
8 8
【分析】 由图可知，两个正方形的边长为 3 与 4，所以三角形的两个直角边分别为
3 与 4，所以
BD=4-3=1,
如图连接 BE、AD：AE∥BD，所以
S =S ,
△CBE △CAD
S =S ,
△ABD △EBD
又因为
S =S =AE:BD=3:1,
△ABE △ABD
所以
S :S =3:1;
△ABE △EBD
而
S :S =AC:CB=3:1,
△ABE △EBD
所以
3 9
AC=3× = ,
3+1 4
1 3
CB=3× = ,
3+1 4
综上可知
9 27
S = ×3÷2= ,
△ACE 4 8
3 3
S = ×1÷2= .
△BCD 4 8
24. 如 图所示，一个五边形有四条边的长度已经标出，其中有三个 角是直角，则五边形的面
积是 ．【答案】 58
【分析】 详解：如图所示，作
EF2=EB2-BF2=AB2+AE2-BF2=25+25-1=49，所以 EF=7，五边形面积等于三角
5×5 6×7
形 ABE 面积加上梯形 BEDC 面积，即 + ×7=58．
2 2
25. 如下图所示，正方形 ABCD 的边长是 5 厘米，点 E、F 分别是 AB 和 BC 的中点，
DF 交于点 G，则四边形的面积等于 平方厘米．
【答案】 5【分析】 如下图所示，分别找到 AD、DC 的中点连线，利用割补法，原正方形面
积变换成 5 个小正方形面积之和，每个小正方形面积是 5×5÷5=5(平方厘米)，而阴影部
分面积等于 1 个小正方形面积，所以也是 5 平方厘米．
26. 如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90∘，且 DC=2AB，分别以
DA、AB、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为 S 、S 、S ，则 S 、S 、S 之
1 2 3 1 2 3
间的关系是【答案】 S +S =S
1 3 2
【分析】
做 AE∥BC，交 DC 于 E，则四边形 AECB 是平行四边形，
AE=BC,CE=AB,DE=DC-CE=2AB-AB=AB,
因为
∠ADC+∠BCD=90∘,
所以
∠ADE+∠AED=90∘,
∠DAE=180∘-(∠ADC+∠BCD)=180∘-90∘=90∘,
在直角三角形 DAE 中，由勾股定理，
AD2+AE2=DE2,
所以
AD2+BC2=AB2,
即
S +S =S .
1 3 2
27. 如下图所示，一个边长为 10 厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO 距
离为 8 厘米，那么点 C 距离地面的高度是 厘米．【答案】 14
【分析】 如下图，由勾股定理得，直角三角形的短边为 6 厘米，所 以高为
6+8=14(厘米)．
28. 边长为 a+b 的正方形纸片有以下两种剪裁方法，按照“等量减等量差相等”的原则，阴
影部分所表示的三个小正形的面积之间的关系可以用 a，b，c 表示为 ．【答案】 c2=a2+b2
【分析】 两个正方形一样，空白部分都是 2ab，阴影部分一样．
29. 下图是一张边长为 5 厘米的方格纸，借助没有刻度的直尺，一共能在这张方格纸上画
种不同大小的正方形（正方形的面积必须是整平方厘米数），它们的面积分别是
平方厘米．
【答案】 11；1，4，9，16，25，2，5，10，17，8，13．
【分析】 根据勾股定理，可以找到的正方形的面积如下：
02+12=1，02+22=4，02+32=9，02+42=16，02+52=25，12+12=2，12+22=5，
12+32=10，12+42=17，22+22=8，22+32=13．
30. 如下图所示，沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一个五边形，已知这个五边形 5 条边
的长分别是 5 厘米、9 厘米、13 厘米、14 厘米、17 厘米（未必是按顺序的）．这个五边
形的面积是 平方厘米．【答案】 208 或 215
【分析】 长方形的长肯定是 17 厘米，又知截下的一角为直角三角形，直角三角形
的三条边 满足勾股定理，所以五边形各边的长度只有以下两种情况，如下图所示，左图中，
五边形的面积为 17×14-5×12÷2=208平方厘米，下图中，五边形的面积为
17×13-4×3÷2=215平方厘米．
31. 勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”，是一个有着悠悠 4000 多年历史的重要几何定理．
它揭示了这样一个事实：对任何一个直角三角形而言，以它的两条直角边的长度为边长的正方
形的面积之和，等于以斜边的长度为边长的正方形的面积．关于勾股定理，人们发现了 400
多种证明，甚至连美国总统也曾加入到证明者的队伍中．在众多证明方法中，我国古代数学家
刘徽给出的证明简单直观，耐人寻味（如下图所示）这个证明实际上给出了一个通过有限次直
线切割，将两个正方形拼补为一个更大的正方形的方法．设两个小正方形的边长分别为 3 和
4，按照刘徽的方法，这两个小正方形被切割成 5 部分，请分别计算出这 5 部分的面积，并
按从小到大的顺序写在下面： ．3 27 45 77
【答案】 ， ， ，6，
8 8 8 8
【分析】 分割成的 5 部分从小到大分别是 1、2、3、4、5，如下图：
1 的面积：由题中可得到 BD=1，AB=AF=3，AD=4，所以
BD:AD=BE:AF
即
1:4=BE:3
得到
3
BE=
4所以
3 3
S =1× ÷2=
1 4 8
2 的面积：
3 27
S =3×(3- )÷2=
2 4 8
3 的面积：
3 45
S =3×4÷2- =
3 8 8
4 的面积：
S =4×(4-1)÷2=6
4
5 的面积：
3 77
S =4×4- -6=
5 8 8
32. 如下图所示，梯形 ABCD 中上底 AB 的长度是 10 厘米，梯形的高 BE 的长度是 12
厘米，且 E 是 CD 中点，BF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分．那么，BF 的长度
是 厘米．
【答案】 13
【分析】见上图，取 AB 中点 G，连接 GE，因为 E 是 CD 中点，所以 GE 将梯形 ABCD 分成
面积相等的两部分，又因为 BF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，所以三角形 BOG
和三角形 EOF 的面积相等，所以 EF=BG=5 厘米，由勾股定理，BF2=122+52=169，
所以 BF=13 厘米．
33. 任何一个直角三角形都有这样的性质：以两个直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜
边为边长的正方形的面积．这就是著名的勾股定理，在西方又被称为毕达哥拉斯定理．勾股定
理有着悠悠 4000 年的历史，出现了数百个不同的证明，魏晋时期的中国古代数学家刘徽给
出发如下图所示的简洁而美妙的证明方法，如下图则是以这具方法为基础设计的刘徽模式勾股
拼图板：
刘徽模式勾股拼图板的 5 个组块．还可以拼成一个如图所示的梯形，如果其中的直角三角形
直角边分别为 3 厘米与 4 厘米，那么，这个梯形的上下底分别为 厘米
与 厘米 ．5 35
【答案】 ；
4 4
【分析】 根据题意，不难得出下图：
根据三角形 ABF 与三角形 BFG 相似，可以得出
3 15
BG= AB= ,
4 4
即得出
15 5
上底=CG=5- = ;
4 4
15 35
下底=AD+BG=5+ = .
4 4
34. 正方形 A 的边长是 10，若正方形 B，C 的边长都是自然数，且 B，C 的面积和等于
A 的面积，则 B 和 C 的边长的和是 ．
【答案】 14
【分析】 B，C 的面积和等于 A 的面积，即 B，C 的面积和是
10×10=100,则 b2+c2=100, 且 b，c 皆为自然数，一试便知为 6 和 8，B 和 C 的边长的和是
6+8=14.
35. 如图，大正方形的面积是 400 平方厘米，则圆环面积是 平方厘米．（
π 取 3.14）
【答案】 157
【分析】 如图所示，
由大正方形的面积为 400 平方厘米知 AB=20(厘米)．取圆心 O，AB 中点 M，连接
OM 交小正方形于点 E，连接 OB 交大圆于点 F．
于是
MB=OM=OF=10(厘米),
易知 △OEF 为等腰直角三角形，
所以
2OE2=OF2=100(平方厘米),
于是
OE2=50(平方厘米),
所以圆环的面积为π⋅OM2-π⋅OE2 =π×102-π×50
¿ ≈157(平方厘米).
36. 如图所示，是正方形 内部最大的正十二边形，正方形与正十二边形的边长差为，那么正十
二边形的面积是 ．
【答案】 54
【分析】
连接OQ，ON，QN．
QON=60°，OQ=QN，所以 QON为正三角形．
由勾股定理得
6
OQ=ON2=QN2=DQ2+DN2=2×(
)
2=18
2另一方面，正十二边形面积为
1 r
×12×r× =3r2
2 2
所以阴影部分面积为
3×ON2=3×18=54
37. 如图所示，在边长为 15 厘米的正方形纸片从各顶点起 4 厘米处，沿着 45∘ 角下剪，中
间形成一 个小正方形．这个小正方形的面积为 （平方厘米）．
【答案】 32
【分析】 （解法一）如图，延长小正方形的一边 AB，与大正方形的一边交于 C 点，连接 CD．
△CED 为直角边长为 4cm 的等腰直角三角形，
CD2=CE2+DE2=42+42=32(cm2
)
而 CD 等于小正方形的边长，所以阴影正方形的面积为 32cm2
（解法二）
如图所示，在大正方形中有四个相同的图形，我们可以把它们缺的一角补上（左图），此时得
到了四个相同的等腰直角三角形，且这个等腰直角三角形的斜边为 15cm，然后把这四个等
腰直角三角形拼成一个正方形
（右图），这个正方形的边长刚好为 15cm，恰好与原来的大正方形的边长一样．这说明补
上的四个角，也就是直角边为 4 的四个等腰直角三角形的面积之和恰好等于中间阴影正方形
的面积．每个小等腰直角三角形的面积是
4×4÷2=8(cm2 ).
所以阴影正方形的面积为
8×4=32(cm2 ).
38. 已知：△ABC 中，AB＝13，AC＝15，BC 边上的高 AD＝12，求 △ABC 的面积．
【答案】 84 或 24．
【分析】 需要分两种情况讨论，当高 AD 在三角形 ABC 内部的时候，如左图，此
时由勾股定理，BC=BD+DC=5+9=14，当高 AD 在三角形 ABC 外部的时候，如右图，
此时由勾股定理，BC=CD-CB=9-5=4，再通过三角形的面积公式，△ABC 的面积为
84 或 24．39. 科技小组演示自制的机器人．若机器人从点A向南行走 1.2 米，再向东行走 1 米，接着
又向南行走 1.8 米，再向东行走 2 米．最后又向南行走 1 米到达 B 点．则 A 点与 B 点
的距离是多少米？
【答案】 5 米
【分析】 往南一共走了
1.2+1.8+1=4(米),
一共向东走了
2+1=3(米),
由勾股定理，
AB2=32+42=25=52,
所以
AB=5(米).
40. 计算右图中 BE 的长度．【答案】 13
【分析】 如下图所示，过 B 点作 DE 的垂线，垂足为 G．则 △BGE 为直角三角
形且 AB+BG=EF，则 7+BG=19，BG=12．又 CB=DG=3，且 DG+≥=DE=8，
3+≥=8，¿=5．再根 据勾股定理：BE2=BG2+GE2=132．所以 BE=13．
41. 根据图中所给的条件，求梯形 ABCD 的面积．【答案】 144
【分析】 作 DF⊥BC 于 F，则 DF=AE=12，
在直角三角形 ABE 中，
BE2=AB2-AE2=152=122=81=92,BC=BE+EC=9+10=19,
在直角三角形 DFC 中，
FC2=DC2-DF2=132-122=25=52,
所以 FC=5，AD=CF=CE-FC=10-5=5，
1 1
S = ×(AD+BC)×AE= ×(5+19)×12=144.
ABCD 2 2
42. 如图，小明在广场上先向东走 10 米，又向南走 40 米，再向西走 20 米，又向南走 40
米，再向东走 70 米．求小明到达的终止点与原出发点的距离．
【答案】 100 米
【分析】 小明往南一共走了
40+40=80(米),往东一共走了
70+10-20=60(米),
由勾股定理，
802+602=10000=1002,
距离为 100 米．
43. 如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积．
【答案】 60
【分析】
如图，做 EF⊥AD 于 F，在直角三角形 AED 中，
AD2=AE2+DE2=82+62=100=102,
所以 AD=10，由三角形面积公式，
1 1
S = ×AE×ED= ×EF×AD,
△AED 2 2
所以
AE×ED 6×8 24 1 1 24
EF= = = ,S = ×(AD+BC)×EF= ×(10+15)× =60.
AD 10 5 ABCD 2 2 5
44. 如下图所示，P 是正方形 ABCD 外面一点，PB=12 厘米，△APB 的面积是 90 平方
厘米，△CPB 的面积是 48 平方厘米，请你回答：正方形 ABCD 的面积是多少平方厘米？【答案】 289 平方厘米
【分析】 如下图所示，自 A、C 分别作 PB 的垂线，交延长线于 E、F．则由
△APB 的面积为 90 平方厘米，可得：PB×AE÷2=90，求 得 AE=15 厘米．由 △CPB
面积为 48 平方厘米，可得 PB×CF÷2=48，求得 CF=8 厘米，根据弦图，BE=CF=8
厘米，由勾股定理得 AB2=AE2+BE2=152+82=289(平方厘米)．45. 如图，两个长方形大小相同，长、宽分别是 12 和 8，求阴影部分的面积是多少？
【答案】 略
【分析】 如图，连接 AC，DC=8-7=1；根据勾股定理：
AC2=AD2+DC2=AB2+BC2,
所以
BC2=122+12-82=81,BC=9,
则四边形 ABCD 的面积是
1 1
×12×1+ ×8×9=42,
2 2
阴影部分的面积是
12×8-42=54.
46. 如下图所示，ABCD 为一个长方形，问阴影长方形的面积是多少？【答案】 18
【分析】 阴影部分加上两边的小直角三角形，组成一个平行四边形，由勾股定理可知
平行四边形的较长边的长为 10，所以阴影长方形的宽为 6×5÷10=3，再根据勾股定理可知
小直角三角形的较长直角边长为 4，所以阴影长方形的长为 10-4=6，所以阴影长方形的面
积为 6×3=18．
47. 有一大一小的两个正方形（如下图），对应边之间的距离都是 1 厘米，如果夹在两个正方
形之间部分的面积为 12 平方厘米，那么大正方形的面积是多少？
【答案】 49
【分析】填加辅助线构成弦图的形状，可以知道图中每个长方形的面积为
12÷4=3(平方厘米),
又这个长方形的宽就是原图中的边之间的距离 1 厘米，所以长方形的宽为 3 厘米，因此大
正方形的边长为
1+3=4(厘米),
所以大正方形的面积是
4×4=16(平方厘米).
48. 如下图所示，在直线 l 上的一侧摆放着七个正方形，已知斜放着的3个正方形的面积分别
为 1、3 和 3.5，试确定 S +S +S +S 的值．
1 2 3 4
【答案】 4.5
【分析】 由勾股定理，可知 S +S =1，S +S =3.5，所以 S +S +S +S =4.5．
1 2 3 4 1 2 3 4
49. 如图所示，把长方形 ABCD 的一个角折起来，使得 D 点恰好与 AB 重合于 F．已知
F 点是 AB 边上最靠近 A 的五等分点，且 AF=1．请问：三角形 EDC 的面积等于多少？1
【答案】 4 ．
6
【分析】 由题目条件可知，AB=5，CF=CD=5，在直角 △BCF 中，BF=4，由
勾股定理可得 BC=3．设 ED=x，则 EF=x，AE=3-x，在 △AEF 中，由勾股定理得
5 1 5 1
12+(3-x) 2=x2，解得 x= ，所以 △EDC 的面积为 × ×5=4 ．
3 2 3 6
50. 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5 m，长 13 m，宽 2 m的楼道上铺地毯，已知
地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
【答案】 612 元
【分析】 地毯在水平部分的长度总和为 12 米，总共需要
(12+5)×2×18=612(元).
51. 如下图所示，如果长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米．那么四边形 MNPQ 的面积
是多少平方厘米？【答案】 32.5 平方厘米
【分析】 连线如下图所示，可知四边形内外两部分面积之差为 中间的小长方形的面
积，差为 (5-2)×(6-3)=9(平方厘米)，所以四边形 MNPQ 面积为
(56+9)÷2=32.5(平方厘米)．52. 如图，已知四边形 ABCD 中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四
边形 ABCD 的面积．
【答案】 36
【分析】 连接 AC，在直角三角形 ABC 中，
AC2=AB2+BC2=32+42=52,
所以 AC=5．在三角形 ACD 中，由于
AC2+CD2=25+122=169,
而AB2=132=169,AC2+CD2=AB2,
所以 ∠ACD=90∘．所以
S = S +S
ABCD △ABC △ACD
1 1
= AB×BC+ AC×CD
2 2
1 1
= ×3×4+ ×5×12
2 2
= 36.
53. 下图中的两个滑块 A、B 由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始
时，滑块 A 距 O 点 20 厘米，滑块 B 距 O 点 15 厘米．问：当滑块 A 向下滑到 O
点时，滑块 B 滑动了多少厘米？
【答案】 10 厘米【分析】 由 AB2=AO2+OB2=202+152=252，可知连杆的长度等于 25 厘米．当
滑块 A 向下滑到 O 点时，滑块 B 距 O 点的距离是 25 厘米，故滑块 B 滑动了
25-15=10(厘米)．
54. 分别别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1，S2，S3 表
示，则它们之间的关系是
【答案】 S3+S2=S1
【分析】 根据圆的面积公式，圆的面积与其直径的平方成正比，而在直角三角形
ABC 中，由勾股定理，有
AC2+CB2=AB2,
因此这三个圆的面积也同样满足上述关系，即 S3+S2=S1．
1 65
55. 从一个正方形木板锯下宽为 米的一个木条以后，剩下的面积是 平方米，问据下的
2 18
木条面积是多少平方米？
1
【答案】 1 平方米
12
1 65
【分析】 剩下长方形长宽之差为 米，面积为 平方米，将四块这样的长方形，
2 18
1
拼成下图的大正方形，中心空一个小正方形．这个小正方形的边长是 米．
265 (1) 2 260 1 529
大正方形的面积是： ×4+ = + = (平方米)
18 2 18 4 36
23 23 529 23
因为 × = ，所以大正方形的边长是 米．
6 6 36 6
1
大正方形的边长比原正方形的 2 倍少 米，所以，原正方形的边长是
2
(23 1) 26 13
+ ÷2= ÷2= (米)．
6 2 6 6
13 1 1
锯下的木条面积是 × =1 (平方米)．
6 2 12
56. 一个零件的形状如图所示，已知 AC=3，AB=4，BD=12．求 CD 的长．
【答案】 13
【分析】 在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得
BC2=AC2+AB2=32+42=25，在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得
CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13．57. 如图所示，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为 10 厘
米．求阴影部分的面积．（π 取 3.14）
【答案】 78.5 平方厘米．
【分析】 如图所示，从圆心连结其中一个端点，长度为大圆半径，再从圆心向线段作
垂线，长度为小圆半径，图中的三角形为直角三角形，由勾股定理可得
R2-r2=52=25,
所以图中阴影部分面积为
πR2-πr2=π×(R2-r2)=25π=78.5(平方厘米).
58. 图中有三个大小不同的正方形，其中大正方形的周长比小正方形的周长大 8，大正方形的
面积比中正方形的面积大 12，大正方形的面积是多少？【答案】 49
【分析】 小正方形的边长是两直角边之差，大正方形的边长是两直角边之和，大正方
形的周长与小正方形的周长的差是较短直角边长度的 8 倍，所以较短的直角边的边长为
8÷8=1.
大正方形比中正方形多出 4 个直角三角形，每个直角三角形的面积为
12÷4=3,
则较长的直角边的长度为
3×2÷1=6,
所以大正方形的边长为 6+1=7，大正方形的面积为
7×7=49.
59. 在下图中，线段 AB 是圆 C 的直径，在线段 AB 上作两个半圆 APC 及 CQB．圆
PQR 分别与这三个半圆都相切．若 AB=28 厘米，试求圆 PQR 的半径的长度．
14
【答案】
3
14
【分析】 如下图所示，设小圆半径为 x 厘米，则 (14-x) 2+72=(x+7) 2，x= ．
360. 求下面各三角形中未知边的长度．
【答案】 13；3；8
【分析】 c2=122+52=169，c=13；
a2=52-42=9,a=3；
b2=(262-242)-62=64,a=8
61. 如图是一个直角三角形，沿三角形的斜边旋转一周得到的立体图形的体积是多少？（π 取
3）【答案】 28.8
【分析】 斜边上的高为
12
3×4÷5= ,
5
所以
1 12 144
V = ×π×( ) 2×5= =28.8
3 5 5
62. 任意一个边长超过 10 厘米的正方形纸，从四角的 5 厘米处，用剪刀剪出 45∘ 的角度，
中间便会形成一个小正方形（见下图）．这个小正方形的面积是多少平方厘米？
【答案】 50 平方厘米
【分析】 如下图所示，连接小正方形的对角线，易知右上角三角形面积为小正方形面
1
积的 ，可求得小正方形面积为：5×5÷2×4=50(平方厘米)．
463. 请画一个面积是 5 平方厘米的正方形．
【答案】
【分析】 5=12+22．
64. 如图，求阴影部分的面积．【答案】 24
【分析】 阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为 6 和 8 的半
圆面积减去直径为 10 的半圆的面积，
1 1 (6) 2 1 (8) 2 1 (10) 2
×6×8+ ×π× + ×π× - ×π× =24.
2 2 2 2 2 2 2
注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用．
65. 有一个直角三角形 PQR，直角在 Q 点，以其三边为直径作三个半圆．矩形 STUV 的
各边与半圆相切且平行于 PQ 或 QR，如下图所示．如果 PQ=6 厘米，QR=8 厘米，则
STUV 的面积是多少平方厘米？
【答案】 144
【分析】 由勾股定理得大半圆的直径为 10 厘米，则三个半圆的半径分别为 3 厘米，
4 厘米，5 厘米．可知：SV =3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)．面积为
12×12=144(平方厘米)．66. 从一个正方形的木板上锯下宽 0.5 米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为 5
平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？
【答案】 1.25 平方米．
【分析】
我们可以将四个剩下的长方形这样的木板拼成一个如上图的“弦图”，从图中可以看出，中间
的小正方形的边长就是剩下的长方形的长和宽的差 0.5 米，所以这个小正方形面积是
0.5×0.5=0.25(平方米),
大正方形的面积是
5×4+0.25=20.25(平方米).
所以大正方形的边长是 4.5 米．也就是剩下的长方形的长和宽的和是 4.5 米，这样就可以分
别求出剩下长方形的长为 2.5 米，宽为 2 米，所以锯下的木条的面积是
0.5×2.5=1.25(平方米).
67. 请只用直尺和铅笔在下图网格（每格边长为 1）中画出一个面积为 13 的正方形．【答案】 见解析．
【分析】 由于 13=22+32，利用勾股定理，即可以得到下图正方形 ABCD 面积为
13．
68. 如下图所示，分别以直角三角形的三个边为直径作半圆，这三个半圆交出两个月牙形的区
域（即阴影部分），求这两个月牙形面积之和．【答案】 30
【分析】 因为 ∠ABC=90∘，由勾股定理 AC2=AB2+BC2，又
1 1 1
S = π AC2 ，S = πBC2 ，S = π AB2 ，所以 S =S +S ，那
大半圆 4 中半圆 4 小半圆 4 大半圆 中半圆 小半圆
么
1
S =S +S +S -S =S = ×5×12=30.
月牙 中半圆 小半圆 △ABC 大半圆 △ABC 2
69. 如图所示，一张边长为 18 厘米的正方形纸片，从距离四角 5 厘米处，用剪刀剪出 45∘
的角度，纸片中间会形成一个小正方形．这个小正方形的面积是多少平方厘米？【答案】 50
【分析】 如下图所示添加辅助线．
根据题目中的角度可以推出，图中新产生的小三角形为等腰直角三角形，
它的斜边的平方=52+52=50=图中小正方形边长的平方，因此小正方形的面积为 50
平方厘米．
70. 小强用八个相同的直角三角形，其直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，拼砌成两个中空但
大小不相同的正方形．已知砌得的大正方形的中空部分刚巧能容纳所砌的小正方形，且大小正
方形的中空部分的面积相差是 y 平方厘米，求 y 的值．
【答案】 24
【分析】 本题考査考生对弦图的认识．拼成的大小正方形分别如下左图和右图：3×4
所以面积差为 4 个直角三角形的面积：y= ×4=24．
2
71. 如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 16π，以
AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 12π，那么如果以 AB 为轴旋转一周，
那么所形成的几何体的体积是多少？
【答案】 9.6π
【分析】 设 BC=a，AC=b 那么以 BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为
ab2π a2bπ
，以 AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 ，由此可得到两条等式：
3 3
$\left\{ \begin{gathered}
a{b^2} = 48\hfill \\
{a^2}b = 36\hfill \\
b 4
\end{gathered} \right.$，两条等式相除得到 = ，将这条比例式再代入原来的方程中就能得
a 3
到 $\left\{\begin{gathered}
a = 3 \hfill\\
b = 4 \hfill\\
\end{gathered} \right.$，根据勾股定理，直角三角形的斜边 AB 的长度为 5，那么斜边上的高
为 2.4．如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面
2.42π×5
半径为 2.4，高的和为 5，所以体积是 =9.6π．
3
72. 如图所示，在长方形 ABCD 中，AB=30 厘米，BC=40 厘米，P 为 BC 上一点，
PQ 垂直于 AC，PR 垂直于 BD．求 PQ 与 PR 的长度之和．
【答案】 24 厘米．
【分析】 利用勾股定理可得 AC=50 厘米，所以 OB=OC=25 厘米．而长方形
ABCD 的面积等于 30×40=1200 平方厘米，所以 △BOC 的面积等于
1
×1200=300
4
如图，连结 OP，
观察 △OPB 与 △OPC，它们分别以 OB 和 OC 为底，是一对等底三角形，而对应的高就
是 PR 和 PQ，因此面积和就等于
(OB×PR+OC×PQ)÷2=25×(PR+PQ)÷2=12.5×(PR+PQ),而这个面积和就是 △BOC 的面积，等于 300 平方厘米，所以
12.5×(PR+PQ)=300
由此可得
PR+PQ=300÷12.5=24(厘米).
73. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用
两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米．早晨 8:00 甲先出发，他以 6 千
米/时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午 10:00，甲、
乙二人相距多远？还能保持联系吗？
【答案】 13 千米；能保持联系
【分析】 如图，甲从上午 8:00 到上午 10:00 一共走了 2 小时，走了
6×2=12(千米),
即 AB=12（千米），乙从上午 9:00 到上午 10:00 一共走了 1 小时，走了 5 千米，即
AC=5（千米）．在直角三角形 ABC 中，
AB2=122+52=169,
所以 AB=13（千米），因此，上午 10:00 时，甲、乙两人相距 13 千米．由于 15＞13，
所以甲、乙两人还能保持联系．
74. 求下图正方形的面积，并写出思考过程．【答案】 242 平方厘米
【分析】 如下图所示，延长 BD 与正方形的下边的延长线交于点 C，因为图中的
45∘，我们可知，三角形 ACD 为等腰直角三角形，即 AD=CD=14(厘米)，所以
BC=14+8=22(厘米)，又 ∠C=45∘，则 BC 的长度等于正方形对角线的长度．设正方形
的边长为 a，根据勾股定理，那么 2a2=222，所以正方形的面积为
a2=222÷2=242(平方厘米)．75. 如图，平面上 CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底 AD=23 厘米，下底
BC=35 厘米．求三角形 ADE 的面积．
【答案】 69
【分析】 如下图，作等腰梯形的两个高 AH 和 DH ，
1 2BC-AD 35-23
CH = = =6.
2 2 2
易知，将 △H DC 旋转 90∘ 到 △HDE 的位置．则 A，D，H 三点在一条直线上．
2
EH⊥AH，EH=H C=6 是 △ADE 的底边 AD 上的高．所以，三角形 ADE 的面积为
2
6×23
=69.
2
76. 如下图所示，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC 和 BC 为直径在
△ABC 外作半圆 AEC 和 BFC．当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）
AEC 和 BFC 的面积和最大．
【答案】 当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大．
【分析】 因为 ∠ACB=90∘，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之
和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于 △ABC 的面积，当 C 在弧 AB 中点时，△ABC
中 AB 边上的高最大，从而 △ABC 的面积最大，所以当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分
面积最大．
