文档内容
几何-直线型几何-勾股定理和弦图-2
星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
勾股定理和弦图 B 1.能够理解勾股定理的概念 少考
2.熟练应用勾股定理和弦图来解决
相关的几何问题
知识提要
勾股定理和弦图
勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2
+
AC2
=
BC2
勾股图与弦图4ab
(a+b) 2- =a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2
24ab
(a-b) 2+ =a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2
2
精选例题
勾股定理和弦图
1. 如下图所示的三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 中，最长的是 ．
【答案】 BC
【分析】 根据勾股定理：AB2=22+42=20，AC2=12+52=26，BC2=32+52=34．
显然 BC 最长．
2. 如图，AE⊥AB 且 AE＝AB，BC⊥CD 且 BC＝CD，那么，按照图中所标注的数
据，图中实线所围成的图形面积为 ．【答案】 40.5
【分析】 由弦图知：
AF=2,AG=6,CG=3,CH=2,
则
FH=2+6+3+2=13,
梯形 EFHD 的面积为
(6+3)×13÷2=58.5,
原图形面积为
58.5-(2×6+2×3)=40.5.
3. 如下图所示，加油站 A 和商店 B 在马路的 MN 同一侧，A 到 MN 的距离为 5 米，
B 到 MN 的距离为 3 米，DC=6 米．行人 P 在马路 MN 上行走．问：当 P 到 A 的
距离和 P 到 B 的距离之和最小时，这个和最小等于 米．
【答案】 10
【分析】 如下图所示，关于直线 MN 作 B 的对称点 Bʹ，那么可知 PBʹ=PB，所
以 PA+PB=PA+PBʹ，那么当 A、Bʹ、P 共线时，距离之和最小，因为 CD=6，
DA+CBʹ=5+3=8，那么根据勾股定理可得此时距离和为 10 米．4. 有一个直角边为 1 和 1 的直角三角形，以它的斜边和 1 为直角边，向外作另一个直角三
角形．重复以上操作，如下图．求第 1023 个直角三角形的斜边长度是 ．
第 个直角三角形的斜边长度是 17．
【答案】 32；288
【分析】 第 n 个直角三角形的斜边长度的平方为 n+1，1023+1=1024=322，
172=289=1+288
5. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条
“路”，他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草．【答案】 5
【分析】 依题意，这条路和长方形花圃的两条边恰好形成一个直角三角形，由勾股定
理可以计算出，这条路的长度为 5m．少走了 3+4-5=2(km)
6. 如下图所示，已知长方形长是宽的 2 倍，对角线的长是 9，则长方形的面积是
．
【答案】 32.4
【分析】 可以根据勾股定理进行分析：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的
平方．因为长方形的长是宽的 2 倍，设长方形的宽为 a，那么长用 2a 来表示，长方形的面
81
积可以用 2a×a 来表示．根据勾股定理，2a×2a+a×a=9×9，得出 a×a= ，那么长
5
81 162
方形的面积等于 ×2= =32.4．
5 5
7. 如下图所示，两个正方形 ABCD 和 DEFG 的边长都是整数厘米，点 E 在线段 CD 上，
且 CE
