文档文本内容
专题 2.2 圆心角、弧、弦之间的关系（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)............................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:19)....................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:19)................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:42)(cid:29)(cid:44)(cid:19)................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:42)(cid:31)(cid:44)(cid:19)................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:19)................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:42)(cid:47)(cid:43)(cid:19)................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:48)(cid:49)(cid:19)....................................................................................................9
知识点1 圆的对称性
1. (cid:22)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:22)(cid:28)(cid:50)(cid:55)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:28)(cid:56)
2. (cid:22)(cid:50)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:58)(cid:22)(cid:28)(cid:23)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:50)(cid:55)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:56)
3. (cid:22)(cid:23)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:68)(cid:22)(cid:69)(cid:22)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:70)(cid:29)(cid:44)(cid:54)(cid:71)(cid:72)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:77)(cid:78)(cid:54)(cid:71)(cid:79)(cid:22)(cid:50)(cid:80)(cid:81)(cid:23)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:22)(cid:28)
(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:28)(cid:56)
知识点2 弧、弦、圆心角
1. (cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:23)(cid:3)(cid:35)
(cid:84)(cid:85)(cid:10)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:90)(cid:89)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:31)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:32)(cid:91)(cid:90)(cid:89)(cid:56)
(cid:101) =
如图，① =
𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:102)AB =CD
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷⇒
(cid:92)(cid:39)(cid:10)(cid:93)1(cid:94)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:62)(cid:31)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:98)(cid:99)(cid:55)(cid:100)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:32)(cid:90)(cid:89)(cid:56)① =
如上图，(cid:101) =
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷
(cid:102)AB =CD
𝐴𝐵 𝐶𝐷⇒
(cid:93)2(cid:94)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:62)(cid:32)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:98)(cid:99)(cid:55)(cid:100)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:103)(cid:31)(cid:104)(cid:105)(cid:31)(cid:106)(cid:107)(cid:90)(cid:89)(cid:56)
① =
如上图，(cid:102)AB =
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷
CD = (cid:104) =
⇒
②𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐷𝐵 𝐶𝐵𝐷
(cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:82)(cid:92)(cid:39)(cid:108)(cid:109)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:70)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:97)(cid:62)(cid:31)(cid:93)(cid:87)(cid:110)(cid:103)(cid:31)(cid:88)(cid:105)(cid:31)(cid:94)(cid:30)
(cid:97)(cid:62)(cid:32)(cid:51)(cid:111)(cid:61)(cid:112)(cid:113)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:98)(cid:99)(cid:55)(cid:100)(cid:71)(cid:24)(cid:114)(cid:23)(cid:83)(cid:115)(cid:97)(cid:112)(cid:113)(cid:65)(cid:106)(cid:107)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:116)(cid:25)“(cid:109)(cid:61)(cid:92)(cid:118)”(cid:56)
2. (cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:74)(cid:55)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:31)(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:90)(cid:89)(cid:56)
【题型1 圆的对称性】
(cid:15)(cid:121)1(cid:19)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:40)(cid:122)(cid:53)(cid:23)(cid:123)(cid:70)(cid:124)(cid:125)(cid:86)(cid:63)(cid:126)(cid:110)4(cid:23)(cid:127)(cid:22)(cid:22)(cid:47)(cid:128)(cid:54)(cid:123)(cid:62)(cid:129)(cid:74)(cid:130)(cid:22)(cid:65)(cid:90)(cid:131)(cid:54) (cid:54) (cid:58)(cid:22)(cid:28) (cid:54)(cid:132)
(cid:54)(cid:133)(cid:52)(cid:51)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:106)(cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:50)( ) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝑂
𝐴𝐵 A ⊥ (cid:56) 𝐶𝐷4 B(cid:56)2 C(cid:56) D(cid:56)
2
𝜋
π π π
(cid:15)(cid:137)(cid:138)1-1(cid:19)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:23)(cid:50)(cid:93) (cid:94)
A(cid:56)(cid:22)(cid:145)(cid:50)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:146)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53) B(cid:56)(cid:22)(cid:69)(cid:147)(cid:55)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:29)(cid:44)(cid:54)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:148)(cid:149)(cid:77)(cid:78)
C(cid:56)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:111)(cid:150)(cid:120)(cid:62)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:28)(cid:151)(cid:111)(cid:61)(cid:70) D(cid:56)(cid:22)(cid:23)(cid:152)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:126)(cid:65)(cid:50)(cid:55)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:57)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)1-2(cid:19)(cid:139)(cid:52)(cid:51)(cid:54)(cid:152)(cid:153)(cid:122)(cid:154)(cid:155)(cid:128)(cid:65)(cid:156)(cid:111)(cid:61)(cid:70)(cid:22)(cid:54)(cid:151)(cid:157)(cid:143)(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:23)(cid:63)(cid:160)(cid:161)(cid:73)(cid:144)(cid:84)(cid:22)(cid:28)(cid:162)(cid:163)(cid:23)(cid:50)( )
A. B. C. D.
(cid:15)(cid:137)(cid:138)1-3(cid:19)(cid:93)22-23(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:94)(cid:86) O(cid:51)(cid:111)(cid:97)(cid:70)(cid:173)(cid:29)(cid:53)(cid:10) (cid:104) (cid:54)(cid:125)A(cid:54)B(cid:54)C(cid:54)D
(cid:174)(cid:175)(cid:86) O(cid:128)(cid:54)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:176)(cid:56)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:70)(cid:173)(cid:29)(cid:53)(cid:3)(cid:179)(cid:58)⊙(cid:125)O(cid:23)(cid:63)(cid:64)l(cid:180)(cid:57)(cid:24)(cid:25)△(cid:54)(cid:133)𝐴𝑂(cid:125)𝐵B(cid:3)△(cid:179)𝐶𝑂(cid:63)𝐷(cid:64)l(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:125)
(cid:50) ⊙ (cid:56)【题型2 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】
(cid:15)(cid:121)2(cid:19)(cid:93)2023(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:139)·(cid:181)(cid:182)·(cid:183)(cid:20)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) O(cid:51)(cid:54) (cid:50)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:125)C(cid:54)D(cid:54)E(cid:86)(cid:22)(cid:128)(cid:54) =2(cid:54)
=6(cid:54) =8(cid:54) =10(cid:56)(cid:79)(cid:139)(cid:38)(cid:39)(cid:10)① = ⊙(cid:186)② 𝐴=𝐵 (cid:186)③ + = (cid:186)④ 𝐴𝐶+ =
𝐴𝐷 (cid:54)(cid:83)(cid:51)𝐴𝐸(cid:40)(cid:144)(cid:38)(cid:39)𝐴𝐵(cid:23)(cid:70)(cid:120)(cid:50)(cid:93) (cid:94) 𝐴𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸
𝐴𝐷𝐵
A(cid:56)4(cid:70) B(cid:56)3(cid:70) C(cid:56)2(cid:70) D(cid:56)1(cid:70)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)2-1(cid:19)(cid:93)23-24(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:187)(cid:16)(cid:188)(cid:189)(cid:190)·(cid:191)(cid:192)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:51)(cid:54)(cid:40)(cid:144)(cid:23)(cid:50)(cid:93) (cid:94)
A(cid:56)(cid:43)(cid:44)(cid:90)(cid:89)(cid:23)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:31) B(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:32)(cid:90)(cid:89)(cid:133)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:31)(cid:90)(cid:89)
C(cid:56)(cid:103)(cid:31)(cid:61)(cid:84)(cid:193)(cid:105)(cid:31)(cid:43) D(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:133)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:32)(cid:90)(cid:89)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)2-2(cid:19)(cid:93)24-25(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:181)(cid:182)·(cid:194)(cid:171)(cid:195)(cid:196)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) (cid:51)(cid:54)(cid:197)(cid:198) =2 (cid:54)(cid:133)(cid:139)(cid:140)(cid:24)(cid:32) (cid:74)(cid:32) (cid:127)
(cid:130)(cid:3)(cid:35)(cid:199)(cid:200)(cid:40)(cid:144)(cid:23)(cid:50)(cid:93) (cid:94) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷
A(cid:56) > B(cid:56) < C(cid:56) = D(cid:56)(cid:150)(cid:142)(cid:144)(cid:84)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)𝐴2𝐵-3(cid:19)(cid:95)2𝐶(cid:52)𝐷(cid:54)(cid:125)A(cid:54)𝐴B(cid:54)𝐵 C(cid:54)2𝐶D𝐷(cid:50) O(cid:128)(cid:23)(cid:123)𝐴(cid:70)𝐵(cid:125)(cid:54)2𝐶(cid:132)𝐷 = (cid:54)OE AB(cid:54)OF CD(cid:54)(cid:133)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:39)(cid:201)(cid:41)
(cid:23)(cid:50)(cid:93) (cid:94) ⊙ 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ⊥ ⊥
A(cid:56) = B(cid:56) = C(cid:56) = D(cid:56) =
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝑂𝐸 𝑂𝐹 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐶【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】
(cid:15)(cid:121)3(cid:19)(cid:93)2025·(cid:202)(cid:203)(cid:78)(cid:204)·(cid:118)(cid:205)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:22)(cid:51)(cid:97)(cid:62)(cid:32) (cid:30) (cid:90)(cid:206)(cid:179)(cid:125)E(cid:54)(cid:83)(cid:51)(cid:97)(cid:62)(cid:105)(cid:31) (cid:30) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:106)(cid:107)
(cid:110)60°(cid:30)120°(cid:54)(cid:22)O(cid:23)(cid:207)(cid:126)(cid:110)5(cid:54) =8(cid:54)(cid:133) (cid:23)(cid:43)𝐴𝐵(cid:110) 𝐶 𝐷 (cid:56) 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:137)(cid:138)3-1(cid:19)(cid:93)24-25(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:171)(cid:51)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54) (cid:50) (cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:123)(cid:129)(cid:53) (cid:212)(cid:213)(cid:179) (cid:54)(cid:177)
= = =6(cid:54)(cid:133) (cid:23)(cid:63)(cid:126) (cid:110) (cid:56) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊙𝑂
𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐴 ⊙𝑂 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:137)(cid:138)3-2(cid:19)(cid:93)24-25(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:214)(cid:209)(cid:215)(cid:216)·(cid:171)(cid:172)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:176)(cid:54)(cid:86)(cid:217)(cid:53) (cid:51)(cid:54) =90°(cid:54)(cid:207)(cid:126) =4(cid:54)(cid:125)
F(cid:86) (cid:128)(cid:54)(cid:132) =2 (cid:56)(cid:125)C(cid:30)D(cid:106)(cid:107)(cid:86)(cid:64)(cid:192) (cid:30) (cid:128)(cid:54) =4𝑂(cid:54)𝐴E𝐵(cid:110) ∠(cid:23)𝐴𝑂(cid:51)𝐵(cid:125)(cid:54)(cid:188)(cid:213) (cid:56)𝑂(cid:86)𝐴 (cid:218)(cid:219)(cid:58)
(cid:220)(cid:51)𝐴(cid:93)𝐵 (cid:43)(cid:44)𝐵(cid:221)𝐹(cid:222)(cid:223)𝐴(cid:224)𝐹(cid:143)(cid:137)(cid:94)(cid:54)(cid:225) (cid:226)(cid:227)(cid:130)(cid:228)𝑂(cid:229)𝐴(cid:54)𝑂𝐵(cid:23)(cid:43)𝐶(cid:110)𝐷 (cid:56) 𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐶𝐷
𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:137)(cid:138)3-3(cid:19)(cid:93)2024(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:139)·(cid:230)(cid:187)·(cid:183)(cid:20)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125) (cid:54) (cid:54) (cid:86)(cid:207)(cid:126)(cid:43)(cid:110)4(cid:23) (cid:128)(cid:54)(cid:125) (cid:54) (cid:106)(cid:107)(cid:50)(cid:32)
(cid:54)(cid:32) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)(cid:188)(cid:213) (cid:54)(cid:177)(cid:31) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)70°(cid:54)(cid:31) 𝐴(cid:23)(cid:44)𝐵(cid:120)𝐶(cid:110)50°(cid:54)(cid:133) (cid:23)(cid:43)⊙(cid:44)𝑂(cid:110) 𝐷 𝐸(cid:56)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐸【题型4 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】
(cid:15)(cid:121)4(cid:19)(cid:93)23-24(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:139)·(cid:181)(cid:182)·(cid:231)(cid:232)(cid:195)(cid:196)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54) (cid:233)(cid:58)(cid:234)(cid:129)(cid:53) (cid:23)(cid:123)(cid:70)(cid:124)(cid:125)(cid:54)(cid:177)
= = =60°(cid:54) (cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)⊙(cid:23)𝑂(cid:44)(cid:120)(cid:110) 𝑂𝐴°𝐵(cid:56)𝐶𝐷
∠𝐴𝑂𝐷 150°,∠𝐴 65°,∠𝐷 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:138)4-1(cid:19)(cid:93)24-25(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:209)·(cid:191)(cid:192)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54) = = (cid:54)(cid:238)(cid:109) (cid:50) (cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54)
=35°(cid:54)(cid:98)(cid:99) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:50)(cid:93) (cid:94) 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐵 ⊙𝑂
∠𝐶𝑂𝐷 ∠𝐴𝑂𝐸
A(cid:56)40° B(cid:56)70° C(cid:56)75° D(cid:56)105°
(cid:15)(cid:137)(cid:138)4-2(cid:19)(cid:93)24-25(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:208)(cid:239)(cid:240)(cid:241)·(cid:171)(cid:172)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54) (cid:50)(cid:207)(cid:22)(cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:125) (cid:54) (cid:86)(cid:207)(cid:22)(cid:128)(cid:54)(cid:132) = (cid:54)
(cid:177) =56°(cid:54)(cid:133)(cid:31) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110) °(cid:56) 𝐵𝐶 𝐴 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∠𝐵 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:137)(cid:138)4-3(cid:19)(cid:93)2025·(cid:189)(cid:216)(cid:242)(cid:243)·(cid:173)(cid:205)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125)A(cid:54)B(cid:54)C(cid:86) (cid:128)(cid:54)C(cid:50) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)(cid:177) =160°(cid:54)(cid:133)
(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:50)(cid:93) (cid:94) ⊙𝑂 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝑂𝐴𝐶
A(cid:56)10° B(cid:56)40° C(cid:56)50° D(cid:56)60°【题型5 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】
(cid:15)(cid:121)5(cid:19)(cid:93)24-25(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:187)(cid:16)(cid:244)(cid:245)·(cid:191)(cid:192)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:86)(cid:207)(cid:126)(cid:110)1(cid:23) O(cid:51)(cid:54)(cid:32) (cid:23)(cid:43)(cid:110)1(cid:54)(cid:133)(cid:32) (cid:71)(cid:24)(cid:31)(cid:23)(cid:44)
(cid:120) (cid:56) ⊙ 𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:137)(cid:138)5-1(cid:19)(cid:93)2023·(cid:187)(cid:16)(cid:244)(cid:245)·(cid:205)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:238)(cid:109) (cid:50) (cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54) = = (cid:54) =42°(cid:54)(cid:98)
(cid:99)(cid:31) (cid:44)(cid:120)(cid:89)(cid:179) (cid:56) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 ∠𝐵𝑂𝐶
𝐴𝐸
(cid:15)(cid:137)(cid:138)5-2(cid:19)(cid:93)24-25(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:187)(cid:16)(cid:249)(cid:250)·(cid:191)(cid:192)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) (cid:51)(cid:54) =90°(cid:54)(cid:79)O(cid:110)(cid:22)(cid:28)(cid:54) (cid:43)
(cid:110)(cid:207)(cid:126)(cid:195) (cid:54)(cid:106)(cid:107)(cid:206) (cid:30) (cid:179)C(cid:30)D．(cid:177) =40°(cid:54)(cid:133) (cid:23)△(cid:44)𝐴𝐵(cid:120)𝑂(cid:50)(cid:93) ∠ 𝐴(cid:94)𝑂𝐵 𝑂𝐴
⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐵𝑂 ∠𝐵 𝐶𝐷
A(cid:56)10° B(cid:56)20° C(cid:56)30° D(cid:56)40°
(cid:15)(cid:137)(cid:138)5-3(cid:19)(cid:93)23-24(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:187)(cid:16)(cid:251)(cid:236)·(cid:191)(cid:192)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:238)(cid:109) (cid:30) (cid:50) (cid:23)(cid:97)(cid:62)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:132)
=50°(cid:54)(cid:58)(cid:125) (cid:195) (cid:206) (cid:179)(cid:125) (cid:54)(cid:133)(cid:31) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110) 𝐴 𝐵 𝐶𝐷(cid:56) ⊙𝑂
∠𝐴𝑂𝐶 𝐴 𝐴𝐸∥𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐸 𝐴𝐸
【题型6 由圆心角、弧、弦之间的关系求面积】
(cid:15)(cid:121)6(cid:19)(cid:93)22-23(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:187)(cid:16)(cid:16)(cid:236)·(cid:191)(cid:192)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)A(cid:54)B(cid:50) (cid:128)(cid:23)(cid:125)(cid:54) =120°(cid:54)C(cid:50) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)
(cid:177) (cid:23)(cid:207)(cid:126)(cid:110)2(cid:54)(cid:133)(cid:123)(cid:129)(cid:53)ACBO(cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:93)(cid:252)(cid:252)(cid:94) ⊙𝑂 ∠𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐵
⊙𝑂A(cid:56) 3 B(cid:56)2 C(cid:56)4 D(cid:56)2 3
(cid:15)(cid:137)(cid:138)6-1(cid:19)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125) (cid:54) (cid:54) (cid:54) (cid:65)(cid:86) (cid:128)(cid:54)(cid:22)(cid:23)(cid:207)(cid:126)(cid:110)2(cid:54)(cid:132) = =2(cid:54) = (cid:54)(cid:133)(cid:253)
=(cid:93) (cid:94)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ⊙𝑂 𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷
四边形
𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:56)4 3 B(cid:56)2 3 C(cid:56)3 3 D(cid:56)6
(cid:15)(cid:137)(cid:138)6-2(cid:19)(cid:93)23-24(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:230)(cid:187)(cid:254)(cid:236)·(cid:171)(cid:51)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125)A(cid:54)B(cid:54)C(cid:86) (cid:128)(cid:54)(cid:255)(cid:175)(cid:188)(cid:38) (cid:54) (cid:54) (cid:54)(cid:132)
=210°(cid:54) =150°(cid:54) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐴
𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶
(1)(cid:42) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:186)
(2)(cid:177)∠𝐵𝐴𝐶(cid:23)(cid:207)(cid:126)(cid:110)3(cid:56)(cid:42) (cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:56)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)⊙6𝑂-3(cid:19)(cid:93)24-25(cid:164)(cid:165)(cid:166)△(cid:128)𝐴𝐵·(cid:256)𝐶(cid:257)(cid:258)(cid:259)·(cid:171)(cid:51)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) (cid:51)(cid:54) (cid:110) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54) (cid:179)(cid:125) (cid:54)
(cid:179)(cid:125) (cid:56) ⊙𝑂 𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷⊥𝑂𝐴 𝐷 𝐶𝐸⊥𝑂𝐵
𝐸
(1)(cid:42)(cid:48)(cid:10) = (cid:56)
(2)(cid:177) 𝐶𝐷=12𝐶0𝐸°(cid:54) =6(cid:54)(cid:42)(cid:123)(cid:129)(cid:53) (cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:56)
∠𝐴𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝐷𝑂𝐸𝐶【题型7 由圆心角、弧、弦之间的关系求周长】
(cid:15)(cid:121)7(cid:19)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125) ~ (cid:50) (cid:23)(cid:260)(cid:89)(cid:106)(cid:125)(cid:56)(cid:177) (cid:54)(cid:123)(cid:129)(cid:53) (cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:106)(cid:107)(cid:110)a(cid:54)b(cid:54)(cid:133)(cid:139)(cid:140)(cid:40)
(cid:144)(cid:23)(cid:50)( ) 𝑃1 𝑃8 ⊙𝑂 △𝑃1𝑃3𝑃7 𝑃3𝑃4𝑃6𝑃7
A(cid:56) < B(cid:56) = C(cid:56) > D(cid:56)a(cid:54)b(cid:127)(cid:130)(cid:150)(cid:142)(cid:193)(cid:261)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)7𝑎-1(cid:19)𝑏(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:238)(cid:109) 𝑎O(cid:23)𝑏(cid:207)(cid:126)(cid:89)(cid:179)2cm(cid:54)AB𝑎(cid:50)(cid:63)𝑏(cid:126)(cid:54)C(cid:54)D(cid:50) O(cid:128)(cid:23)(cid:97)(cid:125)(cid:54)(cid:132) = = (cid:54)(cid:133)
(cid:123)(cid:129)(cid:53)ABCD(cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:89)(cid:179)⊙(cid:93)(cid:252)(cid:252)(cid:94) ⊙ 𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵
A(cid:56)8cm B(cid:56)10cm C(cid:56)12cm D(cid:56)16cm
(cid:15)(cid:137)(cid:138)7-2(cid:19)(cid:93)2022·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:63)(cid:265)(cid:266)(cid:166)(cid:267)(cid:162)·(cid:118)(cid:205)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:176)(cid:54)A(cid:30)B(cid:50)(cid:207)(cid:126)(cid:110)2(cid:23) (cid:128)(cid:23)(cid:97)(cid:125)(cid:54)(cid:177)
=120°(cid:54)(cid:125)C(cid:50)(cid:31) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)(cid:133)(cid:123)(cid:129)(cid:53) (cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:110) (cid:56) ⊙𝑂
∠𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝑂𝐵𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:138)7-3(cid:19)(cid:93)2024·(cid:268)(cid:216)(cid:269)(cid:270)(cid:271)·(cid:173)(cid:205)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:217)(cid:53) (cid:51)(cid:54) =90°(cid:54) =2(cid:54)C(cid:110) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54) (cid:110)
(cid:128)(cid:61)(cid:125)(cid:54)(cid:132)2 = (cid:54)(cid:188)(cid:213) (cid:54) (cid:54)(cid:86) (cid:69)(cid:125) (cid:66)𝐴(cid:67)𝑂(cid:23)𝐵(cid:58)(cid:220)∠(cid:51)𝐴(cid:54)𝑂(cid:225)𝐵 (cid:226)(cid:227)(cid:130)𝐵𝑂(cid:228)(cid:229)(cid:54) 𝐵(cid:23)𝑂(cid:47)(cid:43)(cid:110) 𝐷 (cid:56)
𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝑂𝐶 𝑂 𝐶𝐷 △𝐴𝐶𝑂【题型8 由圆心角、弧、弦之间的关系证明】
(cid:15)(cid:121)8(cid:19)(cid:93)24-25(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:139)·(cid:272)(cid:239)(cid:273)(cid:274)·(cid:191)(cid:192)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)D(cid:54)E(cid:106)(cid:107)(cid:50) (cid:23)(cid:207)(cid:126) (cid:54) (cid:128)(cid:23)(cid:125)(cid:54)(cid:132) (cid:54)
☉
(cid:54)(cid:275)(cid:198)(cid:106)(cid:107)(cid:110)D(cid:54)E(cid:54) = (cid:56)(cid:42)(cid:48)(cid:10) = (cid:56) 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐶𝐷⊥𝑂𝐴
𝑂
𝐶𝐸⊥𝑂𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐶𝐵
(cid:15)(cid:137)(cid:138)8-1(cid:19)(cid:93)2024(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:181)(cid:182)·(cid:183)(cid:20)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) (cid:51)(cid:54)(cid:207)(cid:126) (cid:54) (cid:106)(cid:107)(cid:206)(cid:32) (cid:179)(cid:125)E(cid:54)F(cid:54)(cid:132)
= (cid:56)(cid:42)(cid:48)(cid:10) ⊙𝑂 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝐴𝐵
𝐴𝐹 𝐵𝐸
(1) = (cid:186)
(2)𝑂𝐸= 𝑂𝐹(cid:56)
(cid:15)(cid:137)𝐴𝐶(cid:138)8𝐵-2𝐷(cid:19)(cid:93)23-24(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:187)(cid:16)(cid:276)(cid:187)·(cid:191)(cid:192)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:176)(cid:54)(cid:79) (cid:23)(cid:124)(cid:125)A(cid:110)(cid:22)(cid:28)(cid:54) (cid:110)(cid:207)(cid:126)(cid:195)(cid:22)(cid:54)
(cid:106)(cid:107)(cid:206) (cid:54) (cid:179)(cid:125)E(cid:54)F(cid:54)(cid:277)(cid:43) (cid:206) (cid:179)G(cid:56) ▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐴 ⊙𝐴
(1)(cid:42)(cid:48)(cid:10) = (cid:186)
(2)(cid:177)(cid:105)(cid:31)𝐺𝐸(cid:71)(cid:24)𝐸𝐹(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)70°(cid:54)(cid:42) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:56)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)8-3𝐵(cid:19)𝐹(cid:93)24-25(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:128)·(cid:187)(cid:16)(cid:188)(cid:189)(cid:190)∠·𝐶(cid:191)(cid:192)(cid:184)(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) (cid:51)(cid:54)(cid:125) (cid:50)(cid:103)(cid:31) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54) (cid:30) (cid:106)(cid:107)
(cid:50) (cid:30) (cid:128)(cid:23)(cid:125)(cid:54)(cid:132) = (cid:54)(cid:32) (cid:30) (cid:106)(cid:107)(cid:58)(cid:125) (cid:30) (cid:56) ⊙𝑂 𝐶 𝐴𝐶𝐵 𝐷 𝐸
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝑀 𝐶𝑁 𝐷 𝐸(1)(cid:42)(cid:48)(cid:10) = (cid:186)
(2) (cid:104) 𝐶𝐷(cid:23)(cid:43)𝐶(cid:44)𝐸(cid:90)(cid:89)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:141)(cid:49)(cid:85)(cid:27)(cid:56)
𝐴𝑀 𝐵𝑁
