专题 2.2 圆心角、弧、弦之间的关系（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)............................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:19)....................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:19)................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:42)(cid:29)(cid:44)(cid:19)..............................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:42)(cid:31)(cid:44)(cid:19)..............................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:19)..............................................................................................17
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:42)(cid:47)(cid:43)(cid:19)..............................................................................................22
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:48)(cid:49)(cid:19)..................................................................................................26
知识点1 圆的对称性
1. (cid:22)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:22)(cid:28)(cid:50)(cid:55)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:28)(cid:56)
2. (cid:22)(cid:50)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:58)(cid:22)(cid:28)(cid:23)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:50)(cid:55)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:56)
3. (cid:22)(cid:23)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:68)(cid:22)(cid:69)(cid:22)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:70)(cid:29)(cid:44)(cid:54)(cid:71)(cid:72)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:77)(cid:78)(cid:54)(cid:71)(cid:79)(cid:22)(cid:50)(cid:80)(cid:81)(cid:23)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:22)(cid:28)
(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:28)(cid:56)
知识点2 弧、弦、圆心角
1. (cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:23)(cid:3)(cid:35)
(cid:84)(cid:85)(cid:10)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:90)(cid:89)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:31)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:32)(cid:91)(cid:90)(cid:89)(cid:56)
(cid:101) =
如图，① =
𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:102)AB =CD
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷⇒
(cid:92)(cid:39)(cid:10)(cid:93)1(cid:94)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:62)(cid:31)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:98)(cid:99)(cid:55)(cid:100)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:32)(cid:90)(cid:89)(cid:56)① =
如上图，(cid:101) =
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷
(cid:102)AB =CD
𝐴𝐵 𝐶𝐷⇒
(cid:93)2(cid:94)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:62)(cid:32)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:98)(cid:99)(cid:55)(cid:100)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:103)(cid:31)(cid:104)(cid:105)(cid:31)(cid:106)(cid:107)(cid:90)(cid:89)(cid:56)
① =
如上图，(cid:102)AB =
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷
CD
= (cid:104) =
⇒
②𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐷𝐵 𝐶𝐵𝐷
(cid:27)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:82)(cid:92)(cid:39)(cid:108)(cid:109)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:70)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:97)(cid:62)(cid:31)(cid:93)(cid:87)(cid:110)(cid:103)(cid:31)(cid:88)(cid:105)(cid:31)(cid:94)(cid:30)
(cid:97)(cid:62)(cid:32)(cid:51)(cid:111)(cid:61)(cid:112)(cid:113)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:98)(cid:99)(cid:55)(cid:100)(cid:71)(cid:24)(cid:114)(cid:23)(cid:83)(cid:115)(cid:97)(cid:112)(cid:113)(cid:65)(cid:106)(cid:107)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:116)(cid:25)“(cid:109)(cid:61)(cid:92)(cid:118)”(cid:56)
2. (cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:74)(cid:55)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:31)(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:90)(cid:89)(cid:56)
【题型1 圆的对称性】
(cid:15)(cid:121)1(cid:19)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:40)(cid:122)(cid:53)(cid:23)(cid:123)(cid:70)(cid:124)(cid:125)(cid:86)(cid:63)(cid:126)(cid:110)4(cid:23)(cid:127)(cid:22)(cid:22)(cid:47)(cid:128)(cid:54)(cid:123)(cid:62)(cid:129)(cid:74)(cid:130)(cid:22)(cid:65)(cid:90)(cid:131)(cid:54) (cid:54) (cid:58)(cid:22)(cid:28) (cid:54)(cid:132)
(cid:54)(cid:133)(cid:52)(cid:51)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:106)(cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:50)( ) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝑂
𝐴𝐵⊥𝐶𝐷
A(cid:56)4 B(cid:56)2 C(cid:56) D(cid:56)
2
𝜋
π π π
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)C
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:27)(cid:140)(cid:22)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:106)(cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:89)(cid:140)(cid:127)(cid:22)(cid:23)(cid:123)(cid:106)(cid:33)(cid:61)(cid:54)(cid:141)(cid:108)(cid:42)(cid:142)(cid:56)
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:27)(cid:140)(cid:22)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:106)(cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:89)(cid:140)(cid:127)(cid:22)(cid:23)(cid:123)(cid:106)(cid:33)(cid:61)(cid:56)
(cid:144)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:106)(cid:23)(cid:45)(cid:46)= 1 ×π×4=π(cid:56)
4
(cid:144)(cid:145)(cid:10)C(cid:56)
(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:22)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:22)(cid:45)(cid:46)(cid:7)(cid:151)(cid:42)(cid:142)(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)1-1(cid:19)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:40)(cid:158)(cid:23)(cid:50)(cid:93) (cid:94)
A(cid:56)(cid:22)(cid:159)(cid:50)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:160)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53) B(cid:56)(cid:22)(cid:69)(cid:161)(cid:55)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:29)(cid:44)(cid:54)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:162)(cid:163)(cid:77)(cid:78)
C(cid:56)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:111)(cid:164)(cid:120)(cid:62)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:28)(cid:165)(cid:111)(cid:61)(cid:70) D(cid:56)(cid:22)(cid:23)(cid:166)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:126)(cid:65)(cid:50)(cid:55)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:57)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)D
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:167)(cid:168)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:84)(cid:169)(cid:10)(cid:170)(cid:61)(cid:70)(cid:52)(cid:53)(cid:69)(cid:171)(cid:61)(cid:125)(cid:66)(cid:67)180°(cid:54)(cid:95)(cid:96)(cid:66)(cid:67)(cid:172)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:77)
(cid:78)(cid:54)(cid:98)(cid:99)(cid:173)(cid:70)(cid:52)(cid:53)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:177)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:84)(cid:169)(cid:10)(cid:95)(cid:96)(cid:61)(cid:70)(cid:52)(cid:53)(cid:178)(cid:161)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:24)(cid:179)(cid:172)(cid:97)(cid:136)(cid:106)(cid:180)
(cid:181)(cid:77)(cid:78)(cid:54)(cid:173)(cid:182)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:175)(cid:176)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:56)
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)A(cid:56)(cid:22)(cid:159)(cid:50)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:160)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:183)(cid:155)(cid:156)(cid:40)(cid:158)(cid:54)(cid:144)A(cid:157)(cid:78)(cid:20)(cid:60)(cid:177)
B(cid:56)(cid:22)(cid:69)(cid:161)(cid:55)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:29)(cid:44)(cid:54)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:162)(cid:163)(cid:77)(cid:78)(cid:54)(cid:155)(cid:156)(cid:40)(cid:158)(cid:54)(cid:144)B(cid:157)(cid:78)(cid:20)(cid:60)(cid:177)C(cid:56)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:111)(cid:164)(cid:120)(cid:62)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:28)(cid:165)(cid:111)(cid:61)(cid:70)(cid:54)(cid:155)(cid:156)(cid:40)(cid:158)(cid:54)(cid:144)C(cid:157)(cid:78)(cid:20)(cid:60)(cid:177)
D(cid:56)(cid:22)(cid:23)(cid:166)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:126)(cid:71)(cid:86)(cid:23)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:50)(cid:55)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:54)(cid:75)(cid:155)(cid:156)(cid:184)(cid:41)(cid:54)(cid:144)D(cid:185)(cid:78)(cid:20)(cid:60)(cid:56)
(cid:144)(cid:145)(cid:10)D(cid:56)
(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:51)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:74)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:190)(cid:191)(cid:54)(cid:40)(cid:158)(cid:192)(cid:193)(cid:90)(cid:3)(cid:84)(cid:169)(cid:50)(cid:142)(cid:20)(cid:3)(cid:194)(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)1-2(cid:19)(cid:153)(cid:52)(cid:51)(cid:54)(cid:166)(cid:195)(cid:122)(cid:196)(cid:197)(cid:128)(cid:65)(cid:198)(cid:111)(cid:61)(cid:70)(cid:22)(cid:54)(cid:165)(cid:149)(cid:157)(cid:199)(cid:200)(cid:44)(cid:23)(cid:63)(cid:201)(cid:174)(cid:73)(cid:158)(cid:84)(cid:22)(cid:28)(cid:202)(cid:203)(cid:23)(cid:50)( )
A. B. C. D.
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)D
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:22)(cid:28)(cid:50)(cid:22)(cid:51)(cid:97)(cid:62)(cid:157)(cid:204)(cid:205)(cid:23)(cid:32)(cid:23)(cid:206)(cid:63)(cid:204)(cid:106)(cid:64)(cid:23)(cid:207)(cid:125)(cid:54)(cid:208)(cid:183)(cid:209)(cid:52)(cid:51)(cid:32)(cid:23)(cid:206)(cid:63)(cid:204)(cid:106)(cid:64)(cid:50)(cid:210)(cid:110)(cid:211)(cid:196)(cid:64)(cid:212)(cid:108)
(cid:42)(cid:142)(cid:56)
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:213)(cid:214)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:167)(cid:168)(cid:22)(cid:23)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:54)(cid:108)(cid:109)D(cid:50)(cid:40)(cid:158)(cid:23)(cid:54)(cid:144)(cid:145)D(cid:56)
(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:22)(cid:28)(cid:23)(cid:158)(cid:84)(cid:122)(cid:156)(cid:54)(cid:211)(cid:196)(cid:215)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:216)(cid:20)(cid:217)(cid:218)(cid:106)(cid:148)(cid:149)(cid:196)(cid:64)(cid:219)(cid:90)(cid:206)(cid:63)(cid:23)(cid:80)(cid:125)(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)1-3(cid:19)(cid:93)22-23(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)·(cid:227)(cid:228)(cid:94)(cid:86) O(cid:51)(cid:111)(cid:97)(cid:70)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:10) (cid:104) (cid:54)(cid:125)A(cid:54)B(cid:54)C(cid:54)D
(cid:230)(cid:231)(cid:86) O(cid:128)(cid:54)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:232)(cid:56)(cid:233)(cid:173)(cid:97)(cid:70)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:3)(cid:140)(cid:58)⊙(cid:125)O(cid:23)(cid:63)(cid:64)l(cid:234)(cid:57)(cid:24)(cid:25)△(cid:54)(cid:133)𝐴𝑂(cid:125)𝐵B(cid:3)△(cid:140)𝐶𝑂(cid:63)𝐷(cid:64)l(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:125)
(cid:50) ⊙ (cid:56)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)C
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:167)(cid:168)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:42)(cid:142)(cid:141)(cid:108)(cid:56)
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10) (cid:104) (cid:3)(cid:140)(cid:58)(cid:125)O(cid:23)(cid:63)(cid:64)l(cid:234)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:232)(cid:54)
△𝐴𝑂𝐵 △𝐶𝑂𝐷(cid:125)B(cid:3)(cid:140)(cid:63)(cid:64)l(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:125)(cid:50)(cid:125)C(cid:54)
∴(cid:144)(cid:137)(cid:138)(cid:110)(cid:10)C(cid:56)
(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:20)(cid:236)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:54)(cid:237)(cid:238)(cid:192)(cid:193)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:50)(cid:142)(cid:20)(cid:3)(cid:194)(cid:56)
【题型2 由圆心角、弧、弦之间的关系判断结论正误】
(cid:15)(cid:121)2(cid:19)(cid:93)2023(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:153)·(cid:181)(cid:239)·(cid:240)(cid:20)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) O(cid:51)(cid:54) (cid:50)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:125)C(cid:54)D(cid:54)E(cid:86)(cid:22)(cid:128)(cid:54) =2(cid:54)
=6(cid:54) =8(cid:54) =10(cid:56)(cid:79)(cid:153)(cid:38)(cid:39)(cid:10)① = ⊙(cid:177)② 𝐴=𝐵 (cid:177)③ + = (cid:177)④ 𝐴𝐶+ =
𝐴𝐷 (cid:54)(cid:83)(cid:51)𝐴𝐸(cid:40)(cid:158)(cid:38)(cid:39)𝐴𝐵(cid:23)(cid:70)(cid:120)(cid:50)(cid:93) (cid:94) 𝐴𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸
𝐴𝐷𝐵
A(cid:56)4(cid:70) B(cid:56)3(cid:70) C(cid:56)2(cid:70) D(cid:56)1(cid:70)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)B
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:242)(cid:243) (cid:30) (cid:54)(cid:27) < (cid:54)(cid:72)(cid:244) < (cid:54)(cid:71)(cid:79)①(cid:184)(cid:41)(cid:177)(cid:27) (cid:50)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:72)(cid:244) =90°(cid:54)(cid:148)(cid:149)
(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:42)(cid:247)𝐶𝐸(cid:23)𝐷(cid:43)𝐵(cid:54)(cid:248)(cid:249)𝐴𝐷(cid:108)(cid:36)𝐶(cid:37)𝐸 = 𝐴𝐷(cid:54) 𝐶𝐸+ = (cid:54)(cid:144)②③𝐴𝐵(cid:40)(cid:158)(cid:54)(cid:27) =∠𝐴𝐷(cid:72)𝐵(cid:244) + =
+ = (cid:54)𝐵𝐷(cid:71)(cid:79)④(cid:40)(cid:158)(cid:56) 𝐵𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:143)𝐷𝐵(cid:142)(cid:19)𝐴(cid:142)𝐷(cid:10)𝐵(cid:242)(cid:243) (cid:30) (cid:54)(cid:95)(cid:52)(cid:54)
𝐶𝐸 𝐷𝐵
=2(cid:54) =8(cid:54)
∵𝐴𝐶 𝐴𝐸> (cid:54)(cid:141) >6(cid:54)
(cid:249)∴𝐶𝐸 =𝐴6𝐸(cid:54)−𝐴𝐶 𝐶𝐸
𝐴𝐷 < (cid:54)
∴𝐴𝐷<𝐶𝐸(cid:54)(cid:71)(cid:79)①(cid:184)(cid:41)(cid:177)
∴𝐴𝐷(cid:50)(cid:63)𝐶(cid:126)𝐸(cid:54)
∵𝐴𝐵 =90°(cid:54)
∴∠𝐴𝐷𝐵
= = 10 6 =8(cid:54)
2 2 2 2
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐵=−8(cid:54)𝐴𝐷 −
∵𝐴𝐸 =𝐵𝐷(cid:54)(cid:71)(cid:79)②(cid:40)(cid:158)(cid:177)
∴𝐵+𝐷 𝐴=𝐸 (cid:54)(cid:71)(cid:79)③(cid:40)(cid:158)(cid:177)
𝐴𝐷 𝐷=𝐸 (cid:54)𝐴𝐸
∵𝐵+𝐷 𝐴=𝐸 + = (cid:54)(cid:71)(cid:79)④(cid:40)(cid:158)(cid:56)
𝐴(cid:144)𝐷(cid:145)(cid:10)𝐴B𝐸(cid:56) 𝐴𝐷 𝐷𝐵 𝐴𝐷𝐵
(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:87)(cid:31)(cid:88)(cid:89)(cid:31)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:32)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:142)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:194)(cid:50)(cid:31)(cid:43)(cid:74)(cid:32)(cid:43)(cid:23)(cid:90)(cid:219)(cid:67)(cid:250)(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)2-1(cid:19)(cid:93)23-24(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:251)(cid:16)(cid:242)(cid:252)(cid:253)·(cid:254)(cid:255)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:51)(cid:54)(cid:40)(cid:158)(cid:23)(cid:50)(cid:93) (cid:94)
A(cid:56)(cid:43)(cid:44)(cid:90)(cid:89)(cid:23)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:31) B(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:32)(cid:90)(cid:89)(cid:133)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:31)(cid:90)(cid:89)
C(cid:56)(cid:103)(cid:31)(cid:61)(cid:84)(cid:256)(cid:105)(cid:31)(cid:43) D(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:133)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:32)(cid:90)(cid:89)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)D
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:167)(cid:168)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:31)(cid:54)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:61)(cid:61)(cid:36)(cid:37)(cid:141)(cid:108)(cid:56)
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)A(cid:257)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:43)(cid:44)(cid:90)(cid:89)(cid:23)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:31)(cid:54)(cid:144)(cid:75)(cid:155)(cid:156)(cid:184)(cid:41)(cid:54)(cid:147)(cid:257)(cid:157)(cid:185)(cid:78)(cid:20)(cid:60)(cid:177)
B(cid:257)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:32)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:31)(cid:111)(cid:103)(cid:31)(cid:88)(cid:105)(cid:31)(cid:54)(cid:97)(cid:31)(cid:157)(cid:61)(cid:84)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:144)(cid:75)(cid:155)(cid:156)(cid:184)(cid:41)(cid:54)(cid:147)(cid:257)(cid:157)(cid:185)(cid:78)(cid:20)(cid:60)(cid:177)
C(cid:257)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:103)(cid:31)(cid:61)(cid:84)(cid:256)(cid:105)(cid:31)(cid:43)(cid:54)(cid:144)(cid:75)(cid:155)(cid:156)(cid:184)(cid:41)(cid:54)(cid:147)(cid:257)(cid:157)(cid:185)(cid:78)(cid:20)(cid:60)(cid:177)
D(cid:257)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:133)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:32)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:155)(cid:156)(cid:40)(cid:158)(cid:54)(cid:147)(cid:257)(cid:185)(cid:78)(cid:20)(cid:60)(cid:177)
(cid:144)(cid:145)(cid:10)D(cid:56)
(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:31)(cid:54)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:142)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:194)(cid:50)(cid:192)(cid:193)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:31)(cid:54)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)2-2(cid:19)(cid:93)24-25(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:181)(cid:239)·(cid:258)(cid:227)(cid:259)(cid:260)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) (cid:51)(cid:54)(cid:261)(cid:262) =2 (cid:54)(cid:133)(cid:153)(cid:154)(cid:24)(cid:32) (cid:74)(cid:32) (cid:127)
(cid:130)(cid:3)(cid:35)(cid:263)(cid:264)(cid:40)(cid:158)(cid:23)(cid:50)(cid:93) (cid:94) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷A(cid:56) > B(cid:56) < C(cid:56) = D(cid:56)(cid:164)(cid:156)(cid:158)(cid:84)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)𝐴𝐵B 2𝐶𝐷 𝐴𝐵 2𝐶𝐷 𝐴𝐵 2𝐶𝐷
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:31)(cid:54)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:265) (cid:23)(cid:51)(cid:125)E(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:54) (cid:56)(cid:48)(cid:49) = = (cid:54)
(cid:266)(cid:148)(cid:149)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:229)(cid:129)(cid:3)(cid:35)(cid:142)(cid:267)(cid:216)(cid:20)(cid:56) 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐸 𝐸𝐵 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:265) (cid:23)(cid:51)(cid:125)E(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:54) (cid:54)(cid:133) =2 =2 (cid:54)
𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐸
=2 (cid:54)
∵𝐴𝐵= 𝐶𝐷= (cid:54)
∴𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐶𝐷(cid:54)
∴𝐴𝐸+ 𝐸𝐵> 𝐶𝐷(cid:54)
∵𝐴𝐸 >𝐸𝐵 (cid:56)𝐴𝐵
∴(cid:144)2(cid:145)𝐶𝐷(cid:10)B(cid:56)𝐴𝐵
(cid:15)(cid:152)(cid:151)2-3(cid:19)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125)A(cid:54)B(cid:54)C(cid:54)D(cid:50) O(cid:128)(cid:23)(cid:123)(cid:70)(cid:125)(cid:54)(cid:132) = (cid:54)OE AB(cid:54)OF CD(cid:54)(cid:133)(cid:153)(cid:154)(cid:38)(cid:39)(cid:184)(cid:41)
(cid:23)(cid:50)(cid:93) (cid:94) ⊙ 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ⊥ ⊥
A(cid:56) = B(cid:56) = C(cid:56) = D(cid:56) =
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)𝐴𝐵D 𝐶𝐷 𝑂𝐸 𝑂𝐹 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:167)(cid:168)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:104)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:141)(cid:108)(cid:36)(cid:37)(cid:56)(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:86) O(cid:51)(cid:54)
= ⊙
∵𝐴𝐵=𝐶𝐷(cid:54) =
∴(cid:144)𝐴𝐵A(cid:30)C𝐶(cid:145)𝐷(cid:257)∠(cid:40)𝐴(cid:158)𝑂𝐵(cid:54)(cid:157)∠(cid:185)𝐶(cid:78)𝑂𝐷(cid:20)(cid:60)(cid:177)
= (cid:54)OA=OD(cid:54)OB=OC
∵𝐴𝐵 𝐶𝐷
∴△𝑂𝐴𝐵=≌△𝑂𝐷 𝐶
∴O𝑆△E𝑂𝐴A𝐵B(cid:54)𝑆O△F𝑂𝐷𝐶CD(cid:54)
∵1 ⊥ 1⊥
=
2 2
∴O𝐴E𝐵=O⋅𝑂F𝐸 𝐶𝐷⋅𝑂𝐹
∴(cid:144)B(cid:145)(cid:257)(cid:40)(cid:158)(cid:54)(cid:157)(cid:185)(cid:78)(cid:20)(cid:60)(cid:56)
(cid:144)(cid:145)D
(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:54)(cid:85)(cid:142)(cid:87)(cid:22)(cid:51)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:104)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:50)(cid:142)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:194)(cid:56)
【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求长度】
(cid:15)(cid:121)3(cid:19)(cid:93)2025·(cid:268)(cid:269)(cid:78)(cid:270)·(cid:118)(cid:271)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:22)(cid:51)(cid:97)(cid:62)(cid:32) (cid:30) (cid:90)(cid:207)(cid:140)(cid:125)E(cid:54)(cid:83)(cid:51)(cid:97)(cid:62)(cid:105)(cid:31) (cid:30) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:106)(cid:107)
(cid:110)60°(cid:30)120°(cid:54)(cid:22)O(cid:23)(cid:272)(cid:126)(cid:110)5(cid:54) =8(cid:54)(cid:133) (cid:23)(cid:43)𝐴𝐵(cid:110) 𝐶 𝐷 (cid:56) 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)3+4 3/4 3+3
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:54)(cid:63)(cid:29)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:54)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:104)(cid:36)(cid:84)(cid:54)
(cid:242)(cid:243) (cid:54)(cid:108)(cid:72) = = =60°(cid:54)(cid:108)(cid:72) (cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54) =90°(cid:54)(cid:248)
(cid:273)(cid:72)𝐴(cid:247)𝑂,𝐶𝑂=,𝐴𝐶 = ∠=𝐴𝑂5𝐶(cid:54)(cid:266)6(cid:167)0°(cid:168),∠(cid:274)𝐴𝐷3𝐶0°(cid:63)3(cid:29)0(cid:229)°,∠(cid:29)𝐵𝐴(cid:53)𝐷(cid:72)(cid:26)(cid:235)(cid:72) =△4(cid:54)𝐴𝐶(cid:275)𝑂(cid:172)(cid:167)(cid:168)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:42)∠𝐴(cid:247)𝐸𝐷 (cid:54)(cid:133)(cid:137)
(cid:138)(cid:108)(cid:72)𝐴(cid:56)𝐶 𝐴𝑂 𝐶𝑂 𝐴𝐸 𝐷𝐸,𝐶𝐸
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:242)(cid:243) (cid:54)
=60°, =1𝐴20𝑂°,(cid:54)𝐶𝑂,𝐴𝐶
∵𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = =60°(cid:54)
∴∠𝐴𝑂𝐶 60°,∠𝐴𝐷𝐶 30°,∠𝐵𝐴𝐷=90°(cid:56)
∴∠𝐴𝐸=𝐷 (cid:54)
∵𝐴𝑂 𝐶(cid:50)𝑂 (cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)
∴△𝐴=𝐶𝑂 = =5(cid:56)
∴(cid:86)𝐴R𝐶t 𝐴𝑂 (cid:51)𝐶(cid:54)𝑂 = =8(cid:54)
=△4𝐴(cid:56)𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐸 30°,𝐴𝐷
∴𝐴𝐸
(cid:167)(cid:168)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:54)(cid:72) = =4 3 = =3(cid:54)
2 2 2 2
= + =𝐷4𝐸3+3𝐴(cid:56)𝐷 −𝐴𝐸 ,𝐶𝐸 𝐴𝐶 −𝐴𝐸
∴(cid:144)𝐶(cid:137)𝐷(cid:138)(cid:110)𝐷𝐸(cid:10)4𝐶3𝐸+3(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)3-1(cid:19)(cid:93)24-25(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:279)·(cid:227)(cid:51)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54) (cid:50) (cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:123)(cid:129)(cid:53) (cid:215)(cid:243)(cid:140) (cid:54)(cid:233)
= = =6(cid:54)(cid:133) (cid:23)(cid:63)(cid:126) (cid:110) (cid:56) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊙𝑂
𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐴 ⊙𝑂 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)12
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:74)(cid:36)(cid:84)(cid:56)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:30) (cid:56)(cid:167)(cid:168)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:48)(cid:72) (cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:133) (cid:23)(cid:272)(cid:126)(cid:43)(cid:110)6(cid:177)(cid:141)(cid:108)(cid:42)(cid:142)(cid:56) 𝑂𝐷 𝑂𝐶
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:95)(cid:52)(cid:54)△(cid:242)𝐴𝑂(cid:243)𝐷 (cid:30) (cid:56) ⊙𝑂
𝑂𝐷 𝑂𝐶(cid:50) (cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:123)(cid:129)(cid:53) (cid:215)(cid:243)(cid:140) (cid:54)(cid:233) = = =6(cid:54)
∵𝐴 𝐵 =⊙𝑂 = (cid:54) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐴
∴ 𝐴𝐷 =𝐶𝐷 𝐵𝐶= =60°(cid:56)
(cid:160)∴∠𝐴𝑂=𝐷 ∠(cid:54)𝐷𝑂𝐶 ∠𝐵𝑂𝐶
𝑂𝐴 𝑂(cid:50)𝐷(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)
∴△𝐴𝑂=𝐷 =6(cid:54)
∴𝑂 𝐴 (cid:23)𝐴𝐷(cid:63)(cid:126) (cid:110)12
(cid:144)∴(cid:137)⊙(cid:138)𝑂(cid:110)(cid:10)12(cid:56)𝐴𝐵
(cid:15)(cid:152)(cid:151)3-2(cid:19)(cid:93)24-25(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:280)(cid:277)(cid:281)(cid:282)·(cid:227)(cid:228)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:232)(cid:54)(cid:86)(cid:283)(cid:53) (cid:51)(cid:54) =90°(cid:54)(cid:272)(cid:126) =4(cid:54)(cid:125)
F(cid:86) (cid:128)(cid:54)(cid:132) =2 (cid:56)(cid:125)C(cid:30)D(cid:106)(cid:107)(cid:86)(cid:64)(cid:255) (cid:30) (cid:128)(cid:54) =4𝑂(cid:54)𝐴E𝐵(cid:110) ∠(cid:23)𝐴𝑂(cid:51)𝐵(cid:125)(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:56)𝑂(cid:86)𝐴 (cid:284)(cid:285)(cid:58)
(cid:286)(cid:51)𝐴(cid:93)𝐵 (cid:43)(cid:44)𝐵(cid:287)𝐹(cid:288)(cid:289)𝐴(cid:290)𝐹(cid:157)(cid:152)(cid:94)(cid:54)(cid:291) (cid:265)(cid:292)(cid:130)(cid:293)𝑂(cid:294)𝐴(cid:54)𝑂𝐵(cid:23)(cid:43)𝐶(cid:110)𝐷 (cid:56) 𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐶𝐷
𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)2
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:31)(cid:74)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:64)(cid:255)(cid:292)(cid:130)(cid:293)(cid:216)(cid:20)(cid:54)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:36)(cid:84)(cid:82)(cid:26)(cid:235)(cid:54)(cid:142)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:194)(cid:50)(cid:49)(cid:158)(cid:291)
(cid:54) (cid:54) (cid:295)(cid:64)(cid:294)(cid:54) (cid:23)(cid:293)(cid:292)(cid:130)(cid:54)(cid:183)(cid:294) =60°(cid:56)
𝑂(cid:242)(cid:243)𝐸 (cid:54)𝐹 (cid:54)(cid:38)(cid:78)𝐸𝐹(cid:20)(cid:60)(cid:72) =60∠°𝐸(cid:54)𝑂(cid:266)𝐷(cid:42)(cid:247)(cid:291) (cid:54) (cid:54) (cid:295)(cid:64)(cid:294)(cid:54) (cid:23)(cid:293)(cid:292)(cid:130)(cid:54)(cid:183)(cid:294) =60°(cid:54)(cid:72)
(cid:110)(cid:89)𝑂(cid:129)𝐹(cid:229)(cid:29)𝑂𝐸(cid:53)(cid:54)(cid:141)(cid:108)(cid:42)(cid:142)(cid:56)∠𝐵𝑂𝐹 𝑂 𝐸 𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐸𝑂𝐷 △𝐷𝑂𝐸
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:54) (cid:54)
𝑂𝐹 𝑂𝐸
=90°(cid:54) =2 (cid:54)
∵∠𝐴𝑂𝐵=60°(cid:54)𝐵𝐹 𝐴𝐹
∴E∠(cid:110)𝐵𝑂𝐹(cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)
∵ 𝐶𝐷1
= = = =2(cid:54)
2
∴𝑂𝐸=4𝐶(cid:54)𝐸 𝐷𝐸 𝐶𝐷
∵𝑂𝐹 =2(cid:54)
∴𝐸(cid:291)𝐹≥(cid:54)𝑂𝐹(cid:54)−𝑂(cid:295)𝐸(cid:64)(cid:294)(cid:54) (cid:23)(cid:293)(cid:292)(cid:130)(cid:54)(cid:95)(cid:52)(cid:54)
∴ 𝑂 𝐸 𝐹 𝐸𝐹
(cid:183)(cid:294)(cid:54) =60°(cid:54)
=∠𝐸𝑂(cid:54)𝐷
∵𝑂𝐸 𝐷(cid:110)𝐸 (cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)
∴△𝐷=𝑂𝐸 =2(cid:54)(cid:133) = =2(cid:54)
∴(cid:144)𝑂(cid:137)𝐷(cid:138)(cid:110)𝑂𝐸(cid:10)2(cid:56) 𝐵𝐷 𝑂𝐵−𝑂𝐷
(cid:15)(cid:152)(cid:151)3-3(cid:19)(cid:93)2024(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:153)·(cid:296)(cid:251)·(cid:240)(cid:20)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125) (cid:54) (cid:54) (cid:86)(cid:272)(cid:126)(cid:43)(cid:110)4(cid:23) (cid:128)(cid:54)(cid:125) (cid:54) (cid:106)(cid:107)(cid:50)(cid:32)
(cid:54)(cid:32) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:54)(cid:233)(cid:31) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)70°(cid:54)(cid:31) 𝐴(cid:23)(cid:44)𝐵(cid:120)𝐶(cid:110)50°(cid:54)(cid:133) (cid:23)(cid:43)⊙(cid:44)𝑂(cid:110) 𝐷 𝐸(cid:56)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)2 3
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:51)(cid:202)(cid:64)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:82)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:23)(cid:297)(cid:149)(cid:54)(cid:20)(cid:236)(cid:23)(cid:298)(cid:78)(cid:26)(cid:299)(cid:300)(cid:54)
(cid:142)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:194)(cid:50)(cid:40)(cid:158)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:64)(cid:305)(cid:306)(cid:63)(cid:29)(cid:229)(cid:29)(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:54) (cid:54) (cid:54)(cid:259) (cid:140)(cid:125) (cid:54)(cid:167)(cid:168)(cid:307)(cid:109)(cid:72)
=120°(cid:54)(cid:108)(cid:72) =2(cid:54) =2 3(cid:54)(cid:71)(cid:79) =𝑂𝐴4 3𝑂(cid:54)𝐶(cid:266)𝐴(cid:167)𝐶(cid:168) 𝑂(cid:50)𝐹⊥𝐴𝐶 (cid:23)(cid:51)𝐹(cid:202)(cid:64)(cid:54)(cid:141)(cid:108)(cid:72)(cid:247)(cid:137)(cid:138)(cid:56)
∠(cid:15)𝐴(cid:143)𝑂𝐶(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:242)(cid:243) 𝑂(cid:54)𝐹 (cid:54) 𝐶𝐹(cid:54)(cid:259) (cid:140)𝐴(cid:125)𝐶 (cid:54) 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶
𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝐴𝐶 𝑂𝐹⊥𝐴𝐶 𝐹(cid:31) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)70°(cid:54)(cid:31) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)50°(cid:54)
∵ 𝐴𝐵 =120°(cid:54) 𝐵𝐶
∴∠𝐴𝑂=𝐶 (cid:54)
∵𝑂𝐴 𝑂=𝐶 =30°(cid:54) = = (cid:54)
∴∠𝑂𝐶=𝐴4(cid:54)∠𝑂𝐴𝐶 𝐴𝐶 2𝐶𝐹 2𝐴𝐹
∵𝑂𝐶 1
= =2(cid:54)
2
∴𝑂𝐹 = 𝑂 3 𝐶 =2 3(cid:54)
∴𝐶𝐹 =4 𝑂3(cid:54)𝐹
∴(cid:125)𝐴𝐶 (cid:54) (cid:106)(cid:107)(cid:50)(cid:32) (cid:54)(cid:32) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)
∵ 𝐷(cid:50) 𝐸 (cid:23)(cid:51)𝐴(cid:202)𝐵(cid:64)(cid:54)𝐵𝐶
∴𝐷𝐸 △1 𝐴𝐵𝐶
= =2 3(cid:56)
2
(cid:144)∴𝐷(cid:137)𝐸(cid:138)(cid:110)𝐴(cid:10)𝐶 2 3(cid:56)
【题型4 由圆心角、弧、弦之间的关系求角度】
(cid:15)(cid:121)4(cid:19)(cid:93)23-24(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:153)·(cid:181)(cid:239)·(cid:308)(cid:172)(cid:259)(cid:260)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54) (cid:309)(cid:58)(cid:310)(cid:129)(cid:53) (cid:23)(cid:123)(cid:70)(cid:124)(cid:125)(cid:54)(cid:233)
= = =60°(cid:54) (cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)⊙(cid:23)𝑂(cid:44)(cid:120)(cid:110) 𝑂𝐴°𝐵(cid:56)𝐶𝐷
∠𝐴𝑂𝐷 150°,∠𝐴 65°,∠𝐷 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)40
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:10)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:70)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:97)(cid:62)(cid:31)(cid:30)(cid:97)(cid:62)(cid:32)(cid:51)(cid:111)(cid:61)
(cid:112)(cid:113)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:98)(cid:99)(cid:55)(cid:100)(cid:71)(cid:24)(cid:114)(cid:23)(cid:83)(cid:115)(cid:311)(cid:112)(cid:113)(cid:65)(cid:106)(cid:107)(cid:90)(cid:89)(cid:56)(cid:242)(cid:243) (cid:30) (cid:54)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:148)(cid:149)(cid:89)(cid:312)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:72)
𝑂𝐵 𝑂𝐶= = = =60°(cid:54)(cid:133)(cid:167)(cid:168)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:215)(cid:29)(cid:104)(cid:84)(cid:85)(cid:72)(cid:244) = =60°(cid:54)(cid:133)
∠𝑂𝐵𝐴= ∠𝐴 65°,∠𝑂𝐶𝐷 ∠𝐷=40°(cid:54)(cid:140)(cid:50)(cid:72)(cid:244) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)40°(cid:56) ∠𝐴𝑂𝐵 50°,∠𝐶𝑂𝐷
∠(cid:15)𝐵(cid:143)𝑂𝐶(cid:142)(cid:19)∠(cid:142)𝐴(cid:10)𝑂𝐷(cid:95)−(cid:52)∠𝐴(cid:54)𝑂(cid:242)𝐵−(cid:243)∠𝐶𝑂(cid:30)𝐷 (cid:54) 𝐵𝐶
𝑂𝐵 𝑂𝐶
= = (cid:54)
∵𝑂𝐴 𝑂=𝐵,𝑂𝐶= 𝑂𝐷 = =60°(cid:54)
∴∠𝑂𝐵𝐴=∠𝐴 65×°,∠6𝑂5°𝐶𝐷= ∠𝐷 = ×60°=60°(cid:54)
∴∠𝐴𝑂𝐵= 180°−2 50°,∠𝐶=𝑂𝐷 180°−2 =40°(cid:54)
∴(cid:141)∠𝐵𝑂(cid:71)𝐶(cid:24)(cid:23)∠𝐴(cid:22)𝑂(cid:28)𝐷−(cid:29)∠(cid:23)𝐴𝑂(cid:44)𝐵(cid:120)−∠(cid:110)𝐶4𝑂0𝐷°(cid:54) 150°−50°−60°
(cid:144)𝐵(cid:137)𝐶(cid:138)(cid:110)(cid:10)40(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)4-1(cid:19)(cid:93)24-25(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:277)·(cid:254)(cid:255)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54) = = (cid:54)(cid:307)(cid:109) (cid:50) (cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54)
=35°(cid:54)(cid:98)(cid:99) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:50)(cid:93) (cid:94) 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐵 ⊙𝑂
∠𝐶𝑂𝐷 ∠𝐴𝑂𝐸
A(cid:56)40° B(cid:56)70° C(cid:56)75° D(cid:56)105°
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)C
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:30)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:27) = = (cid:108)(cid:72) = = =35°(cid:54)(cid:141)(cid:72)
=105°(cid:54)(cid:266)(cid:167)(cid:168)(cid:316)(cid:317)(cid:29)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:141)(cid:108)(cid:42)(cid:142)(cid:54)(cid:192)𝐵𝐶(cid:193)(cid:31)𝐶(cid:30)𝐷(cid:32)(cid:30)𝐷𝐸(cid:22)(cid:28)(cid:29)∠(cid:23)𝐵𝑂(cid:3)𝐶(cid:35)(cid:50)∠(cid:142)𝐷𝑂(cid:20)𝐸(cid:23)(cid:3)∠(cid:194)𝐶𝑂(cid:56)𝐷
∠(cid:15)𝐵(cid:143)𝑂𝐸(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10) = = (cid:54)
= ∵𝐵𝐶= 𝐶𝐷 =𝐷3𝐸5°(cid:54)
∴∠𝐵𝑂𝐶 =∠35𝐷°𝑂×𝐸3=∠1𝐶0𝑂5𝐷°(cid:54)
∴∠𝐵(cid:50)𝑂𝐸 (cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54)
∵𝐴𝐵 ⊙=𝑂180°(cid:54)
∴∠𝐴𝑂𝐵= =75°(cid:54)
∴(cid:144)∠(cid:145)𝐴𝑂(cid:10)𝐸C(cid:56)180°−∠𝐵𝑂𝐸
(cid:15)(cid:152)(cid:151)4-2(cid:19)(cid:93)24-25(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:276)(cid:318)(cid:319)(cid:320)·(cid:227)(cid:228)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54) (cid:50)(cid:272)(cid:22)(cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:125) (cid:54) (cid:86)(cid:272)(cid:22)(cid:128)(cid:54)(cid:132) = (cid:54)
(cid:233) =56°(cid:54)(cid:133)(cid:31) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110) °(cid:56) 𝐵𝐶 𝐴 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∠𝐵 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)68
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:32)(cid:74)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:215)(cid:29)(cid:104)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:82)(cid:89)(cid:312)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:177)(cid:265) (cid:23)(cid:51)(cid:125) (cid:54)(cid:242)(cid:243)
(cid:54)(cid:167)(cid:168)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:215)(cid:29)(cid:104)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:82)(cid:89)(cid:312)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:72)(cid:247) =68°(cid:54)(cid:248)(cid:249)(cid:167)(cid:168)(cid:32)(cid:74)𝐵(cid:22)𝐶(cid:28)(cid:29)(cid:23)𝑂(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:141)
𝐴(cid:108)𝑂(cid:42),𝐷(cid:142)𝑂(cid:56) ∠𝐴𝑂𝐵
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:232)(cid:54)(cid:265) (cid:23)(cid:51)(cid:125) (cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:54)
𝐵𝐶 𝑂 𝐴𝑂,𝐷𝑂
= (cid:54) =56°(cid:54)
∵𝑂𝐴 𝑂=𝐵 ∠𝐵 = =68°(cid:177)
∴∠𝐴𝑂=𝐵 (cid:54)180°−2∠𝐵 180°−112°
∵𝐴𝐵=𝐴𝐷(cid:54)
∴𝐴𝐵 𝐴=𝐷 =68°(cid:54)
(cid:141)∴∠(cid:31)𝐴𝑂𝐷(cid:23)(cid:44)∠𝐴(cid:120)𝑂(cid:110)𝐵68°(cid:177)
(cid:144)(cid:137)𝐴(cid:138)𝐷(cid:110)(cid:10)68(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)4-3(cid:19)(cid:93)2025·(cid:252)(cid:282)(cid:321)(cid:322)·(cid:229)(cid:271)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125)A(cid:54)B(cid:54)C(cid:86) (cid:128)(cid:54)C(cid:50) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)(cid:233) =160°(cid:54)(cid:133)
(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:50)(cid:93) (cid:94) ⊙𝑂 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝑂𝐴𝐶A(cid:56)10° B(cid:56)40° C(cid:56)50° D(cid:56)60°
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)C
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:74)(cid:31)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:74)(cid:22)(cid:47)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:56)(cid:242)(cid:243) (cid:54)(cid:27)(cid:125) (cid:50)(cid:105)(cid:31) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:72) =
𝑂𝐶 𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:54)(cid:144) = =80°(cid:54)(cid:266)(cid:27) = (cid:72)(cid:244) = =50°(cid:141)(cid:108)(cid:56)
2
180°−80°
𝐵 (cid:15) 𝐶 (cid:143)(cid:142)(cid:19)∠𝐴(cid:142)𝑂(cid:10)𝐶(cid:95)(cid:52)∠𝐵(cid:54)𝑂(cid:242)𝐶 (cid:243) (cid:54) 𝐴𝑂 𝑂𝐶 ∠𝑂𝐴𝐶
𝑂𝐶
(cid:125) (cid:50)(cid:105)(cid:31) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)
∵ 𝐶= (cid:54)𝐴𝐵
∴𝐴𝐶 𝐵=𝐶 (cid:54)
∴∠ 𝐴𝑂𝐶 =∠1𝐵6𝑂0𝐶°(cid:54)
∵ ∠𝐴𝑂𝐵= =80°(cid:54)
∴∠𝐴=𝑂𝐶 (cid:54)∠𝐵𝑂𝐶
∵𝐴𝑂 𝑂𝐶
= =50°(cid:56)
2
180°−80°
∴(cid:144)∠(cid:145)𝑂𝐴(cid:10)𝐶C(cid:56)
【题型5 由圆心角、弧、弦之间的关系求弧度】
(cid:15)(cid:121)5(cid:19)(cid:93)24-25(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:251)(cid:16)(cid:323)(cid:324)·(cid:254)(cid:255)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:86)(cid:272)(cid:126)(cid:110)1(cid:23) O(cid:51)(cid:54)(cid:32) (cid:23)(cid:43)(cid:110)1(cid:54)(cid:133)(cid:32) (cid:71)(cid:24)(cid:31)(cid:23)(cid:44)
(cid:120) (cid:56) ⊙ 𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)60°(cid:88)300°
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:22)(cid:51)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:30)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:27)(cid:20)(cid:60)(cid:72) (cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:168)(cid:183)(cid:141)(cid:108)(cid:42)(cid:142)
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:232)(cid:10) △𝐴𝑂𝐵
(cid:27)(cid:20)(cid:60)(cid:72)(cid:10) = = =1(cid:54)
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵(cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)
∴△𝐴𝑂𝐵=60°
∴(cid:32)∠𝐴𝑂𝐵(cid:71)(cid:24)(cid:103)(cid:31)(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)300°(cid:54)(cid:71)(cid:24)(cid:105)(cid:31)(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)60°(cid:54)
∴(cid:144)(cid:137)𝐴(cid:138)𝐵(cid:110)(cid:10)60°(cid:88)300°
(cid:15)(cid:152)(cid:151)5-1(cid:19)(cid:93)2023·(cid:251)(cid:16)(cid:323)(cid:324)·(cid:271)(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:307)(cid:109) (cid:50) (cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54) = = (cid:54) =42°(cid:54)(cid:98)
(cid:99)(cid:31) (cid:44)(cid:120)(cid:89)(cid:140) (cid:56) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 ∠𝐵𝑂𝐶
𝐴𝐸
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)54°/54(cid:44)
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:150)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:56)(cid:4)(cid:60)(cid:192)(cid:193)(cid:120)(cid:53)(cid:38)(cid:78)(cid:328)(cid:329)(cid:23)(cid:114)(cid:149)(cid:56)
(cid:167)(cid:168)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:74)(cid:31)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:108)(cid:42)(cid:72) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:54)(cid:330)(cid:249)(cid:141)(cid:108)(cid:42)(cid:142)(cid:56)
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19) = = ∠𝐵𝑂𝐸
= ∵𝐵=𝐶 (cid:54)𝐶𝐷 𝐷𝐸
∴𝐵𝐶 𝐶=𝐷 𝐷𝐸 =126°(cid:54)
∴∠𝐵𝑂𝐸= 3∠𝐵𝑂𝐶 =54°(cid:54)
∴(cid:31)∠𝐴𝑂𝐸(cid:44)(cid:120)1(cid:89)80(cid:140)°−5∠4𝐵°(cid:56)𝑂𝐸
∴(cid:144)(cid:137)𝐴(cid:138)𝐸(cid:110)(cid:10)54°(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)5-2(cid:19)(cid:93)24-25(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:251)(cid:16)(cid:331)(cid:332)·(cid:254)(cid:255)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) (cid:51)(cid:54) =90°(cid:54)(cid:79)O(cid:110)(cid:22)(cid:28)(cid:54) (cid:43)
(cid:110)(cid:272)(cid:126)(cid:259) (cid:54)(cid:106)(cid:107)(cid:207) (cid:30) (cid:140)C(cid:30)D．(cid:233) =40°(cid:54)(cid:133) (cid:23)△(cid:44)𝐴𝐵(cid:120)𝑂(cid:50)(cid:93) ∠ 𝐴(cid:94)𝑂𝐵 𝑂𝐴
⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐵𝑂 ∠𝐵 𝐶𝐷
A(cid:56)10° B(cid:56)20° C(cid:56)30° D(cid:56)40°
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)A
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:89)(cid:129)(cid:24)(cid:89)(cid:29)(cid:54)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:215)(cid:29)(cid:104)(cid:84)(cid:85)(cid:54)(cid:31)(cid:74)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35) (cid:54)(cid:333)(cid:27)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:215)(cid:29)(cid:104)(cid:84)(cid:85)(cid:72)(cid:244) =50°(cid:54)(cid:266)(cid:27)(cid:89)(cid:129)(cid:24)(cid:89)(cid:29)(cid:104)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:215)(cid:29)(cid:104)(cid:84)(cid:85)(cid:42)(cid:247) =80°(cid:54)(cid:133) =10°(cid:54)(cid:168)(cid:183)(cid:108)(cid:72)(cid:137)(cid:138)(cid:56)
(cid:15)∠(cid:143)𝐴(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:232)(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:54) ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐶𝑂𝐷
=90°(cid:54) =40°(cid:54) 𝑂𝐶
∵∠𝐴𝑂=𝐵 ∠=𝐵50°(cid:54)
∴∠𝐴 =90°(cid:54)−40°
∵𝑂𝐴 𝑂=𝐶 =50°(cid:54)
∴∠𝑂𝐶𝐴=∠𝐴 =80°(cid:54)
∴∠𝐴𝑂𝐶 =11800°(cid:54)°−50°−50°
∴∠𝐶𝑂(cid:23)𝐷(cid:44)(cid:120)(cid:50)10°(cid:177)
∴(cid:144)𝐶(cid:145)𝐷(cid:10)A(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)5-3(cid:19)(cid:93)23-24(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:251)(cid:16)(cid:334)(cid:314)·(cid:254)(cid:255)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:307)(cid:109) (cid:30) (cid:50) (cid:23)(cid:97)(cid:62)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:132)
=50°(cid:54)(cid:58)(cid:125) (cid:259) (cid:207) (cid:140)(cid:125) (cid:54)(cid:133)(cid:31) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110) 𝐴 𝐵 𝐶𝐷(cid:56) ⊙𝑂
∠𝐴𝑂𝐶 𝐴 𝐴𝐸∥𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐸 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)80°/80(cid:44)
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:204)(cid:205)(cid:64)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:54)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:31)(cid:54)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:22)(cid:47)(cid:29)(cid:84)(cid:85)(cid:89)(cid:109)(cid:335)(cid:125)(cid:54)
(cid:242)(cid:243) (cid:54)(cid:167)(cid:168)(cid:204)(cid:205)(cid:64)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:42)(cid:247) = (cid:54)(cid:167)(cid:168)(cid:22)(cid:47)(cid:29)(cid:84)(cid:85)(cid:42)(cid:247) (cid:54)(cid:266)(cid:42)(cid:247) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:54)(cid:141)(cid:108)(cid:42)(cid:247)
(cid:147)(cid:20)𝐸(cid:137)𝑂(cid:138)(cid:56) ∠𝐴 ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐸𝑂𝐵 𝐸𝐷𝐵
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:242)(cid:243) (cid:54)
𝐸𝑂=50°(cid:54) (cid:54)
∵∠𝐴𝑂=𝐶 =𝐴5𝐸0°∥(cid:54)𝐶𝐷
∴∠𝐴 =∠𝐴𝑂(cid:54)𝐶
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐸=50°
∴∠𝐴 ∠=𝐸 =100°(cid:54)
∴∠𝐸𝑂𝐵(cid:23)(cid:44)2(cid:120)∠(cid:50)𝐴100°(cid:54)
∴𝐸𝐷(cid:30)𝐵 (cid:50) (cid:23)(cid:97)(cid:62)(cid:63)(cid:126)(cid:54)
∵𝐴𝐵 (cid:23)𝐶𝐷(cid:44)(cid:120)⊙(cid:50)1𝑂80°(cid:54)
∴𝐴𝐸(cid:23)𝐵 (cid:44)(cid:120)(cid:50) =80°(cid:54)
∴(cid:144)𝐴(cid:137)𝐸(cid:138)(cid:110)(cid:10)801°8(cid:56)0°−100°
【题型6 由圆心角、弧、弦之间的关系求面积】
(cid:15)(cid:121)6(cid:19)(cid:93)22-23(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:251)(cid:16)(cid:16)(cid:314)·(cid:254)(cid:255)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)A(cid:54)B(cid:50) (cid:128)(cid:23)(cid:125)(cid:54) =120°(cid:54)C(cid:50) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)
(cid:233) (cid:23)(cid:272)(cid:126)(cid:110)2(cid:54)(cid:133)(cid:123)(cid:129)(cid:53)ACBO(cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:93)(cid:336)(cid:336)(cid:94) ⊙𝑂 ∠𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐵
⊙𝑂
A(cid:56) 3 B(cid:56)2 C(cid:56)4 D(cid:56)2 3
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)D
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:167)(cid:168)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:90)(cid:89)(cid:23)(cid:31)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:72)(cid:244) = =60°(cid:54)(cid:337)(cid:72) (cid:104)
(cid:65)(cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:141)(cid:108)(cid:142)(cid:267)(cid:216)(cid:20)(cid:56) ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐵𝑂𝐶 Δ𝑂𝐴𝐶 Δ𝑂𝐵𝐶
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:242) (cid:54)(cid:95)(cid:52)(cid:54)
𝑂𝐶
(cid:50) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54) =120°(cid:54)
⏜
∵𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵= =60°(cid:54)
(cid:160)∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵=𝑂𝐶 (cid:54)
∵𝑂𝐴(cid:104)𝑂𝐶 (cid:65)𝑂𝐵(cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)
∴Δ𝑂𝐴𝐶 Δ𝑂𝐵𝐶 1 3
=2× ×2×2× =2 3(cid:56)
四边形 2 2
(cid:144)∴(cid:145)𝑆 (cid:10)D(cid:56) 𝐴𝑂𝐵𝐶
(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:10)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:90)(cid:89)(cid:23)(cid:31)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:56)(cid:91)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:89)
(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:36)(cid:84)(cid:74)(cid:26)(cid:235)(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)6-1(cid:19)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125) (cid:54) (cid:54) (cid:54) (cid:65)(cid:86) (cid:128)(cid:54)(cid:22)(cid:23)(cid:272)(cid:126)(cid:110)2(cid:54)(cid:132) = =2(cid:54) = (cid:54)(cid:133)(cid:338)
=(cid:93) (cid:94)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ⊙𝑂 𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷
四边形
𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:56)4 3 B(cid:56)2 3 C(cid:56)3 3 D(cid:56)6
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)A
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:22)(cid:47)(cid:29)(cid:84)(cid:85)(cid:54)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:31)(cid:30) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:56)(cid:242)(cid:243) , (cid:42)(cid:247) = (cid:54)
(cid:42)(cid:247) (cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:63)(cid:126)(cid:54)(cid:167)(cid:168)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:42)(cid:247) (cid:30) (cid:54)(cid:167)(cid:168) = + 𝐴(cid:339)𝐶(cid:340)(cid:50)(cid:142)𝐴(cid:20)𝐷(cid:23)𝐶(cid:3)(cid:194)𝐴𝐵(cid:56)𝐶
四边形
(cid:15)(cid:143)𝐴(cid:142)𝐶(cid:19)(cid:142)(cid:10)(cid:242)(cid:243) , 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐶
= = (cid:54)
∵𝐶 𝐵 =𝐶𝐷,𝐴(cid:54)𝐷 𝐴=𝐵 (cid:54)
∴ 𝐷𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵= (cid:54)
(cid:141)∴ 𝐴𝐷(cid:50)𝐶(cid:22)(cid:23)𝐴(cid:63)𝐵𝐶(cid:126)(cid:54)
𝐴𝐶 = =90°(cid:54)
∴(cid:22)∠(cid:23)𝐷(cid:272)(cid:126)∠𝐵(cid:110)2(cid:54)
∵ =4(cid:54)
∵𝐴𝐶 = =2(cid:54)
(cid:27)∵(cid:245)𝐶𝐵(cid:246)(cid:84)𝐶(cid:85)𝐷(cid:72)(cid:10)
= = 4 2 =2 3(cid:54)
2 2
𝐴𝐷 𝐴𝐵 = − + = 1 × × + 1 × × = 1 ×2 3×2+ 1 ×2 3×2=4 3(cid:54)
四边形
2 2 2 2
∴𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:144)(cid:145):A(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)6-2(cid:19)(cid:93)23-24(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:296)(cid:251)(cid:341)(cid:314)·(cid:227)(cid:51)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125)A(cid:54)B(cid:54)C(cid:86) (cid:128)(cid:54)(cid:342)(cid:231)(cid:242)(cid:38) (cid:54) (cid:54) (cid:54)(cid:132)
=210°(cid:54) =150°(cid:54) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐴
𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶
(1)(cid:42) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:177)
(2)(cid:233)∠𝐵𝐴𝐶(cid:23)(cid:272)(cid:126)(cid:110)3(cid:56)(cid:42) (cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:56)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)⊙(cid:19)𝑂(1) =30° △𝐴𝐵𝐶
9∠𝐵𝐴𝐶9
(2) = 3+
4 2
(cid:15)(cid:106)𝑆△
(cid:139)
𝐴𝐵
(cid:19)
𝐶
(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:22)(cid:51)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:30)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:206)(cid:126)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:82)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:89)(cid:109)(cid:335)(cid:125)(cid:54)(cid:192)(cid:193)(cid:90)(cid:3)(cid:38)(cid:39)(cid:141)(cid:108)(cid:56)
(cid:93)1(cid:94)(cid:167)(cid:168) = (cid:141)(cid:108)(cid:42)(cid:142)(cid:177)
(cid:93)2(cid:94)(cid:42)(cid:247)𝐵𝐶(cid:23)(cid:44)𝐴(cid:120)𝐶(cid:108)𝐵−(cid:72)𝐴𝐶 = (cid:54)(cid:58)(cid:125) (cid:259) (cid:207) (cid:140)(cid:125) (cid:242)(cid:243) (cid:54)(cid:106)(cid:107)(cid:42)(cid:247) (cid:141)(cid:108)(cid:42)(cid:142)(cid:56)
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:93)𝐴1𝐵(cid:94)(cid:142)(cid:10) 𝐴𝐵=21𝐴0𝐶°, =1𝐴50°𝐴(cid:54)𝐷⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐷, 𝑂𝐵,𝑂𝐶 𝐵𝐶,𝐴𝐷
=60°(cid:54) ∵𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶
∴𝐵𝐶 =30°(cid:56)
(cid:93)∴2∠(cid:94)𝐵𝐴(cid:142)𝐶(cid:10) =210°, =150°(cid:54)
= ∵=𝐴1𝐶5𝐵0°(cid:54) 𝐴𝐶
∴𝐴𝐵 𝐴𝐶= (cid:54)
(cid:95)∴(cid:52)𝐴𝐵(cid:54)(cid:58)𝐴(cid:125)𝐶 (cid:259) (cid:207) (cid:140)(cid:125) (cid:242)(cid:243) (cid:54)
𝐴 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐷, 𝑂𝐵,𝑂𝐶
(cid:133) (cid:58) (cid:54)
(cid:27)𝐴(cid:93)𝐷1(cid:94)𝑂(cid:108)(cid:72) =60°(cid:56)
1 ∠𝐵𝑂𝐶
= =30°(cid:54)
2
∴∠𝐵𝑂𝐷(cid:23)(cid:272)(cid:126)∠𝐵(cid:110)𝑂3𝐶(cid:54)
∵⊙𝑂 1 3 3 3
= = = = = (cid:54)
2 2 2
2 2
∴𝑂𝐵 3,𝐵𝐷 𝑂𝐵 ,𝑂𝐷 𝑂𝐵 −𝐵𝐷
3 3
= + =3+ = =3(cid:54)
2
∴𝐴𝐷 𝑂𝐴1 𝑂𝐷 9,𝐵𝐶 92𝐵𝐷
= × × = 3+
2 4 2
∴(cid:15)𝑆(cid:152) △𝐴 (cid:151) 𝐵𝐶 6-3(cid:19)(cid:93)𝐵2𝐶4-25𝐴𝐷(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:346)·(cid:227)(cid:51)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) (cid:51)(cid:54) (cid:110) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54) (cid:140)(cid:125) (cid:54)
(cid:140)(cid:125) (cid:56) ⊙𝑂 𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷⊥𝑂𝐴 𝐷 𝐶𝐸⊥𝑂𝐵
𝐸
(1)(cid:42)(cid:48)(cid:10) = (cid:56)
(2)(cid:233) 𝐶𝐷=12𝐶0𝐸°(cid:54) =6(cid:54)(cid:42)(cid:123)(cid:129)(cid:53) (cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:56)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)∠𝐴(cid:19)𝑂(𝐵1)(cid:347)(cid:142)(cid:139) 𝑂𝐴 𝐷𝑂𝐸𝐶
(2)9 3
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:93)1(cid:94)(cid:167)(cid:168)(cid:31)(cid:30)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:72) (cid:204)(cid:106) (cid:56)(cid:248)(cid:249)(cid:148)(cid:149)(cid:29)(cid:204)(cid:106)(cid:64)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:108)(cid:72)(cid:48)(cid:56)
(cid:93)2(cid:94)(cid:242)(cid:243) (cid:56)(cid:27) =120°(cid:54)(cid:72) 𝑂𝐶 =60∠°𝐴(cid:56)𝑂(cid:248)𝐵(cid:249)(cid:72) =30°(cid:56)(cid:148)(cid:149)30(cid:44)(cid:63)(cid:29)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:72)
1 𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝑂𝐶𝐷 1 9 3
= =3(cid:54)(cid:248)(cid:249)(cid:167)(cid:168)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:72) = =3 3(cid:54)(cid:330)(cid:249)(cid:141)(cid:108)(cid:42)(cid:72) = = (cid:56)(cid:87)
2 2 2
2 2
𝑂𝐷 𝑂𝐶 𝐶𝐷 𝑂𝐶 −𝑂𝐷
𝑆△𝐶𝐷𝑂
𝑂𝐷⋅𝐶𝐷9 3
(cid:85)(cid:54)(cid:108)(cid:72) = (cid:54)(cid:140)(cid:50)(cid:141)(cid:108)(cid:72)(cid:142)(cid:56)
2
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:93)𝑆△
1
𝐶
(cid:94)
𝐸𝑂
(cid:48)(cid:49)(cid:10)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:56)
𝑂𝐶
(cid:110) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)
∵𝐶 =𝐴𝐵 (cid:54)
∴𝐴𝐶 𝐵=𝐶 (cid:54)
∴∠𝐴(cid:204)𝑂𝐶(cid:106) ∠𝐵𝑂𝐶(cid:56)
(cid:160)∴𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂(cid:54)𝐵 (cid:54)
∵𝐶=𝐷⊥𝑂(cid:56)𝐴 𝐶𝐸⊥𝑂𝐵
(cid:93)∴2𝐶(cid:94)𝐷(cid:142)(cid:10)𝐶𝐸(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:56)
𝑂𝐶
(cid:27)(cid:93)1(cid:94)(cid:72) = (cid:54)
=∠1𝐴2𝑂0𝐶°(cid:54) ∠𝐵𝑂𝐶
∵∠𝐴𝑂𝐵=60°(cid:56)
∴∠𝐴𝑂𝐶 (cid:54)
∵𝐶𝐷⊥𝑂=𝐴90°(cid:54)
∴∠𝐶𝐷𝑂 =30°(cid:56)
∴∠𝑂𝐶=𝐷 =6(cid:54)
∵𝑂𝐶 𝑂𝐴 1
(cid:86)Rt (cid:51)(cid:54) = =3(cid:54)
2
∴ △𝑂𝐷𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐶
= =3 3(cid:54)
2 2
∴𝐶𝐷 𝑂𝐶 −𝑂𝐷1 9 3
= = (cid:56)
2 2
∴𝑆△𝐶𝐷𝑂 𝑂𝐷⋅𝐶𝐷
9 3
(cid:87)(cid:85)(cid:54)(cid:108)(cid:72) = (cid:54)
2
𝑆△
=
𝐶𝐸𝑂
+ =9 3(cid:56)
四边形
(cid:15)∴(cid:125)𝑆 (cid:146)(cid:19)𝐷(cid:147)𝑂𝐸(cid:20)𝐶 (cid:186)𝑆(cid:187)△(cid:188)𝐶𝐷(cid:189)𝑂 (cid:150)𝑆(cid:31)△𝐶(cid:30)𝐸𝑂(cid:32)(cid:30)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:29)(cid:204)(cid:106)(cid:64)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:84)(cid:85)(cid:54)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:54)30(cid:44)(cid:63)(cid:29)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:26)
(cid:235)(cid:82)(cid:63)(cid:29)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:97)(cid:348)(cid:29)(cid:219)(cid:115)(cid:54)(cid:237)(cid:238)(cid:192)(cid:193)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:30)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:29)(cid:204)(cid:106)(cid:64)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:84)(cid:85)(cid:82)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:50)(cid:142)(cid:20)
(cid:23)(cid:3)(cid:194)(cid:56)
【题型7 由圆心角、弧、弦之间的关系求周长】
(cid:15)(cid:121)7(cid:19)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:125) ~ (cid:50) (cid:23)(cid:349)(cid:89)(cid:106)(cid:125)(cid:56)(cid:233) (cid:54)(cid:123)(cid:129)(cid:53) (cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:106)(cid:107)(cid:110)a(cid:54)b(cid:54)(cid:133)(cid:153)(cid:154)(cid:40)
(cid:158)(cid:23)(cid:50)( ) 𝑃1 𝑃8 ⊙𝑂 △𝑃1𝑃3𝑃7 𝑃3𝑃4𝑃6𝑃7
A(cid:56) < B(cid:56) = C(cid:56) > D(cid:56)a(cid:54)b(cid:127)(cid:130)(cid:164)(cid:156)(cid:256)(cid:299)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)𝑎A 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:242)(cid:243) , (cid:54)(cid:230)(cid:20)(cid:60)(cid:72) = = = (cid:54) = (cid:54) (cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:110) =
+ + 𝑃1𝑃2(cid:54)𝑃(cid:123)2𝑃(cid:129)3(cid:53) 𝑃(cid:23)1𝑃(cid:47)2 (cid:43)(cid:110)𝑃2𝑃3= 𝑃3𝑃4+ 𝑃6𝑃+7 𝑃4𝑃6+ 𝑃1𝑃(cid:54)7(cid:144)△𝑃1=𝑃3𝑃7 + 𝑎 𝑃1
𝑃3(cid:54)(cid:167)𝑃1(cid:168)𝑃7 𝑃3𝑃7 (cid:23)(cid:229)(cid:129)(cid:3)𝑃3(cid:35)𝑃4(cid:141)𝑃6(cid:108)𝑃7(cid:72)(cid:142)(cid:56) 𝑏 𝑃3𝑃4 𝑃4𝑃6 𝑃6𝑃7 𝑃3𝑃7 𝑏−𝑎 𝑃1𝑃2 𝑃2𝑃3−𝑃1
𝑃(cid:15)3(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:242)△(cid:243)𝑃1𝑃2𝑃3, (cid:54)
𝑃1𝑃2𝑃2𝑃3
(cid:125) ~ (cid:50) (cid:23)(cid:349)(cid:89)(cid:106)(cid:125)(cid:54)(cid:141) = = = = = = =
∵ 𝑃1 𝑃8 ⊙𝑂 𝑃1𝑃2 𝑃2𝑃3 𝑃3𝑃4 𝑃4𝑃5 𝑃5𝑃6 𝑃6𝑃7 𝑃7𝑃8 𝑃8𝑃1= = = (cid:54) = + = + =
∴𝑃1𝑃2 𝑃2𝑃3 𝑃3𝑃4 𝑃6𝑃7 𝑃4𝑃6 𝑃4𝑃5 𝑃5𝑃6 𝑃7𝑃8 𝑃8𝑃1 𝑃1𝑃7
=
(cid:160)∴𝑃4𝑃6 𝑃1𝑃7(cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:110) = + + (cid:54)
(cid:123)∵(cid:129)△(cid:53)𝑃1𝑃3𝑃7 (cid:23)(cid:47)(cid:43)𝑎(cid:110) 𝑃=1𝑃3 𝑃+1𝑃7 𝑃+3𝑃7 + (cid:54)
=𝑃3(𝑃4𝑃6𝑃+7 + 𝑏 𝑃+3𝑃4 )𝑃4(𝑃6 𝑃+6𝑃7 𝑃+3𝑃7 ) =( + + + )
∴𝑏−𝑎 𝑃3𝑃4 𝑃4𝑃6 𝑃6𝑃7 𝑃3𝑃7 − 𝑃(1𝑃3 +𝑃1𝑃7 +𝑃3𝑃7 ) 𝑃1𝑃2 𝑃1𝑃7 𝑃2𝑃3 𝑃3𝑃7 −
= + 𝑃1𝑃3 𝑃1𝑃7 𝑃3𝑃7
(cid:86)𝑃1𝑃2 𝑃2𝑃(cid:51)3−(cid:111)𝑃1𝑃3 + >
△𝑃=1𝑃2𝑃3 + 𝑃1𝑃2 𝑃2𝑃>3 0 𝑃1𝑃3
∴(cid:144)𝑏(cid:145)−𝑎A(cid:56)𝑃1𝑃2 𝑃2𝑃3−𝑃1𝑃3
(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:89)(cid:31)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:32)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:229)(cid:129)(cid:3)(cid:35)(cid:89)(cid:109)(cid:335)(cid:54)(cid:148)(cid:149)(cid:259)(cid:350)(cid:256)(cid:299)(cid:156)(cid:256)(cid:299)(cid:47)(cid:43)(cid:127)(cid:130)(cid:50)(cid:142)(cid:20)(cid:23)
(cid:3)(cid:194)(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)7-1(cid:19)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:307)(cid:109) O(cid:23)(cid:272)(cid:126)(cid:89)(cid:140)2cm(cid:54)AB(cid:50)(cid:63)(cid:126)(cid:54)C(cid:54)D(cid:50) O(cid:128)(cid:23)(cid:97)(cid:125)(cid:54)(cid:132) = = (cid:54)(cid:133)
(cid:123)(cid:129)(cid:53)ABCD(cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:89)(cid:140)⊙(cid:93)(cid:336)(cid:336)(cid:94) ⊙ 𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵
A(cid:56)8cm B(cid:56)10cm C(cid:56)12cm D(cid:56)16cm
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)B
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:242)(cid:243)OD(cid:30)OC(cid:54)(cid:167)(cid:168)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:48)(cid:72) AOD(cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:275)(cid:172)(cid:27) = = (cid:108)
(cid:72) = = =2cm(cid:54)(cid:140)(cid:50)(cid:108)(cid:79)(cid:42)(cid:247)(cid:38)(cid:96)(cid:56) △ 𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵
(cid:15)(cid:143)𝐴𝐷(cid:142)(cid:19)𝐷(cid:142)𝐶(cid:10)(cid:95)𝐶𝐵(cid:52),(cid:242)(cid:243)OD(cid:30)OC(cid:56)
= = (cid:54)
∵𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵AOD= DOC= COB(cid:54) = = (cid:177)
∴∠AOD+∠DOC+∠COB=1𝐴80𝐷°(cid:54)𝐷𝐶 𝐶𝐵
∵∠AOD=∠DOC=∠COB=60°(cid:177)
∴∠OA=OD∠(cid:54) ∠
∵ AOD(cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54) O(cid:23)(cid:272)(cid:126)(cid:89)(cid:140)2cm(cid:54)
∴A△D=OD=OA=2cm(cid:177) ⊙
∴ = = (cid:54)
∵A𝐴D𝐷=CD𝐷=B𝐶C=O𝐶A𝐵=2cm(cid:177)
∴(cid:123)(cid:129)(cid:53)ABCD(cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:110):AD+CD+BC+AB=5×2=10cm;
(cid:144)∴(cid:145)(cid:10)B(cid:56)
(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:74)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:36)(cid:84)(cid:74)(cid:26)(cid:235)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:51)(cid:54)(cid:89)(cid:31)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)
(cid:90)(cid:89)(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)7-2(cid:19)(cid:93)2022·(cid:351)(cid:352)(cid:353)(cid:63)(cid:354)(cid:355)(cid:222)(cid:356)(cid:202)·(cid:118)(cid:271)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:232)(cid:54)A(cid:30)B(cid:50)(cid:272)(cid:126)(cid:110)2(cid:23) (cid:128)(cid:23)(cid:97)(cid:125)(cid:54)(cid:233)
=120°(cid:54)(cid:125)C(cid:50)(cid:31) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)(cid:133)(cid:123)(cid:129)(cid:53) (cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:110) (cid:56) ⊙𝑂
∠𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝑂𝐵𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)8
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:357)(cid:58)(cid:89)(cid:31)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:104) =120°(cid:54)(cid:72)(cid:244) (cid:104) (cid:65)(cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:266)(cid:42)(cid:247)(cid:123)(cid:129)
(cid:53) (cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:56) ∠𝐴𝑂𝐵 △𝐴𝑂𝐶 △𝐵𝑂𝐶
(cid:15)𝐴(cid:143)𝑂(cid:142)𝐵𝐶(cid:19)(cid:142)(cid:10) C(cid:50) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)
= ∵ (cid:54)(cid:249)𝐴𝐵 =120°(cid:54)
∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐶=60∠°𝐴(cid:54)𝑂𝐵
∴∠𝐴𝑂=𝐶 ∠=𝐵𝑂𝐶(cid:54)
∵𝑂𝐴 𝑂(cid:104)𝐶 𝑂𝐵 (cid:65)(cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)
∴△𝐴=𝑂𝐶 =△𝐵𝑂=𝐶 =2(cid:54) (cid:71)(cid:79)(cid:123)(cid:129)(cid:53) (cid:23)(cid:47)(cid:43)(cid:89)(cid:140)8(cid:56)
∴(cid:144)𝑂(cid:137)𝐴(cid:138)(cid:110)𝑂𝐵(cid:10)8(cid:56)𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐴𝑂𝐵𝐶(cid:15)(cid:125)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:23)(cid:50)(cid:89)(cid:31)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:89)(cid:177)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:36)(cid:84)(cid:104)(cid:26)(cid:235)(cid:54)(cid:237)(cid:238)(cid:23)(cid:297)(cid:149)(cid:89)(cid:31)(cid:71)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:28)(cid:29)
(cid:90)(cid:89)(cid:50)(cid:142)(cid:147)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:194)(cid:56)
(cid:15)(cid:152)(cid:151)7-3(cid:19)(cid:93)2024·(cid:358)(cid:282)(cid:359)(cid:360)(cid:361)·(cid:229)(cid:271)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:283)(cid:53) (cid:51)(cid:54) =90°(cid:54) =2(cid:54)C(cid:110) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54) (cid:110)
(cid:128)(cid:61)(cid:125)(cid:54)(cid:132)2 = (cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:54) (cid:54)(cid:86) (cid:69)(cid:125) (cid:66)(cid:67)𝐴𝑂(cid:23)𝐵(cid:58)(cid:286)∠(cid:51)𝐴(cid:54)𝑂(cid:291)𝐵 (cid:265)(cid:292)(cid:130)𝐵(cid:293)𝑂(cid:294)(cid:54) 𝐵(cid:23)𝑂(cid:47)(cid:43)(cid:110) 𝐷 (cid:56)
𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝑂𝐶 𝑂 𝐶𝐷 △𝐴𝐶𝑂
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)3+ 3/ 3+3
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:22)(cid:51)(cid:292)(cid:293)(cid:216)(cid:20)(cid:54)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:36)(cid:84)(cid:79)(cid:82)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:89)(cid:109)(cid:335)(cid:54)(cid:142)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:194)(cid:50)(cid:85)(cid:142)(cid:20)(cid:60)(cid:54)
(cid:362)(cid:363)(cid:297)(cid:149)(cid:71)(cid:11)(cid:109)(cid:335)(cid:142)(cid:267)(cid:216)(cid:20)(cid:56)
(cid:36)(cid:37)(cid:247)(cid:86) (cid:23)(cid:66)(cid:67)(cid:58)(cid:286)(cid:51)(cid:54) (cid:229)(cid:125)(cid:295)(cid:64)(cid:294)(cid:54) (cid:292)(cid:364)(cid:54)(cid:72)(cid:247) (cid:50)(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:27)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:42)(cid:247)
= 3(cid:54)𝑂𝐶(cid:141)(cid:108)(cid:142)(cid:267)(cid:216)(cid:20)(cid:56) 𝑂,𝐶,𝐷 𝐶𝐷 △𝐴𝑂𝐷
𝐴(cid:15)𝐶(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:142)(cid:10) =2(cid:54)
= =∵2𝐵(cid:54)𝑂
∴𝐴(cid:110)𝑂 (cid:23)𝐵𝑂(cid:51)(cid:125)(cid:54)
∵𝐶 𝐵𝑂1
= =1(cid:54)
2
(cid:86)∴𝑂𝐶(cid:69)(cid:125)𝐵𝑂(cid:66)(cid:67)(cid:23)(cid:58)(cid:286)(cid:51)(cid:54)(cid:291) (cid:229)(cid:125)(cid:295)(cid:64)(cid:294)(cid:54) (cid:23)(cid:293)(cid:292)(cid:130)(cid:54)(cid:95)(cid:52)(cid:54)
𝑂𝐶 𝑂 𝑂,𝐶,𝐷 𝐶𝐷
2 = (cid:54)
∵ 𝐵𝐷 𝐴𝐷
2
= (cid:54)
⏜ 3 ⏜
∴𝐴𝐷 𝐴2𝐵
= =60°(cid:54)
3
(cid:160)∴∠𝐴𝑂𝐷= ∠(cid:54)𝐴𝑂𝐵
𝐴𝑂 𝐷(cid:50)𝑂(cid:89)(cid:129)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:54)
∴△(cid:110)𝐴𝑂𝐷(cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)
∵𝐶 𝑂𝐷(cid:54)
∴𝐴𝐶⊥𝑂𝐷
(cid:27)(cid:245)(cid:246)(cid:84)(cid:85)(cid:72)(cid:54) = = 2 1 = 3(cid:54)
2 2 2 2
(cid:23)(cid:47)(cid:43)𝐴=𝐶 +𝐴𝑂 +−𝑂𝐶 =2+1−+ 3=3+ 3(cid:54)
∴(cid:144)△(cid:137)𝐴(cid:138)𝐶(cid:110)𝑂(cid:10)3+ 3(cid:56)𝐴𝑂 𝑂𝐶 𝐴𝐶
【题型8 由圆心角、弧、弦之间的关系证明】
(cid:15)(cid:121)8(cid:19)(cid:93)24-25(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:153)·(cid:365)(cid:318)(cid:366)(cid:367)·(cid:254)(cid:255)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)D(cid:54)E(cid:106)(cid:107)(cid:50) (cid:23)(cid:272)(cid:126) (cid:54) (cid:128)(cid:23)(cid:125)(cid:54)(cid:132) (cid:54)
☉
(cid:54)(cid:206)(cid:262)(cid:106)(cid:107)(cid:110)D(cid:54)E(cid:54) = (cid:56)(cid:42)(cid:48)(cid:10) = (cid:56) 𝑂 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐶𝐷⊥𝑂𝐴
𝐶𝐸⊥𝑂𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐶𝐵
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)(cid:347)(cid:142)(cid:139)
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:181)(cid:89)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:104)(cid:36)(cid:84)(cid:54)(cid:206)(cid:126)(cid:84)(cid:85)(cid:54)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:89)(cid:109)(cid:335)(cid:125)(cid:54)(cid:42)(cid:247)
= =90°(cid:54)(cid:167)(cid:168)HL(cid:72)(cid:247)Rt Rt (cid:54)(cid:167)(cid:168)(cid:181)(cid:89)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:72)(cid:247) = (cid:54)(cid:141)
∠(cid:108)𝐶(cid:72)𝐷𝑂(cid:247)(cid:137)∠(cid:138)𝐶(cid:56)𝐸𝑂 △𝐶𝐷𝑂≌ △𝐶𝐸𝑂 ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐵𝑂𝐶
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:48)(cid:49)(cid:10) (cid:54) (cid:54)
= ∵=𝐶𝐷90⊥°(cid:54)𝑂𝐴 𝐶𝐸⊥𝑂𝐵
∴(cid:86)∠R𝐶t𝐷𝑂 ∠𝐶(cid:104)𝐸R𝑂t (cid:51)(cid:54)
△=𝐶𝑂𝐷 △𝐶𝑂𝐸
= (cid:54)
𝐶𝑂 𝐶𝑂
∵R𝐶t𝐷 𝐶𝐸 Rt (HL)(cid:54)
∴ △𝐶𝑂=𝐷≌ △(cid:54)𝐶𝑂𝐸
∴∠𝐴𝑂=𝐶 (cid:56)∠𝐵𝑂𝐶
∴(cid:15)𝐴(cid:152)𝐶(cid:151)𝐶8𝐵-1(cid:19)(cid:93)2024(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:181)(cid:239)·(cid:240)(cid:20)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) (cid:51)(cid:54)(cid:272)(cid:126) (cid:54) (cid:106)(cid:107)(cid:207)(cid:32) (cid:140)(cid:125)E(cid:54)F(cid:54)(cid:132)
= (cid:56)(cid:42)(cid:48)(cid:10) ⊙𝑂 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝐴𝐵
𝐴𝐹 𝐵𝐸
(1) = (cid:177)
𝑂𝐸 𝑂𝐹(2) = (cid:56)
(cid:15)(cid:137)𝐴𝐶(cid:138)(cid:19)𝐵(1𝐷)(cid:347)(cid:142)(cid:139)(cid:177)
(2)(cid:347)(cid:142)(cid:139)
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:181)(cid:89)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:36)(cid:84)(cid:104)(cid:26)(cid:235)(cid:54)(cid:242)(cid:243)(cid:272)(cid:126)(cid:305)(cid:306)(cid:181)(cid:89)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:50)(cid:142)(cid:20)(cid:23)
(cid:3)(cid:194)
(cid:93)1(cid:94)(cid:242)(cid:243) (cid:30) (cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:181)(cid:89)(cid:141)(cid:108)(cid:177)
(cid:93)2(cid:94)(cid:165)(cid:187)𝑂(cid:48)𝐴(cid:49) 𝑂𝐵 = (cid:141)(cid:108)(cid:177)
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:93)1(cid:94)∠(cid:48)𝐴(cid:49)𝑂𝐶(cid:10)(cid:242)∠(cid:243)𝐵𝑂𝐷(cid:30) (cid:54)(cid:95)(cid:52)(cid:232)(cid:54)
𝑂𝐴 𝑂𝐵
= (cid:54)
∵𝑂𝐴 𝑂=𝐵 (cid:54)
∴(cid:160)∠𝑂𝐴𝐸= ∠𝑂(cid:54)𝐵𝐹
∵𝐴=𝐹 𝐵(cid:54)𝐸
∴𝐴𝐸 𝐵𝐹 (cid:93)SAS(cid:94)(cid:54)
∴△𝐴=𝑂𝐸≌(cid:177)△𝐵𝑂𝐹
(cid:93)∴𝑂2𝐸(cid:94)(cid:48)𝑂(cid:49)𝐹(cid:10) (cid:54)
= ∵△(cid:54)𝐴𝑂𝐸≌△𝐵𝑂𝐹
∴∠𝐴𝑂=𝐶 ∠(cid:56)𝐵𝑂𝐷
∴(cid:15)𝐴(cid:152)𝐶(cid:151)𝐵8-𝐷2(cid:19)(cid:93)23-24(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:251)(cid:16)(cid:368)(cid:251)·(cid:254)(cid:255)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:71)(cid:232)(cid:54)(cid:79) (cid:23)(cid:124)(cid:125)A(cid:110)(cid:22)(cid:28)(cid:54) (cid:110)(cid:272)(cid:126)(cid:259)(cid:22)(cid:54)
(cid:106)(cid:107)(cid:207) (cid:54) (cid:140)(cid:125)E(cid:54)F(cid:54)(cid:369)(cid:43) (cid:207) (cid:140)G(cid:56) ▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐴 ⊙𝐴
(1)(cid:42)(cid:48)(cid:10) = (cid:177)
(2)(cid:233)(cid:105)(cid:31)𝐺𝐸(cid:71)(cid:24)𝐸𝐹(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)70°(cid:54)(cid:42) (cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:56)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:19)(𝐵1𝐹)(cid:48)(cid:49)(cid:347)(cid:142)(cid:139) ∠𝐶(2)125°
(cid:15)(cid:106)(cid:139)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:150)(cid:204)(cid:205)(cid:123)(cid:129)(cid:53)(cid:26)(cid:235)(cid:54)(cid:204)(cid:205)(cid:64)(cid:26)(cid:235)(cid:54)(cid:31)(cid:74)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:89)(cid:109)(cid:335)(cid:125)(cid:23)(cid:114)(cid:149)(cid:54)(cid:3)(cid:194)(cid:50)(cid:42)(cid:247)
= (cid:56)
(cid:93)∠𝐷1𝐴(cid:94)𝐹(cid:187)(cid:48)∠(cid:49)𝐺𝐴𝐷 = (cid:54)(cid:133)(cid:187)(cid:48)(cid:49) = (cid:54)(cid:27)(cid:89)(cid:129)(cid:24)(cid:89)(cid:29)(cid:79)(cid:82)(cid:204)(cid:205)(cid:123)(cid:129)(cid:53)(cid:26)(cid:235)(cid:141)(cid:108)(cid:48)(cid:49)(cid:177)
𝐸𝐹 𝐺𝐸 ∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐺𝐴𝐷 1
(cid:93)2(cid:94)(cid:167)(cid:168)(cid:105)(cid:31) (cid:71)(cid:24)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)70°(cid:54)(cid:72)(cid:244) =70°(cid:54)(cid:140)(cid:50)(cid:72)(cid:244) = = ( )
2
=55°(cid:54)(cid:167)(cid:168)(cid:204) 𝐵 (cid:205) 𝐹 (cid:123)(cid:129)(cid:53)(cid:23)(cid:26)(cid:235)(cid:141)(cid:108)(cid:72)(cid:244)(cid:38)(cid:39)(cid:56) ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐵 ∠𝐴𝐹𝐵 180°−∠𝐵𝐴𝐹
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:93)1(cid:94)(cid:142)(cid:10)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:242)(cid:243) (cid:54)
𝐴𝐹
(cid:110)(cid:22)(cid:28)(cid:54)
∵𝐴 = (cid:54)
∴𝐴𝐵 𝐴=𝐹 (cid:54)
∴∠(cid:123)𝐴(cid:129)𝐵𝐹(cid:53) ∠𝐴𝐹(cid:110)𝐵(cid:204)(cid:205)(cid:123)(cid:129)(cid:53)(cid:54)
∵ 𝐴(cid:54)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 (cid:54) = (cid:54)
∴∠𝐴𝐹𝐵 =∠𝐷𝐴𝐹(cid:54)∠𝐺𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐹
∴∠𝐷𝐴=𝐹 (cid:177)∠𝐺𝐴𝐷
(cid:93)∴2𝐸(cid:94)𝐹 (cid:105)𝐺(cid:31)𝐸 (cid:71)(cid:24)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:44)(cid:120)(cid:110)70°(cid:54)
∵ =7𝐵0𝐹°(cid:54)
∴∠𝐵𝐴𝐹 1
= = ( )=55°(cid:54)
2
∴∠(cid:123)𝐵(cid:129)(cid:53)∠𝐴𝐹𝐵 (cid:110)(cid:204)1(cid:205)80(cid:123)°−(cid:129)∠(cid:53)𝐵𝐴(cid:54)𝐹
∵ 𝐴(cid:54)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐵∥=𝐶𝐷 =125°(cid:56)
(cid:15)∴(cid:152)∠𝐶(cid:151)81-38(cid:19)0°(cid:93)−∠2𝐵4-25(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:128)·(cid:251)(cid:16)(cid:242)(cid:252)(cid:253)·(cid:254)(cid:255)(cid:238)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:86) (cid:51)(cid:54)(cid:125) (cid:50)(cid:103)(cid:31) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54) (cid:30) (cid:106)(cid:107)
(cid:50) (cid:30) (cid:128)(cid:23)(cid:125)(cid:54)(cid:132) = (cid:54)(cid:32) (cid:30) (cid:106)(cid:107)(cid:58)(cid:125) (cid:30) (cid:56) ⊙𝑂 𝐶 𝐴𝐶𝐵 𝐷 𝐸
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝑀 𝐶𝑁 𝐷 𝐸(1)(cid:42)(cid:48)(cid:10) = (cid:177)
(2) (cid:104) 𝐶𝐷(cid:23)(cid:43)𝐶(cid:44)𝐸(cid:90)(cid:89)(cid:370)(cid:371)(cid:372)(cid:155)(cid:49)(cid:85)(cid:27)(cid:56)
(cid:15)(cid:137)𝐴𝑀(cid:138)(cid:19)𝐵(𝑁1)(cid:347)(cid:142)(cid:139)
(2) (cid:104) (cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:85)(cid:27)(cid:347)(cid:142)(cid:139)
(cid:15)(cid:106)𝐴𝑀(cid:139)(cid:19)𝐵(cid:147)𝑁(cid:20)(cid:188)(cid:189)(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:3)(cid:35)(cid:54)(cid:181)(cid:89)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:36)(cid:84)(cid:104)(cid:26)(cid:235)(cid:89)(cid:109)(cid:335)(cid:54)(cid:142)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:194)(cid:50)(cid:40)(cid:158)(cid:373)(cid:374)
(cid:181)(cid:89)(cid:229)(cid:29)(cid:53)(cid:142)(cid:267)(cid:216)(cid:20)(cid:56)
(cid:93)1(cid:94)(cid:242)(cid:243) (cid:54)(cid:165)(cid:187)(cid:48)(cid:49) (SAS)(cid:141)(cid:108)(cid:142)(cid:267)(cid:216)(cid:20)(cid:177)
(cid:93)2(cid:94)(cid:375)(cid:48)𝑂(cid:49)𝐶 = (cid:54)(cid:165)△(cid:187)𝐶𝑂(cid:48)𝐷(cid:49)≌△𝐶𝑂𝐸= (cid:141)(cid:108)(cid:177)
(cid:15)(cid:143)(cid:142)(cid:19)(cid:93)1𝐴(cid:94)𝑀(cid:48)(cid:49)𝐵(cid:10)𝑁(cid:242)(cid:243) (cid:56) ∠𝑀𝑂𝐷 ∠𝑁𝑂𝐸
𝑂𝐶
(cid:125) (cid:50)(cid:103)(cid:31) (cid:23)(cid:51)(cid:125)(cid:54)
∵ 𝐶 = (cid:54)𝐴𝐶𝐵
∴ 𝐴𝐶 =𝐵𝐶 (cid:54)
∴∠𝐶𝑂=𝐷 ∠(cid:54)𝐶𝑂𝐸= (cid:54)
∵𝑂𝐴 =𝑂𝐵(cid:54)𝐴𝐷 =𝐵𝐸 (cid:54)
∴𝑂𝐷 𝑂𝐸 ∵𝑂𝐶(SAS𝑂)(cid:54)𝐶
∴△𝐶𝑂=𝐷≌△(cid:56)𝐶𝑂𝐸
(cid:93)∴2𝐶(cid:94)𝐷(cid:142)(cid:10)𝐶𝐸 (cid:104) (cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:90)(cid:89)(cid:54)(cid:85)(cid:27)(cid:95)(cid:153)(cid:54)
(cid:106)(cid:107)(cid:242)(cid:243) 𝐴𝑀(cid:54) 𝐵𝑁(cid:54)
𝑂𝑀 𝑂𝑁(cid:54)
∵△𝐶𝑂𝐷≌=△𝐶𝑂𝐸(cid:54) = (cid:54)
∴∠𝐶𝐷=𝑂 ∠=𝐶𝐸𝑂 (cid:54)∠𝑂𝐶𝐷 ∠𝑂𝐶𝐸
∵𝑂𝐶 𝑂=𝑀 𝑂𝑁(cid:54) = (cid:54)
∴∠𝑂𝐶𝑀 =∠𝑂𝑀𝐶(cid:54)∠𝑂𝐶𝑁 ∠𝑂𝑁𝐶
∴∠𝑂𝑀𝐷= ∠𝑂𝑁𝐸+ (cid:54) = + (cid:54)
∵∠𝑂𝐷𝐶 =∠𝐷𝑀𝑂(cid:54)∠𝑀𝑂𝐷 ∠𝐶𝐸𝑂 ∠𝐶𝑁𝑂 ∠𝐸𝑂𝑁
∴∠ 𝑀𝑂𝐷= ∠(cid:56)𝑁𝑂𝐸
∴ 𝐴𝑀(cid:104) 𝐵𝑁(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:90)(cid:89)(cid:56)
∴ 𝐴𝑀 𝐵𝑁
