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专题十五 机械振动
（考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分）
第I 部分
一、单选题：本题共8 小题，共32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对4 分，
选错不得分。
1．（2024·北京·一模）如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧上端固定在天花板上，下端连接一质量为m，可
视为质点的小球。重力加速度大小为g。将小球托起至O 点，弹簧恰好处于原长，松手后小球在竖直方向
做简谐运动，最远能够到达B 点，A 点为OB 的中点。下列说法正确的是（ ）
A．O 点到B 点弹力的冲量大小等于重力冲量的大小
B．O 点到B 点弹簧先做正功，后做负功
C．O 点到A 点弹力做功与A 点到B 点弹力做功一样多
D．小球经过A 点时的加速度大小为g
【答案】A
【详解】A．小球从O 到B 根据动量定理有
IG－I 弹 = 0
则O 点到B 点弹力的冲量大小等于重力冲量的大小，故A 正确；
B．O 点到B 点弹簧一直被拉伸，弹簧一直做负功，故B 错误；
C．O 点到A 点的弹力要比A 点到B 点的弹力小，则O 点到A 点弹力做的功小于A 点到B 点弹力做的功，
故C 错误；
1
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D．A 点为OB 的中点，即小球做简谐运动的平衡位置，则小球经过A 点时的加速度大小为0，故D 错误。
故选A。
2．（2024·贵州·二模）某研究发现，将一小水滴滴在涂有一层超疏水材料的水平板上，达到特定条件后小
水滴会自发地弹跳起来且越弹越高。以小水滴刚接触水平板时其中心位置为y 轴坐标零点，某段时间内小
水滴中心位置随时间变化的关系如图所示，则小水滴中心（ ）
A．在
、
时刻的速度为零
B．在
、
时刻的加速度为零
C．在
～
时间内一直做加速运动
D．在
～
时间内一直做减速运动
【答案】A
【详解】A．
图像的斜率表示速度，由图可知小水滴中心在
、
时刻的速度为零，故A 正确；
B．由图可知在
、
时刻小水滴的位移最大，此时速度为零，加速度不为零，故B 错误；
C．由图可知
～
时间内小水滴速度先增大后减小，故小水滴先做加速运动后做减速运动，故C 错误；
D．由图可知
～
时间小水滴速度先增大后减小，故小水滴先做加速运动后做减速运动，故D 错误。
故选A。
3．（2024·山西·二模）一个单摆在竖直平面内摆动（摆角
较小），摆球运动到最高点时对细线的拉力大
小为
、摆动的周期为
；保持摆长不变，让该小球在水平面内做圆锥摆运动，摆线偏离竖直方向的夹角
也为
，运动过程中摆球对细线的拉力大小为
，摆动的周期为
。则（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设摆球质量为m，摆长为L，对单摆有
，
对圆锥摆有
，
联立以上四式可得
，
故选B。
4．（2024·浙江·高考真题）如图1 所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水
平杆上，间距为，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为
，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可
观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2 所示，则（ ）
A．
时刻小球向上运动
B．
时刻光源的加速度向上
3
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C．
时刻小球与影子相位差为
D．
时刻影子的位移为
【答案】D
【详解】A．以竖直向上为正方向，根据图2 可知，
时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位
移增大，可知，
时刻小球向下运动，故A 错误；
B．以竖直向上为正方向，
时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，根据
可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B 错误；
C．根据图2 可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留
下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，即
时刻小球与影子相位差为0，故C 错误；
D．根据图2 可知，
时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据直线传播能够在屏上影子的位置也
处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有
解得
即
时刻影子的位移为5A，故D 正确。
故选D。
5．（2022·浙江·高考真题）如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两
弹簧自由端相距
。套在杆上的小球从中点以初速度向右运动，小球将做周期为
的往复运动，则（
）
A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为
4
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C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为
D．小球的初速度为
时，其运动周期为
【答案】B
【详解】A．物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平衡位置，
可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故小球不是做简谐运动，A
错误；
BC．假设杆中点为
，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为
，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时
的位置为
，可知小球做周期为
的往复运动过程为
根据对称性可知小球从
与
，这两个过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势
能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为
，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为
，B 正确，C 错
误；
D．小球的初速度为
时，可知小球在匀速阶段的时间变为原来的
倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子周
期公式
可知接触弹簧过程所用时间与速度无关，即接触弹簧过程时间保持不变，故小球的初速度为
时，其运动
周期应小于
，D 错误；
故选B。
6．（2024·江苏扬州·二模）如图所示，弹簧一端与光滑斜面底端的固定挡板相连，另一端与小木块相连，
木块静止在
点。现将木块推至
点由静止释放，第一次运动至
点的时间为
。已知
点是
的中
点，则（ ）
5
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A．木块从
点第一次运动到
点的时间为
B．若木块从
点由静止释放，第一次运动至
点的时间小于
C．若斜面倾角变小，木块由
点静止释放运动至最高点的时间小于
D．若斜面粗糙，木块由
点静止释放经
时间运动至最高点
【答案】D
【详解】
A．小木块做简谐运动，木块静止在
点，受力平衡，合力为零，因此
点为平衡位置，运动过程中，经
过平衡位置时速度最大，运动相同的距离，速度小的时候用时长，因此木块从
点第一次运动到
点的
时间大于
，故A 错误；
BCD．根据弹簧振子的周期公式
，可知周期与振幅，斜面倾角和接触面粗糙程度无关，因此木
块从
点由静止释放，振幅变为原来的二分之一，第一次运动至
点的时间也是周期的四分之一，仍为
；若斜面倾角变小或者接触面粗糙，木块由
点静止释放运动至最高点所用时间是周期的二分之一，时间
等于
，故BC 错误，D 正确。
故选D。
7．（2024·河南·二模）如图所示，假设沿地球直径凿通一条隧道，把一小球从地面S 点静止释放，小球在
隧道内的运动可视为简谐振动。已知地球半径为R，小球经过O 点时开始计时，由O 向S 运动，经
时间
第1 次过P 点（P 点图中未标出），再经
时间又过该点。则（ ）
6
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A．小球振动的周期为
B．O 到P 的距离为
C．小球第3 次过P 点所需的时间为
D．由S 到O 的运动过程中小球受力逐渐增大
【答案】B
【详解】A.小球经过O 点时开始计时，由O 向S 运动，经t0时间第1 次过P 点，再经2t0时间又过该点，说
明小球从O 到P 的时间为t0，从P 到最大位移处的时间为t0，小球从最大位移处再回到P 点的时间为t0，
则小球振动的周期为
T = 4(t0+ t0) =8t0
故A 错误;；
B.设O 到P 的距离为x，由简谐运动的对称性可得
x=Asin
又
A= R
则得
故B 正确；
C.小球第3 次过P 点所需的时间为
t=6t0
故C 错误；
D.由S 到O 的运动过程中小球做简谐运动，位移逐渐减小，根据简谐运动的特征
分析可知加速度逐渐减小，由牛顿第二定律知小球受力逐渐减小，故D 错误。
故选B。
7
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8．（2021·江苏·高考真题）如图所示，半径为R 的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A 和
钉子B 在右侧墙壁上形成影子O 和P，以O 为原点在竖直方向上建立x 坐标系。
时从图示位置沿逆时
针方向匀速转动圆盘，角速度为
，则P 做简谐运动的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由图可知，影子P 做简谐运动的振幅为
，以向上为正方向，设P 的振动方程为
由图可知，当
时，P 的位移为
，代入振动方程解得
则P 做简谐运动的表达式为
故B 正确，ACD 错误。
故选B。
二、多选题：本题共4 小题，共16 分。有多项符合题目要求。全部选对的得4 分，选对但不全的得2 分，
有选错或不答的得0 分。
9．（2024·安徽黄山·二模）把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给
筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如左图所示。该共振筛的共振曲线如右图所示。已知增大电
压，可使偏心轮转速提高；增加弹簧的劲度系数，可减小筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转
速是
。为使共振筛的振幅增大，以下做法可行的是（ ）
8
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A．降低输入电压B．增加输入电压
C．更换劲度系数更大的弹簧
D．更换劲度系数更小的弹
簧
【答案】AC
【详解】如图可知，筛子的固有频率为
现在某电压下偏心轮的转速是
，频率为
固有频率小于驱动力的频率。
AB．为使共振筛的振幅增大，可以减小驱动力的频率，则偏心轮的转速应减小，应减低输入电压，A 正
确，B 错误；
CD．为使共振筛的振幅增大，可以使固有频率增大，则固有周期减小，即增加弹簧的劲度系数，C 正确，
D 错误。
故选AC。
10．（2024·江西南昌·二模）如图所示，把一个有孔的小球A 装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，
小球套在水平光滑杆上，以O 为平衡位置振动。另一小球B 在竖直平面内以
为圆心、ω 为角速度沿顺时
针方向做半径为R 的匀速圆周运动（O 与
在同一竖直线上）。用竖直向下的平行光照射小球B、可以观
察到，小球B 的“影子”始终在小球A 上。取水平向右为正方向，O 点为坐标原点、小球B 经最低点时为
计时零点，则（ ）
A．小球A 的振幅为2R
B．小球A 的振动周期为
9
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C．小球A 的最大加速度大小为
D．小球A 的速度与时间的关系式为
【答案】BC
【详解】A．由图可知，小球A 的振幅为R，故A 错误；
B．小球A 的振动周期与小球B 的圆周运动周期相同，为
，故B 正确；
C．小球A 的运动可看作小球B 的运动在水平方向上的分运动，当小球A 达到最大加速度，即位移大小最
大时，此时小球B 也达到相应的水平方向的最大位移处，此时水平方向的加速度大小为
，即A 的最大
加速度大小为
。故C 正确；
D．小球A 的速度等于小球B 在水平方向的分速度，关系式
，故D 错误。
故选BC。
11．（2022·湖南·高考真题）下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖
直方向做频率为
的简谐运动：与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图（a）所示。
以木棒所受浮力F 为纵轴，木棒水平位移x 为横轴建立直角坐标系，浮力F 随水平位移x 的变化如图（b）
所示。已知河水密度为
，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．x 从
到
的过程中，木棒的动能先增大后减小
B．x 从
到
的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C．
和
时，木棒的速度大小相等，方向相反
D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为
E．木棒的运动为向x 轴正方向传播的机械横波，波速为
【答案】ABD
10
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【详解】A．由简谐运动的对称性可知，0.1m、0.3m、0.5m 时木棒处于平衡位置；则x 从
到
的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，所以动
能先增大后减小，A 正确；
B．x 从
到
的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动（未到平衡位置），加速
度竖直向下，大小减小，B 正确；
C．
和
时，由图像的对称性知浮力大小相等，说明木棒在同一位置，竖直方向速度大小
相等，速度方向相反，而两时刻木棒水平方向速度相同，所以合速度大小相等，方向不是相反，C 错误；
D．木棒在竖直方向的简谐运动可类比于竖直方向的弹簧振子，设木棒长度为L，回复力系数为k，平衡位
置时木棒重心在水面下方
，则有
木棒重心在平衡位置上方最大位移A 处时
木棒重心在平衡位置下方最大位移A 处时
可解得
，
D 正确；
E．木棒上各质点相对静止随木棒一起运动，不能看成向x 轴正方向传播的机械横波，E 错误。
故选ABD。
12．（2024·云南昆明·一模）轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地
面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落h 后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不会反弹。
此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧劲度系数为
k，箱子和小球的质量均为m，重力加速度为g。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度内。下列说法
正确的是（ ）
11
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A．箱子下落过程中，箱子机械能守恒
B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为3mg
C．箱子落地后，小球运动的最大速度为
D．箱子与地面碰撞损失的机械能为
【答案】BCD
【详解】A．箱子静止时，对小球分析有
对箱子分析有
当箱子由静止释放瞬间，弹簧弹力不发生突变，小球在这瞬间仍然平衡，加速度为0，而箱子释放瞬间固
定箱子的力
消失，箱子所受合力为
可得该瞬间箱子的加速度
此后弹簧会恢复原长，在弹簧恢复原长的过程中，弹簧弹力对箱子做正功，若此过程中箱子落地，则此过
程中箱子的机械能增加；若在弹簧恢复原长时箱子还未落地，由于箱子的速度大于小球的速度，弹簧将被
压缩，弹簧弹力将对箱子做负功，箱子的机械能又会减小，但无论何种情况，箱子在运动过程中除了重力
做功外，弹簧弹力也在做功，因此箱子下落过程中，箱子机械能不守恒，故A 错误；
B．根据题意，此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零，则对箱子有
弹簧处于压缩状态，且为压缩最短位置处，可知小球做简谐振动，此时弹簧的压缩量与小球合力为零时弹
簧的伸长量之和即为小球做简谐振动的振幅，根据简谐振动的对称性可知，在最低点
12
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在最高点
联立解得
而当小球运动至最低点时弹簧弹力有最大值，即为
，故B 正确；
C．小球做简谐振动，在平衡位置时有
解得
即弹簧被拉伸
时小球受力平衡，处于简谐振动的平衡位置，此处小球的速度有最大值，而根据以上分析
可知，小球在最高点时弹簧的弹力和在平衡位置时弹簧的弹力大小相同，只不过在最高位置时弹簧处于被
压缩状态，在平衡位置时弹簧处于被拉伸状态，显然压缩量和伸长量相同，则小球从最高点到达平衡位置
下落的高度
而弹簧压缩量和伸长量相同时所具有的弹性势能相同，即小球zai 最高点和在平衡位置时弹簧的弹性势能
相同，则对小球由最高点到平衡位置根据动能定理可得
解得
故C 正确；
D．箱子损失的机械能即为箱子、弹簧、小球所构成的系统损失的机械能，小球在平衡位置时弹簧所具有
的弹性势能和在箱子未落下时弹簧所具有的弹性势能相同，由能量守恒可得
13
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解得箱子损失的机械能
故D 正确。
故选BCD。
第Ⅱ部分
三、实验题：本题共2 小题，共15 分。
13．（2023·重庆·高考真题）某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质
摆线、刻度尺、50 分度的游标卡尺、摄像装置等。
（1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示
数如图甲所示，则摆球的直径d 为 mm。
（2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm 时，记录并分析单摆的振动视频，得
到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g 为 m/s2（保留3 位有效数字）。
（3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l 和
作
为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg 随摆线长度l 的变化曲线如图所示。由图可
知，该实验中，随着摆线长度l 的增加，Δg 的变化特点是 ，原因是 。
14
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【答案】 19.20 9.86 随着摆线长度l 的增加，Δg 逐渐减小 随着摆线长度l 的增加，则
越接近于l，此时计算得到的g 的差值越小
【详解】（1）[1]用游标卡尺测量摆球直径d=19mm+0.02mm×10=19.20mm
（2）[2]单摆的摆长为
L=990.1mm+
×19.20mm=999.7mm
根据
可得
带入数据
（3）[3][4]由图可知，随着摆线长度l 的增加，Δg 逐渐减小，原因是随着摆线长度l 的增加，则
越接
近于l，此时计算得到的g 的差值越小。
14．（2024·安徽合肥·二模）如图（a）所示，某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有：智
能手机、小球、细线、铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等，实验操作如下：
（1）用铁夹将细线上端固定在铁架台上，将小球竖直悬挂；
（2）用刻度尺测出摆线的长度为l，用游标卡尺测出小球直径为d；
（3）将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用APP《手机物理工坊》的“近距秒表”功能；
（4）将小球由平衡位置拉开一个角度（θ<5°），静止释放，软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变
化的图像，如图（b）所示。
请回答下列问题：
15
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(1)根据图（b）可知，单摆的周期T= s。
(2)重力加速度g 的表达式为 （用测得的物理量符号表示）；
(3)改变摆线长度l，重复步骤（2）、（3）、（4）的操作，可以得到多组T 和l 的值，进一步描绘出如图
（c）的图像，则该图像以 为横坐标（选填
“T”或“T2”），若图线的斜率为k，则重力加速度
的测量值为 。
【答案】(1)2
(2)
(3)
【详解】（1）根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个小球与手机间距离的最小值。由图（b）可得
出，单摆的周期为
T=2s
（2）根据
解得重力加速度g 的表达式为
（3）[1]由上一问中重力加速度的表达式可得
结合图（c）的图像，可知则该图像以
为横坐标。
[2]若图线的斜率为k，则
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可知重力加速度的测量值为
四、计算题：本题共4 小题，共37 分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后
答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
15．（2024·重庆·一模）如图，光滑圆槽的半径L 远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球（均可视为
质点）同时由静止释放，开始时乙球的位置B 低于甲球位置A，甲球与圆偿圆心连线和竖直方向夹角为
θ，丙球释放位置C 为圆槽的圆心，Q 为圆槽最低点；重力加速度为g。若甲、乙、丙三球不相碰，求：
（1）求甲球运动到O 点速度大小；
（2）通过计算分析，甲乙丙三球谁先第一次到达O 点；
（3）若单独释放甲球从降放到第15 次经过O 点所经历的时间。
【答案】（1）
；（2）丙球最先到达；（3）
【详解】（1）设甲球质量为m 根据题意可知甲球静止释放，运动到O 点过程，由动能定理
解得甲球运动到O 点速度大小为
（2）对于丙球，根据自由落体运动规律有
解得
对于甲乙两球可看成类似单摆的简谐运动，其运动周期为
17
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甲乙两球第一次到达点O 时运动
周期，则
丙球最先到达，甲乙同时到达。
（3）根据题意可知甲球做简谐运动，运动一个周期经过两次O 点，第15 次经过O 点所经历的时间为
已知周期
联立解得
16．（2023·山东日照·三模）如图所示，将质量为
的小球穿过光滑竖直轻杆用轻弹簧悬挂在天花板上，
用
（
为重力加速度）的竖直向上的力将弹簧压缩，使小球处于静止状态。
时刻，撤去力
，小球将在竖直面内做简谐运动。已知从撤去
到小球第一次下落到最低点所用时间为
，弹簧的劲度系
数为
，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）小球做简谐运动的振幅A；
（2）从
时刻起，小球做简谐运动的位移
随时间变化的关系式（以小球的平衡位置为坐标原点，向
下为正方向）。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）开始时，对小球受力分析可得
弹簧被压缩的距离
撤去
当合力为零时，弹簧被拉长，受力分析得
弹簧被拉长的距离
此时所处位置即为平衡位置，所以振幅
（2）由题意可知，小球做简谐运动的周期为
小球做简谐运动的位移随时间的变化规律
联立得
17．（2023·江苏镇江·三模）如图所示，一个处于光滑水平面的弹簧振子，O 点是其平衡位置，振子质量
为m，弹簧劲度系数为k，其振动周期为
，振子经过O 点的速度为v，在O 点正上方有一质量为
m 的物体自由下落，恰好落在振子上，并与振子粘在一起振动。
（1）求物体落在振子上后，振子经过O 点的速度大小；
（2）以物体落在振子上为
时刻，求振子到达最左端的时刻。
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【答案】（1）
；（2）
或
【详解】（1）振子与物体碰撞过程中水平方向动量守恒
解得物体落在振子上后，振子经过O 点的速度大小
（2）弹簧振子周期
，振子第一次到达最左端的时刻分别为
振子第N 次到达最左侧的时刻分别为
18．（2024·北京海淀·一模）运动的合成与分解是物理中重要的思想方法，可以把复杂的、不熟悉的运动
转化成简单的、熟悉的运动模型。
（1）如图1 所示，一质点做匀速圆周运动，其到圆心的连线与x 轴的夹角为θ，从运动学的角度证明：其
在x 轴方向的投影为简谐振动；
（2）根据运动的独立性，向心力在水平方向的分力相当于物体做简谐运动的回复力，请推导质量为m、
劲度系数为k 的弹簧振子做简谐振动的周期；
（3）弹簧振子质量为m，劲度系数为k，振幅为A，在图2 中作出振子在一个周期内的动量p 随着位移x
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的变化图像。
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）设圆周运动的角速度为ω，与圆心的连线与x 轴的夹角为θ，在x 轴方向的投影有
满足正余弦函数的形式，因此是简谐振动；
（2）物体做圆周运动的向心力为
其投影所对应的简谐运动的回复力为
即
解得
（3）设简谐振动对应的匀速圆周运动的运动速度为v0，当位移为x 时，有
简谐振动的速度
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所以
根据
可得
其中
所以振子在一个周期内的动量p 随着位移x 的变化图像，如图所示
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