文档文本内容
昌平区 2025 年高三年级第二次统一练习
数学试卷
本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分选择题共40分．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
.
1 已知全集 ，集合 ， ，则 =（ ）．
A. B. C. D.
2. 若复数 ，则复数 的共轭复数 （ ）．
A. B. C. D.
3. 若 ，则 （ ）．
A. B. 0 C. 1 D. 2
4. 已知 ， ， ，其中e为自然对数的底数，则（ ）．
A. B. C. D.
5. 设函数 ．已知 ，且当 时，
的最小值为4，则（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. 已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线 的距离为 ，则 的最大值为（ ）．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4的
7. 庑殿顶是中国传统建筑中 一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面 是矩形，侧面由
两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成．若 ， 且四个侧面与底面的夹角的
大小均相等，则 （ ）．
A. B. C. D.
8. 设数列 是公比不为1的无穷等比数列，则“数列 为递减数列”是“对任意的正整数 ，
”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. （ ，1） D.
10. 在数列 中， ，则（ ）
A. 当 时，对于任意的正整数
B. 当 时，存在正整数 ，当 时，
C. 当 时，对于任意的正整数
D. 当 时，存 在正整数 ，当 时，
第二部分非选择题共110分
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则实数 的值为_____．
12. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 _____；
_____．
13. 已知将函数 的图象向右平移 个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数 的
一个取值为_____．
14. 如图，正方形 的边长为1，点 在直线 上． 是以点 为圆心， 为半径的圆
弧， 是以点 为圆心， 为半径的圆弧， 是以点 为圆心， 为半径的圆弧， 是
以点 为圆心， 为半径的圆弧， 是以点 为圆心， 为半径的圆弧，．．．，依次类推，
其中点 ， 共线，点 ， 共线，点 共线，点
共线．则 的长度为_____；由上述圆弧组成的曲线 与直线 恰有7个交点时，曲线 长度的最小值
为_____．15. 已知曲线 ，给出下列四个结论：
曲线 关于 轴对称；
①
当 时，曲线 上任意一点到点 ，的距离均不超过 ；
②
曲线 与直线 围成图形的面积小于5；
③
经过点 且与 平行的直线与曲线 的所有交点的横、纵坐标均为有理数．
④
其中所有正确结论的序号是_____．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在 中， 为锐角， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积．
为
17. 如图，在四棱锥 中，底面 平行四边形， 与 相交于点 ，平面
平面 ，点 在棱 上， ．
（1）求证： ；（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面 与平面 夹角的大小．
条件①： 平面 ；
条件②： ．
18. 在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该
中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习
的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照 ， ，
， ， ，五个区间进行分组，所得样本数据如下表：
使用次数分组区 初中生 高中生
间 人 人
4 3
38 29
48 28
17
6 3
假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率．
（1）估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数；
（2）从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，
记 为这3人中高中生的人数，求 的分布列和数学期望；
（3）从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行
英语口语自主练习次数位于 的人数分别为 和 ，比较 与 的大小．（结论不要求证
明）
19. 已知椭圆 的长轴长为 ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边形的
面积为6．
（1）求椭圆 的方程及离心率；（2）过点 且斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，点 与点 关于 轴对称．在
轴上是否存在定点 ，使 三点共线？若存在，求实数 的值，若不存在，说明理由．
20. 已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，
若 ，求函数 的最大值；
①
若直线 是曲线 的切线，且 经过点 ，证明： ；
②
（2）当 时，若 是函数 的极小值点，求 的取值范围．
21. 设 为正整数，数列 是公差不为 的等差数列，若从中去掉两项 和 后
剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 个数都能构成等差数列，则称数列 是 的可分数列．
（1）写出所有 ，使得数列 是 、 的可分数列；
（2）当 时，证明：数列 是 的可分数列；
（3）若数列 是 的可分数列，记所有满足条件的 的个数为 ，求 的值．
