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门头沟区 2022 年高三综合练习（一）
高三数学
1．本试卷共6页，共3道大题，21个小题．满分150分．考试时间120分钟．
考
2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将考试编号填写（或条形码粘贴）在答
生 题卡相应位置处．
须 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．选择题、作图题用2B
铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．
知
4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 复数 对应的点在复平面内的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A. B.
C. D.
4. 若点 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 ， 为坐标原点，过其焦点的直线 与抛物线相交于 ， 两点，且 ，则中点 到 轴的距离为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
7. “角 的终边关于原点 对称”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 是边长为 的正△ 边 上的动点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆 的切线，
交双曲线右支于 ，若 ，则 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 新型冠状病毒肺炎（ ）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高
度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是
长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于 月 日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为 （
表示自 月 日开始 （单位：天）时刻累计感染人数， 的导数 表示 时刻的新增病例数，
），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（ ）
A. 月 日~ 月 日 B. 月 日~ 月 日
C. 月 日~ 月 日 D. 月 日~ 月 日
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）
11. 在 的展开式中， 的系数为_________．（用数字作答）
的
12. 下表记录了某地区一年之内 月降水量.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是______； 分位数是_________．
13. 在 中， ， ， ，则 _________； 为 的中点，则 的长
为_________．
14. 请举出一个各项均为正数且公差不为 的等差数列 ，使得它的前 项和 满足：数列 也是
等差数列，则 _________．
15. 如图，已知四棱锥 的底面是边长为 的菱形，且 ， ，
， ， 分别是 ， 的中点， 是线段 上的动点，给出下列四个结论：① ；
② ；
③直线 与底面 所成角的正弦值为 ；
④ 面积的取值范围是 .
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．）
16. 已知函数 ， 是函数 的对称轴，且 在区间
上单调．
（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得 的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数 的图象经过点 ；
条件②： 是 的对称中心；
条件③： 是 的对称中心.
（2）根据（1）中确定的 ，求函数 的值域．为
17. 第 届冬季奥林匹克运动会于 年 月 日在北京、张家口盛大开幕． 保障本届冬奥会顺
利运行，共招募约 万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播
服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安
保服务、交通服务、其他共 类志愿服务．
（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对
外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
（2）已知来自某中学 的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是 ，设来自该中学的 名志愿
者被分配到文化展示服务类的人数为 ，求 的分布列与期望；
（3） 万名志愿者中， 岁人群占比达到 ，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分
层抽样获得如下数据：
岁人群 其它人群
支持 不支持 支持 不支持
方案 人 人 人 人
假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为 ，去掉其它人群
志愿者，支持方案的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
的
18. 如图，在正三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 中点．
在
（1） 侧棱 上作出点 ，满足 平面 ，并给出证明；
（2）求二面角 的余弦值及点 到平面 的距离．19. 已知 ．
（1）当 时，判断函数 零点的个数；
（2）求证： ；
（3）若 在 恒成立，求 的最小值．
20. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，长轴的右端点为 ．
（1）求 的方程；
（2）直线 与椭圆 分别相交于 两点，且 ，点 不在直线 上.
①试证明直线 过一定点，并求出此定点；
②从点 作 垂足为 ，点 ，写出 的最小值（结论不要求证明）．
21. 素数又称质数，是指在大于 的自然数中，除了 和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在
多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律
与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“ ”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过
两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素
数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古
希腊的数学家提出． 年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表
，具体构造的方法如下： 中位于第 行第 列的数记为 ，首项为 且公差为 的等差数列的第
项恰好为 ，其中 ； ．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.
（1）求 ；
（2）证明： ；（3）证明：
①若 在 中，则 不是素数；
②若 不在 中，则 是素数．
