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门头沟区 2022 年高三综合练习（一）
高三数学
1．本试卷共6页，共3道大题，21个小题．满分150分．考试时间120分钟．
考
2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将考试编号填写（或条形码粘贴）在答
生 题卡相应位置处．
须 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．选择题、作图题用2B
铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．
知
4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得集合 ，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合 ，
又由集合 ，
所以 .
故选：C.
2. 复数 对应的点在复平面内的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数 ，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为 ，因此，复数 对应的点在复平面内的第二象限.
故选：B.
3. 函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知： ，即可求出答案.
【详解】因为数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，则 ，所以 .
故选：D.
4. 若点 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由垂径定理可知 ，求出直线 的斜率，利用点斜式可得出直线 的方程.
【详解】圆 的标准方程方程为 ， ，即点 在圆 内，
圆心 ， ，由垂径定理可知 ，则 ，
故直线 的方程为 ，即 .
故选：C.
5. 已知抛物线 ， 为坐标原点，过其焦点的直线 与抛物线相交于 ， 两点，且 ，则
中点 到 轴的距离为（ ）A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求 的横坐标之和，然后得中点 的横坐标
【详解】设 ， ， ，由抛物线定义得： ，
故中点 的横坐标为
故选：B
6. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出结论.
【详解】 ，即 .
故选：A.
7. “角 的终边关于原点 对称”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】判断两个条件的推出关系
【详解】若角 的终边关于原点 对称，则 ， ，
反之，若 ，则 ，角 的终边关于原点 对称故为充要条件
故选：C
8. 已知 是边长为 的正△ 边 上的动点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积的几何意义可得 ，再由
即可求范围.
【详解】由 在边 上运动，且△ 为边长为2的正三角形，
所以 ，则 ，
由 .
故选：D
9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆 的切线，
交双曲线右支于 ，若 ，则 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与圆相切及三角形的性质，结合双曲线的定义可得 ，进而得解.【详解】
如图所示，设 与圆相切于点 ，过 作 ，
故 ， ，
又 ，则 ，
则 ， ，
由双曲线定义得 ，
即 ，
故渐近线方程 为 ，
故选：B.
10. 新型冠状病毒肺炎（ ）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高
度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是
长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，
当地卫生部门于 月 日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为 （
表示自 月 日开始 （单位：天）时刻累计感染人数， 的导数 表示 时刻的新增病例数，
），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（ ）
A. 月 日~ 月 日 B. 月 日~ 月 日C. 月 日~ 月 日 D. 月 日~ 月 日
【答案】A
【解析】
【分析】由题对 求导得： ，根据基本不等式得： ，即可求
出答案.
【详解】对 求导得： ，
根据基本不等式得： ，
当且仅当 ，即 ，即 ，即 .
故选：A.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）
11. 在 的展开式中， 的系数为_________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】首先写出通项，再令 ，求出 ，代入即可求出.
【详解】由二项式定理的通项公式得： ，则令 ，求出 .
所以 的系数为： .
故答案为： .
12. 下表记录了某地区一年之内的月降水量.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是______； 分位数是_________．【答案】 ①. 56 ②. 64
【解析】
【分析】根据中位数和百分位数求解
【详解】数据按从小到大排序得：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
它的中位数为56；
，第10个数是64
故答案为：56，64
13. 在 中， ， ， ，则 _________； 为 的中点，则 的长
为_________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】利用正弦定理可求得 ；由余弦定理可求得 ，再次利用余弦定理得到 .
【详解】由正弦定理得： ； ， ；
由余弦定理知： ，
解得： 或 ，又 为 最大内角， ， ；
为 中点， ，
，解得： .
故答案为： ； .
14. 请举出一个各项均为正数且公差不为 的等差数列 ，使得它的前 项和 满足：数列 也是
等差数列，则 _________．
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【解析】【分析】根据等差数列通项的一次函数性、前 项和的二次函数性可知 ，由此可得到满足题意
的 .
【详解】 ， ；
若 为等差，则 ， ；
若 ， ，则满足题意，此时 .
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）.
15. 如图，已知四棱锥 的底面是边长为 的菱形，且 ， ，
， ， 分别是 ， 的中点， 是线段 上的动点，给出下列四个结论：
① ；
② ；
③直线 与底面 所成角的正弦值为 ；
④ 面积的取值范围是 .其中所有正确结论的序号是_________．
【答案】①④
【解析】
【分析】①通过线面垂直证明线线垂直
②通过计算可得到结果
③通过线面角的定义与计算可得到结果
④通过求OE的取值范围计算三角形面积的取值范围
【详解】
由 ， 得 平面 ，因为 平面 ，所以 ，①正确
计算可得 , ， ，
所以 ，②不正确；
由线面角定义知， 就是直线 与底面 所成的角， ，③不正确；
由 得， ，
， 时 最小， ④正确．故答案为：①④
三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．）
16. 已知函数 ， 是函数 的对称轴，且 在区间
上单调．
（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得 的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数 的图象经过点 ；
条件②： 是 的对称中心；
条件③： 是 的对称中心.
（2）根据（1）中确定的 ，求函数 的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到 和 ，
再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；
（2）先求出 所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.
【小问1详解】
因为 在区间 上单调，所以 ，因为 ，且 ，解得 ；又因为 是函数 对称轴，
的
所以 ；
若选条件①：因为函数 的图象经过点 ，所以 ，
因为 ，所以 ， 所以 ，即 ，
当 时， ，满足题意，故 .
若选条件②：因为 是 的对称中心，所以 ，
所以 ，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.
若条件③：因为 是 的对称中心，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）知， ，
所以 等价于 ， ，所以 ，所以 ，
即函数 的值域为： .
17. 第 届冬季奥林匹克运动会于 年 月 日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运
行，共招募约 万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、
场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、
交通服务、其他共 类志愿服务．
（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对
外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
（2）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是 ，设来自该中学的 名志愿者被
分配到文化展示服务类的人数为 ，求 的分布列与期望；
是
（3） 万名志愿者中， 岁人群占比达到 ，为了解志愿者对某一活动方案 否支持，通过
分层抽样获得如下数据：
岁人群 其它人群
支持 不支持 支持 不支持
方案 人 人 人 人
假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为 ，去掉其它人群
志愿者，支持方案的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，（3）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的计算公式直接计算；
（2）分别计算概率并列出分布列，并求期望；
（3）根据古典概型计算公式分别计算 与 ，并比较大小.
【小问1详解】
由已知共 类志愿服务，甲被分配到对外联络服务，且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，
故乙可被分配的志愿服务共 ，
所以乙被分配到场馆运行服务的概率为 ；
【小问2详解】
由已知可得随机变量 的可能取值为 ， ， ，
故 ，
，
，
分布列如下：
期望 ；
【小问3详解】
由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为 ，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为 ，
故 .
18. 如图，在正三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）在侧棱 上作出点 ，满足 平面 ，并给出证明；
（2）求二面角 的余弦值及点 到平面 的距离．
【答案】（1）作图见解析，证明见解析
（2） ，
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解
【小问1详解】
设 的中点为 ， 的中点为 ，
则 ， ，则 ，平面 ， 平面 ， 平面 ．
【小问2详解】
设 是边 的中点， 是 的中点，
则 平面ABC， 为正三角形，
所以， ， ， ， 两两垂直，
建立如图所示坐标系 ．
则 ， ， ， ，
，设平面 的法向量为 ，
所以
则 ，
平面 的法向量为 ， ，
所以二面角 的余弦值为 ．
，设点 到平面 的距离为 ，则 ．19. 已知 ．
（1）当 时，判断函数 零点的个数；
（2）求证： ；
（3）若 在 恒成立，求 的最小值．
【答案】（1）一个零点
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）当 时，求导得 在R上单调递增，又因为 ，即可求出 零点的个数.
（2）设 ，求导得 在 上单调递增，则
，即可证明.
（3）解法一: 当 时，由（2）得 ，恒成立．
当 时，设 ，判断 是否成立，即可求出答案.
解法二： 在 恒成立，令 ，转化为求 .
【小问1详解】
当 时， ， 在R上单调递增， ， 只有一个零点
；
【小问2详解】
设 ，当 时， ，所以 在 上单调
递增，所以 ，所以 ， .
【小问3详解】解法一：当 时，由（2）得 ，恒成立．
当 时，设 ．
在 上单增， ， ，
由零点存在性定理，存在 使得 ，
所以 在 上递减， ，不等式不恒成立，所以 的最小值为 ．
解法二：设 ．
①当 时， ， 在 单增， ， 在
恒成立．
②当 时，设 ．
递增， ， ，
由零点存在性定理，存在 使得 ，
所以 在 上递减， ，不等式不恒成立，所以 的最小值为 ．
20. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，长轴的右端点为 ．
（1）求 的方程；
（2）直线 与椭圆 分别相交于 两点，且 ，点 不在直线 上.
①试证明直线 过一定点，并求出此定点；②从点 作 垂足为 ，点 ，写出 的最小值（结论不要求证明）．
【答案】（1）
（2）①证明见解析， ；② .
【解析】
【分析】（1）根据题意得出关于 的方程组，求得 ，解得求解；
（2）①联立方程组得出 ，根据 ，得到 ，结合
，列出方程求得 ，即可求解；
②根据 ，得到点 落在以 为直角的圆上，求得圆心坐标和半径，结合点与圆的最值，即可
求解.
【小问1详解】
解：椭圆 ： 的离心率为 ，长轴的右端点为 ，
可得 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
【小问2详解】
①联立方程组 ，整理得 ，可得 ，
设 ，所以 ，
为
因 ，即 ，
可得
，
所以 ，解得 或 ，
当 时，直线方程为 ，此时过 ，不符合题意（舍去）；
当 时，直线方程为 ，此时过 ，符合题意，
综上可得，直线过定点 .
②由题意，从点 作 垂足为 ，点 ，
如图所示，点 落在以 为直径的圆上，且圆心坐标为 ，半径为 ，
则 ，所以 的最小值为 .21. 素数又称质数，是指在大于 的自然数中，除了 和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在
多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律
与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“ ”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过
两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素
数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古
希腊的数学家提出． 年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表
，具体构造的方法如下： 中位于第 行第 列的数记为 ，首项为 且公差为 的等差数列的第
项恰好为 ，其中 ； ．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.
（1）求 ；
（2）证明： ；
（3）证明：
①若 在 中，则 不是素数；
②若 不在 中，则 是素数．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出 和 ，根据等差数列 即可求解；
（2）先求 和 ，再求出 ， ，代入等差数列公式求解即可；（3）先假设 在 中，得到 ，所以 不是素数；
再假设 不在 中，利用反证法， 为合数，令 ， ， ，
得到 ，可知 在 中，假设不成立即可求解.
【小问1详解】
根据题意： ， ， .
【小问2详解】
，公差 ，
，
，公差 ， ，
故 ．
【小问3详解】
①若 在 中，由（2）可知，存在 ，使得 ．
，所以 不是素数．
②若 不在 中，反证法：假设 为合数．
不妨令 ，这里 ， 皆为大于 的奇数（这是因为 为奇数）．
令 ， （其中 为正整数），
则 ．
由（2）得 中数的通项公式 ，可知 在 中，
这与已知矛盾，所以假设不成立，从而 为素数．
