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1 函数零点与恒成立问题 一、零点存在性定理 零点存在定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并 且在区间端点的函数值符号相反，即f(a) f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数f(x) 至少有一个零点。 单调函数的零点存在定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不 断的曲线，且f(x)在(a,b)上单调，则有: f(a) f(b)<0⇔函数f(x)在区间(a,b) 内有且只有一个零点。 二、二次函数的根的分布 表1：两根与k 的大小比较 表2：根在区间上的分布 2 三、最重要的三大方法 1 数形结合法：画图时，不需要把图像很准确的画出来，而是根据题目的需要画 出函数图像的增减性、奇偶性、过的定点等等主要信息。 2 分类讨论法；一定要做到四个字：不重不漏。谈论参数的范围时还要注意：当 下取交，综上取并。 3 分离变量法：在运用分离变量法时一定要注意到这种方法的各种限制，也并不 是所有的题目都是可以运用分离变量法的。 四、恒成立与存在性和最值的关系 1）f(x)≥m 在某区间上恒成立⇔f(x)min≥m； （f(x)min为其在对应区间上的最小值， 下同） 2）f(x)≤m 在某区间上恒成立⇔f(x)max≤m；（f(x)max为其在对应区间上的最大 值，下同） 3）存在x 使得f(x)≥m 在某区间上成立⇔f(x)max≥m； 4）存在x 使得f(x)≤m 在某区间上成立⇔f(x)min≥m。 五、双变量问题 1）f(x)≥g(x)在某区间上恒成立⇔ f(x)-g(x)≥0 在此区间上恒成立； 2）对于任意a，b 使得f(a)≥g(b)恒成立，则f(x)min≥g(x)max； 3）对于任意的b,都存在a 使得f(a)≥g(b)成立,则f(x)max≥g(x)max。 4）对于任意的a，都存在b 使得f(a)=g(b)，则f(x)的值域包含于g(x)的值域。 3
