文档文本内容
易错03 力与曲线运动
易错点1 小船渡河混淆 “船头方向” 与 “实际运动方向”
易错典题
【例1】025·江苏省通州高级中学二模）如图所示，一条小船渡河，河宽为
，河水流速
，船在静水中速度
，船头方向与河岸垂直，关于小船的运动，下列说法
正确的是( )
A.小船的实际运动轨迹与河岸垂直
B.小船相对于河岸的速度大小为
C.小船过河后航行到了河对岸下游
处
D.若小船行驶到河中央时，水流急速加快，则运动时间也会随之变短
【错因分析】混淆 “船头方向” 与 “实际运动方向”，误将船头垂直河岸等同于实际轨迹
目录
第一部分 易错点剖析
易错典题
避错攻略
举一反三
易错点1 小船渡河混淆 “船头方向” 与 “实际运动方向”
易错点2 不会运用 “逆向思维” 将斜抛运动等效为平抛运动
易错点3 错误分析落点有约束条件的平抛运动
易错点4 不会分析抛体运动中的对称问题或临界问题
易错点5 不会分析水平圆周运动中的临界问题
易错点6 混淆两种竖直平面内的圆周运动模型
第二部分 易错题闯关
垂直河岸，忽略水流的漂流运动，导致轨迹判断错误；
合速度计算失误，未按平行四边形定则合成垂直河岸与沿河岸的分速度，直接代数相加求合
速度大小；误以为水流速变化会影响渡河时间，忽略 “渡河时间仅由垂直河岸的分速度决
定”，水流速仅影响沿河岸的偏移距离，不改变垂直方向运动时间
答案：C
解析：A.小船参与了两个运动，一个是垂直于河岸的运动，另一个是顺水漂流，因此小船的运动应该是这
两个运动的合运动，斜向河的下滶，A 错误；
B.小船相对于河岸的速度应该是两个分速度的合速度，大小为
B 错误；
C.小船的过河时间
到对岸后向下游移动的距离
C 正确：
D.若小船行驶到河中央时，水流急速加快，只会影响沿河方向的速度，不会影响在垂直河岸方向的速度，
因此不会影响过河时间，D 错误。
故选C。
避错攻略
【知识链接】 1.小船渡河模型中的合运动与分运动
2.求解小船渡河问题思路
举一反三
【变式1-1】（2025·广东珠海实验中学模拟） 2025 月24 日，“世荣兆业杯”2025 年广东省龙舟
公开赛暨斗门龙舟邀请赛在珠海斗门黄杨河圆满落下帷幕。超1.6 万名观众齐聚河畔，共同见证这场传统
龙舟赛事的激情与魅力。。假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后
到达对岸下游
处；若船头保持与河岸成
角向上游航行，出发后
到达正对岸。以下说
法正确的是（ ）
A．水流的速度大小为
B．船头与河岸间的夹角
为
C．小船在静水中的速度大小为
D．河的宽度为
【答案】AD
【解析】船的航行方向即船头指向，是分运动；船的运动方向是船的实际运动方向，是合运动，船头垂直
对岸方向航行时，如图甲所示。由
，得水流的速度大小为
，选项A 正确；B
船头保持与河岸成
角航行时，如图乙所示
，
由图甲可得
，联立解得船头与河岸间的夹角为
，
，
，选项BC 错误，D
正确。
2.（2025 山东省实验中学sak 中)某次英雄小伙子救人的过程，可用下图去描述：落水孩童抓住绳索停在A
处，对面河岸上的小伙子从B 处沿直线匀速游到A 处，成功把人救起。河宽和间距如图中标注，假定河水
在各处的流速均为
，则（ ）
A. 小伙子如果面对垂直于河岸的方向游，是不可能到达A 点的
B. 小伙子渡河的时间为8s
C. 小伙子在静水中游泳的速度至少应为
，才能成功把人救起
D. 只有小伙子总面对着A 处游，才可能把人救起
【答案】C
【解析】由题可知，设小伙子在静水中的游泳的速度为
，小伙子的合运动方向是从B 到A，作出小伙子
游泳时合速度与两个分速度的关系，如图所示
当
与合速度垂直时
有最小值，设AB 与河岸的夹角为
，根据几何关系有
解得
，即游泳时小伙子面对的方向是与合速度方向垂直，此时最小的速度为
C 正确；小伙子如果面对垂直于河岸的方向游，当相对于静水的速度
恰好到达A 点。A 错误；只有小伙子在静水中速度垂直于河岸时，小伙子渡河的时间为
小伙子在静水中的速度不与河岸垂直时，小伙子渡河的时间不等于8s。
B 错误；若小伙子总面对着A 处游，且速度一定时，由于两个匀速直线运动的合运动仍然为匀速直线运动，
可知，其轨迹为一条直线，根据运动的合成可知，此时其合速度方向指向A 点右侧，即到达不了A 处，D
错误。
【变式1-3】(2025 山西省太原市尖草坪区第一中学校模拟）如图所示，老师组织物理兴趣小组同学到游
乐园一段两岸平行、宽度为
的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏，水流的速度为
，其大
小可以通过闸门调节；游船在静水中的速度为
，其方向决定于船头的朝向。游戏时，小组同学驾驶小游
船从河的一边渡到河对岸，
，
。求：
（1）若
，
，则当小游船过河时间最短时，其运动轨迹与河岸
夹角及经过的距离
为多少？
（2）若
，
，则当小游船过河距离最短时，其船头朝向与河岸的夹角及过河时间为
多少？
（3）若
，
，则当小游船过河距离最短时，其过河通过的最短距离为多少？
【答案】（1）
，100m；（2）
，20s；（3）100m
【解析】（1）船头的指向垂直于河岸方向时，过河时间最短，即分速度
的方向垂直于河岸，水流速度
为
，速度矢量图如图甲所示。
由图甲可求轨迹与河岸
夹角
，有
得
过河经过的距离为
（2）小游船的实际速度即合速度v 垂直于河岸时，过河距离最短，速度矢量图如图乙所示。由图可知，船
头的指向即
的方向指向上游方向与河岸夹角
，有
得
过河时间为
由图可得
联立解得
（3）由于
小于
，只有当合速度v 的方向与河岸夹角
最大，即
与c 的方向垂直时，过河距离最小，
速度矢量图如图内所示。根据几何关系有
得
所以最短距离为
易错点2 不会运用 “逆向思维” 将斜抛运动等效为平抛运动
易错典题
)【例2】（2025·江苏省通州高级中学学业水平合格考二模)如图所示，在某次罚球过程中，运动
员先后两次以速度
投球，方向与竖直方向间的夹角分别为α、β。两次投球的位置在同一竖直线上，
篮球均垂直撞到竖直篮板上的同一位置C，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A.α 可能小于β
B.
大小可能相等
C.篮球两次运动时间可能相等
D.与篮板碰撞前瞬间，篮球动能可能相等
【错因分析】不会运用 “逆向思维” 将斜抛运动等效为平抛运动，直接正向分析导致无法建
立高度、时间与速度分量的关系；
误判速度与夹角的关系，认为夹角 α、β 的大小直接决定初速度大小，忽略水平分速度与竖
直分速度的合成逻辑，导致 A 选项判断错误；
忽略 “垂直撞篮板” 意味着撞板时水平分速度不变、竖直分速度反向，误将竖直方向运动
当作匀速，导致运动时间和动能判断错误
答案：B
解析：将篮球的运动反向看成平抛运动，由图可知，第一次运动过程中的运动高度较小，所以运动时间
较短。两次运动在水平方向做匀速直线运动，水平距离相等，但第一次用的时间较短，故第一次
水平分速度较大，即篮球第一次与篮板碰撞前的速度较大，动能较大，选项C、D 错误。运用逆向思维，
篮球在竖直方向上做自由落体运动，由图可知，第一次速度的竖直分量较小，水平分量较大，有
，同理
，可见
，第一次抛出时速度的竖直分量较小，水平分量较大，第二
次抛出时速度的竖直分量较大，水平分量较小，所以
的大小可能相等，选项A 错误，B 正确。
避错攻略
【知识链接】逆向思维法处理斜抛运动
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动；分析完整的斜上抛
运动，还可根据对称性求解某些问题
举一反三
【变式2-1】(2025·辽宁·三模）如图所示，辽篮某球员在比赛中进行投篮。已知A、B、C 是
篮球运动轨迹中的三个点，其中A 为球抛出点，B 为球运动轨迹的最高点，C 为球落入篮
框的点，且A、B 连线垂直于B、C 连线，A、B 连线与水平方向的夹角为
，
不计空气阻力。则篮球从A 到B 与从B 到C 的运动时间之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将篮球从A 到B 运动的逆过程与从B 到C 运动的过程看作两个平抛运动，将AB
过程沿水平和竖直方向分解，如图所示
水平方向则有
竖直方向则有
由几何知识可得
解得
同理可得
故
根据数学知识
，
解得
则
故
故选B。
【变式2-2】（2025·重庆·三模）用题图甲所示的足球发球机在球门正前方的
、
两个相同
高度的位置发射同一足球，情景如题图乙所示，两次足球都水平击中球门横梁上的同一
点，不计空气阻力。则（ ）
A．两次击中横梁的速度相同
B．足球两次运动的速度变化量相同
C．从
位置发射的足球初速度较大
D．从
位置发射的足球在空中的运动时间长
【答案】B
【详解】A．将足球发射到水平击中球门横梁，看成逆向的平抛运动，根据平抛运动规律
有
，
解得
由于两次的水平位移不相等，高度相等，所以两次的水平分速度不相等，即两次击中横
梁的速度不相同，故A 错误；
BD．根据
，由于两次足球在空中的高度相等，所以两次足球在空中的运动时间
相等，再根据
，则足球两次运动的速度变化量相同，故B 正确，D 错误；
C．足球发射的初速度大小为
，由于两次高度相等，所以两次足球发射的初
速度竖直分量相等，由于从B 位置发射的足球水平位移较小，则从B 位置发射的足球水
平分速度较小，从B 位置发射的足球初速度较小，故C 错误。
故选B。
【变式2-3】(2025 广东省肇庆市高三一模）如图甲为一种名为“喊泉”的游乐设施，游客对着池边的话
筒大声呼喊时，水池中的喷口就会有水倾斜喷出（可认为水恰好从水面喷出）。如图乙，某次呼喊时，水
柱在空中的射高为11.25 m，已知喷口与水面的夹角为45°，重力加速度取10 m/s2，不计空气阻力。下列说
法正确的是（ ）
A. 在最高点的水的速率不为零
B. 在最高点的水的重力的瞬时功率不为零
C. 水在空中运动时先超重后失重
D. 水柱的水平射程为22.5 m
【答案】A
【解析】水喷出后做的是斜抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动，由
可求得从射出到最高点的过程用时1.5 s，射出时水在竖直方向的分速度大小
水在水平方向做匀速直线运动，在水平方向的分速度大小
水在最高点时竖直方向的分速度变为0，只有水平方向的分速度15 m/s，A 正确；
在最高点时速度沿水平方向，与重力方向垂直，其重力的瞬时功率为零，B 错误；
水在空中的加速度一直向下，所以一直处于失重状态，C 错误；根据斜抛运动的对称性可知，水柱在
空中的运动时间为3 s，所以水平射程为
，D 错误
易错点3 不会分析落点有约束条件的平抛运动
易错典题
【例3】（不判断落点的临界点而出现错误）（原创）一乘雪橇的滑雪运动员滑雪进行训练，从高为
h=5m跳台边缘处以不同的初速度水平滑出。
已知斜面有倾角为450 ，重力加速度取g＝10m/s2．
（1）由于水平初速度过大，滑雪运动员沿虚线运动落到水平面。落点到斜面底端的距离与台高相等，求
滑雪运动员着地时速度方向与水平方向间的夹角
；
（2）当水平初速度为v=3m/s 时，求滑雪运动员着地时速度大小。
【错因分析】忽略这一临界条件的判断，盲目认为运动落在水平面上而出现错误
【答案】（1） 10 ❑√2m/s，450 ；（2）3 ❑√5m/s
【解析】(1)落点到斜面底端的距离与台高相等，所以滑雪运动员沿虚线运动的水平位移是恰好落在实线
的斜面底端的二倍，落地的时间由高度决定，两次运动的时间相等，由水平方向上有
可知，运动员
沿虚线运动的水平速度v1=10m/s
vy=gt=10m/s
则有：v =
❑√v1
2+ v y
2 =10 ❑√2m/s
得：θ=45°
（2）当水平初速度为v=3m/s 时，不知运动员是落在水平面上还是落在斜面上，先求出恰好落在实线的斜
面底端时的水平速度。设运动员以初速度
v 0 水平滑出时恰好落在实线的斜面底端。（易错运动员由
到
做平抛运动，水平方向上有
竖直方向上有
又有y
x = tan 45
0
联立解得v0=5m/s
因初速度为v=3m/s<v0=5m/s
所以运动员落在斜面上，
根据平抛运动在水平方向上有
在竖直方向上有
所以位移偏转角的正切值y
x = tan 45
0（点拔：若运动员落在斜面上，则隐含着位移方向的夹角为45
0）
解得时间t =0.6 s
由vy=gt=6m/s
则有运动员落到斜面时的速度为：vt =
❑√v
2+ v y
2 =3 ❑√5m/s
避错攻略
【知识链接】
1. 平抛运动与斜面结合
图示
方法
基本规律
运动时间
分解速度，构建速度
的矢量三角形
水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝
由tan θ＝＝得t＝
分解位移，构建位移
的矢量三角形
水平x＝v0t
竖直y＝gt2
合位移x 合＝
由tan θ＝＝
得t＝
2 .平抛运动与圆弧面组合
已知条件
情景示例
解题策略
已知速度方向
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入
圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向
沿该点圆弧的切线方向
分解速度tan θ＝＝
利用位移关系
从圆心处抛出落到半径为R 的圆弧上，如
图所示，位移大小等于半径R
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R 的
圆弧上，如图所示，水平位移x 与R 的差
的平方与竖直位移的平方之和等于半径的
平方
举一反三
【变式3-1】（2025·江西省红色十校高三9 月联考）如图所示，从倾角为θ 的斜面体底端正上方h 高处
水平抛出一个小球，小球落到斜面上时，小球的速度方向与水平方向的夹角也为θ，重力加速度为g，则小
球从抛出到落到斜面上所用的时间为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意可知，
小球的速度方向与水平方向的夹角为
θ ，如图
所示分解速度
。（点拔：已知速度方
向夹角，根据运动分解可以求出竖直方向和水平方向的分速度。）
设小球从抛出到落到斜面上所用的时间为t，则小球落到斜面上时竖直方向速度为
小球的初速度为
小球落到斜面上时小球下落的高度为
小球落到斜面上时水平位移大小为
则
解得
，故选项A 正确。
【变式3-2】（2025·吉林省长春市东北师范大学附属中一模） 在某次军事演习中，两枚炮弹自山坡底
端O 点斜向上发射，炮弹分别水平命中山坡上的目标
、
，运动时间分别为
、
，初速度分别为
、
。如图所示，已知
位于山坡正中间位置，
位于山坡顶端，山坡与地面间的夹角为
，不计空气阻
力，则下列判断正确的有（ ）
A. 两枚炮弹飞行时间
B. 两枚炮弹的发射速度方向相同
C. 两枚炮弹的发射速度大小之比
D. 两枚炮弹的发射速度大小之比
【答案】B
【解析】因
炮弹分别水平命中山坡上的目标
、
，所以利用逆向思维，可以看作是
两枚炮弹
在斜面上水
平抛出，刚好落在斜面的底端。（易错：不会利用逆向思维求解斜抛运动问题，不会构建物理模型）设山
坡顶端距离底端高度为，则
则
，故A 错误；
设山坡底边长为L，两炮弹初速度的水平方向分速度分别为
和
，则
，则
两炮弹初速度的竖直方向分速度分别为
和
，则
，
得
设初速度、与水平方向的夹角分别为
和
，则
，
得则两枚炮弹的发射速度方向相同。（点拔：也可以利用推论，因两位移夹角相等，所以速度方向夹角也
相等）故B 正确；
根据速度的合成
，
，得
，故CD 错误。
【变式3-3】（2025·广东省东莞市众美中学高三10 月检测）如图所示为一半圆形的坑，其中坑边缘两
点A、B 与圆心O 等高且在同一竖直平面内，在圆边缘A 点将一小球以速度v1水平抛出，小球落到C 点，
运动时间为t1，第二次从A 点以速度v2水平抛出，小球落到D 点，运动时间为t2，不计空气阻力，则（
）
A. v1＜v2
B. t1＜t2
C. 小球落到D 点时，速度方向可能垂直于圆弧
D. 小球落到C 点时，速度与水平方向的夹角一定大于45°
【答案】AD
【解析】连接AC 和AD，如图甲所示
设
AC
和
AD
在竖直方向上的长度分别为
h AC 和
h AD，根据图像可知
h AC> h AD（点拔：隐含已知两次的位移，
分解可求出水平和和竖直位移）
且有hAC=
，hAD=
可得t1>t2，故B 错误；设AC 和AD 在水平方向上的长度分别为xAC和xAD，则有xAC＜xAD ，xAC=v1t1 xAD=v2t2，
可得v1＜v2，故A 正确；
连接OD，如图所乙示，
设∠DOB=θ，则有
R sin
θ =
，
R ＋
R cos
θ = v 2t2
可得
若速度方向垂直于圆弧，则速度方向与水平方向的夹角也为
θ ，则有
（点拔：利用反证法）
则有
整理得cosθ=1，即θ=
这说明小球从A 点抛出后速度方向没有发生过改变，显然这是不可能的，所以小球落到D 点时，速度方向
不可能垂直于圆弧，故C 错误；
小球落到C 点时，设小球的位移偏转角为α，即AC 与水平方向的夹角为α，则有
，可得α=45°
根据平抛运动规律，设小球的速度偏转角为β，即小球落到C 点时速度方向与水平方向的夹角为β，满足
tanβ=2tanα=2
说明β 一定大于45°，则速度与水平方向的夹角一定大于45°，故D 正确。
易错点4 不会分析抛体运动中的对称问题或临界问题
易错典题
【例4】（2025.·安徽省合肥市合肥皖智高级中学高三第二次阶段性检测）如图1 为一个网球场的示意图，
一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网
高1m。图2 为对应的俯视图，其中
，
。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区
域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为
（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（ ）
A.
B.
C.
D.
【错因分析】误认为发球机有效发球时发出网球的最小速率在中点的边界上，而正确是在球应恰好到达有
效区域的边缘。
【答案】 A
【解析】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如图所示
网球从A 点发出后落在C 点。网球从A 点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有
，解得
若网球恰不触网，则有
解得
网球在水平方向上做匀速直线运动，即
因
与
为相似三角形，则有
因
、
，可得
，
则发球机有效发球时发出网球的最小速率为
，A 项正确
避错攻略
【知识链接】】1.临界点的确定
（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点.
（2）若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，
而这些“起止点”往往就是临界点.
（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值
点也往往是临界点.
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
（1）找出临界状态对应的临界条件.
（2）分解速度或位移.
（3）若有必要，画出临界轨迹.
举一反三
【变式4-1】 （2025·甘肃白银·三模）2025 年2 月28 日，2025 年全国青少年网球积分排名赛
（广州南沙站）在广州南沙国际网球中心收拍。若在某次网球比赛中，某运动员在O 点
击球，网球沿水平方向飞出，第一次网球落在己方场地上B 点后弹跳起来，刚好擦网而
过，落在对方场地的A 点处，第二次网球沿水平方向飞出，直接擦网而过，恰好落在A
点，如图所示。已知网球与水平场地的碰撞是弹性碰撞，不计网球与场地的碰撞时间，
忽略空气阻力，则（ ）
A．网球第一次和第二次飞出的水平速度之比为1 3∶
B．从O 到A，网球第一次和第二次运动的时间之比为1 3∶
C．网球两次到达A 点时重力的瞬时功率不相等
D．运动员击球点离地的高度与网的高度之比为4 3∶
【答案】AD
【详解】AB．两球被击出后都做平抛运动，据平抛运动的规律知，两球被击至各自第一
次落地的时间是相等的。从O 到A，网球第一次和第二次运动的时间之比为1 3∶，由题意
结合图可知，两球从击出至第一次落地的水平射程之比为
则网球两次飞出时的初速度之比
故A 正确，B 错误；
C．第一次和第二次网球到达A 点时，有相同的竖直分速度，根据
可知网球两次到达A 点时重力的瞬时功率相同，故C 错误；
D．令抛出点到地面的距离为H，网高为h
由图可知第一个球落地后反弹做斜抛运动，据运动的对称性可知，DB 段的逆过程和OB
段是相同的平抛运动，则两只球下落相同高度
后，水平距离
根据
、
、
可得
又
则
又有
、
则
解得
故D 正确。
故选AD。
【变式4-2】（2025·甘肃省民乐县第一中学高三第一次诊断考)如图所示，每一级台阶的高度
，
宽度
，将一小球从最上面台阶的边沿以某初速度水平抛出。取重力加速度大小
，不
计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 若小球的初速度大小为
，则小球落在台阶1 上
B. 若小球的初速度大小为
，则小球落在台阶1 上
C. 若小球落在台阶3 上，则小球的初速度大小可能为
D. 若小球落在台阶3 上，则小球的初速度大小可能为
【答案】AC
【解析】根据平抛运动的规律，若小球落在台阶
1 的最右边，则有
，
解得
, 落在台阶
1 上
，（
速度小于2m/s，选项A 正确、B 错误；
若小球恰好落到台阶2 的右边沿，则有
解得
，
,解得
若小球恰好落到台阶
3 的右边沿，则有
解得
，
, 解得
（点拔：假设法求解临界状态再判断）故小球的
初速度大于
且小于或等于
时，才可能落在台阶3 上，选项C 正确、D 错误。
【变式4-3】 （2025·山东省济南市高三开学统考)如图所示，排球场地长为
，中间球网高度为
。某次比赛中，甲同学在右侧球场距离中间球网
线处跳起，在距离地面高
处将球
水平击出，球的初速度与右侧边界线垂直，不计空气阻力，取重力加速度
，
（1）要保证排球落在对方球场内，球的初速度大小需满足的范围；
（2）若球的初速度大小为
，乙同学在离地
处将排球热起，热起前、后球的速度
大小相等，方向相反。已知排球质量
，因垫起过程时问很短，重力的冲量可以忽略，求甲、乙
两同学之间的水平距离以及接球过程中乙同学对排球作用力的冲量大小。
【答案】（1）
；（2）
，
【解析】（1）刚好不出左侧边界
（易错：考虑不周全，只求这个速度得出结论）
竖直方向
，解得
刚好不擦网
（易错：忽略这个最小速度误认为最小速度大于零）
竖直方向
，解得
初速度范围
。
（2）初速度为
时，
，
解得
竖直方向速度
，合速度
根据
，解得
易错点5 不会分析水平圆周运动中的临界问题
易错典题
【例5】（2025·山东省济南市期10 月校级联考）如图所示，相同的物块a、b 用沿半径方向的细线相连
放置在水平圆盘上。当圆盘绕中心轴转动时，a、b 始终相对圆盘静止。已知a、b 到圆心的距离之比为
。下列关于a、b 所受的摩擦力f 大小随圆盘角速度的平方
的变化关系图像可能正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
；
【错因分析】不知道最大静摩擦力提供向心力是静摩擦力突变的临界条件；不知道拉力为零的临界角速
度）
【答案】BC
【解析】设
，当绳子没有拉力时，静摩擦力提供向心力
最大静摩擦力为
（解得绳子没有拉力时圆盘的最大角速度
：可知当
，a 、
b 所受的摩擦力
f 大小随圆盘角速度的平方
成正比，（点拔：拉力为零，静摩擦力提供
向心力）
当
，对物块b 根据牛顿第二定律有
可知当
时物块b 的摩擦力等于最大静摩擦力，大小不变，
当物块
a 的摩擦力为零时有
，
解得
（易错：不知道摩擦力为
零的临界角速度）
当
时，对物块
a 、
b 根据牛顿第二定律有
（点拔：耱出两种情况的临界角速度后，再分
区间讨论）
，可得
可知当
，随着角速度的增大，绳子拉力逐渐增大，物块a 的静摩擦力逐渐减小，
当
时，对物块a、b 根据牛顿第二定律有
，可得
可知当
，随着角速度的增大，绳子拉力逐渐增大，物块a 的静摩擦力逐渐增大。故B、C 的图象
符合要求。
避错攻略
【知识链接】1．常见的临界情况
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
2．分析方法
分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态．确定
了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解．
举一反三
【变式5-1】 （2025·甘肃省民乐县第一中学第一次诊断考试） 如图所示，叠放在水平转台上的物体
A、B 及物体 C 能随转台一起以角速度ω 匀速转动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A 与B、B 和
C 与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B、C 离转台中心的距离分别为r 和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A. B 对A 的摩擦力一定为3μmg
B. B 对A 的摩擦力一定为3mω2r
C. 转台的角速度需要满足
D. 若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A 物体
【答案】B
【解析】由于物体
A 、
B 及物体
C 能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，则
B 对
A
的摩擦力有
（易错：误认为静摩擦力大小与角速度无关）由于角速度大小不确定，
B 对A 的摩擦力不一定达到最大静摩擦力3μmg，物体做匀速圆周运动，由静摩擦力提供向心力，则
A 错误，B 正确；若物体
A 达到最大静摩擦力，则
，
解得
（点拔：A 物体受到
的静摩擦力达到最大时，A 相对B 刚好滑动）
若转台对物体
B 达到最大静摩擦力，对
AB
整体有
（点拔：B 物体受到的静摩擦力达到最
大时，A 相对转台刚好滑动）
解得
；若物体C 达到最大静摩擦力，则
，解得
；可知
，由于物体 A、B 及物体 C 均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足
，该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C 所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台
的角速度逐渐增大，最先滑动的是C 物体，C、D 错误。
【变式5-2】（2025·湖南省长沙市雅礼中学月考）如图，水平圆盘上放置一个质量为m 的小物块，物块
通过长为L 的轻绳连接到竖直转轴上的定点O，此时轻绳恰好伸直，与转轴成
角。现使整个装置绕转
轴缓慢加速转动（轻绳不会绕到转轴上），角速度
从零开始缓慢增加，直到物块刚好要脱离圆盘。已知
物块与圆盘间动摩擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，
，
。则轻绳的弹力大小
和物块受到的摩擦力大小
随
变化的图像正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
较小时，绳子无弹力，静摩擦力提供向心力，有
当
达到最大静摩擦力时
，
解得
此时绳子刚好开始产生弹力
（易错：注意产生绳子拉力的临界条件是物块刚好达到
最大静摩擦力）
继续增大角速度，轻绳弹力增大，静摩擦力减小，最终物块刚好要脱离圆盘，此时摩擦力为
0 ，（易错：
注意物块思铂睿好脱离圆盘的临界条件是物块受到的摩擦力为零）
有
，解得
此时
，故选项A、D 正确。
【变式5-3】（2025·吉林省长春市东北师范大学附属中学一模）如图所示，一根长为
的轻质细线，
一端系着一个质量为
的小球（可视为质点）另一端固定在光滑圆锥体顶端，圆锥顶角的一半
（
，
），g 取
。求：
（1）整个系统静止时，小球受到绳子的拉力与圆锥体支持力的大小；
（2）当小球随圆锥体围绕其中心轴线一起做匀速圆周运动，小球与圆锥体接触但是支持力为零时，小球
的角速度、以及受到绳子的拉力的大小。
【答案】（1）
，
；（2）
，
【解析】（1）整个系统静止时，小球受力平衡，设绳子对小球的拉力为T，圆锥体对小球的支持力为N，
如图：
由平衡条件得
，
，解得
，
（2）小球与圆锥体接触但是支持力为零时，有
（易错：注意小球与圆锥体刚好分离的临蜀条件是
支持力为零）
受力如图：
有
，
解得
，
易错点6 混淆两种竖直平面内的圆周运动模型
易错典题
【例6】如图所示，我国男子体操运动员用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动已知运动
员的质量为m，重心到手支撑点的距离为L，运动员在竖直面内做圆周运动且刚好能通过最高点，重力加
速度为g，下列说法错误的是（ ）
A. 运动员在最高点时速度为0
B. 运动员在最高点时向心力为0
C. 若运动员在最低点速度变大，则他对单杠的作用力可能减小
D. 若运动员在最高点速度变大，则他对单杠的作用力可能增大，也可能减小
【错因分析】求解此题常见的错误是把男子体操运动员当成了“绳线”模型
【答案】C
【解析】运动员在竖直面内做圆周运动且刚好能通过最高点，此时运动员的重力和单杠对他的支持力平衡，
则在最高点时速度为0 ，向心力为0 ，故A 错误，B 正确；运动员在最低点时，向心力，即
解得单杠对他的作用力
可知，当运动员在最低点速度变大时，单杠对他的作用力增大，根据牛顿第三定律可知，他对单杠的作用
力增大，故C 错误；若运动员
最高点，恰好由重力提供向心力，即
，解得此时运动员的速度
当
时，有
，速度v 增大，F 减小；当
时，
速度v 增大，F 增大，故D 正确。
确。
避错攻略
【知识链接】
竖直面内圆周运动的两类模型
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
小球最高点没有支撑
小球最高点有支撑
最高点受力特征
除重力外，物体受到的弹力
方向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向：向
下、等于零或向上
最高点受力示意图
动力学方程
mg＋F 弹＝m
mg±F 弹＝m
临界特征
F 弹＝0
mg＝m
即vmin＝
①恰好过最高点，v＝0，F 弹＝mg
②恰好无弹力，F 弹＝0，v＝
过最高点的条件
在最高点的速度v≥
在最高点的速度v≥0
2.解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。
举一反三
【变式6-1】 .(2025 广东广州实验中学第一次模拟） 如图小球A 在竖直平面内做圆周运动，恰能过最高
点，不计任何阻力，从某次经过最高点开始计时，转过的角度记为
。下列能正确反映轻绳的拉力F 或小
球速度大小v 变化的图像是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】小球A 在竖直平面内做圆周运动，恰能过最高点，有
解得
，从某次经过最高点开始计时，初始的速度不为0，且小球A 向下运动的的过程中，重力做
正功，速度增大，CD 错误；小球A 在竖直平面内做圆周运动，有
与
成正比，而
是轻绳的拉力F 与小球重力沿绳子方向分量的矢量和，则轻绳的拉力F 与
不成
正比关系，B 错误；小球A 恰能过最高点，则最高点重力提供向心力，轻绳的拉力F=0，运动到最低点时
速度最大，向心力最大，此时有
解得
最低点时向心力最大，轻绳的拉力F 达到最大值；运动一周即转过
后小球回到最高点，
轻绳的拉力F=0，A 正确。
【变式6-2】 （２０２5 湖北楚才高中模拟）如图所示，在倾角为α=30°的光滑斜面上有一长L=0.8m 的
轻杆，杆一端固定在O 点，可绕O 点自由转动，另一端系一质量为m=0.05kg 的小球，小球在斜面上做圆
周运动，g 取10m/s2。要使小球能到达最高点A，则小球在最低点B 的最小速度是（ ）
A. 4m/s
B. 2
m/s
C. 2
m/s
D. 2
m/s
【答案】A
【解题思路】小球恰好到达A 点时的速度大小为vA=0，此时对应B 点的速度最小，设为vB
对小球从A 到B 的运动过程，由动能定理有
解得
，故选项A 正确。
【变式6-3】（ 如图所示为风靡小朋友界的风火轮赛车竞速轨道的部分示意图。一质量为
的
赛车（视为质点）从A 处出发，以速率
驶过半径
的凸形桥B 的顶端，经CD 段直线
加速后从D 点进入半径为
的竖直圆轨道，并以某速度v2驶过圆轨的最高点E，此时赛车对轨道
的作用力恰好为零。重力加速度g 取10m/s2，试计算：
（1）赛车在B 点受到轨道支持力的大小；
（2）若赛车以2v2的速率经过E 点，求轨道受到来自赛车的弹力。
【答案】（1）4.95N；（2）15N，方向竖直向上。
【解析】（1）根据牛顿第二定律，B 处的赛车满足
即赛车在B 点受到的支持力为
（2）赛车以某速度v2驶过圆轨的最高点E 时，对轨道的作用力恰好为零，根据牛顿第二定律
即赛车的速率为
显然以
过E 点时，会受到轨道对其指向圆心的压力，故根据牛顿第二定律，E 处的赛车满足
即
根据牛顿第三定律，赛车对轨道的弹力
方向竖直向上。
1.（2025·四川德阳·模拟预测）如图所示，消防员正在宽度为d=100m，河水流速为
的河流中进行水上救援演练，可视为质点的冲锋舟距离下游危险区的距离为
x=75m，其在静水中的速度为v2，则（ ）
A．若冲锋舟以在静水中的初速度为零，船头垂直于岸的加速度为a=0.9m/s² 匀加速冲向
对岸，则能安全到达对岸
B．为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速度v2不得小于3m/s
C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度
匀速航行，则恰能到
达正对岸
D．冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t=25s
【答案】A
【详解】A．冲锋舟的运动分解为沿船头与沿水流两个方向，有
解得
沿水流方向的位移为
能安全到达对岸。故A 正确；
BD．冲锋舟沿OP 方向匀速航行恰能安全到达对岸，如图所示
设冲锋舟的合速度与水流速度夹角为
，则冲锋舟在静水中的速度至少应为
由几何知识，可得
联立，解得
由图可知
冲锋舟以最小速度匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间为
故BD 错误；
C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度
匀速航行，则有
可知冲锋舟的合速度不指向正对岸，所以不能到达正对岸。故C 错误。
故选A。
2．（2025·辽宁·模拟预测）解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d 的小河。
现有甲、乙两个战斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河
岸夹角都是θ 角，两船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸
的A 点，则（ ）
A．甲船渡河时间为
B．乙船比甲船更早到达对岸
C．靠岸时两船间距增大了
D．如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能到达A 点
【答案】C
【详解】AB．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动
具有等时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为
故两船同时到达对岸，故AB 错误；
C．靠岸时两船间距增大了
故C 正确；
D．水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A 点，则
故如果河水流速增大，要使甲船到达A 点，小船船头与河岸夹角应减小，故D 错误。
故选C。
3．（2025·广东清远·一模）一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示。已知：船在静
水中行驶的速度为v1 ，水流速度为 v2，河宽为d。则下列判断正确的是（ ）
A．船渡河时间为
B．船渡河时间为
C．船渡河过程被冲到下游的距离为
D．船渡河过程被冲到下游的距离为
【答案】C
【详解】AB．船渡河时间为
选项AB 错误；
CD．船渡河过程被冲到下游的距离为
选项C 正确，D 错误；
故选C。
4.（2025·海南·三模）如图所示，将质量为m 的小球从倾角为
的斜面顶端以速度
沿水平方
向抛出，忽略空气阻力，斜面足够长。已知重力加速度为g，对于小球落到斜面前的运动，
以下说法正确的是（ ）
A．小球的速度与斜面平行时最小
B．小球的速度变化越来越快
C．小球从抛出到落在斜面上所用时间为
D．经时间
，小球动能为
【答案】C
【详解】A．小球落到斜面前的运动为平抛运动，速度一直在增大，所以刚抛出时的速度
最小，故A 错误；
B．小球在空中的加速度为重力加速度，所以小球的速度变化快慢恒定不变，故B 错误；
C．小球从抛出到落在斜面上，有
解得所用时间为
故C 正确；
D．经时间
，小球的竖直分速度为
则此时小球动能为
故D 错误。
故选C。
5.（2025.·山东省济南市高三一模）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架
沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器
速度大小为v2（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已
知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. x 的最小值为
B. x 的最小值为
C. y 的最小值为
D. y 的最小值为
【答案】C
【解析】 弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直竖直墙壁射出时，弹珠
运动时间最短
y 的最小值为
，C 项正确，D 项错误；由于
则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁，合速度大小为
此时x 的最小值为L，A、B 项错误。
6.小明家建造坯房时窗户开口竖直高度H=2.25m，已知墙壁的厚度d=0.35m。小明在离墙壁距离L=1.4m，
距窗子上沿高h=0.2m 处的P 点，将可视为质点的小物体以速度v 垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗
口并落在水平地面上，取g=10m/s2，则v 的取值范围约为（ ）
A．v>2m/s
B．v>2.5m/s
C．2m/s<v<7m/s
D．2.5m/s<v<7m/s
【答案】D
【详解】小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时最大。此时有
，
代入解得
，
恰好擦着窗口下沿左侧时速度最小，则有
，
解得
，
故的取值范围是
故选D。
7..如图所示，网球比赛中，运动员将网球（可视为质点）水平击出，击球点
到网的水平距离为
、
与网上边缘的竖直高度差为
。不计空气阻力，取重力加速度
，要使网球能越过网落到
对方场地，网球被击出时的最小速度为（ ）
A．40m/s
B．30m/s
C．20m/s
D．10m/s
【答案】B
【详解】排球做平抛运动，则水平方向
竖直方向
解得
v0=30m/s
故选B。
8.（2025·河北秦皇岛·三模）甲、乙两位同学玩投球游戏，如图所示，甲以大小为v1的速度从
A 点抛出球a，乙以大小为v2的速度从B 点抛出球b，A、B 两点高度差为h、水平距离为
x1；两球在同一竖直平面内运动，且均运动到最高点C 时相碰，A、C 两点高度差为H、
水平距离为x2，忽略空气阻力，球可视为质点，重力加速度大小为g，求：
(1)两球抛出时的时间差；
(2)球b 初速度方向与水平方向的夹角的正切值。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）将两球的运动的逆过程看做是反向的平抛运动，根据
可得球a 运动的时间为
球b 运动的时间为
两球抛出时的时间差为
（2）球b 位移方向与水平方向的夹角满足
则球b 初速度方向与水平方向的夹角满足
9.（2025·重庆·三模）足球运动员训练罚点球 ，足球放置在球门中央的正前方 O 点 。两次
射门 ，足球先后打在水平横梁上的 a、b 两点 ，a 为横梁中点 ，如图所示。 若足球
两次击中横梁时的速度方向均沿水平方向 ，不计空气阻力的作用， 下列说法正确的是
（ ）
A．若足球从 O 点运动到 a、b 的时间分别为
和
，则
B．若足球击中 a、b 两点的速度分别为
和
，则
C．若先后两次足球被踢出时的速度方向与水平方向的夹角分别为
和
，则
D．若足球从 O 点运动到 a、b 的平均速度分别为
和
，则
【答案】A
【详解】A．足球两次击中横梁时的速度方向均沿水平方向，则逆过程均可看做平抛运动，
因两次的竖直高度相同，根据
可知足球从 O 点运动到 a、b 的时间
选项A 正确；
B．因击中b 点的球水平位移较大，可知水平速度较大，则足球击中 a、b 两点的速度
选项B 错误；
C．根据
因击中b 点时的水平速度较大，可知先后两次足球被踢出时的速度方向与水平方向的夹
角关系为
选项C 错误；
D．若足球从 O 点运动到b 点的位移较大，时间相同，可知打到 a、b 的平均速度关系
选项D 错误。
故选A。
10.（2025·辽宁·三模）如图所示，辽篮某球员在比赛中进行投篮。已知A、B、C 是篮球运动
轨迹中的三个点，其中A 为球抛出点，B 为球运动轨迹的最高点，C 为球落入篮框的点，
且A、B 连线垂直于B、C 连线，A、B 连线与水平方向的夹角为
，
不计
空气阻力。则篮球从A 到B 与从B 到C 的运动时间之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将篮球从A 到B 运动的逆过程与从B 到C 运动的过程看作两个平抛运动，将AB
过程沿水平和竖直方向分解，如图所示
水平方向则有
竖直方向则有
由几何知识可得
解得
同理可得
故
根据数学知识
，
解得
则
故
故选B。
11.（2024·江苏·高考真题）陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎混炼、成型和煅烧制得的
材料以及各种制品。如图所示是生产陶磁的简化工作台，当陶磁匀速转动时，台面面上掉有陶屑，陶屑与
桌面间的动摩因数处处相同（台面够大），则（ ）
A．离轴OO´越远的陶屑质量越大
B． 离轴OO´越近的陶屑质量越小
C． 只有平台边缘有陶屑
D．离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
【答案】D
【详解】ABC．与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦
力时，根据牛顿第二定律可得
解得
因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO′的距离与陶屑质
量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。故ABC 错误；
D．离轴最远的陶屑其受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由前述分析可知最大的运动半径为
μ 与ω 均一定，故R 为定值，即离轴最远的陶屑距离不超过某一值R。故D 正确。
故选D。
12.（2022·北京·高考真题）我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索
的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做
圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验（ ）
A．小球的速度大小均发生变化
B．小球的向心加速度大小均发生变化
C．细绳的拉力对小球均不做功
D．细绳的拉力大小均发生变化
【答案】C
【详解】AC．在地面上做此实验，忽略空气阻力，小球受到重力和绳子拉力的作用，拉力始终和小球的速
度垂直，不做功，重力会改变小球速度的大小；在“天宫”上，小球处于完全失重的状态，小球仅在绳子
拉力作用下做匀速圆周运动，绳子拉力仍然不做功，A 错误，C 正确；
BD．在地面上小球运动的速度大小改变，根据
和
（重力不变）可知小球的向心加速度和拉
力的大小发生改变，在“天宫”上小球的向心加速度和拉力的大小不发生改变，BD 错误。
故选C。
13．如图半径为L 的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m 的小球做完整的圆周运动，
圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，下列说法不正确的是（ ）
A．经过最低点时小球可能处于失重状态
B．经过最高点Z 时小球可能处于完全失重状态
C．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点Z 的速度v 最小值为0
D．若经过最高点Z 的速度v 增大，小球在Z 点对管壁压力可能减小
【答案】A
【详解】A．小球在最低点时加速度向上，则小球处于超重状态，故A 错误，符合题意；
B．小球经过最高点Z 时，若对轨道的压力为零，则重力完全提供向心力，小球处于完全失重状态，故B
正确，不符合题意；
C．由于在最高点圆管能支撑小球，所以速度的最小值为零，故C 正确，不符合题意；
D．若过最高点的速度较小，则在Z 点，小球在Z 点对管壁压力向下，轨道对小球有向上的弹力，根据牛
顿第二定律可得
此时经过最高点Z 的速度增大，小球在Z 点和管壁的作用力减小，故D 正确，不符合题意。
故选A。
14.（2025·广东省佛山市禅城区高三二模）如图所示是一儿童游戏的图片，儿童站在固定竖直圆轨道的最
低点，用力将一足球由静止踢出，发现足球能够沿着圆轨道通过最高点，已知轨道半径为R，足球的质量
为m，重力加速度为g，不考虑摩擦和空气阻力作用，由此可判断儿童对小球做的功（ ）
A. 可能等于
B. 可能等于
C. 可能等于
D. 可能等于
【答案】A
【解析】足球刚好沿圆轨道通过最高点时有
解得
所以足球能够沿着圆轨道通过最高点应满足
设儿童对小球做的功为W，对足球从最低点到最高点的过程由动能定理有
解得
即
，故选项A 正确。
15.如图所示，一表面粗糙的圆锥形漏斗，其内表面与水平方向之间的倾角
，有一质量为
的小物
块（可视为质点）被放在漏斗内表面上，物块与漏斗竖直轴线的距离为
，与漏斗倾斜内表面间的动摩擦
因数为0.5，现使该漏斗绕竖直方向的转轴匀速转动，要使物块相对漏斗保持静止，已知重力加速度为
，
最大静摩擦等于滑动摩擦力，
，则漏斗转动的角速度
取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】 对物体受力分析，当转速较小时，物体有下滑趋势，物体受力情况如图所示，并建立如图所示
的坐标系，则有
联立解得
同理，当转速较大时，物体有上滑趋势，摩擦力沿斜面向下，则有
解得
所以漏斗转动的角速度
取值范围是
，故A 项正确。
16.如图所示静止的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物体
和
，
的质量为
，
的质量为
。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为
，
，A、B 与盘间的动摩擦因数相
同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
与圆盘一起绕中轴线由静止缓慢转动且角速度不断增大；绳子
出现张力时角速度为
，
与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为
。转动过程中轻绳未断，
则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当绳中开始出现张力时，摩擦力提供向心力且达到最大值，即
解得
，当
A、B 与圆盘一起绕中轴线匀速转动达到最大角速度ω2时，对B 有
，对A 有
，解得
，则有
，故选项C 正确。
17.如图甲所示，轻杆一端固定在
点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为
的圆周运
动。小球运动到最高点时，受到的弹力为
，速度大小为
，其
图像如图乙所示，则（ ）
A. 小球的质量为
B. 当地的重力加速度大小为
C.
时，小球对杆的弹力方向向上
D.
时，小球受到的弹力的大小等于重力的2
倍
【答案】AC
【解析】．由图乙可知，当
时，对小球在最高点由牛顿第二定律得
可得当地的重力加速度大小为
当
时，在最高点有
可得小球的质量为
，故A 正确，B 错误；当
时，在最高点对小球由牛顿第二定律
得
可得
可知杆对小球弹力方向向下，则小球对杆弹力方向向上，故C 正确；当
时，在最高点对小球由牛
顿第二定律得
解得小球受到的弹力大小
故D 错误。
18.（2025·辽宁·三模）如图所示，有一质量为m 的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小
球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C 为管道的最高点和最低点，B 为管道上与圆心等
高的点，D 为管道上的一点，且D 与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确
的是（ ）
A．若小球在A 点的速度大小为
，则外侧管壁对小球有作用力
B．若小球在B 点的速度大小为
，则内侧管壁对小球有作用力
C．若小球在C 点的速度大小为
，则小球对管道的内外壁均无作用力
D．若小球在D 点的速度大小为
，则外侧管壁对小球有作用力
【答案】D
【解析】若小球在A 点的速度大小为
，则小球在A 点只受重力，管壁对小球无作用力，故A 错误；
在B 点，外侧管壁对小球的作用力提供小球做圆周运动的向心力，且有
,故B 错误；在
C 点，小球受向下的重力和竖直向上的弹力，该弹力为外壁对小球的作用力，且有
,解
得
,故C 错误；在D 点时，若只受重力，则
,解得
,由于
，故外侧管壁对小球有指向圆心的作用力，故D 正确
