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专题09 立体几何
易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）
水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴，直观图中与之对应的是z ′ 轴.
(2)画底面：平面x ′ O ′ y ′ 表示水平平面，平面y ′ O ′ z ′ 和x ′ O ′ z ′ 表示竖直平面，按照平面图形的画法，
画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线
.
易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”
1
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——图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度减为原来的一半.
例．如图矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面四边形OABC 的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，
(1)判断平面四边形OABC 的形状并求周长；
(2)若该四边形OABC 以OA 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.
【解析】（1）将直观图还原得
，如下图，
所以
，
所以平面四边形
为菱形，其周长为
.
（2）四边形
以
为旋转轴，旋转一周，得到一个圆柱和两个一样的圆锥，
，
，
所以
.
变形1．如图，梯形
A1B1C1D1是一水平放置的平面图形
在斜二测画法下的直观图.若
平行于
轴，
，求梯形
的面积.
2
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【解析】如图，根据直观图画法的规则，
直观图中
平行于
轴，
，⇒原图中
，
从而得出AD⊥DC，且
，
直观图中
，
，⇒原图中
，
，
即四边形ABCD 上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．
故其面积
.
变形2．如图所示，正方形
是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中
．
(1)求原图形的面积；
(2)将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形
OABC 与正方形
的各点分别一对应，如OB 对应直观图中的
）
【解析】（1）原图形OABC 是个平行四边形，如下图所示
底为OA＝2，高为
，
∴
；
3
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（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥，
∴几何体体积
∴几何体表面积
变形3．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；
（2）在(1)中若
，
轴且
，求原平面图形△ABC 的面积．
【解析】（1）画法：①画直角坐标系xOy，在x 轴上取
，即
.
②在题图中，过
作
轴，交x′轴于
，在x 轴上取
，过D 作
轴，并使
.
③连接AB，BC，则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形，如图．
（2）∵
，∴BD⊥AC.
又
且
，
4
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∴
.∴
.
1．如图，
是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
(1)画出它的原图形，
(2)若
的面积是
，求原图形中
边上的高和原图形的面积.
【解析】（1）画出平面直角坐标系
，在
轴上取
，即
，
在图①中，过
作
轴，交
轴于
，在
轴上取
，
过点
作
轴，并使
,
连接
，
，则
即为
原来的图形，如图②所示：
（2）由（1）知，原图形中，
于点
，则
为原图形中
边上的高，且
，
在直观图中作
于点
，
5
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则
的面积
，
在直角三角形
中，
，所以
，
所以
.
故原图形中
边上的高为
，原图形的面积为
.
2．画出图中水平放置的四边形
的直观图
，并求出直观图中三角形
的面积.
【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形
的直观图
，
如图所示，则
的面积为
.
3．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知
，
，
，且
．
(1)求原平面图形ABCD 的面积；
(2)将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
【解析】（1）还原平面图形ABCD，如图，
因为
，
，
，且
，
6
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所以
，
，
，且
，
，
原平面图形ABCD 为直角梯形，故
；
（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图，
其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，
所以几何体的表面积为
，
几何体的体积为
4．如图所示，正方形
是一个水平放置的平面图形
的直观图，其中
.
(1)求原图形的面积；
(2)将原图形以
所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形
与正方形
的各点分别对应，如
对应直观图中的
）
【解析】（1）原图形
是个平行四边形，如下图所示，底为
，高为
.
7
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.
（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，
另一侧有多出一个相同的圆锥.
几何体表面积
.
几何体体积
.
5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知
，
且
.
(1)求原平面图形
的面积；
(2)将原平面图形
绕
旋转一周，求所形成的几何体的体积.
【解析】（1）将直观图复原为原图，如图，作
，
则
，
，
则
，
，
8
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即原图形
为直角梯形，
故原平面图形
的面积为
.
（2）将原平面图形
绕
旋转一周，
所形成的几何体是一个以
为底面半径的圆锥和一个以
为底面半径的圆柱组成的组合体，
其体积为
.
6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示．已知
，且
∥
．
(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCD 并求面积；
(2)将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
【解析】（1）如图所示：梯形ABCD 为还原的平面图形，作
交AD 于点，
因为
，所以
，
所以
．
（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，所得几何体是一个以AB 为底面半径的圆柱挖去一个以EC 为
底面半径的圆锥，
，
，
，
所以所形成的几何体的表面积为
，
9
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，
，
所形成的几何体的体积为
．
7．如图，梯形
是水平放置的四边形
的斜二测画法的直观图，已知
，
，
．
(1)在下面给定的表格中画出四边形
（不需写作图过程）；
(2)若四边形
以
所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结
构特征，并求该几何体的体积．
【解析】（1）因为
与
轴重合，则
与
轴重合，且
；
与
轴平行，则
与
轴平行，且
；
与
轴重合，则
与
轴重合，且
；
连接
，即可得四边形
.
（2）如图所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截取一个圆锥，
故体积为
.
10
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8．如图，一个水平放置的平面图形的直观图
是边长为2 的菱形，且
，求原平面图形的周
长．
【解析】由题可知，
，
，∴
．
还原直观图可得原平面图形，如图所示：
则
，
，
，
∴
，
∴原平面图形的周长为
．
9．如图所示，
为四边形OABC 的斜二测直观图，其中
，
，
．
(1)画出四边形OABC 的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC 的面积；
(2)若该四边形OABC 以OA 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【解析】（1）解：在直观图中
，
，
．
11
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所以在平面图形中
，
，
，
所以
，
所以平面四边形
的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形
为直角梯形，
所以面积为
．
（2）旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为
，圆柱母线长和高都为1，即
；
圆锥的高为
，母线长为
所以体积
；
所以表面积
．
10．如图，矩形
是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形
的直观图，其中
，
.
(1)画出平面四边形
的平面图，并计算其面积；
(2)若该四边形
以
为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.
【解析】（1）
12
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如图1，设
与
交点为
，
因为
，
，所以
，
.
的平面图如图2 所示：
则
，
.
（2）由（1）可得，在
中，有
，
所以，
，所以
.
如图3，分别过点
作
及其延长线的垂线，垂足为
.
矩形
绕
及其延长线，旋转一周得到一个底面半径
，母线
的圆柱；
绕
，旋转一周得到一个底面半径
，母线
，高
的圆锥；
绕
及其延长线，旋转一周得到一个底面半径
，母线
，高
的圆锥.
所以，旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.
则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，
13
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所以，旋转形成的几何体的体积
.
旋转形成的几何体的表面积即等于圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，
所以
.
11．在
中，角
所对边分别为
，若
.
(1)证明：
为等边三角形；
(2)若（1）中的等边
边长为2，试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积.
注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤.
【解析】（1）由题及余弦定理知，
即
又因为
，所以
，即
，
.
因此，
为等边三角形.
（2）画法：①如图(1)，在等边
中，取
所在直线为
轴，
的垂直平分线为
轴，两轴相交于
点
；
在图(2)中，画相应的
轴与
轴，两轴相交于点
，使
；
②在图(2)中，以
为中点，在
轴上取
，在
轴上取
；
③连接
，擦去辅助线
轴和
轴，得等边
的直观图
(图(3)).
B C
BC
y
1
2
O A
OA
A B A C
，
x
y
ABC
A B C
14
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因为
是边长为2 的正三角形，所以
，
边上的高为
，
在
中，
，所以
，
边上的高
，
故
，
故直观图
面积
.
易错点二：空间点、线、面位置关系不清（点、线、面之间的关系）
结论：①要证线∥面，条件为3 个，其中必有《线
面》
②要证线⊥面，条件为2 个，其中必有《线∥线或面∥面》
③要证线∥线（面∥面），条件为2 或3 个，其中必有《两个线⊥面》
④要证线⊥线（面⊥面），条件为2 个，其中必有《⊥、∥（
）》
⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3 个，其中必有《
》
易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程
度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明
作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
例 ．已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，且
，
，则下列命题中的假命题是
A．若
，则
B．若
，则
ABC
2
AB
BC
BC
3
h
A O C
45
A O C
1
3
2
2
2
B C
BC
A O
AO
，
B C
3
2
6
sin
2
2
4
h
A O
A O C
1
1
6
6
2
2
2
4
4
A B C
S
B C
h
△
A B C
6
4
∥∥
面、
线
、
、
,a b
,
a
b
/ /
a
b
/ /
a
b
r
r
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C．若
相交，则
相交
D．若
相交，则
相交
【解析】解：由
、
为两条不同的直线，
、
为两个不同的平面，且
，
，
若
，我们可得
且
，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得
，故A 正确；
若
，则
或
，此时
，故B 正确；
若
、
相交，则表示
，
不平行，则
，
也不平行，则
、
相交，故C 正确；
若
、
相交，则
、
既可以是相交直线，也可以是异面直线．故D 错误
故选：D．
变式1．在空间中，已知，
，
为不同的直线，
，
，
为不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
且
，则
C．若
，
，
，
，则
D．若
，
，则
【解析】若
，
，则
或
，故
错误； 若
且
，则
，故
正确；若
，
，
，
，则与
相交或
，故
错误；若
，
，则
不一定平行，
故
错误.
故选：
变式2．已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则（ ）
①若
，
，且
∥
，则
∥
；
②若
，
∥
，且
∥
，则
；
③若
∥
，
，且
，则
∥
；
④若
，
，且
，则
.
其中真命题的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
且
，可得
，
,a b
,
,
,a b
a
b
a
b
/ /
a
b
a
a
/ /
/ /
a
a
a
b
r
r
a
b
a
b
a
b
l
m
n
m
//
m n
//
n
m
/ /
m
l
m
l
n
m
n
l
//
m
//
m n
//
n
n
A
m
/ /
m
B
l
m
l
n
m
n
l
l
C
,
D
B
,a b
,
a
b
a
b
a
b
a
b
r
r
a
b
a
b
a
b
a
b
r
r
4
3
2
1
b
∥
b
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而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；
由于
，
，所以
，则
，故②正确；
若
与平面
的交线平行，则
，
故不一定有
，故③错误；
设
，在平面
内作直线
，
，则
，又
，所以
，
，所以
，从而有
，故④正确.因此，真命题的个数是.故选：B
变式3．若，
为两条不同的直线，
为平面，且
，则“
”是“
” （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】由
且
，能推出
，充分性成立；
若
且
，则
或
或
与
相交，必要性不成立，
∴“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A．
1．已知不同直线a，b，不同平面α，β，γ，下列说法正确的是 （ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【解析】对于A，若
，此时
可能相交，如下图所示：
∥
a
a
a
b
a
,
a
b
a
b
∥
l
c
l
c
a
a
c
P
,
b
c
b
c
b
a
3
l
m
//
l
m
m
l
//
l
m
m
l
//
l
m
l
m
/ /
m
m
m
m
l
,
,
,
a
b
a
b
∥
∥
∥
,
,
a
b a
b
∥
∥
b
P
,
,
a
a
,
,
a a
b b
,
,
,
a
b
a
b
∥
∥
,
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当
都与平行时，
相交，故A 错误；
对于B，由
，利用线面平行的性质可知存在直线满足
，且
，
又
，所以
，又
，所以可得
，即B 正确；
对于C，若
，不妨设
，
如下图所示：
假设
不成立，
过直线
上一点A 作
于点
，作
于点
；
由
可知，
，
这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直”矛盾，
所以
应重合为交线
，所以
，可得C 正确；
对于D，如图所示：
若
，
，
，此时
可能斜交，不一定垂直，所以D 错误；
故选：BC
, ,
l a b
l
,
a
P
c
a
c
P
c
a
b
b
c
P
b
b
P
,
,
a
,
m
n
a
a
AB
n
B
AC
m
C
,
,
,
m
n
,
AB
AC
,
AB AC
a
a
a
a
b
b
,
18
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2．已知
为两个不同的平面，
为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，且
，则
D．若
，且
，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A：若
，则
或
相交，
例如在正方体
中，平面
平面
，
且
平面
，可知
平面
，
平面
，故A 不一定成立；
对于选项B：若
，由线面垂直的性质可知
，故B 成立；
对于选项C：若
，且
，则
不一定垂直，
例如在正方体
中，平面
∥平面
，
且
平面
，
平面
，
，故C 不一定成立；
对于选项D：若
，且
，则
不一定成立，
例如在正方体
中，平面
平面
，
,
, ,
m n l
, //
l
l//
,
l
l
/ /
,
l
m l
n
,
,
l
m n
/ / , / /
l
m l
n
,
m
n
/ /
, //
l
l//
,l
1
1
1
1
ABCD
A B C D
ABCD
1
1
ADD A
,
BC BD
ABCD
/ /
BC
1
1
ADD A
BD
1
1
ADD A
D
,
l
l
∥
,
l
m l
n
,
,
l
m n
,
1
1
1
1
ABCD
A B C D
ABCD
1
1
1
1
D
C
B
A
,
BC AD
ABCD
1
1
A B
1
1
1
1
D
C
B
A
1
1
1
1
,
A B
BC A B
AD
/ / , / /
l
m l
n
,
m
n
/ /
1
1
1
1
ABCD
A B C D
ABCD
1
1
ADD A
AD
19
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且
平面
，
平面
，可知
，故D 不一定成立；
故选：ACD.
3．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，且
，则下列命题正确的为（ ）
A．若
，则
；
B．若
，则
；
C．若
，则
；
D．若
，则
.
【答案】BC
【解析】对A，
，但
位置关系不能确定，故A 错误；
对B，由面面垂直的判定可得，因为
，
，则
，故B 正确；
对C，由面面平行的性质可得若
，
，则
，同理
，故C 正确；
对D，若
，且交于，但
不一定垂直于，则
不成立，故D 错误.
故选：BC
4．已知，
，
为三条不同的直线，
，
，
为三个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，，
分别与
，
所成的角相等，则
D．若
，
，
，且
，则，
，
交于点
【答案】BD
【解析】对于A，当
，
时，
或
，所以A 错误，
对于B，如图，设
，在平面
内作
，在平面
内作
，且
与不重合，因
为
，
，
，
，所以
，同理可得
，所以
∥
，因为
，
，
BC
ABCD
1
1
A D
1
1
ADD A
1
1
/ /
,
/ /
BC
AD A D
AD
,
m n
,
,
m
n
,
m
n
∥
∥
∥
m
∥
,
m
n
∥
∥
,
m
n
,
m
n
∥
∥
,
m
m
∥
m
m
n
∥
l
,
m n
l
,
m
n
l
m
n
l
m
l
/ /
m
l
l
//
l
m
//
l m
l
m
n
I
l
m
P
l
m
n
P
l
m
l
/ /
m
m
,a
b
m
a
n
b
,a b
l
a
m
a
m
m
n
m
n
m
n
20
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所以
∥
，因为
，
，所以
∥，因为
，所以
，所以B 正确，
对于C，当
，，
分别与
，
所成的角相等时，则，
与
所成的角相等，所以可将，
看成
正三棱锥
的两条侧棱所在的直线，平面
为该正三棱锥的底面
所在的平面，则，
与
所
成的角相等，但直线，
相交，所以C 错误，
对于D，因为
，
，
，所以
，因为
，所以由公理3 可得
，
所以D 正确，
故选：BD
5．设l 是直线，
，
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】CD
【解析】l 是直线，
，
是两个不同的平面，知：
n
n
l
n
l
n
l
//
l
m
l
m
l
m
P
ABC
ABC
l
m
l
m
l
m
l
m
P
,
P
P
n
I
P
n
/ /
l
//
l
//
/ /
l
l
l
l
//
//
l
l
21
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在A 中，若
，
，则
与
相交或平行，故A 错误，
在B 中，若
，
，则
或
或与
相交，相交也不一定垂直，故B 错误，
在C 中，若
，
，由直线与平面垂直的性质，可得
，故C 正确，
在D 中，
，
，由直线与平面垂直的性质，可得
，故D 正确，
故选：CD
6．已知
为直线的方向向量，
分别为平面
的法向量（
不重合），那么下列说法中正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为
为直线的方向向量，
分别为平面
的法向量（
不重合），
或
，故A、D 错误；
，B 正确；
，C 正确；
故选：BC
7．已知平面
平面
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．存在直线
平面
，使得直线
平面
B．存在直线
平面
，使得直线
平面
C．存在直线
平面
，直线
平面
，使得直线
直线
D．存在直线
平面
，直线
平面
，使得直线
直线
/ /
l
//
l
/ /
l
l
//
l
l
l
l
//
//
l
l
e
l
1
2
,
n n
,
,
1
/ /
e
n
l
1
2
n
n
1
2
/
/ /
/
n
n
1
e
n
l
e
l
1
2
,
n n
,
,
1
/ /
e
n
l
l
1
2
n
n
1 / /
n
2
/ /
n
m
a
a
a
//
a
a
b
a
b
a
b
//
a
b
22
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【答案】BCD
【解析】A. 若存在直线
平面
，使得直线
平面
，则
，故错误；
B.当
时，又
，所以
，故正确；
C.当
时，
，故正确；
D. 当
时，
，故正确；
故选：BCD
8．设m，n 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【答案】CD
【解析】A.缺少
这个条件，故A 错误；
B. 若
，
，
，则
或相交，故B 错误；
C. 若
，
，则
，又
，则
，故C 正确；
D.若
，
，则
，又
，则
，故D 正确.
故选：CD
9．若
，
为空间中两条不同的直线，
，
，
为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，
，则
【答案】BC
a
a
/ /
a
m
,
a
m
/ /
a
,
, / /
a
m b
b
m
a
b
r
r
/ / ,
, / /
a
m b
b
m
/ /
a
b
m
n
m
n
/ /
m
//
m n
n
//
//
m n
n
m
m
n
//
m
n
n
/ /
m
//
m n
n
//
//
m n
n
m
m
m
//
m
n
m
n
m
n
//
m
/ /
m
/ /
m
n
m
n
//
/ /
m
n
//
m n
23
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【解析】对于A，若
，
，则可能
，故A 错误；
对于B，因为
，则能在
内找一条直线
，使得
，
因为
，则
，因为
，由面面垂直的判定定理可得
，故B 正确；
对于C，若
，则能在
内找一条直线，使得
，
，
，则
，又因为
，所以
，故C 正确；
对于D，若
，
，
，则
可能异面，故D 错误.
故选：BC.
10．
、
是两条不同的直线，
、
是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
A．
、
是异面直线，若
，
，
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【答案】AD
【解析】对于A 选项，在直线
上取一点
，过点
作直线
，使得
，
过直线
作平面
，使得
，如下图所示：
因为
，
，
，则
，又因为
，则
，
因为
，
，则
，设直线
、
确定平面
，
因为
，
，
、
，所以，
，同理可证
，故
，A 对；
/ /
m
b
b / / m
m
b
b
/ /
m
c
/ /
c
m
n
c
m
c
/ /
c
m
m
n
//
/ /
m
n
,
m n
m
n
m
n
/ /
m
/ /
m
//
n
//
n
//
//
/ /
m
/ /
m
m
n
m
n
m
//
m n
//
n
m
O
O
n
//
n
n
n
a
//
n
n
a
//
a n
//
n
n
//
a n
n
a
//
n
m
n
/ /
m
m
n
O
m
n
//
//
//
24
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对于B 选项，若
，
，则
或
，B 错；
对于C 选项，若
，
，
，则
、
相交（不一定垂直）或平行，C 错；
对于D 选项，因为
，
，则
，
过直线
作平面
，使得
，如下图所示：
因为
，
，
，则
，
因为
，则
，又因为
，所以，
，D 对.
故选：AD.
11．已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【解析】对于A，若
，则
，或
与
异面，故A 错误；
对于B，若
，则
，故B 正确；
对于C，若
，则
，故C 正确；
对于D，如下图，在长方体中，
，则
，
，
或
与
相交，故D 错误.
故选：BC.
//
/ /
m
/ /
m
m
m
n
m
n
m
//
m n
n
n
b
//
n
n
b
//
b n
n
b
b
,
m n
,
// ,
m
n
//
m n
, //
m
n
m
n
,
, //
m
α n
β α β
//
m n
,
,
m
n n
m
// ,
m
n
//
m n
m
n
, //
m
n
m
n
,
, //
m
α n
β α β
//
m n
,
,
m
n n
m
m
/ /
m
m
25
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易错点三： 忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同（异面直线成角问
题）
常规方法：
第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形
第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长
第三步：利用余弦定理求出待求角
第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求
秒杀：
四面体的任何一组对棱都是异面直线，因此以四面体为载体，把异面直线放在四面体对棱所在的位置，
利用四面体对棱夹角公式处理异面直线角度问题
结论：在四面体
中，若
与
所成的角为
四面体对棱夹角公式：
证明如下：
因为
BCD
A
AC
BD
DB
AC
DA
BC
CD
AB
2
2
2
2
2
cos
DB
AC
DB
AC
DB
AC
DB
AC
DB
AC
2
2
,
cos
CD
BC
CA
AB
DA
AC
DB
CA
BD
AC
BD
AC
2
DA
CA
CD
CA
BC
AC
AB
AC
CD
CA
BC
CA
AB
AC
DA
AC
DA
CD
DA
CD
BC
AB
BC
AB
DA
CD
CA
BC
AB
AC
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所以
易错提醒：两异面直线所成角的范围是
。两向量的夹角的范围是
，需要注意两者的区别与联
系.
例 ．已知正四面体
，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】如图，设正四面体
的棱长为
，取
的中点
，连接
、
，
因为
、
分别为
、
的中点，则
且
，
因此
或其补角为直线
与直线
所成的角，
因为
为等边三角形，
为
的中点，则
，且
，
同理
，在等腰
中，
，
所以直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为
.
故选：B
2
2
2
2
2
2
2
2
DA
BC
CD
AB
DA
CD
BC
AB
DB
AC
DA
BC
CD
AB
DB
AC
DA
BC
CD
AB
DB
AC
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
cos
(0,
]
2
[0, ]
ABCD
2
3
3
6
21
21
4 21
21
ABCD
2
AD
F
MF
CF
M
F
AB
AD
/ /
MF
BD
1
1
2
MF
BD
CMF
CM
BD
ABC
M
AB
CM
AB
sin 60
3
CM
AC
3
CF
CMF
1
1
3
2
2
cos
6
3
MF
CMF
MC
3
6
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变式1．如图，正方形
的边长均为2，动点
在线段
上移动，
分别为线段
中
点，且
平面
，则当
取最大值时，异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为
平面
，
平面
，所以
，
所以
为直角三角形，所以当
最短时，
取最大值，
可知
，即
为
的中点时，
取最大值，
因为
分别固定在线段
的中点处，
所以
，所以
，
因为
为锐角，所以
，所以
，
取
的中点
，连接
，
因为
分别为线段
的中点，则
∥
，且
，且
∥
，
可知异面直线
与
所成角为
（或其补角）
且
分别为线段
的中点，则
∥
，且
，
且
∥
，且
，可得
∥
，且
，
,
ABCD ABEF
N
AB
,
M O
,
EF AC
MO
ABCD
MNO
MN
FC
2
4
2
2
3
2
3
3
MO
ABCD
ON
ABCD
MO
ON
MNO
NO
MNO
NO
AB
N
AB
MNO
,
M O
,
EF AC
1,
2
ON
MN
1
cos
2
ON
MNO
MN
MNO
60
MNO
3
OM
AD
G
,
,
OG GC GF
,
M N
,
EF AB
AN
FM
AN FM
MN
AF
MN
FC
AFC
,
O G
,
AC AD
OG
CD
OG CD
AB
CD
AB CD
OG
FM
OG FM
28
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可知
为平行四边形，则
∥
，且
，
又因为
平面
，则
平面
，
由
平面
，可得
，
可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：A
变式2．已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，D 为
的中点，
则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】如图所示，取BC 的中点E，连接AE，DE，
则
，
或其补角即为异面直线AD 与PC 所成的角．
由
，
，
，则有
，所以
，
E 为BC 的中点，则
，
平面ABC，
中，
，∴
中，
，∴
，
OMFG
GF
OM
GF OM
MO
ABCD
GF
ABCD
GC
ABCD
GF
GC
2
2
2 2,
5,
2 2
AC
GC
CF
GC
GF
AFC
△
2
2
2
4
8
8
2
cos
2
4
2 2 2 2
AF
FC
AC
AFC
AF FC
MN
FC
2
4
P
ABC
PA
ABC
2
AB
2
AC
2 2
BC
3
PA
PB
AD
PC
2 15
15
5 3
12
5
14
9
13
/ /
DE
PC
ADE
2
AB
2
AC
2 2
BC
2
2
2
AB
AC
BC
AB
AC
2
AE
PA
Rt
PAC
△
2
2
9
4
13
PC
PA
AC
1
13
2
2
DE
PC
Rt PAB
2
2
9
4
13
PB
PA
AB
13
2
DA
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在
中，根据余弦定理可得
．
所以异面直线AD 与PC 所成角的余弦值为
.
故选：D
变式3．在四棱锥
中，
平面
，四边形
为菱形，
，
，点
为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：如图所示：
连接
交于点
，连接
，
因为
,
所以
（补角）是异面直线
与
所成角．
因为
平面
，
平面
，
所以
，
又因为四边形
为菱形，
所以
，又
，所以
平面PBD，
又
平面PBD，所以
，则
为直角三角形，
设
，在
中，
，
ADE
V
2
2
2
13
13
2
9
4
4
cos
13
2
13
2
4
AD
DE
AE
ADE
AD
DE
9
13
P
ABCD
PD
ABCD
ABCD
PD
AB
60
DAB
E
PD
CE
PB
2 5
5
10
5
10
5
2 5
5
,
AC BD
O
EO
/ /
EO
PB
CEO
CE
PB
PD
ABCD
AC
ABCD
PD
AC
ABCD
BD
AC
BD
PD
D
AC
EO
AC
EO
EOC
△
2
PD
AB
a
EOC
△
2 ,
3
EO
a OC
a
5
EC
a
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所以
，故选：B．
1．在正方体
中，若点
是棱
上的动点，点
是线段
（不含线段的端点）上的动
点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在直线
，使
B．异面直线
与
所成的角可能为
C．直线
与平面
所成的角为
D．平面
平面
【答案】B
【解析】对于A，
平面
，
平面
，
当
与
重合时，
与
相交；当
与
不重合时，
与
异面；
即不存在直线
与直线
平行，A 错误；
对于B，过点
作
，交
于点
，连接
，
10
cos
5
EO
CEO
EC
1
1
1
1
ABCD
A B C D
N
1
BB
M
1
1
AC
MN
1
//
MN B C
CM
AB
π
3
CM
BND
π
3
//
BMC
1
C NA
1
B C
1
1
BCC B
MN
1
1
BCC B
N
N
1
B
MN
1
B C
N
1
B
MN
1
B C
MN
1
B C
M
1
1
//
MH A B
1
1
B C
H
CH
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，
或其补角即为异面直线
所成角；
平面
，
平面
，又
平面
，
；
设正方体的棱长为，
，则
，
，，
，
若
，则
，解得：
，
异面直线
所成的角可以为
，B 正确；
对于C，连接
，交
于点
，连接
，
平面
，
平面
，
，
四边形
为正方形，
，又
，
平面
，
平面
，
即为直线
与平面
所成角，
设正方体棱长为，
，则
，
，
，
若
，则
，方程无解，
1
1
//
//
AB A B
MH
CMH
,
CM AB
AB
Q
1
1
BCC B
MH
1
1
BCC B
CH
1
1
BCC B
MH
CH
1
0
1
MH
x
x
1
1
1
1
1
MH
C H
B C
MH
x
A B
2
1
HC
x
2
1
tan
CH
x
CMH
MH
x
π
3
CMH
2
1
3
x
x
2
0,1
2
x
,
CM AB
π
3
AC
BD
O
MO
1
BB
ABCD
AC
ABCD
1
BB
AC
ABCD
AC
BD
1
BD
BB
B
1
,
BD BB
BND
AC
BND
CMO
CM
BND
1
1
0
2
C M
a
a
2
2
CO
2
1
CM
a
2
2
sin
2 1
CO
CMO
CM
a
π
3
CMO
2
2
3
2
2 1
a
32
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直线
与平面
所成的角不能为
，C 错误；
对于D，作
，交
于点
，连接
，
，
四点共面，
平面
，
与
不平行，
与
相交，
即平面
与平面
总是相交，D 错误.
故选：B.
2．棱长为1 的正方体
中，若点P 为线段
上的动点(不含端点)，则下列结论错误的是
（ ）
A．平面
平面
B．四面体
的体积是定值
C．
可能是钝角三角形
D．直线
与
所成的角可能为
【答案】D
【解析】在正方体
中，
为线段
上的动点（不含端点），
，
，
，
，
平面
，
平面
，
CM
BND
π
3
1
1
//
MG B C
1
1
A B
G
BG
1
1
//
//
MG B C
BC
,
, ,
M G B C
,
BG AN
1
1
ABB A
BG
AN
BG
AN
BMC
1
C NA
ABCD
A B C D
₁ ₁ ₁ ₁
A B
₁
A D P
₁ ₁
AA P
₁
D
B CP
₁
₁
1
APD
△
D P
₁
AB
π
6
1
1
1
1
ABCD
A B C D
P
1A B
1
1
1
1
D A
A B
1
1
1
D A
A A
1
1
1
1
A B
A A
A
1
1
A B
1A A
1
AA P
1
1
D A
1
AA P
33
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平面
，
平面
平面
，故A 正确；
连接
，
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
因此四面体
的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，
所以四面体
的体积是定值，故B 正确；
因为正方体的棱长为1，所以
，
若
是
上靠近
的一个四等分点，则
，
所以
，
此时
，
因为
，此时
为钝角，
是钝角三角形，故C 正确；
过
点作
，交
于
，
正方体中
平面
，则
平面
，
平面
，
，直线
与
所成的角为
，
设
，则
，有
，
，
1
1
D A
1
1A D P
1
1
A D P
1
AA P
1
1
1
1
1
,
,
,
,
B D B P B C PC
CD
1
//
BP CD
BP
1
1
B D C
1
CD
1
1
B D C
//
BP
1
1
B D C
1
1
P
B D C
D
B CP
₁
₁
1
1
2
AD
A B
P
1A B
1A
1
1
1
2
4
4
A P
A B
2
2
2
2
1
1
1
1
2
9
1
4
8
D P
A D
A P
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
5
2
cos45
1
2 1
4
4
2
8
AP
AA
A P
AA
A P
2
2
2
1
1
D P
AP
AD
1
D PA
1
APD
△
P
//
PQ AB
1A A
Q
AB
1
1
ADD A
PQ
1
1
ADD A
1
D Q
1
1
ADD A
1
PQ
D Q
D P
₁
AB
1
D PQ
PQ
x
0
1
x
1AQ
x
2
1
1
D Q
x
34
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中，
，
而
，故D 错误.
故选：D.
3．如图在长方体
中，
，
， H 是下底面矩形
的中心，设异面
直线
与
所成的角为
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连接
，则H 是
与
的交点，也是
和
的中点，
长方体
中，
，
，四边形
为平行四边形，
有
，异面直线
与
所成的角即
与
所成的角，
，
，
，
，
，
，
1
Rt D PQ
2
1
1
2
1
1
tan
1
2
D Q
x
D PQ
PQ
x
x
π
3
tan
2
6
3
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
2
AB
AA
4
AD
1
1
1
1
D
C
B
A
AH
1
DC
π
4
π
6
π
3
3π
4
1
1
1
1
1
,
,
AC B D AB
1
1
AC
1
1
B D
1
1
AC
1
1
B D
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
AD
B C
1
1
//
AD B C
1
1
AB C D
1
1
//
AB
DC
AH
1
DC
AH
1
AB
1
2
AB
AA
4
AD
2
1
1
2
1
1
2 2
A
AA
A B
B
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2 5
D
A D
AC
B
A B
1
1
1
1
1
5
2
A
H
B
A
H
C
2
2
1
1
3
AH
AA
A H
35
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中，由余弦定理得，
，则
，即
.
故选：A
4．在正四面体
中，棱长为2，且
是棱
中点，则异面直线
与
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取
的中点
，连接
,
易得
,故
或其补角为异面直线
与
夹角，
又正四面体棱长为2，故
,
,
故异面直线
与
夹角的余弦值为
.
故选：
5．已知正方体
的棱长为1，
是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（ ）
A．该正方体外接球的体积为
B．若
是棱
中点，则异面直线AM 与
夹角的余弦值为
1
AB H
2
2
2
1
1
1
1
2
cos
2
2
AB
AH
B H
B AH
AB
AH
1
π
4
B AH
π
4
P
ABC
E
AB
PE
BC
3
6
3
6
3
3
3
3
AC
G
,
EG PG
/ /
EG
BC
PEG
PE
BC
3,
1
PE
PG
EG
2
2
2
1
3
cos
2
6
2 3
PE
EG
PG
PEG
PE EG
PE
BC
3
6
B.
1
1
1
1
ABCD
A B C D
P
3 π
2
M
1
1
C D
1
CC
2
3
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C．若点
在线段
上运动，则始终有
D．若点
在线段
上运动，则三棱锥
体积为定值
【答案】D
【解析】对于A：正方体外接球的直径为体对角线，即
，所以
，
所以
，A 正确；
对于B：如图所示，异面直线
和
所成角即为
，
所以
，所以B 正确；
对于C：如图所示，连接
，则
，又
平面
，
而
平面
，所以
，
因为
，且
平面
，
平面
，
所以
平面
，
而
平面
，所以
，C 正确；
对于D：因为
，
平面
，所以
平面
，所以直线
上的点到平面
距离相
等，
所以
，所以D 错误，
P
1
AD
1
1
C P
CB
P
1
AD
1
D
BPC
1
12
2
3
R
3
2
R
3
4
3
π
π
3
2
V
R
AM
1
CC
1A AM
1
1
2
2
2
1
2
cos
3
1
1
1
2
AA
A AM
AM
1
BC
1
1
BC
B C
AB
1
1
BB C C
1
B C
1
1
BB C C
1
AB
B C
1
AB
BC
B
I
AB
1
1
ABC D
1
BC
1
1
ABC D
1
B C
1
1
ABC D
1
C P
1
1
ABC D
1
1
B C
C P
1
1
//
AD
BC
1
AD
1
BC D
1//
AD
1
BC D
1
AD
1
BC D
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
3
2
6
D BPC
P BC D
A BC D
C
ABD
V
V
V
V
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故选：D
6．在直三棱柱
中，
分别是
的中点，
，则
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】以点
为原点，以
为
轴的正方向建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，所以
，
，
所以
，
故选：A.
7．把边长为
的正方形
对角线
折起，使得平面
与平面
所成二面角的大小为
，则
异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取
中点
，连接
，
，以
，
分别为
，
轴，垂直面
的直线为轴，建立空
1
1
1
ABC
A B C
-
1
1
90 ,
,
BCA
D F
1
1
1
1
,
A B AC
1
BC
CA
CC
1
BD
1
AF
30
10
1
2
30
15
15
10
C
1
,
,
CB CA CC
, ,
x y z
1
2
BC
CA
CC
0,2,0
A
1 0,2,2
A
2,0,0
B
1 2,0,2
B
1 1,1,2
D
1 0,0,2
C
1 0,1,2
F
1
1,1,2
BD
1
0, 1,2
AF
1
1
1
1
1
1
1 1
2 2
3
30
cos
,
10
6
5
30
AF BD
AF BD
AF BD
2
ABCD
BD
ABD
CBD
120
AD
BC
1
4
1
4
3
4
3
4
BD
O
AO
CO
OC
OB
x
y
BOC
z
38
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间直角坐标系
，如图所示，
因为
是边长为
的正方形，所以
,
则
，
，
，
又易知，
,
，所以
为二面角
的平面角，
由题知，
，所以
，则
所以，
，
，
故
，
所以，异面直线
与
所成角的余弦值为
．
故选：D.
8．如图，在棱长为1 的正方体中，下列结论不正确的是（ ）
A．异面直线AC 与
所成的角为60°
o
xyz
ABCD
2
1
OA
OB
OC
(0,1,0)
B
(1,0,0)
C
(0, 1,0)
D
OA
BD
OC
BD
AOC
A
BD
C
120
AOC
0
30
A Z
1
3
,0,
2
2
A
1
3
( , 1,
)
2
2
AD
(1, 1,0)
BC
1
3
1
3
2
2
cos
,
2
4
1
3
1
2
4
4
AD BC
AD BC
AD
BC
AD
BC
3
4
1
BC
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B．直线
与平面
所成角为45°
C．二面角
的正切值为
D．四面体
的外接球的体积为
【答案】B
【解析】选项A，由正方体性质易得
，因此异面直线AC 与
所成的角为
或其补角，
是等边三角形，
，A 正确；
选项B，由
平面
，
平面
，得
，又
，
，
平面
，
所以
平面
，设
，则
是直线
与平面
所成角，
由
平面
，
平面
，可得
，
在直角
中，
，
，B 错；
1
AB
1
1
ABC D
1
A
B C
B
2
1
1
D
AB C
3 π
2
1
1
/ /
AC
AC
1
BC
1
1
AC B
1
1
AC B
△
1
1
60
A C B
AB
1
1
BCC B
1
B C
1
1
BCC B
1
AB
B C
1
1
B C
BC
1
AB
BC
B
I
1
,
AB BC
1
1
ABC D
1
B C
1
1
ABC D
1
1
B C
BC
M
1
B AM
1
AB
1
1
ABC D
1
B C
1
1
ABC D
AM
1
1
ABC D
1
B C
AM
1
AB M
1
1
1
1
sin
2
B M
B AM
AB
1
30
B AM
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选项C，由上分析得
是二面角
的平面角，由
得
，C 正确；
选项D，四面体
的外接球即为正方体
的外接球，由正方体性质知其外接球半径
为
，因此体积为
，D 正确；
故选：B．
9．如图，在四棱锥
中，
底面
，
，底面
为边长为2 的正方形，E 为
的中点，则异面直线
与
所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示：取
中点为
，连接
，
，
在
中，
分别为
中点，故
，
即为异面直线
与
所成的角（或补角），
在
中，
，
，
，
AMB
1
A
B C
B
1
AB
BC
tan
2
AB
AMB
BM
1
1
D
AB C
1
1
1
1
ABCD
A B C D
3
2
3
4
3
3
π (
)
π
3
2
2
P
ABCD
PA
ABCD
2
PA
ABCD
PD
BD
AE
1
3
1
2
2
3
3
3
BP
F
EF
AF
PBD
△
,
E F
,
PB PD
EF
BD
∥
FEA
BD
AE
AEF
△
1
2
2
AF
BP
1
2
2
AE
PD
1
2
2
EF
BD
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即
为等边三角形，
，
.
故选：B.
10．如图，在正三棱柱
中，若
,则
与
所成角的大小为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，分别取
的中点
，连接
，
可得
且
，
所以异面直线
与
所成的角，即为直线
与
所成的角，设
，
因为三棱柱
为正三棱柱，
因为
，
在直角
中，可得
，
在直角
中，可得
，
再取
的中点
，连接
，可得
，
因为
底面
，所以
底面
，
在直角
中，
AEF
△
60
FEA
1
cos
2
FEA
1
1
1
ABC
A B C
-
1
2,
2
AB
BB
1
AC
1
B C
135
105
90
60
1
1
1
,
,
CC B C AC
,
,
D E F
,
,
DE DF EF
1
/ /
DE
B C
1
/ /
DF
AC
1
AC
1
B C
DE
DF
EDF
1
1
1
ABC
A B C
-
1
2,
2
AB
BB
CDF
2
2
2
2
2
6
1
2
2
DF
CD
CF
1
C DE
△
2
2
2
2
1
1
2
6
1
2
2
DE
C D
C E
BC
M
,
EM FM
1
/ /
EM
BB
1
BB
ABC
EM
ABC
Rt
EFM
△
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可得
，
所以
，所以
，
所以异面直线
与
所成的角为
.
故选：C.
11．棱长为2 的正方体
中，
是
中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解法一：连接
，取
的中点
，连接
，如图所示，
分别是
的中点，
，则
是异面直线
与
所成角或其补角.
正方体棱长为2，面对角线长为
，由正方体的结构可知，
2
2
2
2
1
( 2)
3
EF
FM
EM
2
2
2
3
3
3
2
2
cos
0
2
6
6
2
2
2
DE
DF
EF
DE DF
90
1
AC
1
B C
90
1
1
1
1
ABCD
A B C D
P
1
BC
PD
1A B
3
6
2
6
3
3
2
3
1
1
AC
1
1
AC
O
,
PO DO
,
O P
1
1
1
,
AC BC
1
//
PO A B
DPO
PD
1A B
2 2
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中，
，
，则
，
同理
，在
中，
，
，
由余弦定理可知
.
所以异面直线
与
所成角的余弦值是
.
解法二：以
为原点，
的方向为
轴，
轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
有
，
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值是
.
故选：A.
易错点四： 线面角与向量夹角转化不清等问题（求线面角）
线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
Rt
DCP
△
2
DC
2
PC
2
2
6
DP
DC
PC
6
DO
DPO
6
DO
DP
1
1
2
2
OP
A B
2
2
2
6
2
6
3
cos
2
6
2
6
2
DP
OP
DO
DPO
DP OP
PD
1A B
3
6
D
1
,
,
DA DC DD
x
y
z
1
2,2,0 ,
0,0,0 ,
2,0,2 ,
1,2,1
B
D
A
P
1
0,2, 2 ,
1,2,1
A B
DP
1
1
1
2
3
cos
,
6
2 2
6
DP A B
DP A B
DP A B
PD
1A B
3
6
44
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②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点
做
平面
，交平面
于点
；连接
，则
即为直线
与
平面
的夹角．接下来在
中解三角形．即
（其中
即点
到面
的距
离，可以采用等体积法求
，斜线长即为线段
的长度）；
向量法：线面角
提示：
是线
与平面法向量的夹角，
是线
与平面的夹角
易错提醒：若直线与平面所成的角为
，直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，则sin
=|cos<a ,n
>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量
与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
例．如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底面
，
分别是
的
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
与平面
所成角为
，
，求二面角
的正弦值.
【解析】（1）取PB 的中点G，连接GE，FG，又E 是PC 的中点，
所以
，且
，
又F 是AD 的中点，底面
是正方形，
[0
]
2
，
B
BB
'
B
AB
BAB
AB
△
Rt
ABB
sin
斜线长
BB
h
BAB
AB
h
B
h
AB
2
0
sin
cos
，
n
AB
n
AB
AB
AB
P
ABCD
ABCD
PD
ABCD
,
E F
,
PC AD
//
DE
PFB
PB
PCD
30
2
PB
F
PB
C
//
GE BC
1
2
GE
BC
ABCD
45
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所以
，且
所以
，
，
故四边形FDEG 为平行四边形，则
，
又
平面PFB，
平面PFB，所以
平面PFB.
（2）因为
底面
，所以
，
又
，
，
平面
，且
平面
，
所以BC⊥平面
，则PC 即PB 在平面
内的射影，
所以
是PB 与平面PCD 所成角，即
，
且在
中，
，则
，
又底面
为正方形，
在
中，
，
，则
.
以D 为原点，
，
，
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
令
为平面PFB 的法向量，
则
，令
，得
，
1
1
2
2
FD
AD
BC
//
FD BC
FD
GE
//
FD GE
//
DE FG
DE
FG
//
DE
PD
ABCD
PD
BC
CD
BC
CD
PD
D
CD
PCD
PD
PCD
PCD
PCD
BPC
30
BPC
Rt PBC
2
PB
1,
3
BC
PC
ABCD
Rt PDC
3
PC
1
CD
2
PD
DA
DC
DP
1
(0,0,0), (1,1,0),
(0,1,
2
0),
,0,0 ,
2
0,0,
D
B
C
P
F
1,1,
2
PB
1 ,1,0
2
FB
1,0,0
CB
0, 1, 2
CP
, ,
n
x y z
r
2
0
1
0
2
n PB
x
y
z
n FB
x
y
4
x
4, 2,
2
n
46
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令
为平面PBC 的法向量，
则
令
，得
，
所以
，
设二面角
的大小为θ，则
，
所以二面角
的正弦值为
.
变式1．如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
，
为
的中点，且
．记
的中点为
，若
在线段
上（异于
、
两
点）．
(1)若点
是
中点，证明：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求线段
的长．
【解析】（1）
证明：取线段
的中点
，连接
、
，
, ,
m
a b c
0,
2
0,
m CB
a
m CP
b
c
2
c
0,2, 2
m
2
33
cos
,
33
6
22
m n
n
m
m
n
F
PB
C
2
33
4 66
sin
1
33
33
F
PB
C
4 66
33
P
ABCD
ABCD
//
AD BC
AD
DC
PA
PD
PB
1
2
2
BC
DC
AD
E
AD
4
PE
PE
N
M
BC
B
C
M
BC
//
MN
PCD
MN
PAB
3
9
BM
PD
G
NG
CG
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因为
，
，因为
为
的中点，则
且
，
因为
为
的中点，则
且
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以，
且
，
所以，
且
，
所以，四边形
为平行四边形，则
，
因为
平面
，
平面
，所以，
平面
.
（2）连接
，
因为
，
，
为
的中点，则
且
，
所以，四边形
为平行四边形，所以，
，且
，
因为
，则
，又因为
，则
，
因为
，
为
的中点，则
，
因为
，
，
，所以，
，
所以，
，则
，
又因为
，
、
平面
，所以，
平面
，
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、轴建立空间直角坐标系， 则
、
、
、
，
设
，则
，
，
，设平面
的法向量为
，
则
，取
，可得
，
，若直线
与平面
所成角的正弦值为
，
//
AD BC
1
2
BC
AD
E
AD
//
BC DE
BC
DE
M
BC
//
CM DE
1
2
CM
DE
N
G
PE
PD
//
NG DE
1
2
NG
DE
//
CM NG
CM
NG
CGNM
//
MN CG
MN
PCD
CG
PCD
//
MN
PCD
BE
//
AD BC
1
2
BC
AD
E
AD
//
BC DE
BC
DE
AE
BCDE
//
BE CD
BE
CD
1
2
CD
AD
AE
AE
BE
AD
CD
BE
AD
PA
PD
E
AD
PE
AD
PA
PB
EA
EB
PE
PE
PAE
PBE
△
≌△
90
PEB
PEA
PE
BE
AD
BE
E
AD
BE
ABCD
PE
ABCD
E
EA
EB
EP
x
y
z
2,0,0
A
0,2,0
B
0,0,4
P
0,0,2
N
0
2
BM
a
a
,2,0
M
a
2,2,0
AB
2,0,4
AP
PAB
, ,
m
x y z
2
2
0
2
4
0
m AB
x
y
m AP
x
z
2
x
2,2,1
m
, 2,2
MN
a
MN
PAB
3
9
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则
，整理可得
，
因为
，解得
，故
.
变式2．如图，三棱柱
中，
，
底面
，
，
．
(1)求点
到平面
的距离；
(2)若直线
与
距离为4，求
与平面
所成角的正弦值．
【解析】（1）因为
底面
，
平面
，所以
，
又
，
、
平面
，
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
过
作
交
于
，又平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，则
的长为点
到平面
的距离．
在
中，
，
，则
．
所以点
到平面
的距离为2．
（2）连结
，因为
，
，
，
所以
，所以
，
过
作
，交
于
，则
为
中点，
2
2
2
3
cos
,
9
8
3
MN n
a
MN n
MN
n
a
2
11
24
4
0
a
a
0
2
a
2
11
a
2
11
BM
1
1
1
ABC
A B C
-
1
4
AA
1AC
ABC
90
ACB
1
AC
AC
1A
1
1
BCC B
1
AA
1
BB
AB
1
1
BCC B
1AC
ABC
BC
ABC
1AC
BC
BC
AC
1AC
AC
1
1
ACC A
1AC
AC
C
BC
1
1
ACC A
BC
1
1
BCC B
1
1
ACC A
1
1
BCC B
1A
1
1
AO
CC
1
CC
O
1
1
ACC A
1
1
1
BCC B
CC
1AO
1
1
ACC A
1AO
1
1
BCC B
1AO
1A
1
1
BCC B
1
1
Rt
ACC
△
1
1
1
AC
AC
1
1
4
AA
CC
1
2
AO
1A
1
1
BCC B
1A B
1
AC
AC
1
BC
AC
BC
AC
1
Rt
Rt
ACB
ACB
≌
△
△
1
BA
BA
B
1
BD
AA
1
AA
D
D
1
AA
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由直线
与
距离为4，所以
，
因为
，所以
，又点
到平面
距离也为2，
设
与平面
所成角为
，则
．
变式3．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为矩形，
平面ABP，
，E 为
BC 的中点.
(1)证明：平面
平面PAD.
(2)若点A 到平面PED 的距离为
，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.
【解析】（1）如图，取PD 的中点F，PA 的中点G，连接EF，FG，BG.
∵
平面ABP，
平面ABP，∴
.
∵
，∴
.
∵AP，
平面PAD，
，∴
平面
∵
，
，
，
，
∴
，
，∴四边形BEFG 是平行四边形，∴
，
∴
平面PAD，又
平面PED，∴平面
平面PAD.
1
AA
1
BB
4
BD
1
2
A D
2 5
AB
A
1
1
BCC B
AB
1
1
BCC B
2
1
5
sin
5
2 5
5
P
ABCD
AD
2
2
4
AD
AB
BP
PED
4 5
5
AD
BG
AD
BG
AB
BP
BG
AP
AD
AP
AD
A
BG
PAD
//
FG AD
1
2
FG
AD
//
BE AD
1
2
BE
AD
FG//BE
FG
BE
//
EF BG
EF
EF
PED
50
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（2）取AB 的中点H，连接PH，AC.∵
平面ABP，
平面ABP，
∴
，∴
，
∴
，易得
.
∵
，∴
.
∵
平面ABP，
平面ABCD，∴平面
平面ABP.
又
，∴
，∴
平面ABCD
易得
，
，
，
，
∴
.
设点A 到平面PCD 的距离为h，
∵
，得
，
∴直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值为
.
1．已知三棱锥
中，
平面
为
中点，过点
分别作平行于
平面
的直线交
于点
.
BC
BP
BC
BP
2
2
2
2
2 2
PE
PB
BE
DE
CD
CE
EF
DP
2
2
4
PD
AP
1
1
4 5
1
1
4
3
2
5
3
2
A PED
E PAD
V
PD
EF
V
AP
EF
2
AP
AD
AD
ABCD
PA
PB
PH
AB
PH
3
PH
2
CD
2 5
PD
2 5
PC
1
2
20 1
19
2
PCD
S
△
1
1
1
2 4
3
19
3
2
3
P ACD
A PCD
V
V
h
4 57
19
h
2 57
19
h
PA
P
ABC
,
AB
AC PA
,
3,
4,
ABC PA
AB
AC
M
BC
M
PAB
AC
PC
、
E
F
、
51
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(1)求直线
与平面
所成的角的正切值；
(2)证明：平面
平面
，并求直线
到平面
的距离.
【解析】（1）
因为
平面
，连接
，
则
即为直线
与平面
所成的角，
又
，
，
，
为
中点，可得
，
，
所以
，
即直线
与平面
所成的角的正切值为
.
（2）由题知，
平面
，
平面
，
，
平面
，
所以平面
平面
.
因为
平面
，
平面
，
所以
，
又
，
平面
，
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
就是直线
到平面
的距离，
又
为
中点，
则
，
PM
ABC
/ /
MEF
PAB
ME
PAB
PA
ABC
AM
PMA
PM
ABC
3
PA
AB
4
AC
AB
AC
M
BC
5
BC
5
2
AM
6
tan
5
PA
PMA
AM
PM
ABC
6
5
/ /
ME
PAB
/ /
MF
PAB
ME
MF
M
,
ME MF
MEF
/ /
MEF
PAB
PA
ABC
AC
ABC
PA
AC
AC
AB
,
AB PA
PAB
AB
PA
A
AC
PAB
/ /
ME
PAB
AE
ME
PAB
M
BC
1
2
2
AE
AC
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即直线
到平面
的距离为
.
2．如图，在体积为
的四棱柱
中，底面ABCD 是正方形，
是边长为2 的正三角
形．
(1)求证：平面
平面
．
(2)求
与平面
所成角的正弦值．
【解析】（1）设四棱柱
的高为h．
因为四棱柱
的底面ABCD 是正方形，且
，
所以正方形ABCD 的面积为2．因为四棱柱
的体积为
，
所以
，得
，即点
到平面ABCD 的距离为
．
连接
．因为
是边长为2 的正三角形，所以
，
即
为点
到平面ABCD 的距离，所以
平面ABCD．
因为
平面ABCD，所以
．在正方形ABCD 中，
．
因为
，所以
平面
．因为
平面
，
所以平面
平面
．
（2）方法一由（1）知，OA，OB，
两两垂直，如图（1），
以点O 为坐标原点，分别以OA，OB，
所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，
ME
PAB
2
2 3
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1A AC
△
1
1
ACC A
1
1
BDD B
1AC
1
1
BDD B
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
1
1
ABCD
A B C D
2
AC
1
1
1
1
ABCD
A B C D
2 3
2
2 3
h
3
h
1A
3
1AO
1A AC
△
1
3
AO
1AO
1A
1AO
BC
1AO
BD
BD
AC
1AO
AC
O
BD
1
1
ACC A
BD
1
1
BDD B
1
1
BDD B
1
1
ACC A
1
OA
1
OA
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建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，所以
，
，
．设平面
的法向量为
，
则
所以
令
，则
．
图（1）
设
与平面
所成角为
，则
，
所以
与平面
所成角的正弦值为
．
方法二 如图（2），设
与
交于点
，连接
，则直线
就是平面
与平面
的交线．因为平面
平面
，
所以点
在平面
上的射影必在直线
上．又因为
平面
，
所以直线
与直线
的夹角
就是直线
与平面
所成的角．
O
xyz
0,0,0
O
1,0,0
A
0,1,0
B
1,0,0
C
1 0,0, 3
A
1
1,0,
3
AC
0,1,0
OB
1
1
1,0, 3
BB
AA
uuur
uuur
1
1
BDD B
, ,
n
x y z
1
0,
0,
n OB
n BB
0,
3
0.
y
x
z
1
z
3,0,1
n
1AC
1
1
BDD B
1
1
sin
AC n
AC n
2
2
2
2
2
2
1
3
0 0
3
1
3
2
1
0
3
3
0
1
1AC
1
1
BDD B
3
2
1
1
AC
1
1
B D
1
O
1
OO
1
OO
1
1
BDD B
1
1
ACC A
1
1
BDD B
1
1
ACC A
1A
1
1
BDD B
1
OO
1AC
1
1
ACC A
1AC
1
OO
OEC
1AC
1
1
BDD B
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图（2）
设
与
交于点E，则
．因为
是边长为2 的正三角形，
所以
，所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
3．如图，已知四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
为
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【解析】（1）
取
中点
，连接
，
因为
分别为
的中点，所以
，
，
因为
，
，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，
，
因为
平面
，
平面
，所以
∥平面
.
（2）过点
作
于点
，连接
，
因为
，所以直线
与平面
所成角和直线
与平面
所成角相等，
1AC
1
OO
1
OEC
AAC
1A AC
△
1
60
AAC
1AC
1
1
BDD B
3
sin 60
2
P
ABCD
PA
ABCD
AB
AD
//
AD BC
2
2
PA
AB
AD
BC
E
PD
//
CE
PAB
CE
PAC
PA
F
,
EF BF
,
F E
,
PA PD
EF
AD
∥
1
2
EF
AD
AD
BC
∥
2
AD
BC
FE
BC
∥
EF
BC
EFBC
BF
CE
BF
PAB
CE
PAB
CE
PAB
B
BH
AC
H
FH
BF
CE
CE
PAC
BF
PAC
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因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
所以
为直线
与平面
所成角，
，
，
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
4．如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
，
，
，
为
的中
点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
和平面
所成角的正弦值.
【解析】（1）在四棱锥
中，由
，
为
的中点，得
，
而
，
平面
，
所以
平面
.
（2）取
中点
，连接
，由
是正方形，
为
的中点，得
，
而
，则
，由（1）知
平面
，
平面
，则
，
而
平面
，于是
平面
，又
平面
，
则平面
平面
，因此
在平面
上的射影为平面
与平面
的交线
，
则
为直线
和平面
所成的角，
PA
ABCD
BH
ABCD
BH
PA
PA
AC
A
,
PA AC
PAC
BH
PAC
BFH
BF
PAC
2
2
2
1
5
BF
2
2
1
5
AC
1 2
2 5
5
5
BH
2 5
2
5
sin
5
5
BH
BFH
BF
CE
PAC
2
5
P
ABCD
ABCD
PE
AB
PA
PD
PA
PD
E
AD
PE
ABCD
PE
PBC
P
ABCD
PA
PD
E
AD
PE
AD
PE
AB
,
,
AD
AB
A AD AB
ABCD
PE
ABCD
BC
F
,
EF PF
ABCD
E
AD
/ /
EF
AB
AB
BC
EF
BC
PE
ABCD
BC
ABCD
PE
BC
,
,
PE
EF
E PE EF
PEF
BC
PEF
BC
PBC
PEF
PBC
PE
PBC
PEF
PBC
PF
EPF
PE
PBC
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由
，
，
为
的中点，得
，
由
平面
，
平面
，得
，
，
所以直线
和平面
所成的角的正弦值为
.
5．如图，在四棱柱
中，
，
，平面
平面
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
为线段
的中点，直线
与平面
所成角为45°，求平面
与平面
的夹角的余弦
值.
【解析】（1）连接
，设
，
由
，
，得
是线段
的垂直平分线，即有
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，于是
平面
，
而
平面
，则
，又
，
平面
，
，
所以
平面
.
PA
PD
PA
PD
E
AD
1
1
2
2
PE
AD
EF
PE
ABCD
EF
ABCD
PE
EF
2
2
5
2
PF
PE
EF
EF
PE
PBC
2 5
sin
5
EF
EPF
PF
1
1
1
1
ABCD
A B C D
3
AB
BC
CA
1
AD
CD
1
1
AAC C
ABCD
1
AA
AB
1
AA
ABCD
E
BC
1A E
ABCD
1
AA E
1
1
A EC
BD
AC
BD
F
BA
BC
DA
DC
BD
AC
BD
AC
1
1
AAC C
ABCD
1
1
AAC C
ABCD
AC
BD
ABCD
BD
1
1
AAC C
1
AA
1
1
AAC C
1
AA
BD
1
AA
AB
,
AB BD
ABCD
AB
BD
B
1
AA
ABCD
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（2）由
，得
，又
，
，
，则
，
于是
，又
，
，则以
为正交基底，建立空间直角坐标系
，
在
中，
为
中点，即有
，
由
平面
，得
为
与平面
所成角，即
，有
，
则
，
，
，
，
，
由
平面
，
平面
，得
，
又
，
平面
，
，则
平面
，
于是平面
的一个法向量为
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
3
AB
BC
CA
60
BAC
1
AD
CD
3
AC
1
3
2
2
AF
AC
30
DAC
90
DAB
1
AA
AB
1
AA
AD
1
,
,
AB AD AA
A
xyz
ABC
E
BC
3
3
2
2
AE
AB
1
AA
ABCD
1A EA
1A E
ABCD
1
45
A EA
1
3
2
AA
AE
1
3
0,0, 2
A
3 3 3
(
,
,0)
4
4
E
1
3 3 3
(
,
, )
2
2 2
C
( 3,0,0)
B
3 3
(
,
,0)
2
2
C
1
AA
ABCD
BC
ABCD
1
BC
AA
BC
AE
1
,
AE AA
1
AA E
1
AE
AA
A
BC
1
AA E
1
AA E
3 3
(
,
,0)
2
2
m
BC
1
1
A EC
, ,
n
x y z
r
1
3 3 3
3
(
,
,
)
4
4
2
A E
1
1
3 3
(
,
,0)
2
2
AC
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则
，取
，得
，
设平面
与平面
的夹角为
，则
，
所以平面
与平面
的夹角余弦值为
.
6．如图，已知
垂直于梯形
所在的平面，矩形
的对角线交于点
为
的中点，
.
(1)求证：
平面
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得
与平面
所成角的大小为
？若存在，求出
的长；若不
存在，说明理由.
【解析】（1）以
为原点建立如图所示的坐标系，
，
，
，
，
，
，
，
1
1
1
3 3
3
3
0
4
4
2
3
3
0
2
2
n A E
x
y
z
n AC
x
y
1
y
( 3, 1,1)
n
1
AA E
1
1
A EC
2
2
2
2
2
3
3
|
3
( 1) |
|
|
15
2
2
cos
5
|
||
|
3
3
(
)
( )
( 3)
( 1)
1
2
2
m n
m n
1
AA E
1
1
A EC
15
5
SA
ABCD
SADE
,
F G
SB
1
,
1
2
2
ABC
BAD
SA
AB
BC
AD
BD //
AEG
EG
H
BH
SCD
6
GH
A
(1,0,0)
B
(0,2,0)
D
(0,2,1)
E
1
1
( ,0, )
2
2
G
( 1,2,0)
BD
(0,2,1)
AE
1
1
( ,0, )
2
2
AG
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设面
的法向量为
，
，令
，则
，
，
平面
，
，
平面
；
（2）假设存在点
，设
，
则
，
设面
法向量
，
，
，
，令
，则
，
，
，即
，
，
故存在满足题意的点
，此时
.
7．如图，
是矩形
所在平面外一点，且
平面
．已知
．
AEG
( , , )
m
x y z
2
0
1
1
0
2
2
y
z
x
z
1
x
1
(1,
, 1)
2
m
0
BD m
BD
AEG
0
BD m
//
BD
AEG
H
1
1
(
,2 ,
)
2
2
GH
GE
1
1
1
1
(
,2 ,
)
2
2
2
2
BH
BG
GE
SCD
( , , )
n
a b c
(1,1, 1)
SC
( 1,1,0)
CD
0
0
a
b
c
a
b
1
a
(1,1,2)
n
2
2
|
1 (1
)
2
1
1
|
2
1
1
2
2
sin
| cos
,
|
6
2
6
4
n BH
2
0
(
1)
1
1
1
(
,2, )
2
2
GH
H
3 2
|
| |
|
2
GH
GH
P
ABCD
PA
ABCD
2,
1
PA
AB
BC
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(1)求二面角
的大小；
(2)求直线
与平面
所成角的大小．
【解析】（1）因为底面
为矩形，所以
,
又因为
平面
，
平面
，
所以
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
易知二面角
即二面角
，
因为
，
，所以
即其平面角，
由题意易知
，
故二面角
的大小为
；
（2）如图所示，过
作
交
于点
，连接
，
根据已知
平面
，
平面
，所以
，
因为
平面
，
所以
平面
，
由直线与平面的夹角的定义可知直线
与平面
所成角为
，
矩形
中，易知
，又易知
，
所以
，
P
BC
D
PB
PAC
ABCD
BC
AB
PA
ABCD
AB
BC
、
ABCD
,
PA
BC PA
AB
,
PA
AB
A PA
AB
、
PAB
BC
PAB
PB
PAB
PB
BC
P
BC
D
P
BC
A
PB
BC
BC
AB
PBA
π
tan
1
4
PA
PBA
PBA
AB
P
BC
D
π
4
B
BO
AC
AC
O
PO
PA
ABCD
BO
ABCD
PA
BO
,
PA
AC
A PA
AC
、
=
PAC
BO
APC
PB
PAC
BPO
ABCD
2
5
BO AC
AB BC
BO
2
2 2
PB
AB
2
1
10
sin
10
5
2 2
BO
BPO
BP
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所以直线
与平面
所成角大小为
.
8．如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
为
中点，
平面
，
，
为
中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
；
(3)求直线
与平面
所成角的余弦值.
【解析】（1）连接
，
，
因为底面
为平行四边形，
为
中点，
故
与
相交于
，
因为
为
的中点，
则
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
；
PB
PAC
10
arcsin 10
P
ABCD
ABCD
45 ,
1
ADC
AD
AC
O
AC
PO
ABCD
2
PO
M
PD
PB / /
ACM
AD
PAC
AM
ABCD
BD
OM
ABCD
O
AC
BD
AC
O
M
PD
/ /
OM
PB
OM
ACM
PB
ACM
PB / /
ACM
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（2）因为
，
由余弦定理得
，即
，
解得
，
因为
，所以
⊥
，
因为
⊥平面
，
平面
，所以
⊥
，
因为
平面
，
，
所以
平面
；
（3）取
的中点
，连接
，则
，
因为
⊥平面
，所以
⊥平面
，
则
为直线
与平面
所成角，
其中
，故
，
因为
⊥
，
，由勾股定理得
，
故
，
由勾股定理得
，
所以
.
45 ,
1
ADC
AD
AC
2
2
2
cos
2
AD
CD
AC
ADC
AD CD
2
1
1
cos45
2
CD
CD
2
CD
2
2
2
AD
AC
CD
AD
AC
PO
ABCD
AD
ABCD
PO
AD
,
AC PO
PAC
AC
PO
O
AD
PAC
OD
N
,
MN AN
MN / / OP
PO
ABCD
MN
ABCD
MAN
AM
ABCD
2
PO
1
1
2
MN
OP
AD
AC
1
1
2
2
AO
AC
2
2
1
5
1
4
2
OD
AD
AO
1
5
2
4
AN
OD
2
2
21
4
AM
AN
MN
5
105
4
cos
21
21
4
AN
MAN
AM
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9．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，点
是
的中点．
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成的角的正弦值．
【解析】（1）取
中点
，连接
，如图所示，，
则
，又因为
，
所以四边形
是平行四边形，
又
，
所以平行四边形
为正方形，
所以
，即
是等腰三角形，
则
，所以
，
即
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
又因为
平面
，
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
P
ABCD
PA
ABCD
1
2
AD
CD
AB
CD
PA
AD
CD
AB
，
∥
，
，
M
PB
2
PB
CM
DM
ACM
AB
F
CF
1
AF
CD
AB
CD
AF
CD
∥
∥
AFCD
AD
CD
AD
CD
，
AFCD
AB
CF
ABC
2
AC
BC
2
2
2
4
AC
BC
AB
AC
BC
PA
ABCD
BC
ABCD
PA
BC
,
PA AC
PAC
PA
AC
A
BC
PAC
PC
PAC
BC
PC
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又因为点
是
的中点，
所以由直角三角形性质易得
.
（2）因为
平面
，
平面
，
所以
，
又因为四边形
是正方形，所以
，
如图，以
为正交基底建立空间直角坐标系
，
则
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，即
，
设直线
与平面
所成的角为
，
所以
，
所以直线
与平面
所成的角的正弦值为
.
M
PB
2
PB
CM
PA
ABCD
,
AD AB
ABCD
,
PA
AD PA
AB
AFCD
AD
AB
,
,
AD AB AP
A
xyz
1
0,0,0 ,
1,1,0 ,
1,0,0 ,
0,1, 2
A
C
D
M
1
1
1,1,
,
1,1,0 ,
0,1,
2
2
DM
AC
AM
ACM
, ,
n
x y z
0
0
1
0
0
2
x
y
n
AC
n AC
y
z
n
AM
n AM
1
1,
2
x
y
z
1, 1,2
n
DM
ACM
π
2
0
1
6
sin
cos
,
9
9
6
4
n DM
n DM
n DM
DM
ACM
6
9
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10．如图，在正三棱柱
中，
，此三棱柱的体积为
，P 为侧棱
上点，且
，
H、G 分别为AB、
的中点.
(1)求此三棱柱的表面积；
(2)求异面直线
与
所成角的大小；
(3)求
与平面
所成角的大小.
【解析】（1）解：设底面正三角形的边长为
，则其面积为
，
因为三棱柱
的体积为
，可得
，解得
，
所以三棱柱的侧面积为
，
所以三棱柱的表面积为
.
（2）解：取
的中点
，连接
，可得
，
所以异面直线
与
所成角，即为直线
与
所成角，
因为
，在直角
中，可得
，
在直角
中，可得
，
1
1
1
ABC
A B C
-
1
3
AA
6 3
1
AA
1
AP
1
1
AC
GH
1
PC
1
PC
1
1
AA B B
a
2
3
4
ABC
S
a
△
1
1
1
ABC
A B C
-
6 3
2
3
3
6 3
4 a
2 2
a
1
1
3
3 2 2
3
18 2
S
a
AA
1
3
18 2
8 2
18 2
4 3
4
ABC
S
S
S
1A P
F
,
HF FG
1
/ /
HF
PC
GH
1
PC
GH
HF
1
AP
1A HF
△
2
2
1
1
3
HF
A H
A F
AFG
2
2
6
FG
AG
AF
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取
的中点
，连接
，在直角
中，可得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以异面直线
与
所成角的大小为
.
（3）解：取
的中点
，可得
，
在正三棱柱
中，可得平面
平面
，
且平面
平面
，可得
平面
，
所以
为直线
与平面
所成的角，
在直角
中，
，且
，
在直角
中，可得
，所以
.
（了解一下）11．如图，在长方体
中，已知
，
.
AC
M
,
GM HM
GHM
△
2
2
11
GH
GM
HM
HFG
3 11 6
4 33
cos
33
2 3
11
GHF
GH
1
PC
4 33
arccos
33
1
1
A B
E
1
1
1
C E
A B
1
1
1
ABC
A B C
-
1
1
1
A B C
1
1
ABB A
1
1
1
A B C
1
1
1
1
ABB A
A B
1
C E
1
1
ABB A
1
PC E
1
PC
1
1
ABB A
1A PE
!
2
2
1
1
6
PE
A P
A E
1
6
C E
1
△PC E
1
1
tan
1
C E
PC E
PE
1
45
PC E
1
1
1
1
ABCD
A B C D
2
AB
BC
1
3
AA
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(1)若点
是棱
上的中点，求证：
与
垂直；
(2)求直线
与平面
的夹角大小.
【解析】（1）
如图1，连接
，且
，
因为
，由已知可得，
为正方形，
所以，
.
同理可得，
.
根据长方体的性质可得，
平面
，
又
平面
，
所以，
.
因为
平面
，
，
所以，
平面
.
因为
平面
，
所以，
.
（2）
P
1
DD
AC
BP
1
AB
1
1
ACC A
1
1
1
1
,
,
,
,
AC BD BP B D AC
1
1
1
1
B D
AC
O
I
2
AB
BC
ABCD
AC
BD
1
1
1
1
AC
B D
1
DD
ABCD
AC
ABCD
1
DD
AC
1,
DD BD
1
1
DBB D
1
DD
BD
D
I
AC
1
1
DBB D
BP
1
1
DBB D
AC
BP
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如图2，连接
.
由（1）知，
.
因为
平面
，
平面
，
所以，
.
因为
平面
，
所以，
平面
.
所以，
即为直线
与平面
的夹角.
因为
，
，
所以
，
.
因为
是
的中点，所以
，
在
中，有
，
所以，直线
与平面
的夹角大小为
.
易错点五： 忽略二面角范围有重新的规定（求二面角）
二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角
的棱上任取一点
，以
为垂足，分别在半平面
和
内作垂直于棱的射线
和
，则射线
和
所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
1
1
,
,
AB AD AO
1
1
1
1
AC
B D
1
AA
1
1
1
1
D
C
B
A
1
1
B D
1
1
1
1
D
C
B
A
1
1
1
AA
B D
1
1
1
,
AA AC
1
1
ACC A
1
1
B D
1
1
ACC A
1
B AO
1
AB
1
1
ACC A
2
AB
BC
1
3
AA
1
1
2 2
B D
1
1
13
AB
AD
O
1
1
B D
1
2
OB
1
Rt B OA
1
1
1
2
26
sin
13
13
OB
B AO
AB
1
AB
1
1
ACC A
26
arcsin 13
l
O
O
OA
OB
OA
OB
69
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法二：三垂线法
在面
或面
内找一合适的点
，作
于
，过
作
于
，则
为斜线
在面
内
的射影，
为二面角
的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点
，作
于
；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过
作
于
，连接
；
③计算：
为二面角
的平面角，在
中解三角形．
b
a
A
O
B
b
A
B
C
B'
C'
A'
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公
式（
，如图2）求出二面角的大小；
法四：向量法 二面角的平面角
提示：
是二面角的夹角，具体
取正取负完全用眼神法观察，二面角不存在钝角之说.
易错提醒：若两个平面的法向量分别为a ，b ，若两个平面所成的锐二面角为
，则
；
规定两个平面所成二面角范围
，则
。
例 ．如图（1），六边形
是由等腰梯形
和直角梯形
拼接而成，且
A
AO
O
A
AB
c
B
BO
AB
ABO
c
A
AO
O
A
AB
c
B
BO
ABO
c
Rt
ABO
△
'
'
'
cos
=
A B C
ABC
S
S
S
S
射
斜
，
0
cos
2
1
2
1
n
n
n
n
cos
cos
cos
,a b
0
90
0,
cos
cos
,a b
ABCDEF
ADEF
ABCD
90
BAD
ADC
2,
4
AB
AF
EF
ED
AD
CD
AD
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，
，沿
进行翻折，得到的图形如图（2）所
示，且
.
(1)求证：
平面
.
(2)求二面角
的余弦值；
【解析】（1）在等腰梯形ADEF 中，作
于M，
则
，可得
，
连接AC，则
，
因为
，可得
，
由
，可得
，
且
，
平面
，所以
平面
.
（2）由（1）可知
平面ADEF，且
平面
，可得
，
且
，
，
平面
，可得
平面
，
且
平面
，可得
，
又
，可知
就是二面角
的平面角，
在
，可得
，
90
BAD
ADC
2,
4
AB
AF
EF
ED
AD
CD
AD
90
AEC
CD
ADEF
C
AE
D
EM
AD
1,
3,
3
2
AD
EF
DM
AM
EM
3
9
2 3
AE
4 2
AC
90
AEC
2 5
EC
2
2
2
ED
DC
EC
CD
ED
,
I
CD
AD AD
ED
D
,
AD ED
ADEF
CD
ADEF
CD
AE
ADEF
CD
AE
CE
AE
CE
CD
C
,
CE CD
CDE
AE
CDE
DE
CDE
AE
DE
AE
CE
CED
C
AE
D
Rt
CDE
△
2
5
cos
5
2 5
DE
CDE
CE
71
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所以二面角
的余弦值为
.
变式1．如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
.
(1)求点
到平面
的距离；
(2)设点
为线段
的中点，求二面角
的正弦值.
【解析】（1）因为
平面
，又
平面
，
平面
，
所以
，
又
，由勾股定理得
，
又
，
所以
，故
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，则
为点
到平面
的距离，
故点
到平面
的距离为2.
（2）在平面
内过点
作
的平行线
，则
，
以
为坐标原点，以
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由勾股定理得：
，
则
，
C
AE
D
5
5
P
ABC
PA
ABC
2
PA
BC
AB
PC
5
B
PAC
E
PB
A
CE
B
PA
ABC
AB
ABC
BC
ABC
,
PA
AB PA
BC
2,
5
PA
AB
2
2
2
( 5)
3
PB
2
5,
3
BC
PC
PB
,
2
2
2
BC
PC
PB
BC
PC
,
BC
PC BC
PA
,
,
PC
PA
P PC PA
PCA
BC
PCA
BC
B
PAC
B
PAC
ABC
A
BC
AF
,
PA
AC PA
AF AC
AF
,
A
AC
x
AF
y
AP
z
2
2
5
4
1
AC
PC
PA
1
(1 0 0), (1 2 0), (0,0,,2),
,1,1
2
C
B
P
E
, ,
, ,
72
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，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，取
，则
，
设平面
的法向量为
，
则
即
，取
，则
，
所以
，
记二面角
的大小为
，则
，
故二面角
的正弦值为
.
变式2．在正方体
中，设
，
分别为棱
，
的中点.
1 11
(1 0 0)
(0 2 0)
2
CE
AC
CB
, ,
,
, ,
,
, ,
ACE
1
1
1
( ,
,
)
m
x y z
·
0
·
0
CE m
AC m
1
1
1
1
1
0
2
0
x
y
z
x
1
1
y
1
1
(0 1
1)
z
m
,
, ,
BCE
2
2
2
(
,
,
)
n
x
y
z
·
0
·
0
CE n
BC n
，
，
2
2
2
2
1
0
2
0
x
y
z
y
2
2
x
2
1
(2 0 1)
z
n
,
, ,
·
1
10
cos
,
10
·
2
5
m n
m n
m
n
A
CE
B
1
3 10
sin
1 10
10
A
CE
B
3 10
10
1
1
1
1
ABCD
A B C D
M
N
1
1
C D
1
1
A D
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(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
【解析】（1）连接
交
于
，连接
，
，
.
在正方体
中，
，
，四边形
是平行四边形，
所以
，
.
正方形
中，
，故
是
的中点，
所以
，且
，
在
中，
，
分别是
，
的中点，
所以
，且
，
所以
，且
，
故四边形
是平行四边形，故
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
//
CM
BND
A
BD
N
AC
BD
O
ON
MN
1
1
AC
1
AC
1
1
//
AA
CC
1
1
AA
CC
1
1
ACC A
1
1
//
AC AC
1
1
AC
AC
ABCD
AC
BD
O
O
AC
1
1
//
OC AC
1
1
1
2
OC
AC
1
1
1
D AC
M
N
1
1
C D
1
1
A D
1
1
//
MN AC
1
1
1
2
MN
AC
//
MN OC
MN
OC
MNOC
//
CM ON
ON
BND
CM
BND
//
CM
BND
74
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（2）法一：以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，轴建立如图所示的空间直
角坐标系
.
不妨设正方体
的棱长为2，故
，
，
，
，
.
在正方体
中，
平面
，故
是平面
的一个法向量.
设
是平面
的法向量，
，
，
故
即
取
，则
所以
是平面
的一个法向量.
故
，
设二面角
的大小为
，
据图可知，
，
所以二面角
的余弦值为
.
法二：取
的中点
，
的中点
，连接
，
，
.
D
DA
DC
1
DD
x
y
z
D
xyz
1
AC
0,0,0
D
2,0,0
A
2,2,0
B
1 2,0,2
A
1,0,2
N
1
AC
1
AA
ABCD
1
0,0,2
AA
ABD
, ,
m
x y z
BDN
2,2,0
DB
1,0,2
DN
,
,
m
DB
m
DN
2
2
0,
2
0,
x
y
x
z
2
x
2,
1,
y
z
2, 2, 1
m
BDN
1
1
2
2
2
2
2
2
1
0 2
0
2
2
1
1
cos
,
3
0
0
2
2
2
1
AA m
AA m
AA m
A
BD
N
1
1
cos
cos
,
3
AA m
A
BD
N
1
3
AD
E
OD
H
NE
EH
NH
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在正方体
中，
，
，
又
，
分别是
，
的中点，故
，
，
四边形
是平行四边形，所以
，
又
，
，故
，
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，故
.
在正方形
中，
，
在
中，
，
分别是
，
的中点，故
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面，所以
.
所以
是二面角
的平面角.
不妨设正方体
的棱长为2，
在
中，
，
，
故
，所以
，
所以二面角
的余弦值为
.
1
AC
1
1//
A D
AD
1
1
A D
AD
N
E
1
1
A D
AD
1//
ND
ED
1
ND
ED
1
NEDD
1
//
NE DD
1
DD
AD
1
DD
CD
NE
AD
NE
CD
AD
CD
D
,
AD CD
ABCD
NE
ABCD
BD
ABCD
NE
BD
ABCD
AO
BD
DAO
E
H
AD
OD
//
EH AO
EH
BD
NE
EH
E
,
NE EH
NEH
BD
NEH
NH
BD
NH
NHE
A
BD
N
1
AC
Rt
NEH
△
1
2
NE
AA
1
1
2
2
4
2
EH
AO
AC
2
2
3 2
2
NH
NE
EH
2
1
2
cos
3
3 2
2
EH
NHE
NH
A
BD
N
1
3
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变式3．如图1，
为等边三角形，边长为4，
分别为
的中点，以
为折痕，将
折起，使点
到
的位置，且
，如图2.
(1)设平面
与平面
的交线为，证明：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
【解析】（1）延长
交于点
，连接
，如图，
依题意，
分别为
的中点，则
，
因此
分别是以
为斜边的直角三角形，
即
，又
，
平面
平面
，
于是
平面
，而平面
平面
，显然直线与
重合，
所以
平面
.
（2）
ABC
,
E D
,
BC AC
DE
DCE
△
C
1
C
1
2 3
BC
1
ADC
1
BEC
l
l
1
ABC
1
C
DE
A
,
AD BE
C
1
CC
,
D E
,
AC BC
1
1
,
CD
C D
DA CE
C E
EB
1
1
,
ACC
BCC
,
AC BC
1
1
1
1
CC
AC
CC
BC
，
1
1
1
AC
BC
C
1
AC
1
1
,
ABC BC
1
ABC
1
CC
1
ABC
1
ADC
1
BEC
l
l
1
CC
l
1
ABC
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取
的中点
，连接
交
于点
，则
为
中点，连接
，
由
为等边三角形，得
，则
为二面角
的平面角，
，在
中，
，则
，
由
平面
，
平面
，得
，又
，于是
，
在
中，由余弦定理得
，
所以二面角
的余弦值为
.
1 ．如图所示，在三棱柱
中，侧棱
底面
为
的中点.
.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
AB
N
CN
DE
M
M
DE
1
1
,
C M C N
ABC
1
,
C M
DE MN
DE
1
C MN
1
C
DE
A
1
3
C M
MN
1
Rt CBC
1
4,
2 3
BC
BC
1
2
CC
1
CC
1
ABC
1
C N
1
ABC
1
1
C C
C N
2 3
CN
1
2 2
C N
1
C MN
2
2
2
1
1
1
1
1
cos
2
3
C M
MN
C N
C MN
C M MN
1
C
DE
A
1
3
1
1
1
ABC
A B C
-
1
AA
,
,
ABC AB
BC D
AC
1
4,
6
AA
AB
BC
1
AB
1
BC D
1
C
BD
C
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【解析】（1）
连接
交
于
，连接
,
在
中，
为
中点，
为
中点,
所以
，
又因为
平面
，
平面
所以
平面
.
（2）由题意侧棱
底面
，所以
底面
，即
，
又
，所以
平面
,
所以可建立空间直角坐标系如图：
以
为原点，以
，
，
分别为
轴，
轴，轴，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
1
B C
1
BC
E
DE
1
AB C
V
E
1
B C
D
AC
1
DE
AB
∥
1
AB
1
BC D
DE
1
BC D
1
AB
1
BC D
1
AA
ABC
1
BB
ABC
1
1
,
BB
AB BB
BC
AB
BC
1
1
BB
AB
AB
BC
AB
BB
BC
B
1
1
BB C C
B
1
BB
BC
BA
x
y
z
(0,0,0)
B
(0,0,4)
A
1(4,0,4)
A
1(4,6,0)
C
(0,6,0)
C
(0,3,2)
D
(0,3,2)
BD
1
(4,6,0)
BC
1
(4,0,0)
AA
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设平面
的法向量为
，
则
，
取
则
所以平面
的一个法向量为
，
因为
底面
，
所以平面
的一个法向量为
,
设二面角
大小为
，
则
，
所以二面角
的余弦值为
.
2．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是矩形.已知
，
，
，
，
.
(1)证明
平面
；
(2)求异面直线
与
所成的角的正切值；
(3)求二面角
的正切值.
【解析】（1）证明：在
中，由题设
，
可得
.
于是
.
在矩形
中，
.
1
C BD
( , , )
n
x y z
1
0
3
2
0
4
6
0
0
BD n
y
z
x
y
BC n
=
2
y
3,
3
x
z
1
C BD
(3, 2,3)
n
1
AA
ABC
BDC
1
(4,0,0)
AA
1
C
BD
C
1
1
3
3 22
cos
22
22
AA n
AA
n
1
C
BD
C
3 22
22
P
ABCD
3
AB
2
AD
2
PA
2 2
PD
60
PAB
AD
PAB
PC
AD
P
BD
A
PAD
2
PA
2 2
PD
2
2
2
PA
AD
PD
AD
PA
ABCD
AD
AB
80
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又
，
平面
，
所以
平面
.
（2）证明：由题设，
，所以
（或其补角）是异面直线
与
所成的角.
在
中，由余弦定理得
由（1）知
平面
，
平面
，
所以
，因而
，于是
是直角三角形，
故
.
所以异面直线
与
所成的角的正切值为
.
解法二：
由（1）可知，
平面
,
平面
，
所以平面
平面
，
作
于M，
交
于
点，
因为平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
以M 为原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
设异面直线
与
所成的角为
，
PA
AB
A
,
PA AB
PAB
AD
PAB
BC
AD
∥
PCB
∠
PC
AD
PAB
2
2
2
cos
7
PB
PA
AB
PA AB
PAB
AD
PAB
PB
PAB
AD
PB
BC
PB
PBC
7
tan
2
PB
PCB
BC
PC
AD
7
tan
2
PB
PCB
BC
AD
PAB AD
ABCD
PAB
ABCD
PM
AB
MN
AB
CD
N
PAB
ABCD
AB
PM
PAB
PM
ABCD
MN
ABCD
PM
MN
,
,
MB MN MP
, ,
x y z
0,0, 3
P
1,0,0
A
2,0,0
B
2,2,0
C
1,2,0
D
2,2,
3
PC
0,2,0
AD
PC
AD
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，则
.
所以异面直线
与
所成的角的正切值为
（3）
过点M 做
于E，连接
.
因为
平面
，
平面
，所以
.
又
，因而
平面
，
又
平面
，所以
从而
是二面角
的平面角.
由题设可得，
，
，
，
，
，
于是在
中，
.
所以二面角
的正切值为
.
解法二：由（2）知
，
.
设平面PBD 的一个法向量为
，
则
，即
，
2
cos
cos
,
11
PC AD
7
sin
11
PC
AD
7
2
ME
BD
PE
PM
ABCD
BD
ABCD
BD
PM
PM
ME
M
BD
PME
PE
PME
BD
PE
PEM
P
BD
A
sin 60
3
PM
PA
cos60
1
AM
PA
2
BM
AB
AM
2
2
13
BD
AB
AD
4
13
AD
ME
BM
BD
Rt
PME
△
39
tan
4
PM
PEM
ME
P
BD
A
39
4
2,0,
3
PB
1,2,
3
PD
, ,
m
x y z
0
0
PB m
PD m
2
3
0
2
3
0
x
z
x
y
z
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令
，则
，
所以
，
又平面
的一个法向量可以是
.
由图知二面角
的大小为锐角，
所以
，则
所以二面角
的正切值为
.
3．如图，三棱柱
的底面是等边三角形，
，
，D，E，F 分别为
，
，
的中点.
(1)在线段
上找一点
，使
平面
，并说明理由；
(2)若平面
平面
，求平面
与平面
所成二面角的正弦值.
【解析】（1）如图所示：
当点
为
的中点时，
平面
，证明如下：
2 3
x
3 3,
4
y
z
,
4,
2 3 3 3
m
ABD
0,0,1
n
P
BD
A
4
cos
,
55
m n
39
sin
,
55
m n
P
BD
A
39
4
1
1
1
ABC
A B C
-
1
6
AB
AA
1
60
ABB
1
BB
1
CC
BC
1
AA
G
//
FG
1A DE
1
1
AA B B
ABC
1A DE
ABC
G
1
AA
//
FG
1A DE
83
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设
为
中点，连接
.
因为在三棱柱
中，
，
分别为
的中点，
所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形.
所以
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）如图所示：
取
中点
，连接
.
因为
，
，
所以
为正三角形，所以
.
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，
所以
，
H
DE
1
,
FH A H
1
1
1
ABC
A B C
-
1
1
1
//
//
BB
CC
AA
, , ,
D E F G
1
1
1
,
,
,
BB
CC
BC AA
1
//
//
FH EC AG
1
=
=
FH EC AG
1AGFH
1
//
FG A H
1A H
1A DE
FG
1A DE
//
FG
1A DE
AB
O
1
1
,
,
OB
AB
OC
1
1
AB
AA
BB
1
60
ABB
1
ABB
1
B O
AB
1
1
AA B B
ABC
1
1
AA B B
ABC
AB
1B O
1
1
AA B B
1
B O
ABC
,
CO AO
ABC
1
1
,
B O
CO B O
AO
84
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因为
为等边三角形，所以
.
以
为原点，分别以
所在直线为
轴，
轴，轴建立空间直角坐标系，
依题意得
，
所以
，
.
设平面
的法向量
，
则由
，得
，令
，得
.
取平面
的法向量
，
设平面
与平面
所成二面角的大小为
，
则
.
所以
，
所以平面
与平面
所成二面角的正弦值为
.
4．如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
为菱形，
，
，
为
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
ABC
OC
AB
O
1
,
,
OC OA OB
x
y
z
1
1
3 3 3
(0,3,0), (0, 3,0), (3 3,0,0),
(0,6,3 3),
(0,0,3 3),
0,
,
2
2
A
B
C
A
B
D
1
15 3 3
0,
,
2
2
DA
(3 3,3,0)
DE
BC
1A DE
( , , )
n
x y z
1
0
0
n DA
n DE
15
3 3
0
2
2
3 3
3
0
y
z
x
y
1
x
1,
3,5
n
ABC
(0,0,1)
m
1A DE
ABC
5
5 29
cos
cos
,
29
1
29
m n
m n
m
n
2
2 29
sin
1 cos
29
1A DE
ABC
2 29
29
P ABCD
PA
ABCD
ABCD
60
ADC
4
PA
AD
E
AD
PCE
PAD
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(2)求二面角
的平面角的正弦值．
【解析】（1）由题意，
因为四边形
为菱形，所以
.
连接AC.
因为
，
所以
为等边三角形，从而
.
在
中，
是
的中点，
所以
.
因为
平面
，
平面
，
所以
.
∵
，
面
，
平面
，
面
，
∴
平面
.
又
平面
，
∴平面PCE⊥平面PAD
（2）由题意及（1）得，
在平面
中，过点
作
，垂足为
，连接
.
因为
平面
,
平面
，所以
.
又
,
平面
,
平面
，所以
平面
.
又
平面
，所以
，
A
PD
C
ABCD
DA
DC
＝
60
ADC
＝
ADC
△
CA
CD
＝
ADC
△
E
AD
CE
AD
PA
ABCD
CE
ABCD
CE
PA
PA
AD
A
＝
PA
PAD
AD
PAD
CE
PAD
EC
PAD
CE
PCE
PAD
E
EM
PD
M
CM
EC
PAD PD
PAD
EC
PD
EM
CE
E
＝
EM
EMC CE
EMC
PD
EMC
CM
EMC
PD
CM
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从而
是二面角
的平面角．
在Rt
中，
,
，
所以
.在Rt
中，
，
，
所以
.
在Rt
中,
,
所以二面角
的平面角的正弦值为
.
5．如图，在圆锥
中，
是底面的直径，且
，
，
，
是
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的余弦值．
【解析】（1）如图，由题意，
是底面的直径，
，
为
的中点，
为
的中点，则
，
则
，而
平面
平面
，
则
，
又
，
平面
，
平面
平面
，
又
平面
平面
平面
；
（2）在平面
中，过
作
，垂足为
，
在平面
中，过
作
，垂足为
，
连接
，
EMC
∠
A PD C
EMD
2
ED＝
45
ADP
＝
2
EM
MD
CMD
△
2
MD
4
CD
2
2
14
CM
CD
MD
CME
△
2 3
42
2 3,sin
7
14
CE
CE
EMC
CM
A PD C
42
7
PO
AB
3
PO＝
4
AB＝
30
BAC
M
BC
PBC
POM
O PB C
-
-
AB
AC
BC
O
AB
M
BC
/ /
OM
AC
OM
BC
PO
,
ABC BC
ABC
PO
BC
PO
OM
O
PO
POM
OM
POM
BC
POM
BC
,
PBC
PBC
POM
ABC
M
ME
AB
E
PAB
E
EF
PB
F
MF
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∵
平面
平面
，
，
又
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
平面
则
平面
，可得
为二面角
的平面角．
由已知可得，
，
，
，
，
，
又
，得
．
在
中，
，
∴
．
即二面角
的余弦值为
．
6．如图所示，在四棱锥
中，四边形
为梯形，
，
，平面
平面
．
PO
,
ABC ME
ABC
PO
ME
AB
PO
O
AB
PAB
PO
PAB
ME
PAB
PB
PAB
ME
PB
EF
ME
E
ME
EFM
EF
EFM
PB
EFM
MFE
O
PB
C
2 3,
2,,
1
AC
BC
BM
2
2
13
PB
PO
OB
Rt
R
BEM
t BCA
BE
ME
BM
BC
AC
AB
1
3
,
,
2
4
2
2
2 3
BE
ME
BM
BE
ME
Rt POB
Rt
,
PB
PO
EFB
EB
FE
1
3
3
2
13
2 13
PO EB
FE
PB
Rt MEF
2
2
12
13
EM
EF
ME
3
3
2 13
cos
4
12
13
EF
MFE
MF
O
PB
C
3
4
P
ABCD
ABCD
//
,
,
CD AB AB
BC PA
PD
1,
2
BC
CD
PA
PD
AB
PAD
PBC
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(1)若
的中点为
，求证：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
【解析】（1）设
是
中点，连接
，如下图所示：
在
中，
为为中位线，所以：
，又因为：
，
所以：
，所以：四边形
为平行四边形，得：
，
又因为：
平面
平面
，所以：
平面
.
（2）如图，延长
和
交于点
，连接
.
过点
作
，垂足为点
，连接
.
因为：平面
平面
，平面
平面
，
所以：
平面
，
因为：
，且
平面
，
所以：
平面
，所以：
为所求二面角的平面角，
在
中，
，
PB
N
//
CN
PAD
P
AD
B
T
PA
,
TN TD
ABP
TN
1
,
2
TN
AB TN
AB
1
,
2
CD
AB CD
AB
,
TN
CD TN
CD
CDON
,
TD CN TD
CN
CN
,
PAD DT
PAD
//
CN
PAD
AD
BC
Q
PQ
B
BM
PQ
M
DM
PAD
PBC
PAD
PBC
PQ
BM
BDM
,
,
AD
BD AD
BM BD
BM
B
,
BM BD
BDM
AD
BDM
BDM
PDQ
2
2
2
cos
5
PQ
PD
DQ
PD DQ
PDQ
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得：
，
所以：
，
所以：
.
7．如图，在梯形
中，
，
，
，
，
平面
且
.
(1)求直线
到平面
的距离；
(2)求二面角
的大小；
(3)在线段AD 上是否存在一点F，使点A 到平面PCF 的距离为
?
【解析】（1）∵
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，
故点A 到平面PBC 的距离，即为直线AD 到平面PBC 的距离，
作
于
，
∵
平面
，
平面
，
，
，又
平面PAB，
平面PAB，
又
平面PAB，
，
又
平面
，
平面
，
即AH 的长为点A 到平面PBC 的距离，也即直线AD 到平面PBC 的距离，
在等腰
中，
，
2
2
2
5
2 1
3
cos
2
2
5
2
10
PQ
DQ
PQ
PQD
PQ DQ
2
4
tan
,
3
3
DM
DQ
PQD
MB
2 2
sin
3
BM
BDM
BD
ABCD
//
AD BC
π
2
ABC
AB
BC
a
2 5
arccos
5
ADC
PA
ABCD
PA
a
AD
PBC
P
CD
A
6
3 a
//
AD BC
AD
PBC
BC
PBC
AD //
PBC
AH
PB
H
PA
ABCD
BC
ABCD
PA
BC
BC
AB
,
,
PA
AB
A PA AB
BC
AH
BC
AH
,
,
PB
BC
B PB BC
PBC
AH
PBC
Rt PAB
2
2
AH
a
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所以直线AD 到平面PBC 的距离为
；
（2）过点
作
，交
于点
，连接
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
又
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
所以
即为二面角
的平面角，
过C 作
于M，
则四边形
为矩形，故
，
在
中，
，
可得
，
，所以
，
又
，所以
，
则
，
所以二面角
的大小为
；
2
2 a
A
AQ
CD
CD
Q
PQ
PA
ABCD
CD
ABCD
PA
CD
,
,
AQ
PA
A AQ PA
PAQ
CD
PAQ
PQ
PAQ
PQ
CD
PQA
P
CD
A
CM
AD
ABCM
CM
AB
a
Rt CMD
,
CM
a
2 5
cos
5
ADC
5
CD
a
2
DM
a
3
AD
a
5
sin
5
ADC
3 5
5
AQ
a
5
tan
3
PA
PQA
AQ
P
CD
A
5
arctan 3
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（3）假设存在点F，使点A 到平面PCF 的距离为
，
如图，以点
为原点建立空间直角坐标系，
设
，
则
，
故
，
设平面
的法向量为
，
则有
，
令
，则
，所以
，
故点A 到平面PCF 的距离为
，
所以
，解得
，
所以存在点F，使点A 到平面PCF 的距离为
.
6
3 a
A
0,3
AF
t t
a
0,0,0 ,
, ,0 ,
0, ,0 ,
0,0,
A
C a a
F
t
P
a
0,0,
,
0,
,
,
,
,0
AP
a
FP
t a
FC
a a
t
PCF
, ,
n
x y z
0
0
n FP
ty
az
n FC
ax
a
t y
x
a
t
,
y
a z
t
,
,
n
a
t
a
t
2
2
2
n AP
at
n
a
t
a
t
2
2
2
6
3
at
a
a
t
a
t
2
t
a
6
3 a
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8．如图，已知
是圆柱下底面圆的直径，点
是下底面圆周上异于
的动点，
，
是圆柱的两条
母线．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，圆柱的母线长为
，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．
【解析】（1）因为
是底面的一条直径，
是下底面圆周上异于
的动点，
所以
，
又因为
是圆柱的一条母线，所以
底面
，
而
底面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，且
，
所以
平面
，
又因为
，所以平面
平面
；
（2）如图所示，
过
作圆柱的母线
，连接
，
因为底面
//上底面
，所以即求平面
与平面
所成锐二面角的大小，
因为
在底面的射影为
，且
为下底面的直径，所以
为上底面的直径，
因为
是圆柱的母线，所以
平面
，
AB
C
,
A B
CD
BE
ACD
BCDE
6
AB
3
BC
2 3
ADE
ABC
AB
C
,
A B
AC
BC
CD
CD
ACB
AC
ACB
CD
AC
CD
BCDE
BC
BCDE
CD
BC
C
AC
BCDE
AC ACD
ACD
BCDE
A
AM
DM
EM
ABC
DME
ADE
DME
,
M E
,
A B
AB
EM
AM
AM
DME
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又因为
为上底面的直径，所以
，而平面
，
所以
为平面
与平面
所成的二面角的平面角，
又因为
在底面射影为
，所以
，
，
所以
，又因为母线长为
，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
，
所以
,
所以
，
即平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
9．如图，正方体
中.
(1)求证：
和
为异面直线；
(2)求二面角
的大小.
【解析】（1）证明：假设
和
共面，则
、
、
、
四点共面
事实上，
平面
，这与假设矛盾，故
和
为异面直线.
（2）解：连接
交
于点
，连接
，则
为
的中点，
EM
MD
DE
ADE DME
DE
MDA
ADE
DME
D
C
3
DE
BC
6
ME
AB
2
2
6
3
3 3
DM
2 3
2 3
AM
AM
DME
DM
DME
AM
MD
2
2
2 3
3 3
39
AD
3 3
3
cos
13
13
39
MD
MDA
AD
ADE
ABC
3
13
13
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
BD
1A D
1
B
A D
A
1
BD
1A D
1A
D
1
D
B
B
1
1
A DD
1
BD
1A D
1
AD
1A D
O
BO
O
1
AD
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设正方体
的棱长为
，
因为四边形
为正方形，则
，
因为
平面
，
平面
，所以，
，
因为
，
、
平面
，所以，
平面
，
因为
平面
，所以，
，
所以，二面角
的平面角为
，且
，
因为
平面
，
平面
，则
，
所以，
，
因此，二面角
的大小为
.
10．如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，
是等腰直角三角形，
，
，
．
(1)求证：
平面BCE；
(2)求二面角
的正切值．
1
1
1
1
ABCD
A B C D
2
1
1
AA D D
1
1
AD
A D
AB
1
1
AA D D
1A D
1
1
AA D D
1
AB
A D
1
AD
AB
A
1
AD
AB
ABO
1A D
ABO
BO
ABO
1
BO
A D
1
B
A D
A
AOB
1
1
1
2 2
2
2
2
AO
AD
AB
1
1
AA D D
1
AD
1
1
AA D D
1
AB
AD
2
tan
2
2
AB
AOB
AO
1
B
A D
A
arctan
2
ABE
AB
AE
FA
FE
45
AEF
EF
F
BD
A
95
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【解析】（1）因为平面
平面ABCD，
平面ABCD，
平面
平面
，
所以
平面ABEF，
平面ABEF，
所以
．
因为
为等腰直角三角形，
，
所以
，又因为
，
所以
，即
，
又
，
平面BCE，
平面BCE，
所以
平面BCE．
（2）由
，平面
平面ABCD，
平面
平面ABCD
，
平面ABCD，
作
，交BA 的延长线于G，则
．
从而，
平面ABCD，
平面ABCD，
，
作
于H，
，
平面
，
平面
，
平面
，连结FH，
平面
，
所以
，
因此，
为二面角
的平面角，
因为
，
，
所以
，
，
设
，则
，
，
，
在
中，
，
，
ABEF
BC
ABEF
,
ABCD
AB BC
AB
BC
EF
BC
EF
ABE
AB
AE
45
AEB
45
AEF
45
45
90
FEB
EF
BE
BC
BE
B
BC
BE
EF
EA
AB
ABEF
ABEF
AB
EA
FG
AB
FG
EA
∥
FG
BD
BD
FG
GH
BD
GH
FG
G
GH
FGH
FG
FGH
BD
FGH
FH
FGH
BD
FH
FHG
F
BD
A
FA
FE
45
AEF
90
AFE
45
FAG
1
AB
1
AE
2
2
AF
1
sin
2
FG
AF
FAG
Rt BGH
45
GBH
1
3
1
2
2
BG
AB
AG
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在
中，
故二面角
的正切值为
.
11．如图，在三棱柱
中，
平面
为正三角形，侧面
是边长为2 的正方
形，
为
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)取
的中点
，连接
，求二面角
的余弦值.
【解析】（1）证明：
为正三角形，
为
的中点，
，
平面
平面
，
平面
，
又
平面
平面
平面
.
（2）
为正三角形，
，
平面
平面
，
3
2
3 2
sin
2
2
4
GH
BG
GBH
Rt FGH
2
tan
3
FG
FHG
GH
F
BD
A
2
3
1
1
1
ABC
A B C
-
1
BB
,
ABC
ABC
△
1
1
ABB A
D
BC
1
ADC
1
1
BCC B
AB
E
1
,
CE C E
1
C
C
AB
ABC
D
BC
AD
BC
1
BB
,
ABC AD
1
,
ABC
BB
AD
1
,
BB
BC
B
AD
1
1
BCC B
AD
1,
ADC
1
ADC
1
1
BCC B
ABC
CE
AB
1
BB
1
1
1
,
,
ABC BB
CC
CC
∥
ABC
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，
故
，
又
为
的中点，
，
为二面角
的平面角，
侧面
是边长为2 的正方形，
，
为边长为2 的正三角形，
，
在直角三角形
中，
，
，
1
1
,
CC
AC CC
CB
1
1
1
1
,
ACC
BCC
AC
BC
≌
△
△
E
AB
1
C E
AB
1
CEC
1
C
C
AB
1
1
ABB A
1
2
CC
ABC
3
CE
\
=
1
CC B
2
2
1
1
7
C E
CC
CE
1
1
21
cos
7
CE
CEC
C E
98
