第 1 讲 数形结合思想在平面向量中的应用
数形结合是重要的数学思想,又是常用的数学方法。把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把
图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中"数"与"形"相互转化的研究策略,就是数形结
合的思想。
平面向量加法、减法、数乘和数量积等运算中既有几何意义又有代数意义。因此，在进行有关向量的
运算时将“数”与“形”有机地结合起来，有时数转化为形、有时形转化为数，通过这种转化可以更好求
解相关问题，而本文会重点就数形结合思想在平面向量中的几类应用展开详细讲解。
【应用一】数形结合思想在平面向量建系问题中的应用
我们在学习平面向量的综合运用时，经常会遇到求数量积最值及范围的综合问题，这类问题如果用平
面向量的基本定理及相关数量积的几何运算，计算量往往偏大且不易求得答案；那有没有简洁且方便的解
题方法呢，通过细心读题我们会发现题干中包含“正方形、矩形、菱形、等边三角形、等腰三角形”等特
殊几何图形，于是我们可以想到从建系角度建立平面直角坐标系来求解，例如下面这道例题：
【例1】（2017·全国·高考真题）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则
的最小值是
A． B． C． D．
本题以等边三角形为载体，是特殊几何图形，如图所示：
我们可以以BC边的中点为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，即 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
所以 ，即可求得最值。【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于给定“正方形、矩形、菱形、等边三角形、等腰三角形”等特殊几何图形，
我们可以依据图形的特殊性来建立平面直角坐标系，进而通过平面向量的坐标运算求解相关问题，可通过
学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型建系问题。
【答案】B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以 中点为坐标原点，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
则
当 ， 时，取得最小值 ，
故选： ．
【变式1.1】（2023·全国·统考高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以 为基底向量表示 ，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求 ，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.
【变式1.2】（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的
动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
【变式1.3】（2023·天津·校联考一模）如图所示，梯形 中， ，点 为 的中点，
， ，若向量 在向量 上的投影向量的模为4，设 、 分别为线段
、 上的动点，且 ， ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量的运算及投影向量的模求出梯形的直角边长，再建立平面直角坐标系，利用坐标运算得出
关于 的函数，利用对勾函数单调性求最值即可得解.
【详解】 ， ，
梯形 为直角梯形，
，
，即 ，
由 ，同理可得 ，
又向量 在向量 上的投影向量的模为4，所以 ，
以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则 ，
，所以 ，
由 且 可得 ，
令 ，则由对勾函数单调性知，
当 时单调递减， 时单调递增，
故 ，由 知， ，
故 ，
故选：D
【应用二】数形结合思想在平面向量投影问题中的应用
我们在学习平面向量的数量积及向量投影时，可以运用坐标运算求解，但有时不具备坐标运算条件或
不具备建系条件时，我们也可以从定义角度来求解，而向量投影的本质及运算就很重要了，我们不妨先回
顾下向量投影的相关知识。
（1）若⃗a在⃗b方向上的投影向量为⃗m,则⃗a⋅⃗b=⃗m⋅⃗b
（2） 在 方向上的投影向量为 ⃗a ⃗a⋅⃗b ⃗a ,其中 ;
⃗b ⃗a |⃗b)cosθ⋅ = ⋅ θ=<⃗a,⃗b>
|⃗a) |⃗a) |⃗a)
⃗a
在
⃗b
方向上的投影向量为
|⃗a)cosθ⋅
⃗b
=
⃗a⋅⃗b
⋅
⃗b
,其中
θ=⟨⃗a,⃗b⟩
。
|⃗b) |⃗b) |⃗b)
（3）设 在 上的投影向量为 ,则 ,
⃗a ⃗b λ⃗b ⃗a⋅⃗b=(λ⃗b)⋅⃗b
对于向量投影或数量积问题求解时，我们可以从定义角度求解，例如下面这道例题：
【例2】（2019秋·江苏南通·高三统考）在 中，已知 为边 上的高， 为 的平分线，
， ， ，则 ______
本题以数量积为背景，实则考查向量的投影问题，如图所示2 144 12
由向量投影可知: ⃗AE⋅⃗AD=|⃗AD) = ⇒AD= ,
25 5
48 12 16
过点E作EF垂直于AB，交AB于点F,则⃗AB⋅⃗AE=|⃗AB)⋅|⃗AF)= ⇒AF= ,BF=
7 7 7
{BE⋅AD=AB⋅EF 12 )
⇒EF=AF= ,
¿BF2=BE2−EF2 7
所以∠BAE=45∘, 可得 ∠BAC=90∘,
所以 2
⃗AB⋅⃗BC=−⃗BA⋅⃗BC=−|⃗AB) =−16
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于给定数量积为背景考查向量投影问题，我们可以用定义来求解，可通过学习
这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型投影问题。
【答案】
【详解】
解：法二
, ,
,
,
又,
, ,
设 ,则 ,且 ,
解得 ,
．
故答案为：
【变式2.1】（2020春·四川眉山·高一期中）如图，在半径为 的圆 中，已知弦 的长为 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由于 为半径， 圆心， 为弦，故 在 上的投影为考点：平面向量的数量积
【变式2.2】（2022秋·山东青岛·高三统考）已知 的外接圆圆心为O，且 ，
，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件作图可得 为直角三角形，结合条件，并根据根据投影向量的概念求解即可
【详解】
所以 外接圆圆心 为 的中点，即 为外接圆的直径，
所以 ,
如图：
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
向量 在向量 上的投影数量为：
故选：A
【变式2.3】（2022·江西南昌·高三南校考）如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边
上有10个不同的点 ，记 ，则 的值为A． B．45 C． D．180
【答案】D
【详解】因为 与 垂直,设垂足为 ，所以 在 投影为 ，
，从而 的值为 选D.
【应用三】数形结合思想在平面向量隐圆问题中的应用
我们在学习平面向量模长及其相关最值的求解计算中，会遇到形如“ 的最大值、 的最小值”
等问题，我们在用坐标运算或向量线性运算把模长表示出来后会发现对应的几何意义为对应圆及圆上一点
到对应点或对应直线的最值问题，我们称隐藏的圆为“隐圆”，进而我们可以利用数形结合思想结合几何
意义快速求解，例如下面这道例题：
【例3.1】（2023·吉林·统考三模）已知 ， 是单位向量，且 ．若向量 满足 ，则
的最大值是 ．
本题由 ，得 ，我们可以先建立如图所示的平面直角坐标系，
不妨记 ，设 ，由 ，得 ，
所以点C在以Q(1,2)为圆心，1为半径的圆上，进而结合几何意义可求得 的最大值
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于在平面向量模长及其最值的运算中，我们都可以用数形结合的思想结合具体
隐圆作出图象，从而可直观用几何意义求解出对应问题，未来我们也可以用同样的方法来研究较为复杂型
的隐圆综合问题。
【答案】 /
【分析】由题意建立平面直角坐标系，设 ，根据条件确定确定点C在以(1,2)为圆心，1为半
径的圆上，结合圆的几何性质，可求得答案.
【详解】由 ，得 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，
设 ，由 ，
得 ，
所以点C在以Q(1,2)为圆心，1为半径的圆上.
所以
故答案为：
【变式3.1】（2023·重庆·统考三模）已知 均为单位向量，且夹角为 ，若向量 满足，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将向量 的起点平移到原点 ，设向量 ， ， 的终点分别为 ，将
化为 ，得点 在以 为直径的圆上，利用圆的知识可求出结果.
【详解】将向量 的起点平移到原点 ，设向量 ， ， 的终点分别为 ，
则 ， ，
由 得 ，得 ，
则点 在以 为直径的圆上，
因为 均为单位向量，且夹角为 ，不妨设 ， ，
则 ， ，所以以 为直径的圆的圆心 ，半径为 ，
又 ，所以 ，
即 的最大值为 .
故选：D【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量 与向量 垂直，若向量 满足 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意不妨设 ，设 ，由模的坐标表示得点 在圆上，由 的几何意义，只要
求得圆心到原点的距离后可得结论．
【详解】由题意不妨设 ，设 ，则 ．
∵ ，∴ ，即表示圆心为 ，半径为1的圆，设圆心为P，∴
．
∵ 表示圆P上的点到坐标原点的距离， ，∴ 的取值范围为
，
故选：C．
【变式3.3】（2016·四川·高考真题）已知正三角形ABC的边长为 ，平面ABC内的动点P，M满足
， ，则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设D为三角形ABC的外心，如图可得 .以 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，则 设 由已知 ，
得 ，又
，它表示圆 上的点 与点 的距离的平方的 ，
，故选B.
【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要
把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出 ，
且 ，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点 的坐标，同时动点
的轨迹是圆，则 ，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的
数学思想．
巩固练习
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）正八边形 上存在一动点 （点 与 ， 不重合），已知正八边形边长为2，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量数量积的几何意义分析可知，当点 运动到点 时， 取得最大值，然后建立
平面直角坐标系利用坐标计算即可.
【详解】 ，由平面向量数量积的几何意义可知，当 最大，
即 在 方向上投影最大时， 最大，由图可知当点 运动到点 时， 在 方向上投影取
得最大.
如图：建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
所以 ， .
所以 的最大值为
故选：D
2．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知 是半径为2，圆心角为 的扇形，点
分别在 上，且 ，点 是圆弧 上的动点（包括端点），则 的最小值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，设 ，则 ，
利用平面向量的坐标运算得 ，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系
则 ，设 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，则 ，所以 ，当
且仅当 时，等号成立
则 的最大值为 ，所以 的最大值为 ，即 的最小值为 .
故选：A.
3．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形 的边长为2，点 ， ， 分别是边 ， ，的中点，点 是线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．48
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设 ， ，（ ），即可得到 、 ，根
据数量积的坐标表示得到 ，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则 、 、 、 ，
设 ， ，（ ），则 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以
，
又 ，所以当 时 取得最小值为 .故选：A
4．（2023春·福建福州·高二校联考期末）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则向量 在
向量 上的投影向量为 ．（用 表示）
【答案】
【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.
【详解】因为向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，所以 ，
向量 在向量 上的投影向量为 .
故答案为: .
5．（2018秋·上海闵行·高二闵行中学校考期中）在边长为1的正方形 中，若 是边 上的动点，
则
【答案】
【分析】将正方形 放入平面直角坐标系中,分别标出 、 、 、 四点的坐标,进而得到 为 ,
分别写出 , 的坐标后求解即可
【详解】将正方形 放入平面直角坐标系中,如图,则 , , , 可设 为 ,则 , ,故 ,
故答案为：1
【点睛】本题考查数量积的计算,考查坐标法表示向量,考查运算能力
6．（2020·江苏苏州·统考一模）如图，已知半圆 的直径 ，点 是弦 （包含端点 ， ）上的
动点，点 在弧 上．若 是等边三角形，且满足 ，则 的最小值为 .
【答案】8
【分析】建系，设 ，表示出 点坐标，则 ，根据 的范围得
出答案．
【详解】解：以 为原点建立平面坐标系如图所示：则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
， ， ，
，
，
显然当 取得最大值4时， 取得最小值8．故答案为：8．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．
7．（2020秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，已知半圆 的直径 ，
是等边三角形，若点 是边 （包含端点 ）上的动点，点 在弧 上，且满足 ，则
的最小值为 ．
【答案】2
【分析】将向量 转化为 ，代入 ，将所求向量的数量积转化为
, 表示 在 上的投影，由此可求得最小值.
【详解】 ，由数量积的几何
意义可知，当 与 重合时， 在 上的投影最短，
此时， ,故填2.
【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于
中档题.
8．（浙江·高考真题）已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则
的最大值是A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由于 垂直，不妨设 ， ， ，则 ，
， 表示 到原点 的距离，
表示圆心 ， 为半径的圆，因此 的最大值 ，故答案为C．
9．（2018·浙江·高考真题）已知 、 、 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为 ，向
量 满足 ，则 的最小值是
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先确定向量 、 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最
小值.
【详解】设 ，
则由 得 ，
由 得
因此， 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，为 选A.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的
一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
10．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量 ， ， 满足 ， ，若 与 的夹角为 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到 ，然后求 的最小值即可；解法二 设
， ， ，易得 ，则 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，连接 ，然后又 ，
， 三点共线且 在 ， 中间时， 取得最小值求解.
【详解】解法一 由题可得， ，
所以要求 的最小值，需求 的最小值.
因为 ， 与 的夹角为 ，
所以 的最小值为 ，
所以 ，
即 的最小值为 ，
解法二 如图，设 ， ， ，则 ， .
由 ，知 ，点 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，
连接 ，结合图形可知，当 ， ， 三点共线且 在 ， 中间时， 取得最小值.
由正弦定理得： ，
所以 ，
故 的最小值为 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是根据 与 的夹角为 ，由 的最小值为 而得解.
