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专题 02 五大类数列题型-2026 年高考数学大题秒杀技巧及专
项训练（原卷版）
【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】
【题型2 裂项相消巧妙变形问题】
【题型3 分组求和必记常见结论】
n
【题型4 含(−1) 类求和问题】
【题型5 含绝对值求和问题】
数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：
一、累加法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
二、累乘法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：将上述 个式子两边分别相乘，可得：
三、构造法
1.第一种形式：形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定
系数法）得 ，即 构成
以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为
首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为累加法便可求出
2.第二种形式：形如 型的递推式
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首
项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通
项整理可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便
可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘以
得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在转化
为第一种形式便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型第一种形式的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转化为
累加法，求出 之后得 ．
【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】
错位相减；形式必须是
则
正规方法（1）适用条件
若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列{an·bn}的前n
项和 ．
（2）基本步骤（3）注意事项
①在写出 与 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令
c =(An+B)⋅qn
，可以用错位相减法．
n
T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn
①
n
qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1
②
n
得： ．
An B A B A
T =( + − )qn+1 −( − )q
整理得： n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2 ．
已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求 .已知数列 ， ， ．
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
1．已知数列 的前n项和为 ，且 ，且 .
(1)证明数列 是等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ；
(3)若 ，求正整数k的所有取值.
2．在公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，数列 的前n项和 满足
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
3．设数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ；
(3)对于（2）中的 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
4．已知正项等比数列 满足 ，且 成等差数列．
(1)求 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
5．已知数列 满足 ，且 （ 且 ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
6．已知数列 的前 项和为 ， ，设 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，若数列 的前 项和为 ，求证： .
7．已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)已知数列 的前 项和为 ，且 是等差数列，记数列 的前 项和为 .
①求 ；
②求 .
8．已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【题型2：裂项相消巧妙变形问题】
裂项相消求和
sin1∘
=tan(n+1) ∘ −tann∘
a =f (n+1)−f (n) cosn∘cos(n+1) ∘
① n ②1 1 1 (2n) 2 1 1 1
a = = − a = =1+ ( − )
n n(n+1) n n+1 n (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
③ ④
1 1 1 1
a = = [ − ]
n n(n−1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2)
⑤
n+2 1 2(n+1)−n 1 1 1 1
a = ⋅ = ⋅ = − ,则S =1−
n n(n+1) 2n n(n+1) 2n n⋅2n−1 (n+1)2n n (n+1)2n
⑥
1 1 1 1
a = = ( − )
n (An+B)(An+C) C−B An+B An+C
⑦
⑧
n+1 2n 1 1
a =log =log (n+1)−log n a = = −
n a n a a n (2n −1)⋅(2n+1 −1) 2n −1 2n+1 −1
⑨ ⑩
（1）基本步骤
（2）裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
设 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ， 为数列 的前 项和，求 .已知数列 中， ， .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)令 的前 项和为 ，求证： .
记数列 的前 项和为 ，已知 ，且 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
1．设各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
2．已知等差数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式.
(2)记数列 的前 项和为 ，证明 .
3．已知数列 为等差数列，前 项和为 ，且 ．(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
4．已知正数列 的前 项和为 ， ，其中 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
5．已知 为等比数列 的前 项和，若 是 和 的等差中项，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的表达式以及 的取值范
围.
6．已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
7．已知数列 中， ，点 （ ）在函数 的图象上.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，证明：数列 是等差数列；
(3)设 ，求数列 的前 项和 .
【题型3：分组求和必记常见结论】
n(a +a ) n(n−1)
S = 1 n =na+ d
①等差数列求和公式： n 2 1 2{ na (q=1)
1
S = a (1−qn ) a −a q
n 1 = 1 n (q≠1)
1−q 1−q
②等比数列求和公式：
n n
1 1
S =∑ k= n(n+1) S =∑ k2 = n(n+1)(2n+1)
n 2 n 6
③ k=1 ④ k=1
n
1
S =∑ k3 =[ n(n+1)] 2
n 2
k=1
⑤
一、题型特征
数列通项不是等差、不是等比，但可以拆成等差数列 + 等比数列 + 常数项分开求和，再相加，就叫分组
求和
通项形式：a = 等差 + 等比，a = 等差 - 等比，a = 指数式 + 多项式，a = 奇偶项规律不一样
n n n n
二、核心解题步骤
1. 拆分通项公式，把an拆成两个数列之和
2. 分别判断拆开后的数列：等差、等比
3. 分别套用等差数列求和公式、等比数列求和公式
4. 两个和相加/相减，得到前n项和Sn
5. 化简整理最终结果
三、常见必考模型
1. a = kn + b + qⁿ等差 + 等比 分组求和
n
2. a = n² + 2ⁿ平方数列 + 等比数列
n
3. a = (-1)ⁿ·n + 2ⁿ正负交替 + 等比
n
4. 奇数项一个规律，偶数项一个规律
奇偶分开各自求和，再合并
四、等差求和公式
S = n(a +a)/2 = na1 + n(n-1)d/2
n 1 n
五、等比求和公式
q≠1时Sn = a(1-qⁿ)/(1-q) = a(qⁿ-1)/(q-1)
1 1
q=1时Sn = n·a
1
六、奇偶项分组求和（高考重难点）
1. n为偶数：奇数n/2项，偶数n/2项，分别求和相加
2. n为奇数：奇数(n+1)/2项，偶数(n-1)/2项，分别求和相加易错：一定要分清项数，不能算错个数
七、正负交错数列分组a = (-1)ⁿ n奇数项负，偶数项正，两两一组：(-1+2)+(-3+4)+……每一组和都等于1，快速分组计算
n
八、高频易错点
1. 等比数列求和必须讨论公比q=1
2. 奇偶项数列，项数极易算错
3. 拆分符号不要出错，减号也要分组
4. 最后结果一定要合并化简，不能保留两个求和式子
5. (-1)ⁿ 一定要分n奇、n偶两种情况写答案
九、大题标准答题模板
由通项公式可得
an = 等差数列通项 + 等比数列通项，分别对等差数列、等比数列求和
Sn = 等差前n项和 + 等比前n项和，代入公式化简，即可得出数列前n项和
已知等差数列 中 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 和为 ，求 的值(结果可以用幂的形式表示）.
已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
在数列 中， ．(1)求证：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
1．已知数列 满足 ，且 （ ）．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式及数列{an}的前n项和 ．
2．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式：
(2)若数列 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列 的前 项和 ．
3．已知数列 满足 ， ，设 ， 的前 项和分别为 ， ．
(1)试求 ， 的值并探究 与 的关系；
(2)当 时，试求 的通项公式；
(3)试求 的值．
4．已知数列 的首项是 ，且 ．
(1)证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)若 ，求满足条件的最小整数n的值．
5．已知等差数列 前 项和为 .(1)求数列 的通项公式.
(2)若数列 的前 项和为 ，且 ，求 的最小值.
6．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ， ， ，其中 ．
(1)求公差 及 的值；
(2)设数列 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
7．已知等差数列 和正项等比数列 满足 ， ， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
n
(−1)
【题型4：含 类进行求和问题】
我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为
a =(−1) n ⋅f (n) {a }
n 的摆动数列 n 前n项和的步骤如下：
a +a
第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时， n n+1的表达式；
第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由
S =(a +a )+(a +a )+(a +a )+⋯+(a +a ) S
n 1 2 3 4 5 6 n−1 n 求出 n ；
第三步：当n为奇数且 n＞1 时，由
S
n
=S
n−1
+a
n求出
S
n，特别注意对 n=1 时要单独讨论，即
S
1要单独
求出.
S S
第四步：将 1代入当n为奇数且 n＞1 时 n的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表
示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示
若正项数列 满足 ，则称数列 是 的平方差数列.已知数列 是 的平方差
数列，且 .(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若 求数列 的前 项和 .
记 为数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 为数列 的前 项和，求 .
1．已知 ，数列 满足 ，当 时， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，证明： ；
(3)若数列 满足 ， ，求数列 的前n项和 .
2．已知点 在函数 的图象上，记数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2026项和．
3．已知数列 满足 ， ．
(1)求 ， ， 的值，并猜测 的通项公式；（无需证明猜测）(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，数列 的前 项和为 ．若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最小值．
4．已知数列 中， ．
(1)证明： 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)数列 满足： ，求 的最大项．
5．已知等差数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求 的前2n项和 及其最小值．
6．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，
又知 ， ．
(1)求 ， ；
(2)求 的通项公式；
(3) ，求 的前n项和 ．
7．已知等差数列 ， 是数列 的前 项和，满足 ， ；数列 的各项都是正数，且满
足 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前2n项和 ；(3)在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ： ，
求 的前2026项和．
8．数列 的前n项和 ，数列 满足 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 和数列 各取前100项，按从小到大排成一个新的数列 ，其中重复的数只取一次，
求数列 的前100项和．
【题型5：含绝对值求和问题】
一、题型特征
等差数列an带有绝对值
an=|kn+b|，数列项先正后负 / 先负后正
需要找到正负分界项，分段去掉绝对值再求和
二、核心解题思路
1. 先不看绝对值，判断原数列是等差数列
2. 求an=0时n的值，找到正负分界项k
3. n≤k时，an符号一致
n＞k时，an符号相反
4. 分段求和：前k项直接求和，后面各项取相反数求和
5. 分n≤k、n＞k两种情况写Sn
三、标准解题步骤
1. 求数列通项an，判断等差公差d
2. 令an≥0，解出正项最大项序号k
3. 当n≤k时，|an|=an，Sn=原数列前n项和
4. 当n＞k时
Sn=2×前k项和 - 原数列前n项和
四、万能公式结论
设第k项开始变号
n≤k ，Sn=Sn原
n＞k ，Sn=2Sk - S原n
五、正负规律1. 公差d＞0，数列递增：先负后正
2. 公差d＜0，数列递减：先正后负
3. 分界项一定是整数，不是整数就近取整
六、常见易错点
1. 分界项k一定要取正整数，不能直接用小数
2. 分界项本身符号不要搞错
3. n＞k时，后面每一项都要变号，不是只变一项
4. 必须分两种情况写答案，不能合并
5. 等差数列求和公式不要代错首项、项数
七、大题标准答题模板
如果数列 为等差数列， 为其前 项和， 那么有：
①若 则有
②若 则有
如果数列 为等比数列， 为其前 项和， 那么有：
|a |(1−|q| n ) |a |−a |q|
1 1 n
T = =
n 1−|q| 1−|q|
八、交错绝对值特殊题型
an=(-1)ⁿ|an|
奇偶分开分组，奇数一组、偶数一组
分别求和再相加减，注意项数计算给出数列 ，要求数列 的前 项和，必须分清 取什么值时
数列 的前 项和为 ， ；(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
记 为等差数列 的前n项和，已知 .
(1)求 的通项公式a 与前n项和公式 ；
n
(2)求数列 的前n项和 .
1．在数列 中， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前100项和 .
2．已知等差数列 ，满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，求 .
3．已知 是等差数列 的前 项和， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前20项和．
4．已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ．
(1)证明： 为等差数列，并求 及(2)若 ，求数列 的前20项和 ．
5．记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
6．在数列 中， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
7．已知数列 满足 ， ，数列 为等差数列， 为 与 的等差中项，且 .
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
8．设数列 是等差数列， 是等比数列.已知 ， ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项的和 .
