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2024 届“荆荆宜随”十月联考圆锥曲线解答题一题多解
——谈谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化
【方法策略简述】
一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、定点、定值
等问题及存在探索性问题.
二、解决此类问题的方法策略主要有三种：
1、根与系数的关系法（主流方法）．
设出动直线的方程（
），与圆锥曲线方程联立消
元得到关于
的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾
的要求，利用两根
之和两根之积进行整体代换整体变形而求解．
2、多变量多参数联动变换法（圆曲不联立）．
此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题
设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如
弦中点问题常用点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验．
3、设点求点法．
方法1、2 均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进
行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线
与椭圆
的交点易求出．
【2024‧荆荆宜随‧22】
已知双曲线
的离心率为2，过
上的动点
作曲线
的两渐近线的垂线，垂足分别为
和
的面积为
.
（1）求曲线
的方程；
（2）如图，曲线
的左顶点为
，点
位于原点与右顶点之间，过点
的直线与曲线
交于
两点，
1
直线过
且垂直于
轴，直线DG,DR 分别与交于
两点，若
四点共圆，求点
的坐标.
【答案】（1）
； （2）
.
【解析】
(1)由
，又
得：
，所以渐近线方程为
，
则双曲线方程为
，即
，
设
，则
到渐近线的距离分别为
，
又两渐近线的夹角为
，且
四点共圆，则
或
，
的面积
，
曲线
的方程为：
.
(2)法一：联立韦达法
如图
四点共圆，
2
，
，
设
，
，
易得
，令
得：
，
当
的斜率为0 时，不符合题意；
当
的斜率不为0 时，设
，
与双曲线方程联立
，
则
，且
，即
，且
，
所以
，
由
，即
，
，
3
，符合题意.
综上，
.
【评析】关键点：第一问，应用四点共圆求得
或
，再由三角形面积公式列方程求双曲
线参数；第二问，根据四点共圆得
，再设点及直线方程，联立双曲线，应用韦达定理求定点
为关键.
法二：不联立之多变量联动法
若
四点共圆，则
，从而
.
设
，
，
则
，
易得
的方程为：
，令
可得：
，故
，
故
4
，
由
三点共线有
，可得
，
于是
代入
式变形整理得
，
故
，点
.
【评析】多变量联动有效避免了方程联立所带来的运算量，熟练的变形使问题迎刃而解技巧.此种方法对多
变量多参数下的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验．
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