第 小题 圆锥曲线问题
15
第15小题 圆锥曲线问题..........................................................1
一、主干知识归纳与回顾......................................................2
15.1 椭圆................................................................2
15.2 双曲线..............................................................3
15.3 抛物线..............................................................4
（一）命题角度剖析..........................................................5
（二）考情分析..............................................................5
（三）高考预测..............................................................6
二、题型分类与预测..........................................................6
命题点一：圆锥曲线的定义.................................................6
1.1母题精析（三年高考真题）..........................................6
一．椭圆的定义（共1小题）........................................6
二．抛物线的定义（共6小题）......................................7
三．圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）................................9
1.2解题模型.........................................................10
1.3对点训练（四年省市模考）.........................................12
一．椭圆的定义（共1小题）.......................................12
二．抛物线的性质（共10小题）....................................13
三．双曲线的定义（共1小题）.....................................19
四．圆与圆锥曲线的综合（共1小题）...............................19
命题点二：求圆锥曲线的方程..............................................20
1.1母题精析（三年高考真题）.........................................20
一．椭圆的方程（共2小题）.......................................20
二．抛物线的方程（共1小题）.....................................21
三．双曲线的方程（共7小题）.....................................22
1.2解题模型.........................................................251.3对点训练（四年省市模考）.........................................26
一．椭圆的方程（共3小题）.......................................26
二．抛物线的方程（共1小题）.....................................29
三．双曲线的标准方程（共1小题）.................................29
四．双曲线的方程（共3小题）.....................................30
命题点三：圆锥曲线的性质................................................32
1.1母题精析（三年高考真题）.........................................32
一．椭圆的性质（共11小题）......................................32
二．抛物线的性质（共1小题）.....................................39
三．直线与抛物线的综合（共1小题）...............................40
四．双曲线的性质（共20小题）....................................41
五．直线与双曲线的综合（共1小题）...............................54
1.2解题模型.........................................................55
1.3对点训练（四年省市模考）.........................................58
一．椭圆的性质（共8小题）.......................................58
二．抛物线的性质（共8小题）.....................................64
三．直线与抛物线的综合（共2小题）...............................73
四．双曲线的性质（共11小题）....................................75
五．直线与双曲线的综合（共1小题）...............................84
三、类题狂刷（五年区模、校模）：...........................................86
一．椭圆的性质（共9小题）.......................................86
二．抛物线的性质（共17小题）....................................95
三．直线与抛物线的综合（共2小题）..............................110
四．双曲线的性质（共16小题）...................................112
五．直线与双曲线的综合（共1小题）..............................125
六．圆锥曲线的综合（共1小题）..................................126
七．圆与圆锥曲线的综合（共2小题）..............................127一、主干知识归纳与回顾
15.1 椭圆
定义 平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数 （大于 ）的点的
轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 长轴的长 短轴的长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
焦点
、 、
焦距
关系
离心率
焦点三角形面积
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
弦长公式
，15.2 双曲线
定义 平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于非零常数 （小于 ）
的点的轨迹叫双曲线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围 或 ， 或 ，
顶点
、 、
轴长 实轴的长 虚轴的长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
焦点
、 、
焦距
关系
离心率
渐近线方程
焦点到渐近线
距离
焦点三角形面
积
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：15.3 抛物线
平面内与一定点 和一条定直线 ( 不经过点 )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 叫
定义
抛物线的焦点，直线 叫抛物线的准线.
图形
标准方程
顶点
离心率
对称轴 轴 轴
范围
焦点
准线方程
通径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：
焦点弦长
公式
参数 的
几何意义 参数 表示焦点到准线的距离， 越大，开口越阔（一）命题角度剖析
1.圆锥曲线的定义★★★★☆ 2.求圆锥曲线的方程★★★★☆
3.圆锥曲线的性质★★★★★
（二）考情分析
高考频率：100% 试题难度：中等较难 呈现形式：以选择题或填空题
（三）高考预测
圆锥曲线在高考中一般有一大二小的题型设计，小题侧重圆锥曲线的定义、标准方程、
几何性质的考查，其中离心率是考查的重点，另外，小题多与平面几何或平面向量结合，有
一定的难度。二、题型分类与预测
命题点一：圆锥曲线的定义
1.1母题精析（三年高考真题）
一．椭圆的定义（共1小题）
1．（2021•上海）已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，以 为顶点， 为焦点作抛物线
交椭圆于 ，且 ，则抛物线的准线方程是 ．
【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 的方程并与抛物线方程联立，
求出点 的坐标，由此可得 ，进而可以求出 ， 的长度，再由椭圆的定义即可求解．
【解答】解：设 ， ，则抛物线 ，
直线 ，联立方程组 ，解得 ， ，
所以点 的坐标为 ，所以 ，又
所以 ，
则 ，
所以抛物线的准线方程为： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．二．抛物线的定义（共6小题）
2．（2023•北京）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 到直线 的距离为5，则
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】本题只需将点 到 的距离，转化为到准线 的距离，再根据抛物线定义即可求得．
【解答】解：如图所示，因为点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ．
由方程 可知， 是抛物线的准线，
又抛物线上点 到准线 的距离和到焦点 的距离相等，
故 ．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线定义的应用，属简单题．
3．（2022•乙卷）设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则
A．2 B． C．3 D．
【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解 的坐标，然后求解即可．
【解答】解： 为抛物线 的焦点 ，点 在 上，点 ， ，由抛物线的定义可知 ， 不妨在第一象限），所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．
4．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
A．1 B．2 C． D．4
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：抛物线 的焦点 ， 到直线 的距离为 ，
可得 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
5．（2023•乙卷）已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距离为 ．
【分析】根据已知条件，先求出 ，再结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：点 在抛物线 上，
则 ，解得 ，
由抛物线的定义可知， 到 的准线的距离为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
6．（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 与
轴垂直， 为 轴上一点，且 ．若 ，则 的准线方程为 ．
【分析】法一：求出点 的坐标，推出 方程，然后求解 的坐标，利用 ，求解 ，然后求解
准线方程．法二：利用射影定理，转化求解 ，然后求解准线方程．
【解答】解：法一：由题意，不妨设 在第一象限，则 ， ， ， ．
所以 ，所以 的方程为： ，
时， ， ，所以 ，解得 ，
所以抛物线的准线方程为： ．
法二：根据射影定理，可得 ，可得 ，解得 ，
因此，抛物线的准线方程为： ．故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7．（2021•北京）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 ，若 ，
则点 的横坐标是 5 ； 的面积为 ．
【分析】由抛物线的标准方程，求出焦点和准线，过点 作 ，垂足为 ，设 ， ，由抛物
线的定义求出 ，从而得到 ，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：抛物线 ，则焦点 ，准线方程 为 ，
过点 作 ，垂足为 ，设 ， ，则 ，所以 ，则 ，
所以点 的横坐标为5；点 在抛物线上，故 ，所以 ，即 ，
所以 ．故答案为：5； ．【点评】本题考查了抛物线标准方程的应用，抛物线定义的应用以及几何性质的运用，考查了逻辑推理能
力与运算能力，属于中档题．
三．圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）
8．（2020•上海）已知椭圆 ，作垂直于 轴的垂线交椭圆于 、 两点，作垂直于 轴的垂线
交椭圆于 、 两点，且 ，两垂线相交于点 ，则点 的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可．
【解答】解： ， ，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设 ， ，所以 ，
因为 ， ，消去 可得： ，故选： ．
【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题．1.2解题模型
1.圆锥曲线的定义与拓展
(1)椭圆的定义
①第一定义：{P||PF₁|+|PF₂|=2a(2a>|F₁F₂|=2c),其中F,F₂为两个定点}.
②第二定义： 其中F为定点，l为定直线，e为离心率，F l,d为点P到直线l
的距离.
③第三定义：{P|k ·k =e²-1,0<e<1,其中k k 分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为
PA PB PA, PB
离心率}(注意：椭圆的第三定义中的定点在x轴上，且利用椭圆的第三定义得出的轨迹方程
不包括这两个定点).
(2)双曲线的定义
①第一定义：{P|||PF₁|-|PF₂||=2a<|F₁F₂|=2c,其中F₁,F₂为两个定点}.
②第二定义：{p|PF=e,e>1,其中F为定点，l为定直线，e为离心率，F l,为点P到直线l的距
离(注意：当F为左焦点时，l为左准线 ；当F为右焦点时，l为右准线 )
③第三定义：{P|k ·k =e²-1,e>1,其中k k 分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离
PA PB PA, PB
心率}(注意：此时确定的双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上).
(3)抛物线的定义
抛物线的定义可归结为“一动三定”:“一动”即一个动点，设为M;“三定”即一个定点F、一
条定直线l、一个定值(即动点M与定点F的距离和动点M到定直线l的距离的比值为常数1).
2.圆锥曲线定义的应用
圆锥曲线定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内与定点有关的轨迹是否为椭圆、
双曲线、抛物线；二是利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解决与焦点有关的问题.
类题通法：
(1)解决椭圆焦半径的最值问题的常见思路：①与焦半径乘积有关的最值问题，一般利用
椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件；②与焦半径和、差有关的最值问
题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题解决.(2)解决双曲线焦半径的最值问题的思路：利用双曲线的定义及正、余弦定理得出焦半径
的关系式，进而求出与之相关的最值.
(3)解决抛物线焦半径的最值问题的思路：利用抛物线上某点到焦点的距离与该点到准线
距离相等进行转化，再根据平面几何的相关知识求解.
3.轨迹方程的求法
(1)直接法
直接法是将圆锥曲线中满足的几何关系或者等量关系的动点直接坐标化，列出等式后化简即
可得到动点轨迹方程.当所求动点要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、
代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程.要注意用直接法求轨迹方程时，
在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是
不能忽视的.
(2)定义法
若从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关
曲线的要素，求出曲线方程.要注意在利用定义法求轨迹方程后，还要看轨迹是否是完整的圆、
椭圆、双曲线或抛物线，如果不是完整的曲线，那么应对其中的变量x或y进行限制.
(3)相关点法(代入法)
若所求点P(x,y)与某已知曲线F(x ,y )=0上一点Q((x ,y )存在某种关系，则可根据条件用
0 0 0 0
x,y表示出x₀,yo,然后代入到点Q所在曲线的方程中，即可得到关于x,y的方程.
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求出点P的轨迹方程：
①某个动点Q在已知方程的曲线上移动；②另一个动点P随点Q的变化而变化；③在变
化过程中点P和点Q满足一定的规律，
(4)参数法
从条件中无法直接找到x,y的联系，但可通过辅助变量k,分别找到x,y与k的关系，从而
得到x,y,k的方程组 即曲线的而得到x,y和k的方程组参数方程，消去参数k后即可
得到关于x,y的方程.在选择参数时，要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.1.3对点训练（四年省市模考）
一．椭圆的定义（共1小题）
1．（2023•南平模拟）设 是曲线 上的点， ， ，则 的
最大值等于 1 0 ．
【分析】根据题意可得：曲线 的方程可化为 ，再作出曲线 的图形，再数形结合，根据对
称性及运动变化思想，即可求解．
【解答】解： 曲线 的方程可化为 ，
作出曲线 的图形，如图所示，
当 为 时， ，
当 为 时， ，
由对称性及运动变化思想可得
的最大值等于10，
故答案为：10．
【点评】本题考查曲线上的点到两定点的距离和的最值问题，数形结合思想，运动变化思想，属中档题．
二．抛物线的性质（共10小题）
2．（2023•莆田模拟）已知 为抛物线 的焦点， 为 上的一点， 中点的横坐标为2，则A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据 中点的横坐标求出 点横坐标，进而由焦半径公式求出答案．
【解答】解：由题意得： ，准线方程为 ，
设 ，则 中点的横坐标为 ，
故 ，解得： ，
由抛物线的焦半径可知： ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（2023•三明三模）设抛物线焦点为 ，准线与对称轴交于点 ，过 的直线交抛物线于 ， 两点，
对称轴上一点 满足 ，若 的面积为 ，则 到抛物线准线的距离为
A． B． C． D．
【分析】根据题意不妨以抛物线的对称轴为 轴，顶点在原点，作出图形，由已知可得 ，
设 ，则 ，据此计算可求 ．
【解答】解：根据题意不妨以抛物线的对称轴为 轴，顶点在原点，
过 ， 分别向准线作垂线，垂足为 ， ，取 的中点 ，过 向准线作垂线，垂足为 ，
由 ，可得 ，设 ，则 ，过 作 于 ，可得 ， ， ， ，
为 的中点， ，
可得 ， 为 的中点， ， ， ，
，又 ，
，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
4．（2023•宁德模拟）已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一个动点， ，则
的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，求解即可得出答案．
【解答】解：由题意得抛物线 的焦点坐标为 ，准线 的方程为 ，
过点 作 于点 ，如图所示：
由抛物线定义得 ，
，
则当 ， ， 共线时 取得最小值，即 最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．5．（2023•泉州模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上．若 ，
，则 到 的距离等于
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意可得 与 点在准线上的投影 重合，可得 为等边三角形，可得 到准线的距离．
【解答】解：设焦点在 轴上的抛物线的方程为 ，
因为 ，设 的中点为 ，则 ，
所以 ，设 交准线于 ，准线交 轴于 ，
可得 等腰三角形，即 ，而 ，
所以 为等边三角形，可得 点与 点重合，
所以 轴，
所以 ，
所以 ，
即焦点 到准线的距离为2，
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
6．（2022•泉州模拟）抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光
线平行于抛物线的对称轴．生活中的探照灯就是利用这个原理设计的．已知 是抛物线 的焦点，从 发出的光线经 上的点 反射后经过点 ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由题意可得反射光线过点 ， ，可得 的纵坐标，代入抛物线的方程可得 的横坐标，由
抛物线的性质可得 的值．
【解答】解：抛物线 的准线方程为 ，因为反射光线平行于抛物线的对称轴，再由从发出
的光线经 上的点 反射后经过点 ，
可得 的纵坐标为 ，代入抛物线的方程可得 ，
可得 ，由抛物线的性质可得 ，
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用及反射光线的性质的应用，属于中档题．
7．（2022•厦门模拟）已知抛物线 的准线被圆 所截得的弦长为 ，则
A．1 B． C．2 D．4
【分析】先求出抛物线的准线方程，再根据勾股定理列方程可解得 ．
【解答】解：因为抛物线 的准线方程为 ，
，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．
8．（2022•荔城区校级模拟）过抛物线 焦点 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右
依次为 ， ， ．若 ，则线段 的中点到准线的距离为A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由向量的关系可得线段 ， 的关系，由平行线分线段成比例可得 的值，进而可得
的值，求出直线 的倾斜角的大小，进而求出直线的斜率，设直线 的方程，与抛物线的方程联
立，求出 ， 横坐标之和，进而求出线段 的中点到准线的距离．
【解答】解：由抛物线的方程可得焦点 ，准线方程为： ，
由 ，可得 ，由题意如图所示：作 垂直于准线于 ，
而 ， ，所以直线 的斜率为1，所以直线 的方程为 ，
设 ， ， ， ，联立 ，整理可得： ，可得 ，
所以线段 的中点到准线的距离为 ，故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
9．（2021•福州一模）若抛物线 上一点 到其焦点的距离等于3，则
A． B． C． D．
【分析】利用抛物线方程求解准线方程，结合抛物线的定义，求解 即可．
【解答】解：抛物线 上一点 ，所以 ，抛物线的准线方程为： ，
抛物线 上一点 到其焦点的距离等于3，
可得： ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
10．（2021•厦门二模）已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点，且 ，以 为
直径的圆截 轴所得的弦长为2，则
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
【分析】设以 为直径的圆与 轴交点为 ，则 ， ，连接 ，则 ，由勾股
定理可得 ，
解得 ， ，由抛物线的定义可得 等于点 到准线的距离，得 ，即可解得 ．
【解答】解：设以 为直径的圆与 轴交点为 ，
则 ， ，
连接 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
把 ，代入 ，
得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以
解得 或6，
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
11．（2022•龙岩模拟）抛物线 上一点 ， 到焦点的距离为 3 ．
【分析】利用抛物线的定义转化求解即可．
【解答】解：抛物线 上一点 ， 到焦点的距离就是 到准线的距离，准线方程为： ，
所以抛物线 上一点 ， 到焦点的距离为 ．
故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
三．双曲线的定义（共1小题）
12．（2021•厦门模拟）双曲线 的焦点到渐近线的距离是
A．2 B．3 C． D．6
【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距
离．
【解答】解：双曲线 的焦点为 或 ．渐近线方程为 ．
由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质和点到直线的距离公式．考查了考生对双
曲线标准方程的理解和灵活应用，属基础题．
四．圆与圆锥曲线的综合（共1小题）
13．（2021•莆田二模）已知抛物线 的准线与圆 相切，则
A．2 B．6或 C． 或10 D．2或
【分析】求得抛物线的准线方程，圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件，可得 的方程，解方程可得
所求值．
【解答】解：抛物线 的准线方程为 ，
圆 的圆心为 ，半径为3，
由准线与圆相切，可得 ，
解得 或 ，
故选： ．
【点评】本题考查抛物线和圆的方程和性质，以及直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于
基础题．命题点二：求圆锥曲线的方程
1.1母题精析（三年高考真题）
一．椭圆的方程（共2小题）
1．（2022•甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点， 为
的上顶点．若 ，则 的方程为
A． B．
C． D．
【分析】首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程．
【解答】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为 ，
则 ，由平面向量数量积的运算法则可得：
， ，则椭圆方程为 ．故选： ．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．
2．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆 的焦点为 ， ，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点．
若 ， ，则 的方程为
A． B． C． D．【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得 ， ，可得椭圆的方程．
【解答】解： ， ，又 ， ，
又 ， ， ， ， ， ，
， 在 轴上．在 △ 中， ，
在△ 中，由余弦定理可得 ，
根据 ，可得 ，解得 ， ．
．所以椭圆 的方程为： ．故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，余弦定理的应用，属中档题．
二．抛物线的方程（共1小题）
3．（2022•全国）以 为焦点， 轴为准线的抛物线的方程是
A． B． C． D．
【分析】由抛物线的焦点坐标及抛物线的准线方程可得 的值，进而求出顶点的坐标，可得抛物线的方程．
【解答】解：以 为焦点， 轴为准线的抛物线中 ，
所以顶点坐标为焦点与准线与 轴的交点的中点的横坐标为 ，即该抛物线的方程为： ，故选： ．
【点评】本题考查抛物线的平移及抛物线的方程的求法，属于基础题．
三．双曲线的方程（共7小题）
4．（2023•乙卷）设 ， 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段 中点的是
A． B． C． D．
【分析】根据点差法分析可得 ，对于 、 、 ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
对于 ：结合双曲线的渐近线分析判断．
【解答】解：设 ， ， ， ， 中点为 ， ，
，
① ②得 ，
对于选项 ：可得 ， ，则 ，
联立方程 ，消去 得 ，此时△ ，
所以直线 与双曲线没有交点，故 错误；对于选项 ：可得 ， ，则 ，
联立方程 ，消去 得 ，此时△ ，
所以直线 与双曲线没有交点，故 错误；对于选项 ：可得 ， ，则 ，
由双曲线方程可得 ， ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线 与双曲线没有交点，故 错误；对于选项 ， ，则 ，联立方程 ，消去 得 ，
此时△ ，故直线 与双曲线有交两个交点，故 正确．故选： ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．
5．（2023•天津）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．过 作其中一条渐近线的
垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【分析】结合点到直线的距离公式先求出 ，联立渐近线方程及 所在直线方程可求 ，进而表示出直
线 的斜率，结合已知可求 ， ，进而可求双曲线方程．
【解答】解：因为过 作一条渐近线 的垂线，垂足为 ，
则 ，所以 ①，联立 ，可得 ， ，即 ， ，
因为直线 的斜率 ，整理得 ②，①②联立得， ， ，
故双曲线方程为 ．故选： ．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，属于中档题．
6．（2022•天津）已知抛物线 ， ， 分别是双曲线 的左、右焦点，抛
物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点 ，若 ，则双曲线的标准方程为A． B． C． D．
【分析】先由抛物线方程的准线方程，得双曲线的半焦距 ，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方
程解得 ，接着由 ，可得 ，从而得 ，最后再通过 建立方程即可
求解．
【解答】解：由题意可得抛物线的准线为 ，又抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，
，联立 ，可得 ，又 ，
， ， ， ，又 ， ，
， ， 双曲线的标准方程为 ．故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质与双曲线的性质，方程思想，属基础题．
7．（2021•北京）双曲线 的离心率为2，且过点 ， ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【分析】利用点在椭圆上得到 和 的关系，再利用离心率为2，将离心率转化为 和 的关系，求出 ，
的值，即可得到答案．
【解答】解：因为双曲线 过点 ， ，则有 ①，
又离心率为2，则 ②，由①②可得， ， ，
所以双曲线的标准方程为 ．故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程的求解，解题的关键是求出基本量 ， 的值，考查了运算能力，
属于基础题．
8．（2020•天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线
为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为A． B． C． D．
【分析】先求出直线 的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出 ， 的值，可得双曲
线的方程．
【解答】解：抛物线 的焦点坐标为 ，则直线 的方程为 ，
双曲线 的方程为 的渐近线方程为 ，
的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直， ， ，
， ， 双曲线 的方程为 ，故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．
9．（2023•北京）已知双曲线 的焦点为 和 ，离心率为 ，则 的方程为 ．
【分析】根据题意，建立方程，即可求解．
【解答】解：根据题意可设所求方程为 ， ，
又 ，解得 ， ， ， 所求方程为 ．故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的方程的求解，方程思想，属基础题．
10．（2020•全国）已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则 ．
【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，根据双曲线中三个系数 ， ， 的关系求出 的值．
【解答】解： ，
椭圆方程为 ， ，
双曲线 即为 ，双曲线与椭圆有相同焦点， ，
．故答案为： ．【点评】本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质，是基础题．
1.2解题模型
1.求圆锥曲线方程的方法
(1)定义法：根据已知条件，若所求轨迹满足圆锥曲线的定义，则利用圆锥曲线的定义求出参
数a,b,p的值，从而得到所求的轨迹方程.
(2)待定系数法：根据题目条件确定焦点的位置，从而设出所求圆锥曲线的标准方程，利用题
目条件构造关于a,b,p的方程(组),解得a,b,p的值，即可求得方程。
归纳总结：
利用待定系数法求椭圆，双曲线方程时，多用到以下方法设方程：
(1)与椭圆 有相同的离心率的椭圆方程可设为 。
(2)与椭圆 有相同的离心率的椭圆方程可设为
。
(3)与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为
。
(4)与双曲线的渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 。(5)若双曲线过两个已知点，则双曲线可设为 或
(6)与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为
。
(7)与椭圆 有相同焦点的双曲线方程可设为
2关于抛物线标准方程的理解
(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.
(2)焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x²=±2py(p>0),通常又可以写成y=ax²,这与以前所学习
的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y=ax²求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛
物线的方程化成标准形式.
(3)抛物线y²=2px上的点通常可设为( ).,可减少变元的数量.
1.3对点训练（四年省市模考）
一．椭圆的方程（共3小题）
1．（2023•思明区校级三模）已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆
于 、 两点．若 的中点坐标为 ，则 的方程为
A． B．
C． D．
【分析】设 与 的坐标，代入椭圆方程，利用作差法及斜率公式可得 与 的关系，结合隐含条件求解
与 的值，则答案可求．
【解答】解：设 ， ， ， ，代入椭圆的方程可得 ， ．
两式相减可得： ．
由题意， ， ， ，可得 ．
又 ， ，联立解得 ， ．
椭圆的方程为： ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，训练了“点差法”的应用，是中档题．
2．（2023•新罗区校级三模）如图， ， 分别为椭圆 的左、右焦点， ， 在椭圆上且关于
原点对称（点 在第一象限），延长 交椭圆于点 ，若 ，则直线 的方程为
．
【分析】根据椭圆的对称性得出四边形 为平行四边形，则 ，设直线 的斜率为 ，则
直线 的方程为 ，联立直线 与椭圆方程消去 得出 ，
则 ，同理 ，即可根据弦长公式列式解出 ，即可得出答
案．
【解答】解：连接 ， ，， ，
四边形 为平行四边形，
．
设直线 的斜率为 ， ，
直线 的方程为 ．
联立 ，整理得 ，
点 在第一象限， ，
同理可得 ，
，
得 ， ，
则 ，直线 的方程为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，化归转化思想，方程思想，属中档题．3．（2023•福州模拟）已知椭圆 ，直线 与 在第二象限交于 ， 两点 在 的左下
方），与 轴， 轴分别交于点 ， ，且 ，则 的方程为 ．
【分析】设直线在 轴， 轴上的截距为 ， ，由已知可得点 ， ， ， ，
代入椭圆方程可求 ， ，可求直线方程．
【解答】解：设直线在 轴， 轴上的截距为 ， ，
由 ，可得 ， ， ， ，
又点 ， 在椭圆上，
故 且 ，
解得 ， ，
故直线 的方程为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查直线方程的求法，考查了推理能力与计算能力，属中
档题．
二．抛物线的方程（共1小题）
4．（2023•莆田模拟）若抛物线 的焦点到准线的距离为3，且 的开口朝左，则 的标准方程为
A． B． C． D．
【分析】根据焦点到准线的距离为3，可求 ，进而结合已知条件可求 的标准方程．【解答】解：依题意 的开口朝左，可设 的标准方程为 ，
抛物线 的焦点到准线的距离为3， ，
抛物线 的标准方程为 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程及性质应用，属基础题．
三．双曲线的标准方程（共1小题）
5．（2022•宁德模拟）若过点 ， 的双曲线的渐近线为 ，则该双曲线的标准方程是
．
【分析】根据题意，设出双曲线的方程，将点 ， 代入双曲线方程可得 的值，从而得到该双曲线的
标准方程．
【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是 ，
设双曲线方程为 ，
将点 ， 代入，得 ，
则双曲线方程为 ，
即 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，注意由双曲线的渐近线方程设出其方程，属基础题．
四．双曲线的方程（共3小题）
6．（2022•泉州模拟）已知双曲线 的焦距为 ，点 在 的一条渐近线上，
则 的方程为A． B．
C． D．
【分析】利用双曲线的焦距以及点在双曲线的渐近线上，列出方程组求解即可．
【解答】解：双曲线 的焦距为 ，点 在 的一条渐近线上，
可得： ，并且 ，
解得 ， ．
所求的双曲线方程为： ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
7．（2019•厦门一模）已知双曲线 的一个焦点为 ，点 ， 是 的一条渐近
线上关于原点对称的两点，以 为直径的圆过 且交 的左支于 ， 两点，若 ， 的面
积为8，则 的渐近线方程为
A． B． C． D．
【分析】设双曲线的另一个焦点为 ，由双曲线的对称性，可得四边形 是矩形，可得 ，
即 ，再根据 ，可得 ，即可求出
【解答】解：设双曲线的另一个焦点为 ，由双曲线的对称性，可得四边形 是矩形，
，
即 ，
由 ，可得 ，则 ，即 ，
， ，
，
的渐近线方程为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，三角形的面积，双曲线的渐近线方程，属于中档题
8．（2023•福州模拟）已知曲线
A．若 ，则 是椭圆
B．若 ，则 是双曲线
C．当 是椭圆时，若 越大，则 越接近于圆
D．当 是双曲线时，若 越小，则 的张口越大
【分析】 中， 时，曲线 表示的图形是圆； 中， 时，曲线 表示的图形是双曲线；
中， 是椭圆时，讨论椭圆的焦点在 轴还是 轴，从而得出椭圆的扁平情况；
中， 越小时，双曲线的渐近线斜率越大，双曲线的张口就越大．
【解答】解：对于 ，当 时， ，若 ，则 ，曲线 表示的图形是圆，所以选项 错误；对于 ，当 时， ，所以曲线
表示的图形是双曲线，选项 正确；对于 ，当 是椭圆时， 且 ，焦点在 轴上时，
， 越大，离心率越小，曲线 表示的椭圆越圆；焦点在 轴上时， ， 越大，离
心率越大，曲线 表示的椭圆越扁平，所以选项 错误；
对于 ，双曲线的张口大小，取决于渐近线的斜率大小，渐近线方程为 ，
当 越小时， 越大，双曲线的张口就越大，选项 正确．故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的定义与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
命题点三：圆锥曲线的性质
1.1母题精析（三年高考真题）
一．椭圆的性质（共11小题）
1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆 ， 的离心率分别为 ， ．若 ，
则
A． B． C． D．
【分析】利用椭圆 的方程可求其离心率 ，进而可求 ，可求 ．
【解答】解：由椭圆 可得 ， ， ，
椭圆 的离心率为 ，
， ， ，
，或 （舍去）．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
2．（2023•甲卷）已知椭圆 ， ， 为两个焦点， 为原点， 为椭圆上一点，
，则
A． B． C． D．
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，通过向量的模，然后转化求解即可．
【解答】解：椭圆 ， ， 为两个焦点， ，
为原点， 为椭圆上一点， ，
设 ， ，不妨 ，
可得 ， ，即 ，可得 ， ，
，
可得
．
可得 ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的数量积以及余弦定理的应用，是中档题．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆 的左焦点和右焦点分别为 和 ，直线 与 交于点 ， 两点，若△ 面积是△ 面积的两倍，则
A． B． C． D．
【分析】记直线 与 轴交于 ，由题意可得 ，求解即可．
【解答】解：记直线 与 轴交于 ，
椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ， ，
由△ 面积是△ 的2倍，可得 ，
，解得 或 ，
或 ， 或 ，
联立 可得， ，
直线 与 相交，所以△ ，解得 ，
不符合题意，
故 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
4．（2023•甲卷）设 ， 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则
A．1 B．2 C．4 D．5
【分析】根据题意，分析可得 ，由椭圆的标准方程和定义可得 ，，将两式联立可得 的值即可．
【解答】解：根据题意，点 在椭圆上，满足 ，可得 ，
又由椭圆 ，其中 ，
则有 ， ，
可得 ，
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．
5．（2022•甲卷）椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．若
直线 ， 的斜率之积为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【分析】设 ， ，则 ， ，根据斜率公式结合题意可得： ，再结合 ，
整理可得离心率．
【解答】解：已知 ，设 ， ，则 ， ，
，
，
故 ①，
，即 ②，②代入①整理得： ，
．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，是基础题．
6．（2021•新高考Ⅰ）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最
大值为
A．13 B．12 C．9 D．6
【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
【解答】解： ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上， ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以 的最大值为9．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
7．（2021•乙卷）设 是椭圆 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为
A． B． C． D．2
【分析】求出 的坐标，设 ， ，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解
距离的最大值即可．
【解答】解： 是椭圆 的上顶点，所以 ，
点 在 上，设 ， ， ， ，
所以，
当 时， 取得最大值，最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，
是中档题．
8．（2021•乙卷）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，
则 的离心率的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】设 ， ，可得 ， ， ，结合二次函数的性质即可求
出离心率的取值范围．
【解答】解：点 的坐标为 ，设 ， ，
则 ，
，
故 ， ， ，
又对称轴 ，
当 时，即 时，
则当 时， 最大，此时 ，
故只需要满足 ，即 ，则 ，
所以 ，又 ，
故 的范围为 ， ，
当 时，即 时，
则当 时， 最大，
此时 ，
当且仅当 即 时等号成立，
又 ，所以 ，即 ，
故不满足题意，
综上所述的 的范围为 ， ，
方法二：根据题意，有 ，设 ， ，则 ，
也即 ，
不妨设 ，则 ， ， ，
也即 ， ， ，
也即 ， ， ，
从而可得 ， ，
从而离心率的取值范围为 ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题．
9．（2021•甲卷）已知 ， 为椭圆 的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为 8 ．
【分析】判断四边形 为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．
【解答】解：因为 ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，
所以四边形 为矩形，
设 ， ，
由椭圆的定义可得 ，
所以 ，
因为 ，
即 ，
所以 ，
所以四边形 的面积为 ．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
10．（2021•浙江）已知椭圆 ，焦点 ， ， ．若过 的直线和圆
相切，与椭圆的第一象限交于点 ，且 轴，则该直线的斜率是 ，椭圆
的离心率是 ．
【分析】由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离与半径相等，由此可求出直线的斜率 ，利用斜率与
相等，得到 与 之间的关系，再求出离心率．
【解答】解：直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；
由直线过 ，设直线的方程为 ，直线和圆 相切，
圆心 到直线的距离与半径相等，
，解得 ，
将 代入 ，可得 点坐标为 ，
，
， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了椭圆、圆的简单几何性质，以及点到直线的距离公式，需要学生熟练掌握公式，是中
档题．
11．（2020•上海）已知椭圆 的右焦点为 ，直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、
两点（点 在第二象限），若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，求直线 的方程是
．
【分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．
【解答】解：椭圆 的右焦点为 ，直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、 两点
（点 在第二象限），若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，
可知直线 的斜率为 ，所以直线 的方程是： ，即 ．故答案为： ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识
的考查．
二．抛物线的性质（共1小题）
12．（2022•新高考Ⅱ）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 ， 两
点，其中 在第一象限，点 ．若 ，则
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【分析】由已知可得 的坐标，再由抛物线焦点弦的性质求得 点坐标，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：如图，
， ， ，且 ， ， ，
由抛物线焦点弦的性质可得 ，则 ，则 ， ，，故 正确；
， ， ，故 错误；
，故 正确；
， ， ， ， ，
， ，
， 均为锐角，可得 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
三．直线与抛物线的综合（共1小题）
13．（2023•新高考Ⅱ）设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且与
交于 ， 两点， 为 的准线，则
A． B．
C．以 为直径的圆与 相切 D． 为等腰三角形
【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系判断选项的正误即可．
【解答】解：直线 过抛物线 的焦点，可得 ，所以 ，
所以 正确；
抛物线方程为： ，与 交于 ， 两点，
直线方程代入抛物线方程可得： ，
，
所以 ，所以 不正确；， 的中点的横坐标： ，中点到抛物线的准线的距离为： ，
所以以 为直径的圆与 相切，所以 正确；
，
不妨可得 ， ， ， ，
， ， ，
所以 不是等腰三角形，所以 不正确．
故选： ．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
四．双曲线的性质（共20小题）
14．（2023•甲卷）已知双曲线 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则
A． B． C． D．
【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解 即可．
【解答】解：双曲线 的离心率为 ，
可得 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，
一条渐近线与圆 交于 ， 两点，圆的圆心 ，半径为1，
圆的圆心到直线 的距离为： ，
所以 ．故选： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
15．（2023•甲卷）已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则
A． B． C． D．
【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解 即可．
【解答】解：双曲线 的离心率为 ，
可得 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，
一条渐近线与圆 交于 ， 两点，圆的圆心 ，半径为1，
圆的圆心到直线 的距离为： ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
16．（2022•全国）若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则 的离心率
为
A．5 B． C． D．
【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率，进而求出 ， 的关系，再求离
心率的值．【解答】解：由双曲线 的方程可得渐近线方程为 ，
由题意可得 ，
所以双曲线的离心率 ，
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的性质的应用及直线相互垂直的性质的应用，属于基础题．
17．（2021•甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
A． B． C． D．
【分析】首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点 到一条渐近线的距离即可．
【解答】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离，
则点 到双曲线的一条渐近线的距离 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题．
18．（2021•甲卷）已知 ， 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，
则 的离心率为
A． B． C． D．
【分析】根据余弦定理，方程思想，双曲线的几何性质即可求解．
【解答】解：设 ， ，
则根据题意及余弦定理可得：，解得 ，
所求离心率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查余弦定理，方程思想，双曲线的几何性质，属基础题．
19．（2021•天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物
线的准线交双曲线于 ， 两点，交双曲线的渐近线于 ， 两点，若 ，则双曲线的离心
率为
A． B． C．2 D．3
【分析】由题意可得 ， 的关系，再由双曲线及渐近线的对称性，将双曲线的方程和渐近线的方程与抛
物线的准线联立求出 ， 的一半的表达式，由题意可得 ， 的关系，进而求出双曲线的离心率．
【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为 ，
由题意可得： ，渐近线的方程为： ，
可得 ， ，
， ，
所以 ， ，
由 ，
解得： ，即 ，所以双曲线的离心率 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题．
20．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ．
是 上一点，且 ．若△ 的面积为4，则
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解 即可．
【解答】解：由题意，设 ， ，可得 ， ， ， ，
可得 ，可得 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算
能力．
21．（2020•天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线
为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为
A． B． C． D．
【分析】先求出直线 的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出 ， 的值，可得双曲
线的方程．
【解答】解：抛物线 的焦点坐标为 ，
则直线 的方程为 ，
双曲线 的方程为 的渐近线方程为 ，
的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，， ，
， ，
双曲线 的方程为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．
22．（2020•新课标Ⅰ）设 ， 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且
，则△ 的面积为
A． B．3 C． D．2
【分析】先判断△ 为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．
【解答】解：由题意可得 ， ， ，
，
，
，
△ 为直角三角形，
，
，
，
，
，△ 的面积为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题．
23．（2020•全国）设双曲线 的焦点为 ， ，点 在双曲线右支上，且 ，则点
的横坐标为
A． B．2 C． D．6
【分析】设点 为 ，再根据题意建立方程组，最后解方程组即可得解．
【解答】解： 双曲线的方程为 ，
， ，
， ， ， ， ，
设 ，根据题意可得：
，
解得 ，
点 的横坐标为 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，方程思想，属基础题．
24．（2022•乙卷）双曲线 的两个焦点为 ， ，以 的实轴为直径的圆记为 ，过 作 的切线与
交于 ， 两点，且 ，则 的离心率为A． B． C． D．
【分析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为 ，设过 的切线与圆
相切于点 ，从而可求得 ，过点 作 于点 ，由中位线的性质可求得
， ，在 中，可求得 ， ，利用双曲线的定义可得 ， 的关系，再由离心率
公式求解即可．情况二当直线与双曲线交于一支时，同理可求得离心率．
【解答】解：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为 ，
设过 的切线与圆 相切于点 ，
则 ， ，又 ，
所以 ，
过点 作 于点 ，
所以 ，又 为 的中点，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
由双曲线的定义可知 ，
所以 ，可得 ，即 ，
所以 的离心率 ．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为 ，连接 ，则 ， ，
过 作 于 ，则 ，因为 ，所以 ， ，
，即 ，
所以 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力，属
于中档题．25．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．点 在 上，
点 在 轴上， ， ，则 的离心率为 ．
【分析】（法一）设 ， ， ，根据题意可得点 的坐标，进一步得到
，再由 ，可得 ．结合点 在双曲线上，可得解；
（法二）易知 ，设 ， ，解三角形可知 ，进而得解．
【解答】解：（法一）如图，设 ， ， ，
设 ，则 ，
又 ，则 ，可得 ，
又 ，且 ，
则 ，化简得 ．
又点 在 上，
则 ，整理可得 ，
代 ，可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
故 ．
（法二）由 ，得 ，设 ，由对称性可得 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
在△ 中，由余弦定理可得 ，
即 ，则 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
26．（2022•北京）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【分析】化双曲线方程为标准方程，从而可得 ，求出渐近线方程，结合已知即可求解 的值．
【解答】解：双曲线 化为标准方程可得 ，
所以 ，双曲线的渐近线方程 ，
又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ．故答案为： ．
【点评】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题．
27．（2022•上海）已知 ， ， ， 两点均在双曲线 的右支上，若
恒成立，则实数 的取值范围为 ， ．
【分析】取 的对称点 ， ，结合 ，可得 ，然后可得渐近线夹角
，代入渐近线斜率计算即可求得．
【解答】解：设 的对称点 ， 仍在双曲线右支，由 ，
得 ，即 恒成立，
恒为锐角，即 ，
其中一条渐近线 的斜率 ，
，
所以实数 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．
28．（2022•浙江）已知双曲线 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线交双曲线于
点 ， ，交双曲线的渐近线于点 ， 且 ．若 ，则双曲线的离心率是．
【分析】（法一）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，依题意，点 在渐近线
上，不妨设 ，根据题设条件可求得点 的坐标为 ，代入双曲线方程，化
简可得 ， 的关系，进而得到离心率．
（法二）联立 ，求得点 的坐标，再根据题意求得点 的坐标，代入双曲线方程，即可得
解．
【解答】解：（法一）如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
由于 ， 且 ，则点 在渐近线 上，不妨设 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 ，即 ，则 ，
，
又 ，则 ，
又 ，则 ，则 ，
点 的坐标为 ，
，即 ，
．
（法二）由 ，解得 ，
又 ，所以点 的纵坐标为 ，
代入方程 中，解得 ，
所以 ，代入双曲线方程中，可得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
29．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线 的离心率 ，则该双曲线的渐近线方程为
．
【分析】根据双曲线离心率为2，列出关于 、 的方程，解之得 ，由双曲线渐近线方程的公式可
得到该双曲线的渐近线方程．
【解答】解： 双曲线的方程是 ，
双曲线渐近线为又 离心率为 ，可得
，即 ，可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为：
【点评】本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求它的渐近线，着重考查了双曲线
的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
30．（2021•全国）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在直线 上，则
的最小值为 ．
【分析】由双曲线的方程可得焦点坐标，求出 关于直线的对称点的 的坐标，连接 角直线于 点，
则 ，由两点间的距离公式，求出其最小值．
【解答】解：由双曲线 的方程可得左右焦点 ，
设 为 关于直线 的对称点，
则 ，可得 ， ，
连 接 与 直 线 的 交 点 为 ， 则
，
故答案为： ．【点评】本题考查双曲线的性质及点关于直线的对称点的坐标的求法及线段和最小值的求法，属于中档题．
31．（2020•江苏）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的一条渐近线方程为 ，
则该双曲线的离心率是 ．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出 ，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线 的一条渐近线方程为 ，可得 ，所以 ，
所以双曲线的离心率为： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
32．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线 的一条渐近线为 ，则 的离心率为
．
【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出 ， 的关系，再由离心率的公式及 ， ，
之间的关系求出双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为： ，
由题意可得 ，所以离心率 ，故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
33．（2020•新课标Ⅰ）已知 为双曲线 的右焦点， 为 的右顶点， 为 上
的点，且 垂直于 轴．若 的斜率为3，则 的离心率为 2 ．
【分析】利用已知条件求出 ， 的坐标，通过 的斜率为3，转化求解双曲线的离心率即可．
【解答】解： 为双曲线 的右焦点 ， 为 的右顶点 ，
为 上的点，且 垂直于 轴．所以 ，
若 的斜率为3，可得： ，
，代入上式化简可得 ， ，
可得 ， ，
解得 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力．
五．直线与双曲线的综合（共1小题）
34．（2020•新课标Ⅱ）设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别
交于 ， 两点．若 的面积为8，则 的焦距的最小值为
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点 ， 的坐标，根据面积求出 ，再根据基本不等式即可求
解．
【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为 ，
分别将 ，代入可得 ，
即 ， ，则 ，
，当且仅当 时取等号，
的焦距的最小值为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．
1.2解题模型
1.利用基本不等式求最值的方法
求圆锥曲线的离心率或其范围的方法
(1)求出a,b或a,c的值，代入 直接求解.
(2)根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),结合b²=a²-c²或b²=c²-a²转化为关于a,c的齐次
等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a²转化为关于e或e²的方程(不等
式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).在求解时要注意椭圆中0<e<1,而双曲线中e>1.
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
2椭圆的几何性质的拓展(1)通径：过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为 ,通径是最短的焦点弦.
(2)设P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a-c,a+c],即椭圆上的点到焦点的距离的最大
值为a+c,最小值为a—c.
(3)椭圆的焦点三角形：以椭圆上的点P(x₀,yo)与两焦点F₁,F₂为顶点的△PF₁F₂叫作焦点三角形.
如图所示，设∠F₁PF₂=0,焦点三角形具有如下性质：
①当P为短轴端点时，θ最大.
② =|PF₁|·|PF₂|sinθ= ，当 ，即P为短轴端点时，
S△PF F₂取最大值，最大值为bc.③焦点三角形的周长为2(a+c).
1
双曲线的几何性质的拓展
(1)通径：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为
(2)若P是双曲线右支上一点，F₁,F₂分别为双曲线的左、右焦点，则|PF₁|min=a+c,|PF |min=c-a.
2
(3)焦点三角形的几个结论
①若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F₁,F₂分别为双曲线的左、右焦点，则
，
②过双曲线焦点F₁的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F₂构成的△ABF₂的周
长为4a+2|AB|.③若P是双曲线 右支上不同于实轴端点的任意一点，F₁,F 分别为双曲
2
线的左、右焦点，I为△PF₁F₂内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
(5)等轴双曲线
①概念：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线.
②性质：双曲线的离心率e= ⇔两条渐近线互相垂直.
③一般方程：x²-y²=λ(λ≠0).
(6)共轭双曲线的性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的
倒数的平方和等于1.
(7)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点，其中A,B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之
积为 (适用于焦点在x轴上的双曲线).
4抛物线焦点弦性质归纳
(1)焦点弦的性质
以抛物线y²=2px(p>0)为例，设AB是抛物线的焦点弦，直线AB的倾斜角为θ,F是抛物线的焦
点，A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),A,B在准线上的射影为A₁,B₁,则有以下结论：
①
②若A位于x轴上方，B位于x轴下方，
③|AB|=x₁+x₂+p= 抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦.
④⑤ 为定值.
⑥以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
⑦以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切.
⑧以A₁B₁为直径的圆与直线AB相切，切点为F,∠A₁FB₁=90°.
⑨A,O,B₁三点共线，B,O,A₁三点也共线.
(2)如图所示，AB是抛物线x²=2py(p>
0)的焦点弦，分别过A,B作抛物线的切线，交于点P,连接PF,则有以下结论：
①点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线l:
②两切线互相垂直，即PA⊥PB.
③PA⊥PB.
④点P的坐标为1.3对点训练（四年省市模考）
一．椭圆的性质（共8小题）
1．（2023•漳州模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，以 为圆心的圆与
轴交于 ， 两点，与 轴正半轴交于点 ，线段 与 交于点 ．若 与 的焦距的比值为
，则 的离心率为
A． B． C． D．
【分析】由已知可得 ，即可得 ， ，由椭圆定义可得 ，在
△ 中，由余弦定理可得 ，即可得 ，解方程即
可．
【解答】解：如图，因为以 为圆心的圆与 轴交于 ， 两点，
所以圆的方程为 ，令 ，可得 ，
则 ， ，
在直角三角形 中，因为 ，所以 ， ，
在直角三角形 中，可得 ，故 ，则 ，
在△ 中，由余弦定理可得 ，
化简整理可得 ，即 ，
解得 （负值舍去），
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
2．（2023•泉州模拟）已知椭圆 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交
于 ， 两点，与 轴交于点 ．若 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【分析】设出直线方程，求出 点坐标，由 ，得出 点坐标代入椭圆方程，化简可得结果．
【解答】解：根据题意可设直线 方程为 ，
，
， 为 的中点，
，又 在椭圆上，
，
，代入化简整理得：
，
，解得 ，又 ，
，
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
3．（2023•福州模拟）已知椭圆 ，且 ， ， 依次成公比为2的等比数列，则
A． 的长轴长为2
B． 的焦距为
C． 的离心率为
D． 与圆 有2个公共点
【分析】先由 ， ， 依次成公比为2的等比数列求出椭圆方程，再逐一判断各选项．
【解答】解：因为 ， ， 依次成公比为2的等比数列，
所以 ， ，即 ， ，
所以 的方程可化为 ，
则 ， ，即 ， ，
对于 ，所以 的长轴长为4，故 错误；
对于 ，焦距为 ，故 正确；
对于 ， 的离心率为 ，故 正确；
对于 ，联立 ，
解得 ， ，所以 与圆 只有1个公共点 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．
4．（2023•莆田模拟）已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，右焦点为 ， 关
于直线 的对称点为 ．若过 ， ， 三点的圆的半径为 ，则 的离心率为 ．
【分析】根据题意可得 ，从而可得 的外接圆的半径为 ，，设椭圆的左焦点为 ，从
而可得 ，从而得 ，从而得解．
【解答】解：根据题意可得 ，
的外接圆的半径为 ，设椭圆的左焦点为 ，
由对称性易知： 为 的外接圆的圆心，
，又 ，
， ，
故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
5．（2023•龙岩模拟）已知 ， ， 是椭圆 上的三个点， 为 的左焦点， ，
两点关于原点 对称，若 ，则椭圆 的离心率为 ．
【分析】画出图形，设出 ，利用余弦定理转化求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：如图：椭圆的右焦点为 ，设 ，
因为 ，
则 ， ， ， ，
在 中，由余弦定理可得：，
解得 ，
在 中， ，
代入 ，
解得 ，
所以椭圆的离心率为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，余弦定理的应用，是中档题．
6．（2023•莆田模拟）法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与
椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．
已知椭圆 ，则 的蒙日圆 的方程为 ；若过圆 上的动点 作 的两条
切线，分别与圆 交于 ， 两点，则 面积的最大值为 ．
【分析】利用新定义，求解圆的半径，然后求解圆的方程，判断三角形的面积的最大值的位置，然后求解
三角形的面积．
【解答】解：由题意与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，
这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 ，
可知点 一定在蒙日圆 上，所以蒙日圆 的半径 ，
所以蒙日圆 的方程为 ．
因为 ， ， 都在圆 上，且 ，
所以 为圆 的直径，所以 ，
故 面积的最大值为 ．
故答案为： ；12．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，新定义的应用，是中档题．
7．（2023•漳州模拟）已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ， ， 为 上的两
个动点，且直线 与 斜率之积为 为坐标原点），则椭圆 的短轴长为 2 ，
．
【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得 ，由此可得短轴长及椭圆方程；设 ，
，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到 ，利用两点间距离公
式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结果．
【解答】解：根据题意可得 ，解得 ， ， ，
椭圆 ，
设 ， ，
，，
，
．
故答案为：2；5．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，三角换元，三角函数的公式的应用，属中档题．
8．（2023•福州模拟）已知椭圆 ，直线 与 在第二象限交于 ， 两点 在 的左下
方），与 轴， 轴分别交于点 ， ，且 ，则 的方程为 ．
【分析】设直线在 轴， 轴上的截距为 ， ，由已知可得点 ， ， ， ，
代入椭圆方程可求 ， ，可求直线方程．
【解答】解：设直线在 轴， 轴上的截距为 ， ，
由 ，可得 ， ， ， ，
又点 ， 在椭圆上，
故 且 ，
解得 ， ，故直线 的方程为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查直线方程的求法，考查了推理能力与计算能力，属中
档题．
二．抛物线的性质（共8小题）
9．（2023•泉州模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线 与 交于 、 两点，点 在
上的投影为 ．若 ，则
A． B．2 C． D．3
【分析】过点 作 ，垂足为点 ，作 ，垂足为点 ，分析出点 为 的中点，利用抛
物线的定义可求得结果．
【解答】解：过点 作 ，垂足为点 ，作 ，垂足为点 ，
，
四边形 为矩形，则 ，
因为 ，
所以 ，故 ，
由抛物线的定义可得 ， ，所以 ，即 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
10．（2023•泉州模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上．若
， ，则 到 的距离等于
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意可得 与 点在准线上的投影 重合，可得 为等边三角形，可得 到准线的距离．
【解答】解：设焦点在 轴上的抛物线的方程为 ，
因为 ，设 的中点为 ，则 ，
所以 ，设 交准线于 ，准线交 轴于 ，
可得 等腰三角形，即 ，而 ，
所以 为等边三角形，可得 点与 点重合，
所以 轴，
所以 ，
所以 ，
即焦点 到准线的距离为2，
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
11．（2023•漳州模拟）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役．在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术．反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡．反
斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出．某反斜面阵地如图所示，山脚 ， 两点和敌方阵地 点
在同一条直线上，某炮弹的弹道 是抛物线 的一部分，其中 在直线 上，抛物线的顶点 到直线
的距离为100米， 长为400米， ， ，建立适当的坐标系使得抛物线 的方程
为 ，则
A．
B． 的准线方程为
C． 的焦点坐标为
D．弹道 上的点到直线 的距离的最大值为
【分析】根据题意，建立以 为坐标原点， 轴平行于 ， 轴垂直于 ，结合图象，求出抛物线方程，
准线方程，焦点坐标，即可判断 ；根据题意，求出直线 的方程，不妨设 上一点为 ， ，
， ，写出该点到直线 的距离，结合二次函数的性质，求解最大值即可．
【解答】解：根据题意，建立以 为坐标原点， 轴平行于 ， 轴垂直于 ，如图所示：
此时 ， ， ，抛物线 的方程为 ，即 ，解得 ，故 正确；
，准线方程为 ，焦点坐标为 ，故 正确， 错误；
， ， ，
直线 的方程为 ，即 ，
不妨设 上一点为 ， ， ， ，
该点到直线 的距离为 ，
，
，
设 ， ， ， ， ，对称轴 ，
故 ，
此时， ，
点到直线 的距离最大值为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于中档题．
12．（2023•福建模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上， 垂直 于点 ，直线
与 相交于 、 两点．若 为 的三等分点，则
A． B． C． D．【分析】过点 作 于点 ，设准线为 与 交于点 ，由抛物线的定义可得 ，
可判断 ；求出 ， 的长，由正弦定理可判断 ；求出 ， 可判断 ；求出 ， 可判断
．
【解答】解：如下图，
过点 作 于点 ，设准线 与 交于点 ，
由抛物线的定义知： ，
因为 为 的三等分点，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 正确；
对于 ，在 中，由抛物线的定义知： ， ，所以 为等边三角形，
又因为 ，解得： ，
同理可得： ，
所以 ，因为 为等边三角形，所以 ，
为 的三等分点，
所以 中，由余弦定理可得： ，
则 ，
则 ，所以在 中，由正弦定理可得： ，
代入可得 ， ，故 不正确；
对于 ， ， ，所以 ，故 正确；
对于 ，因为 ， ，
，
所 以 中 ， ， 由 余 弦 定 理 可 得 ：
，
则 ，所以 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题．
13．（2023•福建模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上， 垂直 于点 ，直线
与 相交于 、 两点．若 为 的三等分点，则
A． B． C． D．
【分析】过点 作 于点 ，设准线 与 轴交于点 ，由抛物线的定义可得 ，
可判断 ；求出 ， 的长，由正弦定理可判断 ；求出 ， 可判断 ；求出 ， 可判断
．
【解答】解：过点 作 于点 ，设准线与 轴交于点 ，
由抛物线的定义知： ，
因为 为 的三等分点，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故 正确；
对于 ，在 中，由抛物线的定义知： ， ，所以 为等边三角形，
又因为 ，解得： ，
同理可得： ，
所以 ，因为 为等边三角形，所以 ， 为 的三等分点，
所以 中，由余弦定理可得： ，
则 ，
则 ，
所以在 中，由正弦定理可得： ，
代入可得 ，故 不正确；
对于 ， ， ，所以 ，故 正确；
对于 ，因为 ， ， ，
所以 中， ，由余弦定理可得：
，
则 ，所以 ，故 正确．
故选： ．【点评】本题考查了抛物线的定义和抛物线的性质，属于中档题．
14．（2023•南平模拟）已知点 ，抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，
则
A． 的最大值为
B． 的面积最小值为2
C．当 取到最大值时，直线 与 相切
D．当 取到最大值时，
【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，设出直线斜率为 ，利用数形结合进行求解判断即
可．
【解答】解：不妨设 在 轴上方，过 作 垂直准线 ，交于 ，
则 ，
在 中，设 ，
则 ，
则直线 的倾斜角为 ，
设直线斜率为 ，则 ，由 得 ，代入 ，整理得 ，
①当直线 与抛物线相切时，△ ，得 ，得 或 （舍 ，
此时直线的最大倾斜角 ，此时 的最小值为 ， 的最小值为 ，则 的最大值为
，故 正确，
要使 的面积最小，则只有当 垂直 轴时，此时 ，得 ，得 或 ，此时 的
最小值为 ，
则 的面积最小值为 ，故 错误，
由 证明过程知，当 取到最大值时，直线 与 相切，故 正确，
当 取到最大值时，直线 与 相切，得到 ，即切线方程为 ，此时①等价为
，得 ，此时 ，即 ，
此时 轴，则 ，则 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，利用抛物线的定义，设出直线方程，联立方程组，利用设而不求
思想进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．15．（ 2023•漳州模拟）已知 为抛物线 上的一个动点，直线 ， 为圆
上的动点，则点 到直线 的距离与 之和的最小值为 4 ．
【分析】先根据题意得到圆心 的坐标与半径，由抛物线方程得到焦点坐标与准线方程，依题意可得点
到直线 的距离 ，即可得点 到直线 的距离与 之和为 ，再数形结合，即可求解．
【解答】解： 圆 ，所以 ，半径 ，
又抛物线 的焦点 ，准线为直线 ，
点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离与 之和为 ，
当 、 、 、 四点共线时， 取得最小值，
其最小值为 ．
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，圆的几何性质，数形结合思想，属中档题．16．（2023•泉州模拟）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线
与 交于 ， 两点．若 的面积等于 的面积的2倍，则 ．
【分析】根据题意，过 作 垂直准线于点 ，过 作 垂直准线于点 ，由面积关系可得 为
中点，从而得到结果．
【解答】解：由题意可得如图所示图形，过 作 垂直准线于点 ，过 作 垂直准线于点 ，
由抛物线的定义可知， ， ，
因为抛物线 ，则 ，
设 的面积为 ，则 的面积也为 ， 的面积为 ，
所以 ，即 ，即 为 中点，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质的应用，属于中档题．
三．直线与抛物线的综合（共2小题）
17．（2023•厦门模拟）抛物线： ， 是 上的点，直线 与 交于 ， 两点，
过 的焦点 作 的垂线，垂足为 ，则A． 的最小值为1
B． 的最小值为1
C． 为钝角
D．若 ，直线 与 的斜率之积为
【分析】联立方程组，利用设而不求思想，结合抛物线的性质分别进行判断即可．
【解答】解： ．设 ， ，则 ， ， ，故 正确，
．设 ， ，则 点的轨迹为 ，
设 ， ，则 ，
，则 ，故 错误，
．设 ， ， ， ，将 ，代入 得 ，
则判别式△ ．
则 ， ．
则 ，
由 得 ，则 为钝角，故
正确，
．设 ， ， ，则 ，则 ，
所以 ，
，则 ，
，
，即 ，即 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，联立方程，利用设而不求思想进行转化求解是解
决本题的关键，是中档题．
18．（2023•龙岩模拟）已知抛物线 ，直线 过点 且与 相交于 ， 两点，若 的
平分线过点 ，则直线 的斜率为 ．
【分析】设直线 的方程为 ，再设直线 、 的方程分别为 、 ，由 的平
分线过点 ，利用点到直线的距离公式可得 ，设 ， ， ， ，可得 ，联
立 ，得关于 的一元二次方程，再由根与系数的关系列式求解 值．
【解答】解：设直线 的方程为 ，即 ，
再设直线 、 的方程分别为 、 ，即 、 ，
的平分线过点 ， ，
整理得 ，即 ，
设 ， ， ， ，则 ，即 ，
联立 ，得 ．△ ，即 ．
， ，
又 ， ，
可得 ，解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
四．双曲线的性质（共11小题）
19．（2023•福建模拟）已知双曲线 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ， ，
关于 的一条渐近线的对称点为 ．若 ，则△ 的面积为
A．2 B． C．3 D．4
【分析】设 与渐近线交于 ，由对称性知 且 ，在直角 中可求得 ， ，
再由 求得△ 的面积．
【解答】解：设 与渐近线 交于 ，
则 ， ， ，
所以 ， ，由 ， 分别是 与 的中点，知 且 ，即 ，
由 得 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
20．（2023•漳州模拟）已知双曲线 的左焦点为 ，直线 与双曲线
交于 ， 两点，且 ， ，则当 取得最小值时，双曲线 的离心率为
A．3 B． C．2 D．
【分析】根据对称关系得 ， ，利用双曲线定义和向量数量积的定义可构造方程求得
，由此化简 ，利用基本不等式取等条件可知 ，由双曲线离心率 求解，即可得
出答案．
【解答】解：不妨设 位于第一象限，双曲线 的右焦点为 ，连接 ， ，如图所示：
为 ， 中点，
四边形 为平行四边形， ， ，
设 ， ，则 ，又 ，即 ，解得 ，
在△ 中， ，
，
（当且仅当 时取等号），
当 取得最小值时，双曲线 的离心率 ，
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（2023•厦门模拟）已知双曲线 的焦距为4，则其离心率为
A． B． C．2 D．4
【分析】利用双曲线的焦距的定义及双曲线的标准方程的特点，结合双曲线的离心率公式，即可得出答案．
【解答】解：由双曲线 的焦距为4，可得 ， ，
，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
22．（2023•南平模拟）已知双曲线 的左顶点为 ，若 上存在点 ，使得 与
关于直线 对称，则 的离心率为
A． B． C．2 D．3
【分析】由点与点关于直线的对称问题，结合双曲线离心率的求法求解即可．【解答】解：已知双曲线 的左顶点为 ，
则 ，
设 与点 关于直线 对称，
则 ，
解得 ，
则 ，
则 ，
即 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了对称问题，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题．
23．（2023•泉州模拟）已知双曲线 的焦点分别为 ，虚轴为 ．若四边形 的一个内角为
，则 的离心率等于
A． B． C． D．3
【分析】根据双曲线的性质分析可得 ，结合 ， ， 之间的关系分析运算即可去．
【解答】解：因为 ， ， ，
由对称性可得：四边形 为菱形，且 ，所以 ，即 ，
可得 ，整理得 ，
即 的离心率 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质，属于中档题．
24．（2023•漳州模拟）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，且 到
的一条渐近线的距离为 ， 为坐标原点，点 ， 为 右支上的一点，则
A．
B．过点 且斜率为1的直线与 有两个不同的交点
C．
D．当 ， ， ， 四点共圆时，
【分析】选项 利用双曲线的定义及性质判断即可，选项 利用直线与双曲线方程联立判断即可，选项
利用双曲线的定义及中线长的公式即可解决，选项 利用圆与双曲线的关系及性质即可．
【解答】解：对于选项 ，半焦距为 ，一条渐近线为： ，即 ，
则点 到 的一条渐近线的距离 ，
所以 ，又 ，所以 ，故选项 正确；
对于选项 ，双曲线的渐近线的斜率为1，所以过点 且斜率为1的直线为 ，
联立 ，解得 ，
所以过点 且斜率为1的直线与 只有一个交点，故选项 错误；对于选项 ，因为 ，
所以 ，
因为 为 的中点， 为 右支上的一点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
则有 ，
即 ，故选项 正确；
对于选项 ，当 ， ， ， 四点共圆时，由双曲线的性质可知，所在的圆方程为 ，
联立 ，解得 或 ，
设 ，
因为 ，，所以 ，
当点 的坐标为 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，
同理，当点 的坐标为 时， ，
综上所述，当 ， ， ， 四点共圆时， ，故 正确，
故选： ．【点评】本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，圆的性质，考查运算求解能力，属于中
档题．
25．（2023•三明三模）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即任意凸四
边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时
等号成立．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线上关于原点对称的两点
， 满足 ，若 ，则双曲线的离心率为 ．
【分析】由题意可得四边形四边形 为平行四边形，根据 及
托勒密定理可得四边形 为矩形．利用双曲线的定义、直角三角形的边角关系即可得出结论．
【解答】解：由双曲线 的左、右焦点分别为 ， 及双曲线上关于原点对称的两点
， ，
可得四边形四边形 为平行四边形，
又 及托勒密定理，可得四边形 为矩形．
设 ， ，
在 △ 中， ，
则 ， ，
， ， ，
，
解得 ．
双曲线的离心率为 ．故答案为： ．
【点评】本题考查了双曲线的定义及性质、直角三角形的边角关系、平行四边形与矩形的判定、托勒密定
理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
26．（2023•泉州模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 的渐近线与
圆 在第一象限的交点为 ，线段 与 交于点 ， 为坐标原点．若 ，则 的离
心率为 ．
【分析】由题意画出图形，求出 的坐标，再由中点坐标公式求得 的坐标，代入双曲线方程，整理即
可得答案．
【解答】解：如图，
联立 ，解得 ，
为 的中点，且 ， 为 的中点，
则 ， ，代入 ，得 ，
整理得： ，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想，是中档题．
27．（2023•福州模拟）已知 是双曲线 的左焦点， 是 的右顶点，过点 作 轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点 ，连接 交另一条渐近线于点 ．若 ，则双曲线 的离心率
为 2 ．
【分析】由题意得右焦点 ，求出渐近线 的方程，渐近线 的方程，由垂直的条件可得 的
坐标，求解 的方程，代入渐近线方程，可得 的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，
解方程可得离心率．
【解答】解：由题意得右焦点 ，
设一渐近线 的方程为 ，
则另一渐近线 的方程为 ，
过点 作 轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点 ，不妨 在第一象限，可得 的横坐标为 ， ，
由 的方程为 ，联立方程 ，
可得 的横坐标为 ．
由 ，则可得 ，
化为 ，
可得 ，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用：求渐近线方程，同时考查向量
的共线的坐标表示，求得点 、 的横坐标是解题的关键．28．（2023•厦门模拟）不与 轴重合的直线 过点 ， ，双曲线 上
存在两点 、 关于 对称， 中点 的横坐标为 ．若 ，则 的离心率为 2 ．
【分析】由点差法得 ，结合 得 ，代入斜率公式化简并利用
可求得离心率．
【解答】解：设 ， ， ， ， ， ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
因为 是 垂直平分线，有 ，所以 ，
即 ，化简得 ，故 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了点差法的应用，考查了计算的能力，属于中档题．
29．（2023•泉州模拟）在平面直角坐标系 中，已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，
为 的左、右顶点， 为 左支上一点，若 平分 ，直线 与 的斜率分别为 ， ，且
，则 的离心率等于 2 ．
【分析】根据角平分线和三角形面积的关系得出 ，再根据斜率的关系得出，又由 ，从而可求出 ，最后根据 即可求得离心率．
【解答】解：如图所示： ， ，
易知： ，
而 ，
又 ，所以有 ，
过点 作 轴，垂足为 ，
因为 ，所以 和 关于 对称，
即有 ， ，
又因为 ，解得： ， ， ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ， ，
所以在 中， ，即 ，
化简得： ，即离心率 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．五．直线与双曲线的综合（共1小题）
30．（2023•龙岩模拟）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，
为坐标原点．直线 交双曲线 的右支于 ， 两点（不同于右顶点），且与双曲线 的两条渐近线分
别交于 ， 两点，则
A． 为定值
B．
C．点 到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．存在直线 使
【分析】双曲线 的渐近线为 ，
对于 ，其中 为定值， ， 随着 的变化而变化，即可判断
是否正确；
对于 ：设直线 的方程为 ，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得 ，联立直
线与渐近线方程解得 ， ，则 ，则 与 中点相同，即可判断 是否正确；
对 于 ： 设 ， ， 则 ， 到 两 渐 近 线 距 离
，即可判断 是否正确；
对于 ：由图知 ，即可判断 是否正确．
【解答】解：双曲线 的渐近线为 ，对于 ，其中 为定值， ， 随着 的变化而变化，
所以 不是定值，故 错误；
对于 ：设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
所以 ，
联立 ，得 ，
联立 ，得 ，
所以 ，
所以 与 中点相同，
所以 ，故 正确；
对于 ：设 ， ，则 ，
又双曲线的渐近线方程为 ，
所以 到两渐近线距离 ，
所以点 到两条渐近线的距离之和的最小值为 ，故 正确；
对于 ：由图知 ，
所以 恒成立，所以不存在 使得 ，故 错误，
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
三、类题狂刷（五年区模、校模）：
一．椭圆的性质（共9小题）
1．（2023•思明区校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆
上且位于第一象限，满足 ， 的平分线与 相交于点 ，若 ，则椭圆的离
心率为
A． B． C． D．
【分析】首先设 ， ，再利用椭圆定义，角平分线定理，以及勾股定理，分布列式，化
简为关于 ， 的齐次式子，即可求解离心率．【解答】解：设 ， ，由 得 ， ，
因为 ，所以 ，
在 △ 中，由勾股定理，得 ①，
由椭圆的定义得 ②，
因为 平分 ，所以 ，即 ③，
联立①②③并化简得 ，
则 ，得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
2．（2023•鼓楼区校级模拟）已知椭圆 ， 为其左焦点，直线 与椭圆
交于点 ， ，且 ．若 ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
【分析】由椭圆的性质，结合椭圆的定义及椭圆离心率的求法求解即可．
【解答】解：已知椭圆 ， 为其左焦点，直线 与椭圆 交于点 ，
，且 ，
设椭圆的右焦点为 ，
则四边形 为平行四边形，
又 ，
则 ，
又 ，则 ， ，
又 ，
由余弦定理 可得： ，
即 ．
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义及椭圆离心率的求法，属中档题．
3．（2023•厦门模拟）比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆
锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也
适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点 ，若平行
光与桌面夹角为 ，球的半径为 ，则点 到球与桌面切点距离的最大值为A． B． C． D．
【分析】根据题意，利用平行投影作出图象求解．
【解答】解：由题意，如图所示，
则 ， ， ，
所以 到球与桌面切点距离的最大值为：
，
，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（2023•福州模拟）已知椭圆 ，且 ， ， 依次成公比为2的等比数列，则
A． 的长轴长为2
B． 的焦距为
C． 的离心率为
D． 与圆 有2个公共点
【分析】先由 ， ， 依次成公比为2的等比数列求出椭圆方程，再逐一判断各选项．
【解答】解：因为 ， ， 依次成公比为2的等比数列，
所以 ， ，即 ， ，所以 的方程可化为 ，
则 ， ，即 ， ，
对于 ，所以 的长轴长为4，故 错误；
对于 ，焦距为 ，故 正确；
对于 ， 的离心率为 ，故 正确；
对于 ，联立 ，
解得 ， ，
所以 与圆 只有1个公共点 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．
5．（2023•福鼎市校级一模）如图， ， 分别是椭圆的左、右焦点，点 是以 为直径的圆与椭圆在
第一象限内的一个交点，延长 与椭圆交于点 ，若 ，则直线 的斜率为 ．
【分析】连接 ，由以 为直径的圆可知 ，设 ，由题意及椭圆的定义可知
， ，在直角三角形 中，勾股定理可得 ，
的关系，进而在三角形 中求出 的正切值，即求出直线 的斜率．【解答】解：连接 ，
设 ，则 ， ，
由椭圆的定义可得 ，
在 △ 中， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以直线 的斜率为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆的性质及直角三角形的性质，直线斜率的求法，属于中档题．
6．（2023•宁德模拟）已知椭圆 的一个焦点为 ，短轴 的长为 为 上异于 ， 的两点．
设 ， ，且 ，则 的周长的最大值为 8 ．
【分析】根据条件求出椭圆方程，再运用几何关系求出最大值．
【解答】解： ，因为 ，所以 ，
即 ， ，
设 ， ，由题意： ，则 ，所以 ，即 ，即椭圆 的标准方程为 ，
；
设左焦点为 ，右焦点为 ，如右图：则 的周长 ，
因为 ，当 ， ， 三点共线时等号成立，所以 ，
的最大值为8；
故答案为：8．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（2023•蕉城区校级模拟）已知椭圆 的右焦点是 ，直线 交椭圆于 ，
两点，直线 与椭圆的另一个交点为 ，若 ，则椭圆的离心率为 ．
【分析】设椭圆的左焦点为 ，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形 为矩形，再利用勾股定
理方程组求解即可．
【解答】解：设椭圆的左焦点为 ，连接 ， ， ， ，由直线 交椭圆于 ， 两点，及 ，
结合椭圆的对称性可得 ，
所以 ， ， 均为直角三角形，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ， ， ，
所以在直角 中 ，即 ①，
在直角 中 ，即 ②，
由②解得 ，
将 代入①得 ，即 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，考查了运算能力，属于中档题．
8．（2023•鲤城区校级模拟）法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他
发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的
蒙 日 圆 ． 已 知 椭 圆 ， 则 的 蒙 日 圆 的 方 程 为 ； 在 圆
上总存在点 ，使得过点 能作椭圆 的两条相互垂直的切线，则 的取值范
围是 ．【分析】由题意，根据蒙日圆的定义即可得到椭圆 的蒙日圆 的方程，设点 ，过点 与椭圆相
切 的 直 线 方 程 为 ， 将 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 利 用 根 的 判 别 式 可 得
，设 ， 是方程 的两个根，根据 ，得
到点 在圆 上，再根据圆与圆的位置关系，列出等式求解即可．
【解答】解：已知椭圆 ，
所以点 ， 一定在蒙日圆 上，
所以蒙日圆 的半径 ，
则蒙日圆 的方程为 ；
（2）不妨设点 ，
设过点 与椭圆相切的直线方程为 ，
即 ，
联立 ，消去 并整理得
，
此时△ ，
整理得 ，
不妨设 ， 是方程 的两个根，
因为两切线相互垂直，所以 ，
即 ，
所以 ，
即点 在圆 上，其圆心为 ，半径为 ，
又点 在圆 上，
该圆的圆心为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
则 的取值范围为 ， ．
故答案为： ； ， ．
【点评】本题考查椭圆的性质以及新定义的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
9．（2023•泉州模拟）如图，已知有公共焦点 、 的椭圆 和双曲线 相交于 、 、 、
四个点，且满足 ，直线 与 轴交于点 ，直线 与双曲线 交于点 ，
记直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，则椭圆 的离心率为 ．【分析】设椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ，联立方程
组求 ， ， ， 的坐标，再求点 的坐标，由条件列方程求椭圆 的离心率．
【解答】解：设椭圆 的方程为 ，
双曲线 的方程为 ，
因为椭圆 和双曲线 有公共焦点 、 ，
所以 ，
因为 ，
联立 ，可得 ，
所以 ，
所以点 ， ， ， 的坐标分别为 ， ， ， ，
所以直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，
所以点 的坐标为 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，消 得， ，
设点 的坐标为 ， ，
则 ，
所以 ， ，
所以直线 的斜率 ，
又 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为点 ， ，
所以 ，
故 ，则 ，
所以 ．故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质，考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档
题．
二．抛物线的性质（共17小题）
10．（2023•福鼎市校级一模）已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，点 在第
一象限且在抛物线 上，则当 取最大值时，直线 方程为
A． B． C． D．
【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离转化为到准线的距离，由距离之比可得角的余弦值，由题意可
得当直线 与抛物线相切时 取得最大值，设切线的方程，与抛物线联立由判别式等于 0可得参数
的值，进而求出切线方程．
【解答】解：过 作 与准线垂直，垂足为 ，则 ，
则当 取到最大值时， 必须取到最大值，此时 与抛物线相切；
易知此时直线 的斜率不为0，抛物线 的焦点 的坐标为 ，可得 ，
设切线方程为： ，则 ，整理可得 ，则△ ，解得 ，
所以切线方程为： ，即 或 ，点 在第一象限， 舍去．
故选： ．【点评】本题考查抛物线的性质，及切线的应用，属中档题．
11．（2023•思明区校级模拟）已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 交抛物线 于 ， 两点，
若 ，则
A．1 B． C．3 D．4
【分析】由抛物线的定义求得 点的横坐标，代入抛物线得 点坐标，从而求得直线 的方程，联立抛
物线与直线即可得 点的横坐标，求得 ，从而可得 的值．
【解答】解：如图，过 作 准线于 ，过 作 准线于 ，
由抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由抛物线的定义可得 ，
所以 ，代入抛物线方程得 ，若 ，直线 的斜率为 ，
则直线 方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，
则 ，所以 ，
则 ；
若 ，直线 的斜率为 ，
则直线 方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，
则 ，所以 ，
则 ；
综上， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合运用，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
12．（2023•思明区校级四模）已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上一点， 为 靠近点 的
三等分点，若 ，则 点的纵坐标为
A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据 为 靠近点 的三等分点，结合抛物线的定义进行求解即可．
【解答】解：过点 ， 分别作准线的垂线，垂足分别为 （如图），
设准线 与纵轴的交点为 ，
由 为 靠近点 的三等分点，易知 ，可得 ，
又准线方程为 ，故 点的纵坐标为 ．
故 点的纵坐标为6．
故选： ．
【点评】本题主要考查抛物线方程及其应用，抛物线的性质等知识，属于中档题．
13．（2023•南平模拟）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线 于 ， ， ，
两点，设 ， ，若 ， ， 成等比数列，则
A． B．3 C．3或 D．
【分析】由抛物线的定义及等比中项的性质计算可得结果．
【解答】解：由 ， ， 成等比数列，得 ，
由抛物线的定义知， ， ，所以 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
14．（2023•福建模拟）过抛物线 的焦点作直线 ， 交 于 ， 两点，若线段 中点的纵
坐标为2，则
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】设直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，利用韦达定理求出 值，再利
用弦长公式，即可求解．
【解答】解： 抛物线方程为 ，
抛物线的焦点坐标为 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
则 ， ，
， ，
则 ，
故选： ．【点评】本题考查抛物线的几何性质，方程思想，设而不求法与韦达定理的应用，弦长公式的应用，属中
档题．
15．（2022•城厢区校级模拟）设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与 相交于 ， 两
点，与 的准线相交于点 ，点 在线段 上， ，则 与 的面积之比
A． B． C． D．
【分析】利用三角形面积公式，可把 与 的面积之比转化为 长与 长的比，再根据抛物线
的焦半径公式转化为 ， 到准线的距离之比，借助 求出 点坐标，得到 方程，代入抛物线
方程，解出 点坐标，就可求出 与 的长度之比，得答案．
【解答】解： 抛物线方程为 ，
焦点 的坐标为 ，准线方程为 ，
如图，设 ， ， ， ，
过 ， 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ， ，
则 ， ，
把 代入抛物线 ，得， ，
直线 过点 与 ，
方程为 ，代入抛物线方程，解得， ，
，
在 中， ，
．故选： ．
【点评】本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力，是中档题．
16．（2022•莆田模拟）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线
的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线
，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线 上的点 反射后，与抛物
线 交于点 ，若 的面积是10，则
A． B．1 C． D．2
【分析】根据 轴知 点纵坐标为 ，代入抛物线方程可求 点横坐标，利用 和 求出直线
的方程，代入抛物线方程，根据抛物线焦点弦长公式可求 长度，利用点到直线距离公式可求 到直线
的距离 ，根据 ，即可求出 ．
【解答】解：由题知抛物线焦点为 轴，
将 代入 ，得 ，则 为 ，
由题可知 、 、 三点共线， 方程为 ，即 ，
代入抛物线方程消去 得， ，设方程两根为 、 ，则 ，则 ，
又 到 的距离 ，
由 ，得 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
17．（2022•芗城区校级模拟）在抛物线 上有三点 ， ， ， 为其焦点，且 ，
则
A．6 B．8 C．9 D．12
【分析】设点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ， ， ， ．由已知可求 ，从
而可求 ．
【解答】解：设点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ， ， ， ． ，
， ， ， ， ， ．
又 ，故 ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属中档题．
18．（2022•龙岩模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上的点，过 作 的垂线，
垂足为 ，若 ，则
A． B． C． D．
【分析】先由 求得 ，再结合抛物线定义即可求出答案．【解答】解：如图，设1与 轴交于点 ，
则由抛物线可知 ，又 ，故 ， ，
又由抛物线定义 ，
故 ，则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线的定义，属于基础题．
19．（2023•宁德模拟）已知抛物线 ，过焦点 的直线 与 交于 ， ， ， 两点，
， 与 关于原点对称，直线 与直线 的倾斜角分别是 与 ，则
A． B． C． D．
【分析】作 轴于 ，做 轴于 ，设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立求出
， ，求出 ， 可判断 ；求出 可判断 ；求出 利用基本不等式得出
可判断 ；求出 、 ，作差 与0比较大小可判断 ．
【解答】解：作 轴于 ，作 轴于 ，所以 ， ， ， ，抛物线 的焦点 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以直线 的斜率存在设为 ，
可得直线 的方程为 ，与抛物线方程联立 ，
整理得 ，所以 ， ， ，
对于 ， ， ，所以 ，故 错误；
对于 ，因为 ， ，
所以 ，
所以直线 与 的倾斜角互补，即 ，故 正确；
对于 ，因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，故 正确；
对于 ，因为 ，所以 ，
， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，抛物线与直线的位置关系，化归转化思想，属中档题．
20．（2023•福州模拟）已知抛物线 的准线方程为 ，圆 ，直线
与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点 ， 在第一象限）， 为坐标原点，则下列
说法中正确的是
A． B．
C．若 ，则 D． ， 为定值
【分析】对于 ，由抛物线的准线方程可求出 的值进行判断，对于 ，将直线方程与抛物线方程联立，
消元后利用根与系数的关系，再求出 ，由于直线过圆心，则由圆的性质可得 ，从而可
进行判断，对于 ，利用弦长公式求出 ，而 ，然后由题意列方程可求出 的值，对于 ，由
题意可得 ，再结合抛物线的性质化简计算即可．
【解答】解：对于 ，因为抛物线 的准线方程为 ，所以 ，得 ，所以 错误；
对于 ，设 ， ， ， ， ， ， ， ，
由 ，得 ，
则 ， ，
所以
，
因为直线 恒过圆心 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 正确；
对于 ，因为直线过抛物线的焦点 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，所以 错误；
对于 ，因为直线过抛物线的焦点 ，
所以 ，
所以 ， 为定值，所以 正确．故选： ．
【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（2023•福建模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上， 垂直 于点 ，直线
与 相交于 、 两点．若 为 的三等分点，则
A． B． C． D．
【分析】过点 作 于点 ，设准线 与 轴交于点 ，由抛物线的定义可得 ，
可判断 ；求出 ， 的长，由正弦定理可判断 ；求出 ， 可判断 ；求出 ， 可判断
．
【解答】解：过点 作 于点 ，设准线与 轴交于点 ，
由抛物线的定义知： ，
因为 为 的三等分点，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 正确；
对于 ，在 中，由抛物线的定义知： ， ，所以 为等边三角形，
又因为 ，解得： ，
同理可得： ，
所以 ，因为 为等边三角形，所以 ， 为 的三等分点，
所以 中，由余弦定理可得： ，
则 ，
则 ，所以在 中，由正弦定理可得： ，
代入可得 ，故 不正确；
对于 ， ， ，所以 ，故 正确；
对于 ，因为 ， ， ，
所以 中， ，由余弦定理可得：
，
则 ，所以 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线的定义和抛物线的性质，属于中档题．
22．（2023•泉州模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点， 为
的中点，则下列说法正确的是
A． 的最小值为4 B． 的最大值为4
C．当 时， D．当 时，
【分析】设直线 的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得 的
值，可判断 的真假；根据条件得到 的表达式，由参数的范围，可得 的取值范围，可判断 的真假；由 ，可得 为四等分点，由向量的关系，可得 ， 的纵坐标的关系，与
两根之和及两根之积联立，可得 的大小，可判断 的真假；由 的中点 的坐标，可得 的表
达式，由题意可得参数的值，进而求出 的大小，可判断 的真假．
【解答】解：由题意，可得直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，整理可得 ，
显然△ ，且 ，①
，②
所 以 ， 所 以 的 中 点 ，
中，由抛物线的性质，可得弦长 ，
所以 的最小值为4，所以 正确；
中，，所以 不正确；
中，因为 为 的中点，由 ，可得 为 的四等分点，
即 ，所以 ，③
由①③，可得 ， ，
代入②中，可得 ，解得 ，
所以 ，所以 不正确；
中，因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用及抛物线的性质，属于中档题．
23．（2023•鼓楼区校级模拟）已知抛物线 与过点 的直线相交于 ， 两点，且
为坐标原点），则三角形 的面积为 ．
【分析】由抛物线的性质，结合直线的斜率公式及三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：已知抛物线 与过点 的直线相交于 ， 两点，且 为坐标原点），
不妨设点 在第一象限，且 ， ，
则 ，
即 ，
即 ，
即 ，则直线 的斜率为 ，
即直线 的方程为 ，
联立 ，
消 可得 ，
则 ， ，
则三角形 的面积为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线的斜率公式及三角形的面积公式，属基础题．
24．（2023•晋安区校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为曲线 上一点，
若 ，则点 的坐标为 ．
【分析】由抛物线的定义可求得 ，又因为点 ， 为曲线 上一点，代入抛物线方程即可
得出答案．
【解答】解：由抛物线 可得： ，由抛物线的定义可得： ，则 ，
又因为点 ， 为曲线 上一点，所以 ，所以 ，所以点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题．
25．（2023•仙游县校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、 是 上异于点 的两
点 为坐标原点），若 ，过 的中点 作 于点 ，则 的最小值为 1 ．【分析】根据抛物线的几何性质，基本不等式，即可求解．
【解答】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设 ， ，所以 ，
因为
，
所以 ，则 的最小值为1，当且仅当 时，等号成立．
故答案为：1．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
26．（2023•鼓楼区校级模拟）已知抛物线 与圆 ，过抛物线的焦点 作斜率为 的
直线 与抛物线交于 ， 两点，与圆交于 ， 两点 ， 在 轴的同一侧），若 ，则 的
值是 8 ．
【分析】根据给定条件，写出直线 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并结合圆的性质及向量等
式求解作答．
【解答】解：抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，于是直线 ，显然 ，由 消去 得： ，设 ， ， ， ，
则 ，又圆 的圆心为 ，半径为1，
由 ，得 ，即 ，
于是 ，整理得 ，又 ，解得 ，
则 ，解得 ，
所以 的值是8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
三．直线与抛物线的综合（共2小题）
27．（2022•漳州模拟）若直线 与抛物线 相切于点 ， 与 轴交于点 ， 为
的焦点，则
A． B． C． D．
【分析】求出焦点坐标，求解切点坐标，推出切线方程，求解 的坐标，然后求解 ．
【解答】解：抛物线 的焦点坐标 ，
直线 代入抛物线 ，化简可得： ，因为直线与抛物线相切，所以△ ，
解得 ，此时 ，则 ，所以 ， ，
直线 ，解得 ， ， ，
是等腰三角形，所以 ，
所以 ．
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
28．（2023•龙岩模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，点
在抛物线 上，则下列说法正确的是
A． 的最小值为1
B． 的周长的最小值为
C．若 ，则 的最小值为32
D．若过 ， 分别作抛物线 的切线，两切线相交于点 ，则点 在抛物线 的准线上
【分析】利用焦半径公式求出焦点弦，然后求出最小值判断 ，求出三角形周长的表达式，然后利用单调
性求出最小值判断 ，利用数量积的几何意义求得 ，进一步求出最值判断 ，待定系数
法求得两切线方程，求出点 的坐标，即可判断 ．
【解答】解： 抛物线的焦点为 ， ，
即抛物线 ，
由题意，设直线 方程为： ，设 ， ， ， ， ， ，对于 ：由抛物线定义知： ， ， ，故 正确；
对于 ：联立 ，消去 整理得 ，则 ， ，
的周长
，
令 ，则 ，
易知函数 在 ， 上单调递增，函数 的对称轴为 ，
故其在 ， 上单调递增， 函数 在 ， 上单调递增，
从而 在 ， 上单调递增，
当 即 时， 有最小值 ，
即直线 为 ， 的周长有最小值为 ，故 正确；
对于 ， 点 在 的垂直平分线上，记 的中点为 ，则 ，
，
由选项 知， ，
当 时， 取到最小值 ，
则 的最小值为 ，故 错误；
对于 ：联立 ，得 ，则 ， ，设过点 的切线方程为 ，
联立 ，整理得 ，
由 ，可得 ，
则过点 的切线方程分别可化为： ，
同理可得过点 的切线斜率为 ，过点 的切线方程为： ，
联立方程 ，解得 ，
即 ，
两条切线的交点 在直线 上，不在准线 上，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于难题．
四．双曲线的性质（共16小题）
29．（2023•思明区校级二模）已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为A． B． C． D．2
【分析】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长 ，焦距 ．由椭圆及双曲线定义用 ， 表示出
， ，在△ 中根据余弦定理可得到 ， 与 的关系，转化为离心率，再由基本不等式得
结论．
【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ，
根据椭圆及双曲线的定义，有：
， ，
， ，
设 ， ，
在△ 中由余弦定理得，
，
化简得： ，
即 ，
又 ，
．
即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 ．
故选： ．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的
关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，是中档题．
30．（2015•平和县校级四模）设 、 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲
线的左顶点，以 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 ， 两点，且满足 ，则该双曲线
的离心率为
A． B． C． D．
【分析】先求出 ， 的坐标，再利用余弦定理，求出 ， 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．
【解答】解：不妨设圆与 相交且点 的坐标为 ， ，则 点的坐标为 ， ，
联立 ， 得 ， ，
又 且 ，所以由余弦定理得 ，
化简得 ，求得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出 ， 的关系．
31．（2023•鼓楼区校级模拟）若双曲线 的一条渐近线被圆 所截
得的弦长为2，则双曲线 的离心率为A． B． C．2 D．
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线 的一条渐近线不妨为： ，
圆 即为 的圆心 ，半径为 ，
双曲线的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为： ，
解得： ，
由 ，
可得 ，即 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力，
是中档题．
32．（2022•上杭县校级模拟）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，以 为圆
心的圆恰好与双曲线 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段 的中点，则双曲线 的离心率是
A． B． C． D．
【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段 的中点得到 ，即可求出离心率．
【解答】解：由题意知：渐近线方程为 ，
由焦点 ，以 为圆心的圆恰好与双曲线 的两渐近线相切，
则圆的半径 等于圆心到切线的距离，即 ，
又该圆过线段 的中点，故 ，
所以离心率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的离心率，属于中档题．
33．（2022•福建模拟）已知双曲线 的焦距为 ，且实轴长为2，则双曲线
的渐近线方程为
A． B． C． D．
【分析】由双曲线的焦距和实轴长可得 ， 的值，再由 ， ， 之间的关系可得 的值，进而求出焦点
在 轴的双曲线的渐近线的方程．
【解答】解：由焦距 可知 ，再由实轴长2可知 ，所以 ，即 ，
所以焦点在 轴上的双曲线的渐近线的方程为 ，
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的性质的简单应用，属于基础题．
34．（2021•龙岩模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，点 在
的一条渐近线上，若 ，则△ 的面积为
A． B． C． D．
【分析】由双曲线的方程可得 ， ， ，渐近线方程，求得 的坐标，由三角形的面积公式，计算可得所求值．
【解答】解：由双曲线的方程 ，可得 ， ， ，
可得渐近线方程为 ，
设 在渐近线 上，
因为 ，所以 的横坐标为 ，即有 ， ，
所以△ 的面积为 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及三角形的面积，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
35．（2022•莆田模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则
A．2 B． C． D．4
【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出方程求解即可．
【解答】解：双曲线 的一条渐近线方程为 ，
可得 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
36．（2022•鼓楼区校级三模）数学赋予建筑美感与活力，许多建筑融入数学元素，更具神韵．图（1）是
单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成的立体图形）型建筑．图（2）是其最细处的部分截面图象，上、
下底面与地面平行．现测得下底直径 米，上底直径 米， 与 间的距离为80米，
与上下底面等距离的 点处的直径等于 ，则该建筑最细处的直径为A．10 B．20 C． D．
【分析】利用题中的条件，建立直角坐标系，可以求出双曲线的方程，进而得解．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知， ，
设双曲线方程为 ，则 ，解得 ， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的定义，考查运算求解能力，属于中档题．
37．（2022•龙岩模拟）已知双曲线 的右顶点、右顶点分别为 ， ，过点 的
直线 与 的一条渐近线交于点 ，直线 与 的一个交点为 ，若 ，且 ，则 的值为
A．2 B． C． D．
【分析】由已知得 ，设 ，由向量等式可得 ，不妨设 在第一象限，则 ，再由
已知求得 点坐标，代入双曲线方程可得关于 的方程，求解得答案．
【解答】解：由已知得 ，设 ，
由 ，得 ，
垂直于 轴，即 ，不妨设 在第一象限，则 ，
设 ， ，由 ，得 ，
， ， ，则 ，即 ，
， 在双曲线上， ，
整理得： ，即 ，
解得 ， ， ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查数量积的坐标运算，考查运算求解能力，是中档题．
38．（2022•城厢区校级模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，点
在双曲线 的右支上， 为双曲线 的半焦距），直线 与双曲线 交于另一个点 ，
，则双曲线 的离心率为A．3 B．2 C． D．
【分析】由题意首先求得 ， 的值，然后结合离心率的定义求解双曲线的离心率即可．
【解答】解： ， ，
， ，
令 ，则 ， ．
由双曲线的定义可得 ，
，
， ．
，
，
， ，
，
， ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
39．（2023•鼓楼区校级模拟）公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数
，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的左右顶点分别为 ， ，虚轴的上端点为 ，左焦点为 ，离心率为 ，则
A．
B．
C．顶点到渐近线的距离为
D．△ 的外接圆的面积为
【分析】由题意可求得 ， ，再逐项计算可判断每个选项的正确性．
【解答】解：由题意可是 ，解得 ， ，
，故 正确；
， ， ， ， ，
，故 正确；
顶点到渐近线的距离 ，故 错误；
△ 为直角三角形，且 ， ，
△ 的外接圆的面积 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
40．（2023•漳州模拟）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，且 到
的一条渐近线的距离为 ， 为坐标原点，点 ， 为 右支上的一点，则
A．
B．过点 且斜率为1的直线与 有两个不同的交点C．
D．当 ， ， ， 四点共圆时，
【分析】选项 利用双曲线的定义及性质判断即可，选项 利用直线与双曲线方程联立判断即可，选项
利用双曲线的定义及中线长的公式即可解决，选项 利用圆与双曲线的关系及性质即可．
【解答】解：对于选项 ，半焦距为 ，一条渐近线为： ，即 ，
则点 到 的一条渐近线的距离 ，
所以 ，又 ，所以 ，故选项 正确；
对于选项 ，双曲线的渐近线的斜率为1，所以过点 且斜率为1的直线为 ，
联立 ，解得 ，
所以过点 且斜率为1的直线与 只有一个交点，故选项 错误；
对于选项 ，因为 ，
所以 ，
因为 为 的中点， 为 右支上的一点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
则有 ，
即 ，故选项 正确；对于选项 ，当 ， ， ， 四点共圆时，由双曲线的性质可知，所在的圆方程为 ，
联立 ，解得 或 ，
设 ，
因为 ，，所以 ，
当点 的坐标为 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，
同理，当点 的坐标为 时， ，
综上所述，当 ， ， ， 四点共圆时， ，故 正确，
故选： ．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，圆的性质，考查运算求解能力，属于中
档题．
41．（2023•泉州模拟）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光
学性质．例如，点 为双曲线 ， 为焦点）上一点，点 处的切线平分 已知双曲线
， 为坐标原点， 是点 处的切线，过左焦点 作 的垂线，垂足为 ，则
2 ．
【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义求解即可．
【解答】解：延长 ， 交于点 ，
由题意可得△ ，即 ，且 为 的中点，
由双曲线的定义可得 ，
又 为 的中点，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属基础题．
42 ． （ 2023• 福 建 模 拟 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 为 坐 标 原 点 ， 记 为 双 曲 线
的左焦点，以 为直径的圆与 的一条渐近线交于 ， 两点，且线段 与
交于点 ，若 ，则 的离心率的取值范围为 ．
【分析】利用双曲线的焦点到渐近线的距离，求解 ， ，利用余弦定理，结合直角
三角形，通过 的范围，推出 ， 的范围，然后求解离心率的范围．
【解答】解： 为双曲线 的左焦点，
以 为直径的圆与 的一条渐近线交于 ， 两点，且线段 与 交于点 ，
可得 ， ， ，记双曲线 的右焦点为 ， ，
在△ 中， ，
△ 为直角三角形，
， ，化简得 ，
线段 与 交于点 ，且 ， ，即 ，
，即 ，
， ，
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的范围的求法，是中档题．
43．（2023•石狮市校级模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，直线
过点 交双曲线右支于 ， 两点，若 ， ，则双曲线 的离心率为 ．
【分析】设 ，则 ， ，推出 ，由双曲线的定义，通过判断 是
等腰三角形，分别利用两次余弦定理求得 与 之间的等量关系，进而求解离心率即可．
【解答】解：设 ，则 ， ， ，
由双曲线的定义，得 且 ，
， ，
中 ，
△ 中 ，，
得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
44．（2023•晋江市校级模拟）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，点 是双曲
线 上的任意一点（不是顶点），过 作 的角平分线的垂线，垂足为 ，线段 的延长线交
于点 ， 是坐标原点，若 ，则双曲线 的渐近线方程为 ．
【分析】延长 交 的延长线于 ，因为 是 角平分线， ，可得△ 为等腰
三角形，再由题意可得 ，结合双曲线的定义可得 ， 的关系，得到 ， 的关系，求出双曲线的渐近线的方程．
【解答】解：延长 交 的延长线于 ，因为 是 角平分线， ，如图所示：
所以△ 为等腰三角形， ，
为 的中点， 为 的中点，
所以 是△ 的中位线，所以 ，
若 ，则 ，
即 ，可得 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线的方程为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的性质的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．
五．直线与双曲线的综合（共1小题）
45．（2023•福建模拟）双曲线 的下焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，若过 ，
和点 的圆的圆心在 轴上，则直线 的斜率为A． B． C． D．
【分析】根据题意设出直线 的方程，与曲线方程联立，结合韦达定理求出 的中点坐标和弦长 ，
然后利用垂径定理可得直线 的斜率．
【解答】解：由题意可知： ，设 ， ， ， ， 的中点为 ，
过点 ， ， 的圆的圆心坐标为 ，
则 ，
由题意知：直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为： ，
联立方程组 ，化简整理可得， ，
则 ，△ ，
， ，
故 的中点 的坐标 ，则 ，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以 ，化简整理可得： ①，
则圆心 到直线 的距离 ，
， ， 即，
将①代入可得： ，即 ，
整理可得： ，则 ，
因为 ，
所以 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
六．圆锥曲线的综合（共1小题）
46．（2022•涵江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 与双
曲线 ， 有相同的焦点 ， ， 的渐近线分别交 于 ， 和 ， 四点，
若多边形 为正六边形，则 与 的离心率之和为
A． B．2 C． D．
【分析】由正六边形的几何性质可知 ，进而求出双曲线 的离心率，连接 ，则 ，所以 ，进而求出椭圆 的离心率，相加即可求出结果．
【解答】解： 多边形 为正六边形， ，
，
双曲线 的离心率 ，
连接 ，则 ，
又 ，
，
椭圆 的离心率 ，
与 的离心率之和为 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了椭圆和双曲线的性质，属于中档题．
七．圆与圆锥曲线的综合（共2小题）
47．（2022•涵江区校级模拟）抛物线 的焦点到圆 上点的距离的最大值为
A．6 B．2 C．5 D．8
【分析】由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，
数形结合得答案．
【解答】解：由抛物线 ，得 ，则抛物线的焦点坐标为 ，
由圆 ，得 ，则圆心坐标为 ，半径为1．
如图，由图可知，抛物线 的焦点到圆 上点的距离的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线与圆位置关系的应用，考查抛物线的几何性质，是基础题．
48．（2018•龙岩模拟）已知以圆 的圆心为焦点的抛物线 与圆 在第一象限交于 点，
点是抛物线 上任意一点， 与直线 垂直，垂足为 ，则 的最大值为
A．1 B．2 C． D．8
【分析】求得圆心，可得抛物线 方程，与圆 的交点 ，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求
最大值．
【解答】解：圆 的圆心为焦点 的抛物线方程为 ，
由 ，解得 ，
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
即有 ，
当且仅当 ， ， 在 ， 之间）三点共线，可得最大值1，
故选： ．
【点评】本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得
最值，属于中档题．
