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非对称韦达问题一题多解
【方法概述】
非对称韦达问题：在一些定点、定值、定线问题中，常出现需要证明类似
为定值的情形，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种
式子一般称为“非对称韦达式”．
对策：和积互换；先猜后证等
【典例精析】
已知椭圆
过点
，点
为
的上顶点，且
直线
与直线
互相垂直.
(1)求
的方程；
(2)若不垂直于
轴的直线过
的右焦点
，与
交于
两点（
在
轴上
方），直线
分别与
轴交于
零点，
为原点，求证：
为定值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1 ）
，于是
，解得
，故
；
（2）【法一】和积互换
1
设
，直线
，代入
得
，则
，
直线
，令
得
；
直线
，令
得
；
则
，
而
，故
.
【法二】先猜后证
设
，直线
，代入
得
，则
，
直线
，令
得
；
直线
，令
得
，
则
当
时，直线
与
交于
，此时
，
一般地，要证
，只要证
即证
2
而
，
故
.
【法三】巧用三点共线
设
，直线
，代入
得
，则
，
直线
，令
得
；
直线
，令
得
，
则
由
三点共线可得
，即
又
，则
由
得
，
故
.
【法四】一点控局：以动点C 的坐标作为双参数控制动态过程
设
，直线
，代入
得
，
则
解得
，于是
，
3
直线
，令
得
；
又
，则直线
，令
得
，
于是
.
【变式演练】
已知椭圆
过点
，点
为
的上顶点，且
直线
与直线
互相垂直.
(1)求
的方程；
(2)若不垂直于
轴的直线过
的右焦点
，与
交于
两点（
在
轴上
方），求证：
为定值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
当直线l 斜率不存在时，此时
，
，或
，
因此
或
，
，此时均有
，为定值；
4
当直线l 斜率存在时，设直线
，
设
，
，因此
，
，
联立
，消
得
，
易知△＞0，则
【方法一】和积转换
即
，因此
，
所以
，为定值，得证.
【方法二】配凑半代换
所以
，
即
，为定值，得证.
【方法三】先猜后证
要证
，即证
，也即
，
5
即
，即
，
也即
，也即
，显然成立，
也即恒有
，为定值，得证.
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