压轴12 数列中的创新与融合问题的4 大核心题型
新高考的命题要求为：创新试题形式，加强情境设计，注意联系社会生活实际，增加综合性、开放性、
应用性、探究性试题.这些要求反映在数列试题中，就是出现了数列的新情境、新定义和新性质问题，这些
“三新”问题逐渐成为热点的压轴题.
题型01 数列与其他知识的交汇
1.数列
na
满足
1
π
6
a =
，
π π
,
2 2
na
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，
1
1
tan
cos
n
n
a
a
+ =
，
*
N
nÎ
.
(1)证明：数列
2
tan
na
为等差数列，并求数列
tan
na
的通项公式；
(2)求正整数m ，使得
1
2
1
sin
sin
sin
100
m
a
a
a
×
×
×
=
L
.
2.（2025 湖南长沙模拟）已知函数
2
4
f x
x
=
-
，设曲线
y
f x
=
在点
,
n
n
x
f
x
处的切线与x 轴的交点为
1,0
nx +
*
N
nÎ
，且
1 > 0
x
．
(1)用
nx 表示
1
nx + ；
(2)若
1
3
x =
，记
2
ln
2
n
n
n
x
a
x
+
=
-
，证明数列
na
是等比数列，并求数列
nx
的通项公式．
题型02 数列的新情境问题
3．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3 块充电电池和2 块一次性干电池，当需要使用电池时即从
抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下
充电电池时则停止电池的随机抽取．
技法指导
数列与三角相结合出现的频率较高，一般是根据题干得到数列的递推关系式，结合数列的相关知识
进行求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程中灵活运用数列的性质，准确
应用相关的数列知识.
技法指导
解决数列的新情境问题要首先理解题意，从新情境中抽象出等差数列、等比数列等特殊的数列、转
化为数列的通项、性质或求和问题.
(1)求在第2 次抽取的是干电池的条件下第1 次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2 块干电池用完．记抽取第
1
n + 次时恰好抽到最后一
块干电池的概率为
nP ，求
nP ．
4．（2026·江苏南京·三模）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1,2,3,4,5,6 ）玩游戏，游戏规
则如下：每次由1 人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4 的倍数，则由原来投掷
人继续投掷；若掷出的点数之和不是4 的倍数，则由对方接着投掷．
(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4 的倍数的概率；
(2)规定第一次从小明开始，在游戏的前4 次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量X ，求X 的分布列和均
值；
(3)若第一次从小芳开始，求第n 次由小芳投掷的概率
nP ．
题型03 数列的新定义问题
5.（2025·安徽芜湖·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
3
2
2
n
S
n
n
=
+
．
(1)求数列
na
的通项公式
na ；
(2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布・伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不
等式的一般形式为：若
1
x > - 且n 为正整数时，(1
)
1
n
x
nx
+
³ +
，当且仅当
1
n = 或
0
x =
时等号成立．
（ⅰ）证明：数列
n
na
n
ì
ü
ï
ï
æ
ö
í
ý
ç
÷
è
ø
ï
ï
î
þ
为递增数列；
（ⅱ）已知
*
4
N
n
n
³
Î
时，
1
1
1
2
2
n
n
æ
ö
-
<
ç
÷
+
è
ø
，证明：
1
2
3
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
+¼+
<
+
．
6.（2025·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：
1
2
,
,
,
n
a a
a
L
，定义变换
1T ，
1T 将数列P 变换成数
列
1T P ：
1
2
,
1,
1,
,
1
n
n a
a
a
-
-
-
L
．对于每项均是非负整数的数列
1
2
:
,
,
,
m
Q b b
b
L
，定义
2
2
2
1
2
1
2
( )
2(
2
)
m
m
S Q
b
b
mb
b
b
b
=
+
+
+
+
+
+
+
L
L
，定义变换
2T ，
2T 将数列Q 各项从大到小排列，然后去掉所有为零
的项，得到数列
2T
Q ．
(1)若数列
0P 为2，4，3，7，求
1
0
S T P
的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列
0P ，令
1
2
1
k
k
P
T T P
+ =
，
N
k Î
．
（i）探究
1
0
S T P
与
0
S P 的关系；
技法指导
数列中的新定义问题，主要是指即时定义新概念、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解
决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于更透彻地理解新定义.但是，归根结底这些
问题考查的还是数列的基本概念、性质和运算，根据条件适时转化是解决此类问题的基本思路与原则.
（ii）证明：
1
k
k
S P
S P
+
£
．
题型04 数列的凹凸性
7.（2026·山东枣庄·模拟预测）若数列
na
的各项均为正数，对任意
*
N
nÎ
，有
2
1
2
n
n
n
a
a
a
+
+
³
，则称数列
na
为“对数凹性”数列．
(1)已知数列1，3，2，4 和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；
(2)若函数
2
3
1
2
3
4
( )
f x
b
b x
b x
b x
=
+
+
+
有三个零点，其中
0(
1,2,3,4)
ib
i
>
=
．
证明：数列
1
2
3
4
,
,
,
b b b b 为“对数凹性”数列；
(3)若数列
nc
的各项均为正数，
2
1
c
c
>
，记
nc
的前n 项和为
n
S ，
1
n
n
W
S
n
=
，对任意三个不相等正整数p，
q，r，存在常数t，使得(
)
(
)
(
)
r
p
q
p
q W
q
r W
r
p W
t
-
+
-
+
-
= ．
证明：数列
n
S
为“对数凹性”数列．
8．（2026·浙江金华·三模）若正实数数列
nc
满足
2
*
1
2
n
n
n
c
c c
n
+
+
£
ÎN
，则称
nc
是一个对数凸数列；若实
数列
n
d
满足
1
2
2
n
n
n
d
d
d
+
+
£
+
，则称
n
d
是一个凸数列.已知
na
是一个对数凸数列，
ln
n
n
b
a
=
．
(1)证明：
1 10
5
6
a a
a a
³
；
(2)若
1
2
2024
1
a a
a
×××
= ，证明：
1012
1013
1
a
a
£ ；
(3)若
1
1
b = ，
2024
2024
b
=
，求
10
b 的最大值．
1．（2025·上海松江·二模）已知函数
sin(2
),
0,0
π
y
A
x
A
j
j
=
+
>
<
<
，当
π
6
x =
时函数取得最大值4，记
( )
y
f x
=
.
(1)求函数
( )
y
f x
=
的表达式；
(2)若数列
na
为等差数列，
2
4
π
(0),
6
a
f
a
f æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø ，记
2 n
a
nb =
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
2.（2025·北京平谷·一模）对于数列
1
2
:
,
,
,
n
A a a
a
，若满足
0,1
1,2,3,
,
ia
i
n
Î
=
L
，则称数列A 为“0 1
- 数列”.
定义变换T ，若
1
ia = ，将
ia 变成0，1，若
0
ia =
，将
ia 变成1，0，得到新的“0 1
- 数列”.设
0A 是“0 1
- 数
列”，令
1 ,
1,2,3,
k
k
A
T A
k
-
=
=
L.
技法指导
数列的凹凸性是类比函数的凹凸性得到的，解决此类问题一般要从题目条件中挖掘出一个特殊的数
列(例如等差数列、等比数列)，数列的凹凸性给出的不等关系就可以利用这个特殊数列的运算，结合不
等式放缩加以证明.
(1)若数列
3 :0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0
A
，求数列
2
1
,
A A ；
(2)若数列
0A 共有10 项，则数列
2
A 中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；
(3)若
0A 为0，1，记数列
kA 中连续两项都是0 的数对个数为
,
1,2,3,
kl k =
L .求kl 关于k 的表达式.
3.（2025·浙江温州·模拟）设数列
na
的各项均为不等的正整数，其前n 项和为
n
S ，我们称满足条件“对任意
的
*
,
N
Î
m n
，均有
”
n m
n
m
n
m S
n
m
S
S
+
-
=
+
-
的数列
na
为“好”数列．
(1)试分别判断数列
na
，
nb
是否为“好”数列，其中
2
1
na
n
=
- ，
1
2n
nb
-
=
，
*
N
nÎ
，并给出证明；
(2)已知数列
nc
为“好”数列．
①若
2019
2020
c
=
，求数列
nc
的通项公式；
②若
1c
p
=
，且对任意给定正整数, (
1)
p s s >
，有
1,
,
s
t
c c c 成等比数列，求证：
2
t
s
³
．
4.（2025·河南洛阳·模拟）已知函数
tan
f x
x
ax
=
-
．
(1)当
π
0, 4
x
æ
ù
Îç
ú
è
û 时，
0
f x <
，求实数a 的取值范围．
(2)若
1
a = ，设
f x 的正零点从小到大依次为
1
2
3
,
,
,
a a a ×××．
（ⅰ）证明：
1
π
n
n
a
a
+ -
>
；
（ⅱ）判断数列
1
n
n
a
a
+ -
的单调性，并证明．
附：当
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，sin
tan
x
x
x
<
<
．
5.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员, ,
A B C 进行传球训练，训
练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员, ,
A B C 其中一人，学员接
球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为1
4 ，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递．
(1)若四人进行了4 次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；
(2)设
nP 表示经过n 次传球后篮球在A 手中的概率，求
nP ．
6．（2026·江苏盐城·月考）若数列
na
的各项均为正数，且对任意的相邻三项
1
1
t
t
t
a
a a
-
+
,
,
，都满足
2
1
1
t
t
t
a a
a
-
+ £
，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项
1
1
t
t
t
a
a a
-
+
,
,
，都满足
1
1
2
t
t
t
a
a
a
-
+
+
£
则称该
数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列
nc
是一个“凸数列”，且
e nc
na =
，（其中e 为自然常数，
*
N
nÎ
），证明：数列
na
是一个“对
数性凸数列”；
(2)若关于x 的函数
2
3
1
4
2
3
( )
f x
b
b x
b x
b x
=
+
+
+
有三个零点，其中
0(
1,2,3,4)
ib
i
>
=
．证明：数列
1
2
3
4
,
,
,
b b b b 是
一个“对数性凸数列”；
(3)设正项数列
0
1
,
,
,
n
a a
a
是一个“对数性凸数列”证明：
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
i
j
i
j
i
j
i
j
a
a
a
a
n
n
n
n
-
-
=
=
=
=
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
³
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
-
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
å
å
å
å
．
7．（2026·北京海淀一模）已知数列
na
，如果对任意的
*
nÎN 且
2
n ³
，都有
1
1
2
n
n
n
a
a
a
-
+
+
³
，则称
na
为
凸数列．
(1)直接判断数列
2
2
na
n
n
=
+
和
1
2n
nb
-
= -
是否为凸数列；
(2)若
na
是一个凸数列，证明：当
*
,
,
k m nÎN ，且1
k
m
n
£
<
<
时，有
n
m
m
k
a
a
a
a
n
m
m
k
-
-
³
-
-
；
(3)已知项数为
2
2,
k k
k
³
ÎZ 的数列
nb
是一个凸数列，
2 ,
1,2,3,
,2
n
b
nc
n
k
=
=
L
，且
nc
的所有项的和等于
2k ，求
1
k
k
c
c +
+
的最大值．
8．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列
na
中，记
1
n
n
n
a
a
a
+
=
D
-
，若
na
D
为等差数列，则称
na
为二阶等差数
列．
(1)若
2
4
5
3
na
n
n
=
-
+ ，判断
na
是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列
na
满足
1
0
a =
，
2
1
a = ，
3
3
a =
．
①求数列
na
的通项公式；
②若不等式
1
2n
na
k
-
<
×
对
*
n
" ÎN 恒成立，求实数k 的取值范围．
9．
（2026·湖北孝感·二模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若对任意
*
N
nÎ
，向量
4, 2
1
np
n
=
-
-
uur
，
,
n
n
n
q
S
a
=
uur
，
有
1
n
n
p
q
×
=
uur uur
．数列
nb
满足
1,
3
,
n
n
n
a
n
b
a n
+
ì
= í
î
为奇数
为偶数，其前n 项和为
nT ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
n
n
T
S
n
l
-
>
对任意
*
N
nÎ
恒成立，求实数l 的取值范围．
10.（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已
然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek 开启了我国AI 新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI
工具的360 名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
10,20
20,30
30,40
40,50
50,60
［
］
人数
30
150
90
60
30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI 工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360 名用户中随机抽取了12 人，现从这12 人中随机抽取4 人，记
抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设X
m
n
=
-
，求X 的分布列；
(3)已知该AI 工具对某20 个问题能准确答对其中的t （3
12
t
£ £
，且t ÎN ）个．若从这20 个问题中随机抽
取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率最大，求此时t 的取值．
11．（2026·广东广州·二模）已知函数
3
1
3
f x
x
=
.
(1)直线l 过点
2
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø且与曲线
y
f x
=
相切，求直线l 方程；
(2)已知
,
n
n
n
P
x
y
在导函数
y
f
x
¢
=
的图象上，以点
nP 为圆心的
nP
e
与x 轴都相切，且
nP
e
与
1
nP +
e
彼此外
切.若
1
1
x = ，且
*
1
0
n
n
x
x
n
+
<
<
ÎN
，求数列
1
n
n
x
x +
×
的前n 项之和
n
S .
