学生版板块三、四（A版）_2027版高二《暑假讲义》5大板块详解（数学）（人教）

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2026 年高二暑假讲义A 版
空间向量及运算
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长
度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0 的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1 的向量称为单位向量
相反向量
与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些
向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段AB
来表示，A 叫向量的起点，B 叫向量的终点；
（2）字母表示法：用, ,
a b c

表示．向量a

的起点是A ，终点是B ，则向量a

也可以记作AB
，其模
记为a

或AB

.
题型1
空间向量的相关概念辨析
题型6
空间向量的数量积运算
题型2
空间向量的线性运算
题型7
投影向量的运算
题型3
空间共线向量定理
题型8
利用数量积求长度、夹角
题型4
空间共面向量定理及推论
题型9
利用数量积证垂直
题型5
共面定理证明四点共面
知识点1
空间向量的有关概念
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空间向量的线
性运算
加法
a＋b＝OA
→＋AB
→＝OB
→
减法
a－b＝OA
→－OC
→＝CA
→
数乘
当λ>0 时，λa＝λOA
→＝PQ
→；
当λ<0 时，λa＝λOA
→＝MN
→；
当λ＝0 时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
小结：空间向量加法的运算的小技巧
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
1
2
2
3
3
4
1
1
n
n
n
A A
A A
A A
A
A
A A












（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：
1
2
2
3
3
4
1
1
0
n
n
n
A A
A A
A A
A
A
A A














；
1、空间向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，
使a＝λb.
2、直线的方向向量：在直线l 上取非零向量a，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向
向量．如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a，则对于直线l 上任意一点P，存在实数λ，
使得
.
知识点2
空间向量的线性运算
知识点3
共线向量
87
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3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B 可通过证明下列结论来证明三点共线
（1）存在实数，使
成立.
（2）对空间任一点O，有
.
（3）对空间任一点O，有
.
1、定义：如图，如果表示向量a 的有向线段OA
→所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a
平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面
的向量，叫做共面向量．
2、共面向量定理：如果两个向量,a b
不共线，那么向量p

与向量,a b
共面的充要条件是存在唯一的
有序实数对( , )
x y ，使p
xa
yb





3、空间共面向量的表示
如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对( , )
x y ，使AP
xAB
yAC





．
或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（
, , ,
P A B C 四点共面）的充要条件
是存在有序实数对( , )
x y ，使OP
OA
xAB
yAC







，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此
可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
4、拓展
对于空间任意一点O ，四点
,
,
,
P C A B 共面（其中
,
,
C A B 不共线）的充要条件是
OP
xOC
yOA
zOB







（其中
1
x
y
z



）．
1、空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA
→＝a，OB
→＝b，则∠AOB 叫
做向量a，b 的夹角，记作〈a，b〉．范围：0≤〈a，b〉≤π.，特别地，当〈a，b〉＝π
2时，a⊥b.
知识点4
共面向量
知识点5
数量积
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2、空间向量的数量积
定义
已知两个非零向量a

，b

，则|
||
| cos
,
a b
a b





叫做a

，b

的数量积，记
作a b


；即
|
||
| cos
,
a b
a b
a b








．规定：零向量与任何向量的数量积
都为0.
性质
设

a ，

b 是非零向量，

e 是单位向量，则
cos
,






a e
e a
a
a e ；
0







a
b
a b
；
2




a
a a 或




a
a a ；cos
,







a b
a b
a
b
；






a b
a
b
运算律
(
)
(
)
a
b
a b








，
R

.
a b
b a





(交换律)．
(
)
a
b
c
a b
a c










(分配律).
3、投影与投影向量
如图(1)，在空间，向量a

向向量b

投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平
面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b

共线的向量c

，
|
| cos
,
|
|
b
c
a
a b
b







向量c

称
为向量a

在向量b

上的投影向量．类似地，可以将向量a

向直线l 投影(如图(2))．
如图(3)，向量a

向平面投影，就是分别由向量a

的起点A 和终点B 作平面的垂线，垂足分别为
A，B，得到A B

，向量A B

称为向量a

在平面上的投影向量．这时，向量a

，A B

的夹角
就是向量a

所在直线与平面所成的角．
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例1、下列说法正确的是（
）
A．向量AB
与向量BA
是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量a，b
，有a
b



，a
b



，a
b



三种大小关系
C．向量的模是一个正实数
D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合
【变式训练1】下列关于空间向量的说法中正确的是（
）
A．单位向量都相等
B．若|
| |
|
a
b



，则,a b

的长度相等而方向相同或相反
C．若向量AB
，CD
满足|
| |
|
AB
CD



，则AB
CD



D．相等向量其方向必相同
【变式训练2】（多选）下列命题是假命题的是（
）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．AB
CD


的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合
C．若向量AB
，CD
满足AB
CD



，且AB
与CD
同向，则AB
CD



D．若两个非零向量AB
与CD
满足
0
AB
CD




，则AB
与CD
共线
例2、在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，下列各式中运算结果为向量
的个数是（
）
①

1
AB
BC
CC





；
②

1
1
1
1
1
AA
A D
D C





③

1
1
1
AB
BB
B C





；
④

1
1
1
1
1
AA
A B
B C





．
A．1
B．2
C．3
D．4
题型1
空间向量的相关概念辨析
题型2
空间向量的线性运算
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2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练3】已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

，设向量
1
1
,
,
a
AB b
AC c
AD









，则AB 

（
）
A．

1
2 a
b
c





B．

1
2 a
b
c





C．

1
2 b
c
a





D．

1
2 a
c
b





【变式训练4】已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

如图所示，其中
1
2
A M
MA



，若点N 为棱
1
1
B C 的中点，则
MN 

（
）
A．
1
1
2
1
3
3
2
AA
AB
AC





B．
1
2
1
1
3
3
2
AA
AB
AC





C．
1
1
1
1
3
2
2
AA
AB
AC





D．
1
2
1
1
3
2
2
AA
AB
AC





【变式训练5】如图，三棱锥O
ABC

中，OA
a


，OB
b



，OC
c


，且
3
4
OM
OA



，
1
2
CN
CB



，
则MN 

（
）
A．
1
1
1
4
3
3
a
b
c






B．1
1
1
4
3
3
a
b
c





C．
3
1
1
4
2
2
a
b
c






D．3
1
1
4
2
2
a
b
c





【变式训练6】在三棱锥O
ABC

中，OA
a


，OB
b


，OC
c



，且
2
OM
MA


，BN
NC


，则MN

等于（
）
A．1
1
1
2
2
2
a
b
c





B．2
2
1
3
3
2
a
b
c





C．1
2
1
2
3
2
a
b
c





D．
2
1
1
3
2
2
a
b
c






91
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、设
1e ，
2e 是空间两个不共线的非零向量，已知
1
2
2
AB
e
ke





，
1
2
3
B
e
e
C







，
1
2
2
D
e
C
e 






，
且A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值为（
）
A．2

B．4

C．8

D．8
【变式训练7】平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
1
2
2
1
3
3
3
A M
MC AM
AB
AD
AA










，
，则实数的
值为（
）
A．1
B．1
2
C．2
D．3
【变式训练8】已知A，B，C 三点共线，O 为空间任一点，则①
2
OA
OB
OC






；②存在三个不为
0 的实数，m，n，使
0
OA
mOB
nOC







，那么使①②成立的与
m
n


的值分别为（
）
A．1，1

B．1
，0
C．0，1
D．0，0
【变式训练9】已知
1e

，
2e

，
3e

不共面，若
1
2
3
2
AB
e
e
e







，
1
2
3
BC
e
e
e









，且
, ,
A B C 三点共
线，则


（
）
A．3

B．1
C．2
D．3
例4、在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C 共面的是（
）
A．
2
OM
OA
OB
OC







B．
1
1
1
5
3
2
OM
OA
OB
OC







C．
2
0
MA
MB
MC







D．
0
OM
OA
OB
OC









【变式训练10】对于空间一点O和不共线三点
, ,
A B C ，且有2
2
OP
OA
OB
OC






，则（
）
A．
,
,
,
O A B C 四点共面
B．
, , ,
P A B C 四点共面
C．
, , ,
O P B C 四点共面
D．
, , , ,
O P A B C 五点共面
题型3
空间共线向量定理
题型4
空间共面向量定理及推论
92
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【变式训练11】已知点M 在平面ABC 内，且对于平面ABC 外一点O，满足
1
1
6
4
OM
OA
OB
OC








，
则（
）
A．1
3
B．5
12
C．1
2
D．7
12
【变式训练12】已知
, ,
A B C 三点不共线，点O在平面ABC 外，点P 满足
2
2
5
5
AP
xOA
OB
OC







，
则当点
, , ,
P A B C 共面时，实数x （
）
A．
4
5

B．
1
5

C．1
5
D．2
5
例5、图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿
,
OB OC 折起使得A 与
1A 重
合，如图②，其中
,
,
,
D E F G 分别为
,
,
,
AB OB OC AC 的中点．
(1)用
,
,
OA OB OC

表示
,
DE DF

；
(2)证明：
,
,
,
D E F G 四点共面．
题型5
共面定理证明四点共面
93
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【变式训练13】如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E，F 分别在
1B B 和
1
D D 上,
1
1
3
BE
BB

，
1
2
3
DF
D D

.
(1)求证：A，E，
1
C ，F 四点共面；
(2)若
1
EF
xAB
yAD
zAA







，求x+y+z 的值.
【变式训练14】已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE
kOA


，
OF
kOB


，OH
kOD


，AC
AD
m AB




，EG
EH
mEF




．求证：
//
AC EG ．
例6、已知正四面体OABC 的棱长为1，如图所示.若E，F 分别是OA，OC 的中点，求：
(1) EF AO

；(2) EF AC

；(3) EF CB


.
题型6
空间向量的数量积运算
94
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【变式训练15】正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为1，则


1
(
)
AB
AD
AD
AA








（
）
A．1
B．0
C．1

D．2
【变式训练16】设正四面体ABCD 的棱长为a ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF

的值为
（
）
A．
2
3
4 a
B．
2
1
2 a
C．
2
a
D．
2
1
4 a
【变式训练17】设正四面体ABCD 的棱长为a ，E 为BC 的中点，F 为CD 的中点，则
BF AE



．
【变式训练18】如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
1
1
1,
60
AB
AD
AA
A AB
A AD
BAD







，则
1 AC
BD 

的值为（
）
A．1
B．2
C．
3
D．1

【变式训练19】已知正四棱锥P
ABCD

的所有棱长均为1，O 为底面ABCD 内一点，且


1
1
3
2
PO
PA
PB
PC





R




，则PO PB



（
）
A．5
12
B．7
12
C．3
4
D．4
3
例7、已知
4
a 

，空间向量e为单位向量，
2
3
,
a e
π


，则空间向量a在向量e方向上的投影向量的
模长为（
）
A．2
B．2

C．
1
2

D．1
2
题型7
投影向量的运算
95
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练20】四棱锥P
ABCD

中，PD 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，则BP
在向量AD
上的
投影向量为（
）
A．DA

B．BC

C．BD

D．AP

【变式训练21】如图，在三棱锥P
ABC

中，PA 平面ABC ，平面PAB 平面PBC ，BC
PB

，
2
PA 
，
2 2
PB 
．若AB
方向上的单位向量为e，则CP
在向量AB
方向上的投影向量为
．
【变式训练22】在空间四边形ABCD 中，
90 ,
2
ABD
BDC
AC
BD





，则BD
在AC
上的投影
向量为（
）
A．1
2

AC
B．1
4 AC

C．1
2

BD
D．1
4 BD

例8-1、已知空间向量, ,
a b c


满足
2
7
0,
1
a
b
c
a
b
c












，则a与b
的夹角为（
）
A．30o
B．150
C．60o
D．120
【变式训练23】已知空间向量,a b

满足|
|
2,|
| 1,
(
2 )
a
b
a
a
b









，则向量,a b

的夹角为（
）
A．π
3
B．π
4
C．2π
3
D．3π
4
【变式训练24】已知空间向量a
，b
的夹角为π
3 ，且
2
a 

，
1
b 

，则
2
a
b


与b
的夹角是（
）
A．π
6
B．5π
6
C．π
4
D．3π
4
题型8
利用数量积求长度、夹角
96
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练25】如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
1
2
AC
AB
AA



，
2
2
BC
AE


，则向量
AE
与
1AC

的夹角是（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【变式训练26】如图，在平行六面体ABCD
A B C D

中，
1
AB
AD
AA



，
90
DAB


，
60
A AB
A AD


，点O为BC的中点，AO
xAB
yAD
z AA







.
(1)求x
y
z


的值；
(2)求AO 与DC 所成的角的余弦值.
例8-2、已知空间单位向量a
，b
，c
两两垂直，则a
b
c






（
）
A．
3
B．
6
C．3
D．6
【变式训练27】已知a
，b
，c
均为单位向量，且a
b



.若
4
5
a c

，则b c


（
）
A．
7
4
B．3
5
C．3
4
D．4
5
97
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练28】a、b
、c
是空间向量，其中a
b



，c
与a、b
的夹角都是60，且
1
a 

，
2
b 

，
3
c 

．则a
b
c






．
【变式训练29】平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的底面ABCD 是边长为2 的正方形，且
1
1
60
A AD
A AB



，
1
3
AA 
，则线段
1
AC 的长为（
）
A．5
B．2 7
C．
29
D．30
【变式训练30】在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
1,
2
AB
AD
AA



，
1
1
π
3
A
BAD
BAA
D A




，M 是
1
CC 的中点.
(1)求
1
BD 的长；
(2)求
1
BD
A M


.
例9、如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长是a ，
1
CD 和
1
DC 相交于点O．
(1)求
1
CD CD


；
题型9 利用数量积证垂直
98
2026 年高二暑假讲义A 版
(2)求AO
与CB
的夹角的余弦值；
(3)判断AO
与
1
CD

是否垂直．
【变式训练31】如图，在三棱锥A
BCD

中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且
2
DB
DC
DA



，E
为BC 的中点.
(1)证明：AE
BC

；（用向量方法证明）
(2)求直线AE 与DC 所成角的余弦值.
一、单选题
1、下列说法中正确的是（
）
A．空间中共线的向量必在同一条直线上
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．数乘运算中，既决定大小又决定方向
D．在四边形ABCD 中，一定有AB
AD
AC





2、如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，下列说法错误
．．的是（
）
99
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
1
1
AA
BB



B．
1
1
A
CD
B



C．
1 1
DB
AC



D．
1
1
AB
AD
AA
AC







3、已知M，A，B，C 为空间中四点，任意三点不共线，且
2
OM
OA
xOB
yOC







，若M，A，B，
C 四点共面，则2x
y

的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4、如图，在四面体ABCD 中，E 是棱AB 上一点，且
1
,
3
AE
AB F

是棱CD 的中点，则EF 

（
）
A．
1
1
1
3
2
2
AB
AC
AD






B．1
1
1
3
2
2
AB
AC
AD





C．1
1
1
3
2
2
AB
AC
AD





D．
1
1
1
3
2
2
AB
AC
AD






5、在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，设
1
,
,
AB
a AD
b AA
c








，则
2
1
(
)
3
2
a
b
c




的值为（
）
A．1
B．0
C．1

D．2

6、已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，棱
,
AB CD 的中点分别是
,
M N ，则AN MC



（
）
A．
2
a
B．
2
1
2 a
C．
2
1
3 a
D．
2
1
4 a
7、如图，设动点P 在棱长为1的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的对角线
1
BD 上（不含端点），
1
1
D P
D B


，当
APC

为直角时，的值是（
）
A．2
B．1
C．1
2
D．1
3
100
2026 年高二暑假讲义A 版
二、多选题
8、如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
2
AB AD AA


，
2π
3
BAD


，E ，F 分别为
1
1
C D ，
1
1
A D 的中点，则（
）
A．
1
1
2
AE
AB
AD
AA







B．
1
1
2
BF
AB
AD
AA







C．
0
AB AE



D．
5
AB BF



9、在棱长为2 的正四面体A-BCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点，G 是△BCD 的重心，则下列
结论正确的是（
）
A．
0
AB CD



B．
2
AB EF



C．EF
在AB
上的投影向量为1
3 AB

D．


1
3
EG
AB
AC
AD







三、填空题
10、设
1e

，
2e

是空间两个不共线的向量，已知
1
2
2
AB
e
ke





，
1
2
3
CB
e
e





，
1
2
2
CD
e
e





，且A，
B，D 三点共线，则k 
．
11、已知空间向量a
，b
，c
两两夹角均为60o，其模均为1，则a
b
c






.
四、解答题
12、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，化简下列向量表达式：
(1) AB
BC


；(2)
1
1
1
1
1
A B
A D
C C





．(3) 

1
1
2 GD
GB
AO





101
2026 年高二暑假讲义A 版
13、已知
, , ,
,
,
,
,
,
O A B C D E F G H 为空间9 个点(如图)，并且
,
OE
kOA OF
kOB





，OH
kOD


，
AC
AD
mAB




．EG
EH
mEF




，求证：
(1)
, ,
,
A B C D 四点共面；(2)
/ /
AC
EG

；(3)OG
kOC


．
14、如图，在空间四边形OABC 中，D ，E 分别为BC ，OA的中点，点G 为
ABC
V
的重心，设OA
a


，
OB
b


，OC
c



.
(1)试用向量a
，b
，c
，表示向量OG
；
(2)若
2
OA
OC


，
1
OB ，
60
AOC
BOC
AOB




，求BE AD

的值.
102
2026 年高二暑假讲义A 版
空间向量基本定理
1、空间向量基本定理
如果向量三个向量, , ,
a b c

不共面，那么对空间任意向量
,p

存在有序实数组

, ,
,
x y z
使得
.
p
xa
yb
zc







2、基底与基向量
如果向量三个向量, , ,
a b c

不共面，那么所有空间向量组成的集合就是

, , ,
.
p p
xa
yb
zc x y z
R








这个集合可看作是由向量, , ,
a b c

生成的，我们把

, ,
a b c

叫做空间的一个基底, , ,
a b c

都叫做基向量．
对基底的正确理解，有以下三个方面：
（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；
（2）因为0

可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就
隐含着它们都不是0

；
（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个
向量，二者是不同的概念．
1、单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫
做单位正交基底，常用

, ,
i j k


表示.
2、正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
题型1
空间向量基底概念及辨析
题型5
空间基底法解决夹角问题
题型2
用空间基底表示向量
题型6
空间基底法解决垂直、平行问题
题型3
空间向量基本定理
题型7
空间向量的正交分解
题型4
空间基底法解决长度问题
知识点1
空间向量基本定理
知识点2
空间向量的正交分解
103
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、下列关于空间向量的说法正确的是（
）
A．任意两个空间向量不一定共面
B．模相等的两个向量是相等向量
C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底
【变式训练1】已知、R ，下列可使非零向量a
，b
，c
组成的集合

, ,
a b c

成为空间的一组基
底的条件是（
）
A．b
c




B．a
，b
，c
两两垂直
C．a
b
c







D．
0
a
b
c







【变式训练2】若

, ,
a b c


构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（
）
A．a
b



，b
c


，c
a



B．



a
c ，b
c


，a
b



C．2a
b



，



a
c ，2c
b



D．a
b



，b
c


，c
a



【变式训练3】若

, ,
a b c


构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（
）
A．, ,
a b a
b





B．, ,2
3
a b
a
b





C．
,
,
c
b c
b a







D．
,
,
c
b a
b
c a








例2、已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使
2
MG
GN

，
用向量OA
，OB
，OC
表示向量OG
是（
）
A．
2
2
3
3
OG
OA
OB
OC







B．
1
2
2
2
3
3
OG
OA
OB
OC







C．
1
1
1
6
3
3
OG
OA
OB
OC







D．
1
1
2
6
3
3
OG
OA
OB
OC







题型1
空间向量基底概念及辨析
题型2
用空间基底表示向量
104
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练4】如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
,
,
,
AB
a AD
b AA
c







M 是
1
1
A D 的
中点，点N 是CA₁上的点，且
1
:
1: 4
CN NA 
, 用, ,
a b c


表示向量MN
的结果是（
）
A．1
2 a
b
c





B．1
1
4
5
5
5
a
b
c





C．4
3
4
5
10
5
a
b
c





D．1
3
1
5
10
5
a
b
c





【变式训练5】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称
为阳马.如图所示，已知四棱锥P
ABCD

是阳马，PA 平面ABCD ，且
1
4
PE
PC

，若
,
,
AB
a AD
b AP
c








，则BE 

（
）
A．
5
1
5
4
4
4
a
b
c






B．5
1
5
4
4
4
a
b
c





C．3
1
3
4
4
4
a
b
c





D．
3
1
3
4
4
4
a
b
c






【变式训练6】三棱锥S
ABC

中，
,
,
D E F 分别为线段
,
,
AB AC BC 的中点，G 为
ABC
V
的重心，则
SG 

（
）
A．1
1
1
3
3
3
SD
SE
SF





B．1
1
1
2
2
2
SD
SE
SF





C．1
1
1
3
2
3
SD
SE
SF





D．1
1
1
3
3
2
SD
SE
SF





105
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
2
AM
MC

，
1
2
A N
ND

.设AB
a


，AD
b


，
1
AA
c



，MN
xa
yb
zc







，则x
y
z


（
）
A．3
4
B．1
4
C．2
3
D．1
3
【变式训练7】在四面体O
ABC

中，点M 为线段OA靠近A 的四等分点，N 为BC 的中点，若
MN
xOA
yOB
zOC







，则x
y
z


的值为（
）
A．3
2
B．1
C．1
4
D．1
3
【变式训练8】《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中
堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵
1
1
1
ABC
A B C

，中，M 是
1
1
AC
的中点，G 是MB 的中点，若
1
AG
xAB
yAA
zAC







，则x
y
z


（
）
A．1
B．2
C．3
2
D．5
4
题型3
空间向量基本定理
106
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练9】已知四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD 为平行四边形，点E 为PA 的中点，点F 满足
2
PF
FC


，点Q 满足PQ
QD




，若B 、E 、F 、Q 四点共面，则（
）
A．1
2
B．3
5
C．2
3
D．3
4
【变式训练10】如图，在四面体OABC 中，
1
2
BM
BC



，
1
2
MN
NO



，
3
4
AP
AN



，若OQ
OB




，
且PQ∥平面ABC，则实数（
）
A．2
3
B．3
2
C．4
3
D．3
4
【变式训练11】如图，在三棱锥S
ABC

中，点G 为底面
ABC
V
的重心，点M 是线段SG 的中点，
过点M 的平面分别交SA，SB ，SC 于点D ，E ，F ，若SD
kSA


，SE
mSB


，SF
nSC


，则1
1
1
k
m
n



（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
【变式训练12】已知点M 是正四面体P
ABC

底面ABC 内一点，满足PM
xPA
yPB
zPC






，其
中, ,
R
x y z 
，当PM

最小时，3
2
x
y
z


的值为（
）
A．2 3
B．
6
C．2
D．1
107
2026 年高二暑假讲义A 版
例4、如图，四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，
且两两夹角为60o，则
1
AC

的值为（
）
A．
3
B．2 3
C．
5
D．
6
【变式训练13】在平行六面体ABCD
A B C D

中，
4,
3,
5,
90
AB
AD
AA
BAD






，
60
BAA
DAA





，则AC的长为（
）
A．12
B．85
C．
61
D．
70
【变式训练14】在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
AB ，
1
3
AA 
，
1
21
AC 
，
1
1
π
3
A AB
A AD



，
2π
3
BAD


，则AD （
）
A．1
B．2
C．3
D．2 3
2

【变式训练16】如图，在多面体EF
ABCD

中，底面ABCD 是边长为1 的正方形，AE 底面
,
ABCD CF 底面ABCD ，且
,
AE
CF M

是正方形ABCD 的中心，若
7
2
ME DF



，则AE （
）
A．2
B．5
2
C．5
D．7
2
题型4
空间基底法解决长度问题
108
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，M，N 分别是线段
1A B ，
1
1
B D 上的点，且
1
2
A M
MB

，
1
1
2
B N
ND

，若
1
1
1
1
1
1
A B
A D
AA


，
1
1
1
90
B A D 

∠
，
1
1
60
A AB
A AD



，则下列说法中正确
的是（
）
A．AB
与
1
1
B D

的夹角为45°
B．
1
1
2
1
3
3
3
MN
AB
AD
AA







C．线段
1AC 的长度为1
D．直线
1AC 与
1
BB 所成的角为60°
【变式训练17】如图所示，四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三
条棱长都为1，且两两夹角为60°．设AB a

= ，AD
b


，
1
AA
c



．
(1)用

, ,
a b c

为基底表示向量
1
BD
，并求
1
BD 的长；
(2)求
1
cos
,
BD AC

的值．
题型5
空间基底法解决夹角问题
109
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练18】如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
1
3
AB
AC
AA


，
π
3
BAC


，
1
1
3
BD
BA



.
(1)用
1
,
,
AB AC AA

表示CD
；
(2)求直线CD 与直线
1
AC 所成角的余弦值.
例6、如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
1
1
90 ,
2,
ABC
AB
BC
AA
AA







平面
, ,
ABC E F 分别是
1
1
1
,
BB AC 的中点．求证：AF
CE

．
题型6
空间基底法解决垂直、平行问题
110
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练19】图在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
2
AB
AD
AA



，
1
1
60
A AB
A AD
BAD




．
(1)求证：直线
1AC 平面
1
1
BDD B ；
(2)求直线
1AC 和
1
BC 夹角的余弦值．
【变式训练20】如图，在底面ABCD 为菱形的平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，M，N 分别在棱
1
1
,
AA CC
上，且
1
1
1
1
1
,
3
3
A M
AA CN
CC


，且
1
1
60
A AD
A AB
DAB




.
(1)求证：
1
,
,
,
D M B N 共面；
(2)当
1
AA
AB 为何值时，
1
MN
BB

.
111
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练21】如图.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中.
(1)如图1，已知
1
,
,
DA
a DC
b DD
c








，点G 是侧面
1
1
B BCC 的中心，试用向量, ,
a b c


表示下列向量：
1
1
,
DB BA

.
(2)如图2，点
,
,
E F G 分别是
1
1
1
1
1
,
,
A D D D D C 的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面
/ /
EFG
平
面
1
AB C .
例7、已知SA 平面ABC，AB
AC

，
1
SA
AB

，
5
BC 
，则空间的一个单位正交基底可以为
（
）
A．
1
,
,
2
AB
AC AS








B．

,
,
AB AC AS

C．
1
1
,
,
2
2
AB
AC
AS









D．
5
,
, 5
AS AB
BC












【变式训练21】在单位正交基底

, ,
i j k


下，已知向量
2
3
a
i
j
k







，
2
3
b
i
k





，则向量
a
m
b





在向量i上的投影向量为（
）
A．3i
B．2i
C．6i
D．4i
题型7
空间向量的正交分解
112
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练22】（多选）已知

, ,
a b c

是空间的一个单位正交基底，则（
）
A．
2
a
b
c





B．

,
,
a
b b
c a
c







构成空间的一个基底
C．


1
a
b
a
c








D．

,
,
a
b b
c a
c







构成空间的一个基底
【变式训练23】已知

, ,
a b c 是空间的一个单位正交基底，
2
3
p
a
b
c






，若




p
x a
b
y a
b
zc










，则x
y
z



.
一、单选题
1、如图，空间四边形OABC 中，OA
a


，OB
b



，OC
c


，点M，N 分别在OA，BC 上，且满足，
2
OM
MA


，
1
2
BN
NC



，则MN 

（
）
A．2
2
1
3
3
3
a
b
c





B．2
2
1
3
3
3
a
b
c





C．
2
1
2
3
3
3
a
b
c






D．
2
2
1
3
3
3
a
b
c






2、已知正四面体ABCD 的所有棱长都等于2 ，E ，F 分别是AB ，AD 的中点.则CE CF



（
）
A．2
B．5
2
C．3
D．7
2
3、已知
, , ,
M A B C 为空间中四点，任意三点不共线，且
1
2
2
OM
OA
xOB
yOC







，若
, , ,
M A B C 四点共
面，则2x
y

的值为（
）
113
2026 年高二暑假讲义A 版
A．2
B．1
C．1
2
D．0
4、已知BD 平面ABC ，AB
BC

，
1
BD ，
2
AB 
，
3
BC ，则空间的一个单位正交基底可以为
（
）
A．1
5
,
,
3
5
BC BD
AD












B．1
1
,
,
3
2
BC BD
BA








C．
5
,
, 5
BC BD
AD



















D．
1
,
, 2
BC BD
BA








5、如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E 为
1
CC 的中点，点F 满足AF
mAE


．若
1
,
,
,
B D A F
四点在同一个平面上，则m （
）
A．1
2
B．2
5
C．1
3
D．2
3
二、多选题
6、如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
1
BC 

（
）
A．
1
AB
AC
AA





B．
1
AB
AC
AA






C．
1
1
1
BA
AA
AC





D．－
1
AB
AC
AA





7、已知

, ,
a b c


是空间的一个基底，则下列说法正确的是（
）
A．, ,
a b c


两两共面
B．若
,
a
b b
c




，则a
c



114
2026 年高二暑假讲义A 版
C．对空间任一向量p，总存在有序实数组

, ,
x y z ，使p
xa
yb
zc







D．

,
,
a
b b
c c
a






不一定能构成空间的一个基底
8、如图，点M ，N 分别是棱长为2 的正四面体OABC 的边OA和BC 的中点，点P 在线段MN 上，
且
2
MP
PN

.则（
）
A．
1
1
1
6
3
3
OP
OA
OB
OC







B．
4
3
OP 

C．
2
OP OA



D．向量OP
在OA
方向上的投影数量为3
2
三、填空题
9、若

1
2
3
,
,
e e e

是空间的一个基底，且向量
1
2
a
e
e





，
2
3
b
e
e





，
1
3
c
e
te





不能构成空间的一个
基底，则实数t 
．
10、在正四面体OABC 中，
,
,
.
2
,
2
OA
a OB
b OC
c OM
MA BN
NC











，则MN 

（用a
，b
，
c
表示）．若|
|
5
a 

，则|
|
MN 

．
四、解答题
11、如图，在正四面体OABC 中，点D 为BC 的中点，2AE
ED


，设OA
a


，OB
b



，
.
OC
c



(1)试用向量a，b
，c表示向量
;
OE

(2)若
2
AB 
，求OE AC

的值.
115
2026 年高二暑假讲义A 版
12、已知在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
1
2,
3,
AB
AC
AA



1
1
60 ,
A AB
A AC




BAC



，记
1
AA
a



，
,
AB
b AC
c





.
(1)求证：四边形
1
1
BB C C 为矩形；
(2)若
60



，求异面直线
1
BC 与
1AC 所成角的余弦值.
13、如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹
角都是60 , M

为
1
1
AC 与
1
1
B D 的交点.若
1
,
,
AB
a AD
b AA
c








.
(1)用, ,
a b c


表示BM
；
(2)求对角线
1
AC 的长；
(3)求
1
cos
,
AB AC

.
116
2026 年高二暑假讲义A 版
空间向量及其运算的坐标运算
1、空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{ , , }
i j k

，以O 为原点，分别以, ,
i j k

的
方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这
时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .
(2)相关概念：O 叫做原点，, ,
i j k

都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别
称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
（1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，, ,
i j k

为坐标向量，对空间任意一点A ，对应
一个向量OA

，且点A 的位置由向量OA

唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组
( , , )
x y z ，使OA
xi
y j
zk







.在单位正交基底{ , , }
i j k

下与向量OA

对应的有序实数组( , , )
x y z
叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作
( , , )
A x y z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的
纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．
（2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a

，作OA
a



.由空间向量基本定理，
存在唯一的有序实数组( , , )
x y z ，使a
xi
y j
zk







.有序实数组( , , )
x y z 叫做a

在空间直角坐标系
Oxyz 中的坐标，上式可简记作
( , , )
a
x y z


.
（3）右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴
的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建
立的坐标系都是右手直角坐标系．
题型1
空间向量中点的坐标表示
题型5
空间向量坐标中夹角的运算
题型2
空间向量中点的坐标对称问题
题型6
空间向量坐标中模长的运算
题型3
空间向量运算的坐标表示
题型7
空间向量坐标中投影向量的运算
题型4
空间向量坐标中垂直、平行关系的运算
知识点1
空间向量的正交分解及其坐标表示
117
2026 年高二暑假讲义A 版
1、几类特殊位置的点的坐标
（1）x 轴上的点的坐标为

,0,0
x
（2）y 轴上的点的坐标为

0, ,0
y
（3）z 轴上的点的坐标为

0,0, z
（4）Oxy 平面内的点的坐标为

, ,0
x y
（5）Ozx 平面内的点的坐标为

,0,
x
z
（6）Oyz 平面内的点的坐标为

0, ,y z
2、空间中点的对称点的坐标：设点
( , , )
P x y z 为空间直角坐标系中的点，则
（1）与点P 关于原点对称的点是
1(
,
,
)
P
x
y
z



（2）与点P 关于x 轴对称的点是
2( ,
,
)
P x
y
z


（3）与点P 关于y 轴对称的点是
3(
, ,
)
P
x y
z


（4）与点P 关于z 轴对称的点是
4(
,
, )
P
x
y z


（5）与点P 关于Oxy 平面对称的点是
5( , ,
)
P x y
z

（6）与点P 关于Ozx 平面对称的点是
6( ,
, )
P x
y z

（7）与点P 关于Oyz 平面对称的点是
7(
, , )
P
x y z

注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．
1、设
(
)
(
)
a
a
a
a
b
b
b
b
1
2
3
1
2
3


=
，，
, =
，，
，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
(
)
a
b
a
b
a
b
a
b

1
1
2
2
3
3


=
＋，＋，＋
减法
(
)
a
b
a
b
a
b
a
b

1
1
2
2
3
3


=
－，－，－
数乘
(
)
a
a
a
a
R





1
2
3

＝
，
，
,
数量积
a b
a b
a b
a b


1 1
2
2
3
3

＋
＋
知识点2
特殊的的坐标及点的对称坐标
知识点3
空间向量运算的坐标表示
118
2026 年高二暑假讲义A 版
2、两个向量的平行与垂直
(
)
(
)
a
a
a
a
b
b
b
b
1
2
3
1
2
3


=
，，
, =
，，
平行（a b



）
(
0)
a b b 






1
1
2
2
3
3
a
b
a
b
a
b
R
a
b



















垂直（a
b


）
a
b




1 1
2
2
3 3
0
0
a b
a b
a b
a b







（,a b

均为非零向量）
特别提醒：在
(
0)
a b b 






1
1
2
2
3
3
a
b
a
b
R
a
b














中，应特别注意，只有在b

与三个坐标平面都不平行
时，才能写成
3
1
2
1
2
3
a
a
a
b
b
b


.例如，若b

与坐标平面xOy 平行，则
3
0
b 
，这样
3
3
a
b 就没有意义了.
3、向量长度的坐标计算公式
若
(
)
a
a
a
a
1
2
3

=
，，
，则
2
2
2
2
2
|
|
|
|
a
a
a
a
a
a





1
2
3



，即
2
2
2
|
| a
a
a
a



1
2
3

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长
方体的体对角线的长度
5、两个向量夹角的坐标计算公式
设
(
)
(
)
a
a
a
a
b
b
b
b
1
2
3
1
2
3


=
，，
, =
，，
，则cos
,a b



1 1
2
2
3 3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
a b
| a || b |
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b











若
1
1
1
( ,
,
)
A x y z
，
2
2
2
(
,
,
)
B x
y
z
，则
（1）
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
(
,
,
)
( ,
,
)
(
,
,
)
AB
OB
OA
x
y
z
x y z
x
x y
y z
z











即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
（2）
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
|
|
(
)
(
)
(
)
AB
AB
x
x
y
y
z
z









，
或
2
2
2
,
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
A B
d
x
x
y
y
z
z






．
知识点4
空间中两点的距离公式
119
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、已知点




3, 1,0 ,
2, 5,3
B
AB




，则点A 坐标为（
）
A．

1, 6,3

B．

5,4, 3

C．

1,6, 3


D．

2,5, 3

【变式训练1】已知点M 是点
(6,7,8)
N
在坐标平面xOz 内的射影，则OM 

（
）
A．85
B．10
C．113
D．100
【变式训练2】如图，在长方体
1
1
1
1
OABC
O A B C

中，
4
OA 
，
6
OC 
，
1
2
OO 
，点P 是
1
1
B C 的中
点，则点P 的坐标为（
）
A．(2,6,2)
B．(3,4,2)
C．(4,6,2)
D．(6,2,1)
【变式训练3】如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
3,
2
AB
AD
AA



，点M 在
1
1
AC 上，
1
1
2
MC
A M

∣
∣，点N 在
1
DC 上且为
1
DC 的中点，以A 为坐标原点，分别以
1
,
,
AB AD AA 所在的直线
为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A
xyz

如图.
(1)求
1
1
,
C D 的坐标；
(2)求线段MN 的长度.
题型1
空间向量中点的坐标表示
120
2026 年高二暑假讲义A 版
例2、在空间直角坐标系Oxyz 中，点
(2,3, 1)
M

关于平面yOz 对称的点的坐标是（
）
A．(2,3,1)
B．(2, 3, 1)


C．( 2,3, 1)


D．(2, 3,1)

【变式训练4】已知点

3, 1,1
A

关于z 轴的对称点为点B ，则AB 

（
）
A．2 10
B．2
C．10
D．6
【变式训练5】在空间直角坐标系Oxyz 中，点


3,6,9
M
与点


3,6, 9
N

关于（
）对称
A．Ozx 平面
B．z 轴
C．Oxy 平面
D．Oyz 平面
【变式训练6】在空间直角坐标系Oxyz 中，若点


1,2,3
B 
关于y 轴的对称点为点B，点


1,1, 2
C

关
于Oyz 平面的对称点为点C，则B C


（
）
A．

2, 1,1


B．

0, 3,5

C．

2,1, 1
-
D．

0,3, 5

【变式训练7】已知点
( 3,1,4)
A 
，
(7,1,0)
B
，则线段AB 的中点M 在yOz 平面上的射影点的坐标为
（
）
A．(0,1,2)
B．(2,1,2)
C．(2, 1,2)

D．( 2,1, 2)


【变式训练8】已知点


0,0
O
，向量


2,3
OA 

，


6, 3
OB 


，点P 是线段AB 靠近A 的三等分点，
则点P 的坐标为（
）
A．8 ,0
3






B．10 ,1
3






C．14 , 1
3







D．10 ,1
3






或
14 , 1
3







【变式训练9】已知O是坐标原点，且
, ,
A B C 三点的坐标分别是(2, 1,2)

，(4,5, 1)

，( 2,2,3)

，若
1 (
)
2
OP
AB
AC





，则点P 的坐标为
；若
1 (
)
2
AP
AB
AC





，则点P 的坐标为
.
题型2
空间向量中点的坐标对称问题
121
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、若




1, 2,1 ,
2,1, 2
a
b






，则a
b




（
）
A．

1, 1, 1

B．

3, 3,3

C．

3,3,3
D．

2, 2, 2



【变式训练10】若向量






2,2,3 ,
1,2,1 ,
0,1,1
a
b
c






，则


a
b
c






（
）
A．5
B．7
C．8
D．10
【变式训练11】在空间四边形ABCD 中，






1,3,2 ,
2, 3,1 ,
3,1,2
A
D
B
BC
A









，则CD 

（
）
A．

4,1, 1

B．

4, 1,1


C．

0, 5,1

D．

0,5, 1

【变式训练12】已知向量


,1, 1
a
x



，


2,1,
b
x


，若
2
a b



，则实数x 等于（
）
A．2

B．1

C．0
D．1
【变式训练13】棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点E 是
1
BC 的中点，则
1
BB DE



（
）
A．0
B．1
C．2
D．
3
例4、已知向量


,4, 2
a
x



，


2, ,1
b
y


，若
/ /
a
b

，则（
）
A．
8
xy 
B．
2
xy 
C．
2
xy 
D．
8
xy 
【变式训练14】已知向量


1, 2,1
a 


，


3, ,
b



，若a
b

∥，则
（
）
A．2

B．2
C．
1
2

D．1
2
题型3
空间向量运算的坐标表示
题型4
空间向量坐标中垂直、平行关系的运算
122
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练15】已知向量




1,
, 1 ,
1, 1,1
a
m
b






，若

a
b
b





，则m （
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式训练16】已知





,3,2 ,
1, ,1 ,
5,1,4
A x
B
y
C

，若AB
∥AC
，则x
y

（
）
A．2

B．3
C．5
D．6
【变式训练17】如图，正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

的棱长都是1，M 是BC 的中点，
1
CN
CC




（0
1


），
且
1

MN
AB ，则（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
【变式训练18】若


1,2, 1
a 


，


2,3,4
b 

.
(1)若



/
2
/
ka
b
a
b






，求实数k 的值.
(2)若



2
ka
b
a
b







，求实数k 的值.
123
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、已知空间向量


2,3,6
a 

，


3, 4,1
b 


，则
,a b 


（
）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
【变式训练19】若向量


1, ,1
a



，


2, 1, 2
b 


且a
与b
的夹角余弦为
2
6
，则等于（
）
A．2
B．2
C．
2

或2
D．
2

【变式训练20】已知


2, 1,0
a
b





，


0,3, 2
a
b




，则cos
,a b

的值为（
）
A．1
3
B．
2
3

C．
3
3
D．
7
3
【变式训练21】已知向量
(0, 1,2)


a
，
(2,0,1)


b
，以a，b
为邻边的平行四边形的面积为（
）
A．
21
B．
21
2
C．2
D．12
【变式训练22】已知空间向量


2, 1,1
a 


，


, 3,3
b
m



，若a与b
的夹角是锐角，则m 的取值范
围是（
）
A．



, 6
6,3




B．

,3

C．



3,6
6,



D．

3,


【变式训练23】已知向量


1,1,0
a 

，


1,0,2
b 

．
(1)若



/ / 2
a
kb
a
b





，求实数k ；
(2)若向量
k


a
b 与2a
b



所成角为锐角，求实数k 的范围．
题型5
空间向量坐标中夹角的运算
124
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练24】如图，
2
BC 
，坐标原点O是BC 的中点，点A 的坐标为
3 1
(
,
,0)
2
2
，点D 在平面yOz
上，且
=90
BDC

，
30
DCB


．
(1)求向量CD
的坐标；
(2)求AD
与BC
的夹角的余弦值．
例6、已知
R
x
y 
，
，向量


,1,1
a
x


，


2, ,2
b
y


，


, ,2
c
x y


，若
/ /
a
b


，则c 

（
）
A．3
B．5
C．7
D．9
【变式训练25】设x ，y R ，向量
( ,1,1),
(1, ,1),
(2, 4,2)
a
x
b
y
c







，且
,
/ /
a
c b
c




，则|
|
a
b




（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练26】已知O 是坐标原点，空间向量


1,1,2
OA 

，


1,3,4
OB 

，


2,4,4
OC 

，若线段
AB 的中点为D，则


CD
（
）
A．2 2
B．3
C．8
D．9
【变式训练27】已知向量


0, 1,1
a 


，


4,1,0
b 

，
29
a
b




，且
0

，则
.
题型6
空间向量坐标中模长的运算
125
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练28】设,
R
x y
，向量
(1,1,1),
(1, ,1),
( , 4,2)
a
b
y
c
z







，且
,
/ /
a
b b
c



.
(1)求|
|
a
b



；
(2)求向量a
b



与b
c


夹角的余弦值.
【变式训练29】设O 为坐标原点，向量


1,2,3
OA 

，


2,1,2
OB 

，


1,1,2
OP 

，点Q 在直线AP
上运动，当QA QB


取最小值时，QB 

．
例7、已知空间向量




2, 1,2 ,
1,2,1
a
b





，则向量b
在向量a上的投影向量是（
）
A．4
2 4
,
,
9
9 9







B．

2, 1,2

C．4
2 4
,
,
3
3 3







D．

1, 2,1

【变式训练30】已知向量a在向量b
上的投影向量是
3
2


b ，且


1,1, 1
b 


，则a b


.
【变式训练31】已知a为单位向量.


1,0,0
b 

，若
2
1
a
b




，则a在b
上的投影向量为
.
【变式训练32】（多选）已知空间向量




2, 1,1 ,
1,2,3
a
b





，则下列结论正确的是（
）
A．


3,2,5
c 

与
,a b


共面
B．
26
a
b




C．a在b
上的投影向量为
6
3 6
,
6,
2
2








D．a与b
夹角的余弦值为
21
14
题型7
空间向量坐标中投影向量的运算
126
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练33】已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为2，E ，F 分别为棱
1
BB ，DC 的中点，建立
空间直角坐标系，如图所示.
(1)写出正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

各顶点的坐标；
(2)写出向量EF
，
1B F

，
1A E

的坐标；
(3)求向量
1AC

在向量AC
上的投影向量的坐标.
一、单选题
1、已知向量


01,
1,
a 

，


1,2,0
b 

，且ka
b



与2a
b



垂直，则k 的值为（
）
A．2

B．1

C．1
D．2
2、已知
(1, 1, ),
(3,1,
),
( ,2,1)
AB
x
AC
y
AP
y








，若AP 平面ABC ，则|
|

AB
（
）
A．11
B．11
C．3
D．
3
3、已知空间向量


3,2,1
a 

，


2,2, 1
b 


，


,10,1
c
m


，若a
，b
，c
共面，则实数m （
）
A．2
B．3
C．13
D．5

4、设






R,
R,
,1,1 ,
1, ,1 ,
2, 2,2 , // ,
x
y
a
x
b
y
c
b c a
b













，则



a
b
（
）
A．3
B．
2
C．
5
D．3
127
2026 年高二暑假讲义A 版
5、已知空间向量


2,1,1
m 

，


0,2,1
n 

，则m与n的夹角的余弦值为（
）
A．
30
30
B．
30
10
C．
6
5
D．
5
6
6、如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，底面三角形ABC 为直角三角形
1
1
AB
AC
AA


，P 为
1
1
B C
的中点，则
1
AC
BP



（
）
A．3
2
B．1
C．3
4
D．1
2
二、多选题
7、已知向量
(2,0, 1),
(0,1,1)
AC
CB





，则（
）
A．|
| 5
AC 

B．CB
同方向上的单位向量的坐标为
2
2
0,
,
2
2








C．
1
AC CB



D．BC
在AC
上的投影向量的模为
5
5
8、已知空间向量




2, 1,1 ,
1,2,3
a
b





，则下列结论正确的是（
）
A．


3,2,5
c 

与
,a b


共面
B．
26
a
b




C．a在b
上的投影向量为
6
3 6
,
6,
2
2








D．a与b
夹角的余弦值为
21
14
9、下列四个结论正确的是（
）
A．任意向量,a b


，若
0
a b




，则
0
a


或
0
b 

或
π
,
2
a b




B．若空间中点
,
,
,
O A B C 满足
1
2
3
3
OC
OA
OB





，则
, ,
A B C 三点共线
128
2026 年高二暑假讲义A 版
C．空间中任意向量, ,
a b c


都满足



a b
c
a
b c











D．已知向量




1,1,
,
2, ,4
a
x
b
x




，若
2
5
x 
，则
,
a b


为钝角
三、填空题
10、知向量


0
, ,
4
a
m


，


2
,1
1,2
b 

且a
b



，则实数m 
，a
b




．
11、已知空间四点


0,0,0
O
，

2,2,2
A
，

5,0,0
B 
，

0,0, 10
C
，则向量OA
在向量BC
上的
投影向量的坐标为
.
12、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF 的边长都是2，且它们所在的平面互
相垂直，活动弹子M，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记
CM
BN
a


，其中0
2 2
a


．则MN 的长的最小值为
.
四、解答题
13、已知





2,0,2 ,
1,1,2 ,
3,0,4 ,
,
A
B
C
a
AB b
AC










(1)
3,
c
c


/ / BC
，求c的坐标；
(2)求cos
,
a b




；
(3)若ka
b



与
2
ka
b



互相垂直，求实数k 的值.
129
2026 年高二暑假讲义A 版
14、已知向量


1,1,0
a 

，


1,0,2
b 

．
(1)若



/ / 2
a
kb
a
b





，求实数k ；
(2)若向量
k


a
b 与2a
b



所成角为锐角，求实数k 的范围．
15、在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3.
(1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标；
(2)设AA1 中点为点E，BC 中点为点F，求出
1
EC

、EF
；
(3)求出
1
1
cos
,
EC C B

.
130
2026 年高二暑假讲义A 版
空间向量的应用
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP

表示.我们把向量OP

称为点P 的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①, a

是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB
a



,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上
的充要条件是存在实数t ,使得AP
ta



，即AP
t AB



3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使
OP
OA
ta





①
或OP
OA
t AB





②
题型1
空间中直线的方向向量
题型9
直线到平面、平面到平面的距离
题型2
平面的法向量及其求法
题型10
距离中的探索性问题
题型3
利用空间向量解决平行问题
题型11
求异面直线所成角
题型4
根据平面的法向量求参
题型12
求直线与平面所成角
题型5
利用空间向量解决平行、垂直中的探索性问题
题型13
求二面角及平面与平面所成角
题型6
求点到直线的距离
题型14
空间角中的探索性问题
题型7
求点到平面的距离
题型15
空间几何体中的翻折问题
题型8
异面直线的距离
知识点1
用向量表示点、直线、平面的位置
131
2026 年高二暑假讲义A 版
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量
唯一确定.
4、用向量表示空间平面的位置
如图（1），设两条直线相交于点o ，它们的方向向量分别为a

和b

，P 为平面内任意一点，由平
面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对( , )
x y ，使得OP
xa
yb





．这样，点o 与向量a

和
b

不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点．
进一步地，如图（2），取定空间任意一点o ，可以得到，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件
是存在实数,x y ，使OP
OA
xAB
yAC







（*）.我们把（*）式称为空间平面ABC 的向量表示式．
1、平面法向量的定义
如图，若直线l


，取直线l 的方向向量a

，称a

为平面的法向量；过点A 且以a

为法向量的平面
完全确定，可以表示为集合

0



P a AP
．
2、平面法向量的性质
（1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量；
（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
3、求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
（1）设向量：设平面的法向量为
( , , )
n
x y z


（2）选向量：选取两不共线向量
,
AB AC

知识点2
平面的法向量
132
2026 年高二暑假讲义A 版
（3）列方程组：由
0
0
n AB
n AC








列出方程组
（4）解方程组：解方程组
0
0
n AB
n AC







（5）赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
（6）得结论：得到平面的一个法向量.
1、设直线1l , 2l 的方向向量分别为a

，b

，平面，的法向量分别为n

，m

，则
线线平行
1
2
l
l

⇔a b



⇔a
b




(
R

)
线面平行
1l


⇔a
n



⇔
0
a n



面面平行



⇔n m



⇔n
m




2、设直线1l 的方向向量为
1
1
1
(
,
,
)
a
a b c


，直线2l 的方向向量为
2
2
2
(
,
,
)
b
a b c


，平面的法向量
1
1
1
( ,
,
)
n
x y z


，平面的法向量为
2
2
2
(
,
,
)
m
x
y
z


，则
线线垂直
1
2
l
l

⇔
0
a b



⇔
1
2
1 2
1 2
0
a a
b b
c c



线面垂直
1l


⇔a
n



⇔a
n




⇔
1
1
1
1
1
1
a
x
b
y
c
z











面面垂直



⇔n
m



⇔
0
n m



⇔
1
2
1
2
1 2
0
x x
y y
z z



1、点到直线的距离
已知直线l 的单位方向向量为u

，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点.设AP
a



，则向量AP
在
直线l 上的投影向量
(
)
AQ
a u u




，在Rt APQ

中，由勾股定理得：
2
2
2
2
|
|
|
|
(
)
PQ
AP
AQ
a
a u









知识点3
空间中直线、平面的平行、垂直
知识点4
距离问题
133
2026 年高二暑假讲义A 版
2、异面直线的距离（线线距）
（1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异
面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条.
（2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.
3、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为n

，A 是平面内的定点，P 是平面外一点.过点P 作平面的垂
线l ，交平面于点Q ，则n

是直线l 的方向向量，且点P 到平面的距离就是AP
在直线l 上的投
影向量QP

的长度.
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
n
AP n
AP n
PQ
AP
n
n
n













注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线a 与平面之间的距离：
|
|
AB n
d
n




，其中
,
A
a B



，n是平面的法向量．
两平行平面
,
之间的距离：
|
|
AB n
d
n




，其中
,
A
B




，n是平面的法向量．
1、求异面直线所成的角
已知a，b 为两异面直线，A，C 与B，D 分别是a，b 上的任意两点，a，b 所成的角为，
则：①cos
,
|
||
|
AC BD
AC BD
AC
BD







②cos
| cos
,
|
AC BD
AC BD
AC
BD











.
知识点5
夹角问题
134
2026 年高二暑假讲义A 版
2、求直线和平面所成的角
设直线l 的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的角为，
则：①cos
|
||
|
a
a








②sin
cos
a u
a
u






.（注意此公式中最后的形式是：sin）
3、求二面角
如图，若PA


于
,
A PB


于B ，平面PAB 交l 于E ，则
AEB

为二面角
l



的平面角，
180
AEB
APB




.
若
1
2
,
n n

分别为面
,
的法向量，则：
①
1
2
1
2
1
2
cos
,
|
||
|
n n
n n
n
n






②cos根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
1
2
cos
| cos
,
|
n n


；
若二面角为钝二面角（取负），则
1
2
cos
| cos
,
|
n n


；
例1、若



0,1,1 ,
2,3,5
P
Q
在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标为（
）
A．

1,1,2
B．

1,2,1
C．

1,2,2
D．

2,2,2
【变式训练1】已知直线l 的一个方向向量


3, 2,1
m 


，且直线l 经过

,2, 1
A a

和


2,3,
B
b

两点，
则a
b

（
）
题型1
空间中直线的方向向量
135
2026 年高二暑假讲义A 版
A．2

B．1

C．1
D．2
【变式训练2】已知向量


2
(4, 2,6),
4,2
,6
a
b
x
x





都是直线l 的方向向量，则x 的值是（
）
A．1
或1
B．1

C．3

D．1
例2、空间直角坐标系O
xyz

中，





1,1,0 ,
2,1, 2 ,
0,2, 1
A
B
C



，则平面ABC 的一个法向量为（
）
A．

2,1,3
B．

2,1,3

C．

2, 1,3

D．

2,1, 3

【变式训练3】已知平面


0
|
0




P n P P
，其中点


0
1 2 5
, ,

P
，平面的法向量


1,1,1
n 

，则下列
各点中在平面内的是（
）
A．

1,2,3
B．

0,3,6
C．

1,1,1
D．

0,0,0
【变式训练4】如图，在棱长为3 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点M 在棱
1
C C 上，且
1
2
CM
MC

．以
D 为原点，DA ，DC ，
1
DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面
1
1
ABB A 的一个法向量；
(2)求平面
1
MD B 的一个法向量．
题型2
平面的法向量及其求法
136
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练5】如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD 为矩形，PA 平面ABCD ，E 为PD 的中
点，
1
AB
AP

，
3
AD 
，，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
例3、直线l 的一个方向向量为


4,2,2
m 

，平面的一个法向量为


2, 1,
n
x



，若/ /
l
平面，
则x （
）
A．5

B．5
C．1

D．1
【变式训练6】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P 在线段A1D 上，点Q 在线段AC 上，线段PQ
与直线A1D 和AC 都垂直，求证：PQ∥BD1.
【变式训练7】如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，侧棱
1A A 底面ABCD ，
,
1
AB
AC AB

，
1
2,
5
AC
AA
AD
CD
=
=
=
=
，且点
,
M N 分别为
1
B C 和
1
D D 的中点，求证：
/ /
MN
平面ABCD .
题型3
利用空间向量解决平行问题
137
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练8】如图所示，ABCD为矩形，PA 平面ABCD，PA
AD

，M ，N ，Q 分别是PC ，
AB ，CD的中点．求证：
(1)
/ /
MN
平面PAD ；
(2)平面
/ /
QMN
平面PAD ．
例4、若直线l 的方向向量为
1 ,0,1
2
a







，平面的法向量为


2,0, 4
n 


，则（
）
A．/ /
l

B．l


C．1


D．l 与斜交
【变式训练9】如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E，F 分别是
1
BB ，
1
1
D B 的中点．
(1)求证：
1
EF
DA

；
(2)求证：
1
DA 平面
1
ABC
题型4
利用空间向量解决垂直问题
138
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练10】如图所示，ABC
V
是一个正三角形，EC 平面ABC ，
//
BD CE ，且
2
2
CE
CA
BD



．
(1)求平面DEA 的法向量
(2)求证：平面DEA 平面ECA．
【变式训练11】如图，正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的底面边长为2，E 为棱CD 的中点，
1
3
FC
CF



，
且四棱锥
1
E
BCFB

的体积为5 2
6
．
(1)求棱
1
CC 的长；
(2)证明：平面
1
BCD 平面
1
B EF ．
139
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，若
,
M N 分别为棱
1
AA 和
1
BB 上任意一点（不与端点重合），
是否存在
,
M N 使得
1
CM
D N

？若存在，求点
,
M N 的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式训练12】如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 上
一点．请用向量方法解决以下问题：
(1)证明：直线
1
AB 平面
1
1
A ED ；
(2)是否存在点F ，使直线
1
/ /
D F
平面
1
1
A EC ？若存在，求出DF 的长度；若不存在，请说明理由．
题型5
利用空间向量解决平行、垂直中的探索性问题
140
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练13】如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
1
1
1
2
CA
CB
AA


，BC
AC

，P 为
1A B 上
的动点，Q 为棱
1
C C 的中点．
(1)设平面
1A BQ ∩平面

ABC
l ，若P 为
1A B 的中点，求证：
//
PQ l ；
(2)设
1
BP
BA




，问线段
1A B 上是否存在点P，使得AP 平面
1A BQ ？若存在，求出实数的值；若
不存在，请说明理由．
例6、点


2,1,1
A
是直线l 上一点，


1,0,0
a 

是直线l 的一个方向向量，则点


1,2,0
P
到直线l 的距
离是（
）
A．1
2
B．2
C．2
D．2 2
题型6
求点到直线的距离
141
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练14】已知


2,2,1
A
，

3,2,0
B
，则点

2,0, 1
P

到直线AB 的距离为（
）
A．
3
B．2
C．
5
D．
6
【变式训练15】已知空间中有

1,2,3
A
，

1,2,2
B 
，

2,0,1
C
三点，则点A 到直线BC 的距离为（
）
A．3 70
14
B．3 21
7
C．2 14
7
D．8
7
【变式训练16】如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E，F 分别为棱
1
1
A D ，
1
AA 的中点，
则点F 到直线BE 的距离为（
）
A．6
B．4
C．2
D．1
例7、已知点

2,1,1
A
在平面α内，点

9,8,5
B
在平面α外，且平面α的一个法向量为


1,1,1
a 

，则点
B 到平面α的距离为（
）
A．6 3
B．6 2
C．3 6
D．3 5
【变式训练17】如图，在棱长为3 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点E 是棱CD 上的一点，且
2
DE
EC

，
则点
1B 到平面
1
AEC 的距离为（
）
题型7
求点到平面的距离
142
2026 年高二暑假讲义A 版
A．6 14
7
B．3 14
7
C．2 7
7
D．
7
7
【变式训练18】如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，底面ABCD 是菱形，
1
1
60
A AB
A AD
BAD




，
1
2
AB
A A


，则点
1
B 到平面
1A BD 的距离为（
）
A．
6
3
B．3 2
4
C．2 6
3
D．3 3
4
例8、定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在
长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，
1
AB ，
2
BC 
，
1
3
AA 
，则异面直线AC 与
1
BC 之间的距离是（
）
A．
5
5
B．
7
7
C．
6
6
D．6
7
【变式训练19】正四棱锥S
ABCD

中，O 为顶点S 在底面ABCD 内的正投影，P 为侧棱SD 的中点，
且
2
SO
OD


，则异面直线PC 与BD 的距离为（
）
A．
10
10
B．
10
5
C．
5
10
D．
5
5
题型8
异面直线的距离
143
2026 年高二暑假讲义A 版
例9、两平行平面,
分别经过坐标原点O 和点

1,2,3
A
，且两平面的一个法向量


1,0,1
n 

，则
两平面间的距离是（
）
A．
2
B．
2
2
C．3
D．3 2
【变式训练20】已知


1,0,1
A
，
1
1,
,0
2
B





，

0,1,0
C
，
1
1,
,1
2
M 





，

0,1,1
N
，则直线MN 到平面ABC
的距离为（
）
A．
6
B．
6
4
C．
6
12
D．
6
6
【变式训练21】在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，,
E F 分别是
,
BC CD 的中点，则直线BD 到
平面
1
1
EFD B 的距离为（
）
A．
3
6
B．1
2
C．
2
4
D．1
3
例10、如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
1
2,
AA
AC
D


，E 分别为
1
1
,
CC A B 的中点.
线段BC 上是否存在点G ，使得
1A G
BD

？若存在，求出点G 到平面
1A BD 的距离；若不存在，说
明理由.
题型9
直线到平面、平面到平面的距离
题型10
距离中的探索性问题
144
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练22】如图，在四棱锥P
ABCD

中，平面PDC 平面ABCD ，AD
DC

，
//
AB DC ，
1
1
2
AB
CD
AD



，M 为棱PC 的中点.
(1)证明：
//
BM
平面PAD ；
(2)若
5
PC 
，
1
PD ，在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM 的距离是2 6
9
？若存在，
求出PQ的值；若不存在，说明理由.
例11、在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，AC
BC

，
1
D ，
1F 分别是
1
1
A B ，
1
1
AC 的中点，
1
BC
CA
CC


，
则
1
BD 与
1
AF 所成角的余弦值是（
）
A．
30
10
B．1
2
C．
30
15
D．
15
10
【变式训练23】已知正三棱柱ABC
A B C


的各条棱长均相等，棱CC的中点为D ，则直线A C

与
直线BD 所成的角的余弦值为（
）
A．0
B．1
4
C．
3
3
D．
5
5
题型11
求异面直线所成角
145
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练24】《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在
阳马P
ABCD

中，若PA 平面ABCD ，且
2
PA
AB


，异面直线PD 与AC 所成角的余弦值为4
5 ，
则AD （
）
A．6
5
B．4
C．2
D．3
例12、若直线l 的一个方向向量为


1, 0,
3
u 


，平面的一个法向量为
(0,0,1)
n 

，则l 与所成
的角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．π
3
或2π
3
D．π
6 或5π
6
【变式训练25】在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD 为正方形，PA 底面
,
, ,
ABCD PA
BC E F

分别
为
,
CD PC 的中点，则直线PE 与平面ABF 所成角的正弦值为（
）
A．1
3
B．
2
3
C．2 2
3
D．
2
6
【变式训练26】如图，在四棱锥S
ABCD

中，底面ABCD 是矩形，
2
2,
AD
SA
SD
AB
P




为棱
AD 的中点，且
,
SP
AB M

为棱SA上的一点，若BM 与平面SBD 所成角的正弦值为
3
4
，则
AM 
.
【变式训练27】如图所示，在六棱锥P
ABCDEF

中，PA 平面ABCDEF ，六边形ABCDEF 是边
长为3 的正六边形，
6,
PA
M

是PE 上靠近点E 的三等分点．
(1)证明：DE 平面PAE ；
(2)求线DM 与平面PBC 所成角的正弦值．
题型12
求直线与平面所成角
146
2026 年高二暑假讲义A 版
例13、在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，若
1
1
1
3
B P
B C



，则平面
1A BP 与平面
1
1
A B P 夹角的
余弦值（
）
A．
2
3
B．
3
4
C．
2
5
D．
3
6
【变式训练28】如图所示，AE 平面ABCD ，四边形AEFB 为矩形，
BC ∥
,
,
2
2
4
AD BA
AD AE
AD
AB
BC





.
(1)求证：CF ∥平面ADE ；
(2)求平面CDF 与平面AEFB 所成角的正弦值.
【变式训练29】如图在四棱锥P
ABCD

中，
,
//
AB
AD AD BC

，
2
2
2
6
AD
AB
BC
AP




，
且底面ABCD 为直角梯形，PA 平面ABCD ，
,
E F 分别为线段
,
PD PC 上靠近点P 的三等分点.
(1)证明:

EF
平面APC ；
(2)求平面AEF 与平面ADC 夹角的余弦值.
题型13
求二面角及平面与平面所成角
147
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练30】如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，侧面
1
1
A ACC 为菱形，
1
60
A AC


，底面ABC 为
等边三角形，平面
1
1
A ACC ⊥平面ABC ，点
,
D E 分别是
1
1
1
1
,
A B AC 的中点.
(1)证明：平面DEC 平面ABC ；
(2)若
2
AB 
，点F 在直线
1
CC 上，且平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为
17
17
，求线段CF 的
长.
例14、图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD 为矩形，PD 底面ABCD ，
2
DP
DC


，
1
AD BP



．
(1)求线段AD 的长；
(2)线段AD 上是否存在点E ，使得平面PEB 与平面PAD 夹角的余弦值为
2
6
？若存在，求出DE
DA 的
值；若不存在，请说明理由．
题型14
空间角中的探索性问题
148
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练31】如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
5
AB
AC


，
2
BC 
，侧面
1
1
BB C C 是正方形，
D 为BC 的中点，二面角
1
A
BC
B


的大小是2π
3 ．
(1)求证：平面
1
AA D 平面ABC ；
(2)线段BC 上是否存在一个点E ，使直线
1
C E 与平面
1
1
ACC A 所成角的正弦值为3 3
10
．若存在，求出
BE 的长；若不存在，请说明理由．
【变式训练32】如图，在四棱锥S
ABCD

中，四边形ABCD 是矩形，SAD

是正三角形，且平面SAD 
平面ABCD ，
1
AB ，P 为棱AD 的中点，四棱锥S
ABCD

的体积为2 3
3
.
(1)若E 为棱SB 的中点，求证：PE / / 平面SCD ；
(2)在棱SA上是否存在点M ，使得直线SA与平面PMB 所成角的正弦值为
21
7
？若存在，求出点M 的
位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
149
2026 年高二暑假讲义A 版
例15、在平行四边形ABCD 中（图1），
2
2
AB
BC


，M 为AB 的中点，将等边
ADM
△
沿DM 折
起，连接
,
AB AC ，且
2
AC 
（图2）．
(1)求证：CM 平面ADM ；
(2) P 为线段AC 上的动点（不含端点），DP 能否与平面ABM 平行？说明理由；
(3)求直线AD 与平面ABM 所成角的正弦值．
【变式训练33】如图，在边长为3 的正方形ABCD 中，,
E F 分别在边
,
AD CD 上，
1,
AE
AC
EF

∥
，
将DEF

沿EF 翻折，使得点D 与点P 重合，且平面PEF 平面ABCFE ，
(1)证明：AC ∥平面PEF 且
10
PB 
.
(2)求平面PAB 与平面PCF 的夹角.
题型15
空间几何体中的翻折问题
150
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练34】如图，在矩形ABCD 中，
3
AB ，
2
AD 
，2AE
EB


，将
ADE
V
沿DE 翻折得到
四棱锥A
BCDE

，且二面角C
A E
D


为直二面角.
(1)证明：EC 平面A EC

；
(2)求二面角B
A D
E



的正切值.
151
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、①零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；
②若a
是直线l 的方向向量，则


a

R

也是直线l 的方向向量；
③在空间直角坐标系中，


0,0,1
k 

是坐标平面xOy 的一个法向量；
④若直线l 平面，则直线l 的方向向量垂直于平面的法向量．
以上四个命题中，正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
2、已知
1
2
3
,
,
e e e

为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为
1
2
3
3
a
e
e
e








和
1
2
3
2
b
e
e
e








，若

∥
，则


（
）
A．5
B．5

C．3
D．3

3、已知点

1,2, 1
A

，

2,1, 1
B

，


1,2,0
C 
，则平面ABC 的法向量n是（
）
A．

1,1,2
B．

1, 1,2

C．

2,1,1
D．

1,2,1
4、如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为1，若点M 为AB 的中点，
1
1
3
CN
CC



，则
1
DB 与MN
所成角的余弦值为（
）
A．
3
21
B．
5
21
C．
3
14
D．
5
14
5、已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为1，M 为棱
1
1
A D 的中点，G 为侧面
1
1
CDD C 的中心，点P，Q
分别为直线AD，AB 上的动点，且PG
MQ

，当|
|

PQ 取得最小值时，点Q 到平面PMG 的距离为
（
）
A．
6
2
B．
5
2
C．1
D．
3
2
152
2026 年高二暑假讲义A 版
二、多选题
6、下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（
）
A．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是


2,3, 1
a 


，


2, 3,1
b 


，则1
2
l
l
∥
B．直线l 的方向向量


1 1 2
a
,
,



，平面的法向量是


6,4, 1
u 


，则l


C．两个不同的平面，的法向量分别是


2,2, 1
u 


，


3,4,2
v 

，则


D．直线l 的方向向量


0,3,0
a 

，平面的法向量是


0, 5,0
u 


，则l

∥
7、直线l 的方向向量为a
，两个平面、的法向量分别为n
、m
，则下列命题为真命题的是（
）
A．若a
n


，则直线//
l
平面
B．若//
a n
，则直线l 平面
C．若
1
cos
,
2
a n 

，则直线l 与平面所成角的大小为π
6
D．若
3
cos
,
2
m n 

，则平面、所成夹角的大小为π
6
8、已知棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，E，M，N 分别为
1
1
A B ，AD ，
1
CC 的中点，则下列
说法中正确的是（
）
A．
//
AC
平面EMN
B．直线AC 与直线
1A D的距离为2 3
3
C．点A 到平面EMN 的距离为
3
3
D．AC 到平面EMN 的距离为
2
2
三、填空题
9、已知正四棱柱ABCD 
1
1
1
1
D
C
B
A
，
1
AB ，
1
2
AA 
，点E 为
1
CC 中点，则点
1
D 到平面BDE 的距
离为
．
10、在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，设


1
1
0
1
B P
B C







，若二面角
1
1
B
A P
B


的平面角的正弦
值为
33
6
，则实数的值为
．
四、解答题
11、如图，在四棱锥P
ABCD

中，PA 平面ABCD ，AB
AD

，记平面PAB 平面PCD
l
，/ /
l
平面ABCD ．
153
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)证明：
/ /
AB
CD ．
(2)证明：平面PAB 平面PAD ．
(3)已知
3,
2
PA
AD
AB
CD




，求直线BC 与直线PD 所成角的余弦值．
12、如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C

中，
1
90 ,
2,
4,
BAC
AB
AC
AA
M






是AB 的中点，N 是
1
1
B C
的中点，P 是
1
BC 与
1
B C 的交点.
(1)在线段
1A N 上找一点Q ，使得
/ /
PQ
平面
1ACM ;
(2)在（1）的条件下，求PQ 与平面
1ACM 的距离.
154
2026 年高二暑假讲义A 版
13、如图1，在边长为2 的菱形ABCD 中，
60 ,
BAD
DE
AB




于点E ，将
ADE
V
沿DE 折起到
1A DE
△
的位置，使
1A D
BE

，如图2．
(1)求证：
1A E 平面BCDE ；
(2)求点B 到平面
1ACD 的距离；
(3)在线段BD 上是否存在点P ，使平面
1A EP 平面
1A BD ？若存在，求BP
BD 的值；若不存在，说明理
由．
155
2026 年高二暑假讲义A 版
直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴称为基准，x 轴的正向与l 向上的方向之间所
产生的角叫做直线l 的倾斜角．
2、倾斜角的范围
当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为
0
180




，具体如下：
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表
示,即
tan
k


.
倾斜角是90的直线没有斜率,倾斜角不是90的直线都有斜率.
题型1
直线的倾斜角
题型6
斜率公式的应用（三点共线）
题型2
直线的斜率
题型7
斜率公式的几何意义
题型3
直线斜率与直线的方向向量
题型8
两直线的平行关系
题型4
直线的斜率与倾斜角间的变化关系
题型9
两直线的垂直关系
题型5
直线与线段有交点问题
题型10
平行、垂直关系的综合运用
知识点1
直线的倾斜角
知识点2
直线的斜率
156
2026 年高二暑假讲义A 版
倾斜角不同的直线,其斜率也不同.因此,我们可以用斜率表示倾斜角不等于90的直线相对于x 轴的
倾斜程度.
2、倾斜角与斜率的关系
直线的情况
平行于x 轴
由左向右上升
垂直于x 轴
由左向右下降
的大小
0



0
90





90



90
180





k 的取值范围
0

k
0

k
不存在
0

k
k 的增减性
—
k 随的增大而增大
—
k 随的增大而减增大
1、斜率公式：经过两点
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x y
1
2
(
)
x
x

的直线的斜率公式为
2
1
2
1
y
y
k
x
x



．
2、直线的斜率与方向向量的关系
我们知道直线
1
2
PP 上的向量
1 2
PP

以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线
1
2
PP 的方向向量
1 2
PP

的坐标为
2
1
2
1
(
,
)
x
x y
y


．当直线
1
2
PP 与x 轴不垂直时，此时向量
1
2
2
1
1
PP
x
x


也是直线
1 2
PP 的
方向向量，且它的坐标
2
1
2
1
2
1
1
(
,
)
x
x y
y
x
x



，即
2
1
2
1
(1,
)
(1, )
y
y
k
x
x



，其中k 是直线
1 2
PP 的斜率．因
此，若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为( , )
x y ，则斜率为
y
k
x

．
1、设两条不重合的直线l1、l2,斜率存在且分别为
1
2
,
k k ,倾斜角分别为α1、α2,则对应关系如下：
前提条件
1
2
90





1
2
90





对应关系
1
2
1
2
l
l
k
k


‖
1
2
l
l
‖
⇔两直线斜率都不存在
图示
2、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
知识点3
过两点的直线的斜率公式
知识点4
两条直线平行
157
2026 年高二暑假讲义A 版
(1) 1
2
1
2
l
l
k
k



成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；②1l 与2l 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90，则1
2
l
l

.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
1
2
1
2
l
l
k
k



或1l ，2l 斜率都不存在.
1、设两条不重合的直线l1、l2,斜率存在且分别为
1
2
,
k k ,倾斜角分别为α1、α2,则对应关系如下：
图示
对应关系
1l 与
2l 的斜率都存在,分别为
1
2
,
k k ,则
1
2
1
2
1
l
l
k k



1l 与2l 中的一条斜率不存在,另一条斜
率为零,则1l 与2l 的位置关系是1
2
l
l

2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1) 1
2
1
2
1
l
l
k
k



成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②
1
0
k 
且
2
0
k 
.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
1
2
1
2
1
l
l
k
k



或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
例1、图中等于直线l 的倾斜角的是（
）
题型1
直线的倾斜角
知识点5
两条直线垂直
158
2026 年高二暑假讲义A 版
A．①④
B．①②
C．①③
D．②④
【变式训练1】已知直线l 的倾斜角为，则与l 关于x 轴对称的直线的倾斜角为（
）
A．
B．90


C．180


D．90


【变式训练2】设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45，
得到直线1l ，那么1l 的倾斜角为（
）
A．
45


B．
135


C．135


D．当0
135



时，倾斜角为
45

；当135
180



时，倾斜角为
135


例2、在平面直角坐标系中，直线
1
x 的斜率为（
）
A．0
B．1
C．90
D．不存在
【变式训练3】经过



0,1 ,
2,5
A
B 
两点的直线的斜率为（
）
A．2
B．2

C．1
2
D．
1
2

【变式训练4】已知直线l 的斜率为
3
3
，则直线l 的倾斜角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【变式训练5】若经过两点

3,
1
A
y 
、

2, 1
B

的直线的倾斜角为π
4 ，则y 等于（
）
A．3

B．2
C．0
D．1

【变式训练6】设坐标平面内三点

,
3
A m
m


，

2,
1
B
m 
，

1,4
C 
，直线AC 的斜率等于直线BC
的斜率的三倍，则实数m 的值为
.
题型2
直线的斜率
159
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、（多选）直线:
4
0
l x
y



的一个方向向量（
）
A．(1,1)
B．( 1, 1)

C．(1, 1)

D．( 1,1)

【变式训练7】已知直线l 的倾斜角为60，方向向量


3,
a
y


．则y （
）
A．3 3
B．
3
C．3
2
D．3 3
2
【变式训练8】已知点

1,2 3
A
，

4, 3
B
，若AB
是直线l 的方向向量，则直线l 的倾斜角为（
）
A．150
B．120
C．60
D．30
例4、下列说法正确的是（
）
①直线的倾斜角的取值范围是

0, π ；
②平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
③直线的倾斜角越大，其斜率就越大.
A．①
B．②③
C．①③
D．①②
【变式训练9】如图中的直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为
1k ，
2k ，
3k ，则（
）
A．
1
2
3
k
k
k


B．
3
1
2
k
k
k


C．
3
2
1
k
k
k


D．
1
3
2
k
k
k


题型3
直线斜率与直线的方向向量
题型4
直线的斜率与倾斜角间的变化关系
160
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练10】已知直线l 的倾斜角满足60
135



，则l 的斜率k 的取值范围是（
）
A．[ 1, 3)

B．[
3,1]

C．(
, 1]
( 3,
)



D．(
,
3]
( 1,
)



【变式训练11】已知直线l 的斜率
1, 3
k




，则l 的倾斜角的取值范围为（
）
A．π 3π
,
3
4






B．π 3π
,
6
4






C．
π
3π
0,
,π
3
4













D．
π
3π
0,
,π
6
4













例5、已知点

2,0
A
，


0,4
B
，若过


6, 8
P 

的直线l 与线段AB 相交，则直线斜率k 的取值范围
为（
）
A．
1
k 
B．
2
k 
C．
2
k 
或
1
k 
D．1
2
k


【变式训练12】已知点
(1,2)
P
，经过点P 作直线l，若直线l 与连接
(9,1)
A
，
(5,8)
B
两点的线段（含
端点）总有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为（
）
A．1 3
,
8 2






B．
1 3
,
8 2







C．
1
,
8







D．
1
3
,
,
8
2















【变式训练13】已知点


3,4
A 
，点


10,5
B
，直线l 过点


0,0
O
且与线段AB 相交，则直线l 的斜
率的取值范围为（
）
A．
4 1
,
3 2







B．
4
1
,
,
3
2















C．1 ,
2





D．
4
,
3







例6、已知三点
(2, 1)
A

，
(4,3)
B
，
(5, )
C
k 在同一条直线上，则k 的值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
题型5
直线与线段有交点问题
题型6
斜率公式的应用（三点共线）
161
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练14】若





1,2 ,
1,0 ,
,3
A
B
C m

三点在同一条直线上，则实数m （
）
A．4

B．2

C．2
D．4
【变式训练15】已知
0
a 
，平面内三点
2
3
(0,
),
(1,
),
(3, 2
)
A
a
B
a
C
a

共线，则a 
．
例7、若3
1,2
4
x
y




，则2
x
y 的取值范围为
.
【变式训练16】已知实数x、y 满足方程
2
6
0
x
y



，当0
4
x


时，则
1
2
y
x


的取值范围
是
．
【变式训练17】已知点
( 1
3, 1),
(3,0)
A
B


，若点
( , )
M x y 在线段AB 上，则
2
1
y
x


的取值范围是（
）
A．
1
,
[ 3,
)
2









B．
1
1,
2








C．(
, 1]
[ 3,
)



D．
1 1
,
2 2







例8、根据下列给定的条件，判断直线1l 与直线2l 是否平行．
(1) 1l 经过点


2,3
A
，

4,0
B 
，2l 经过点


3,1
M 
，


2,2
N 
；
(2) 1l 的斜率为
1
2

，2l 经过点

4,2
A
，


2,3
B
；
(3) 1l 平行于y 轴，2l 经过点


0, 2
P

，


0,5
Q
；
(4) 1l 经过点


0,1
E
，


2, 1
F 

，2l 经过点


3,4
G
，


2,3
H
．
题型7
斜率公式的几何意义
题型8
两直线的平行关系
162
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练18】已知直线1l 经过点

1,2
A 
，

1,4
B 
，直线2l 经过点

2,1
P
，


,6
Q x
，且1l ∥2l ，
则x （
）
A．2
B．2

C．4
D．1
【变式训练19】（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中1
2
//
l
l 的是（
）．
A．1l 的斜率为2，2l 过点


1,2
A
，

4,8
B
B．1l 经过点

3,3
P
，


5,3
Q 
，2l 平行于x 轴，且不经过点P
C．1l 经过点


1,0
M 
，


5, 2
N 

，2l 经过点


4,3
R 
，

0,5
S
D．1l 的方向向量为

1,1 ，2l 的倾斜角为π
3
【变式训练20】已知直线1l 的倾斜角为60，直线2l 经过点
( 1,
3), (0,0)
A
B

，则直线1
2
,
l l 的位置关
系是（
）
A．平行或重合
B．平行
C．垂直
D．重合
例9、已知直线1l 经过


3,4
A 
，


8, 1
B 

两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l （
）
A．垂直
B．平行
C．重合
D．相交但不垂直
【变式训练21】（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中1
2
l
l

的是（
）
A．1l 的倾斜角为45，2l 的斜率为1
B．1l 的斜率为
3
3

，2l 经过点

2,0
A
，

3, 3
B
C．1l 经过点

2,1
P
，


4, 5
Q 

，2l 经过点


1,2
M 
，


1,0
N
D．1l 的方向向量为

1,m ，2l 的方向向量为
1
1,
m







题型9
两直线的垂直关系
163
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练22】已知点
(
3,2),
( 2
4,4),
(
,
),
(3,3
2)
A
m
B
m
C
m m D
m






，若直线AB
CD

，则m 的
值为（
）
A．1 或1

B．3
或1

C．1
或3
D．3 或3

例10、（1）已知


0,3
A
，


4,0
B
，


8,9
C 
，判断A ，B ，C 三点是否在同一条直线上；
（2）已知直线1l 的倾斜角为π
3 ，直线2l 经过

1, 3
P 
，

8, 2 3
Q

两点，判断1l 与2l 是否垂直.
【变式训练23】（多选）已知点

0,2
A
，


1,0
B 
，下列结论正确的是（
）
A．若直线AB 的方向向量为

1,k ，则
1
2
k 
B．若直线l 的斜率为
1
2

，则l
AB

C．若


1, 1
C

，则
ABC
V
为直角三角形
D．若


1, 1
C

，


3,3
D
，则四边形ABCD 是平行四边形
【变式训练24】已知坐标平面内三点






2, 4 ,
2,0 ,
1,1
A
B
C



．
(1)若
, ,
,
A B C D 可以构成平行四边形，且点D 在第一象限，求点D 的坐标；
(2)若


,
E m n 是线段AC 上一动点，求
2
n
m 
的取值范围．
题型10
平行、垂直关系的综合运用
164
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、直线
2025
y 
的倾斜角为（
）
A．180
B．0
C．90
D．45
2、如图，直线1l 、2l 、3l 、4l 中，斜率最小的是（
）
A．1l
B．2l
C．3l
D．4l
3、已知直线1l 经过


3,7
A
，

2,8
B
两点，且直线2
1
l
l

，则直线2l 的倾斜角为（
）
A．30o
B．45
C．135
D．150
4、已知直线1l 的方向向量为


1
,1
a
k


，直线2l 的方向向量为


2
2
,
a
k k



，若1l ∥
2l ，则k （
）
A．2

B．1
C．2
或1
D．0 或2
5、经过两点

1,
A
m ，

1,3
B m 
的直线的倾斜角是锐角，则实数m 的范围是（
）
A．(
, 3)
( 2,
)



B．( 3, 2)


C．(2,3)
D．(
,2)
(3,
)



6、已知直线1l ，2l 的斜率分别为
1k ，
2k ，倾斜角分别为
1
，
2
，则“
1
2
k
k

”是“
1
2



”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7、已知点


2,2
A
，

1,3
B 
，若过点


0, 1
P

的直线l 与线段AB 相交，则直线l 斜率k 的取值范围
是（
）
A．
3
4, 2







B．
3
4, 2







C．

3
, 4
,
2









D．

3
, 4
,
2








165
2026 年高二暑假讲义A 版
二、多选题
8、满足下列条件的直线1l 与2l 一定平行的是（
）
A．直线1l 的倾斜角为60，直线2l 经过点

1, 3
A
，

2, 2 3
B 

B．直线1l 的方向向量为


2,3
n 

，直线2l 经过点

1, 2

A
，


2,1
B
C．直线1l 经过点


0,1
A
，


10
B
,
，直线2l 经过点


1,3
M 
，


2,0
N
D．直线1l 经过点

3,2
A 
，


3,10
B 
，直线2l 经过点


5, 2
M

，


5,5
N
9、已知经过

0,2
A
，

, 1
B
m


两点的直线l 的一个方向向量为

1,m ，则直线l 的倾斜角可能为（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
10、以
( 1,1),
(2, 1), (1,4)
A
B
C


为顶点的三角形，下列结论正确的有（
）
A．
2
3
AB
k

B．
1
4
BC
k

C．以A 点为直角顶点的直角三角形
D．以B 点为直角顶点的直角三角形
三、填空题
11、已知点







3,
,
2,3 ,
2,3 ,
1,
2
A
a
B a
C
D
a



，直线AB 与直线CD 垂直，则a 
．
12、设



2,3 ,
1,2
A
B

，若点

,
P x y 在线段AB 上，则
1
y
x
的取值范围是
．
四、解答题
13、已知直线l 过点

2 ,3
A
m
，


2, 1
B

.
(1)若直线l 的倾斜角为45，求实数m 的值；
(2)若直线l 的倾斜角为钝角，求实数m 的取值范围.
166
2026 年高二暑假讲义A 版
14、已知


1,2
A
，

2,1
B
，

0,
C
m 三点．
(1)若过
,
A C 两点的直线的倾斜角为45°，求m 的值．
(2)
, ,
A B C 三点可能共线吗？若能，求出m 值．
15、已知坐标平面内三点

1,1
A 
、

1,1
B
、

2, 3
1
C

.
(1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；
(2)若D 为
ABC
V
的AB 边上一动点，求直线CD 的倾斜角的取值范围.
16、已知实数x，y 满足2
8
x
y


，且2
3
x


．
(1)求y
x 的取值范围；
(2)求
1
1
y
x

的取值范围．
167
2026 年高二暑假讲义A 版
直线的方程
类别
点斜式
斜截式
适用范围
斜率存在
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k 和在y 轴上的截距b
图示
方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
截距
直线l 与y 轴交点(0，b)的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2)
在x，y 轴上的截距分别为a，b
( a≠0，b≠0)
示意图
方程
y－y1
y2－y1
＝x－x1
x2－x1
x
a＋y
b＝1
适用范围
斜率存在且不为0
斜率存在且不为0，不过原点
题型1
直线的点斜式方程及应用
题型5
直线的一般式方程及应用
题型2
直线的斜截式方程及应用
题型6
含参直线方程过定点问题
题型3
直线的两点式方程及应用
题型7
根据直线的位置关系求参数
题型4
直线的截距式方程及应用
题型8
根据直线的位置关系求直线方程
知识点1
直线的点斜式方程和斜截式方程
知识点2
直线的两点式方程和截距式方程
168
2026 年高二暑假讲义A 版
1、定义
关于x , y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x , y 的二元一次方程
0
Ax
By
C



(其中
A , B 不同时为0（
2
2
0
A
B


）叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
（1）A 、B 不全为零才能表示一条直线，若A 、B 全为零则不能表示一条直线.
当
0
B 
时，方程可变形为
A
C
y
x
B
B


，它表示过点0,
C
B






，斜率为
A
B

的直线．
当
0
B 
，
0
A 
时，方程可变形为
0
Ax
C


，即
C
x
A

，它表示一条与x 轴垂直的直线．
由上可知，关于x 、y 的二元一次方程，它都表示一条直线．
（2）在平面直角坐标系中，一个关于x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条
直线可以对应着无数个关于x 、y 的一次方程.
（3）解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
2、直线的一般式方程与其它形式方程的互化
（1）一般式化为斜截式的步骤
①移项得By
Ax
C


；
②当
0
B 
时，得斜截式方程
A
C
y
x
B
B


．
（2）一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得Ax
By
C


；
②当
0
C 
，方程两边同时除以C

，得
1
Ax
By
C
C




；
③化为截距式方程：
1
x
y
C
C
A
B




．
知识点3
直线的一般式方程
169
2026 年高二暑假讲义A 版
2、利用直线方程判断两直线的位置关系
方程形式
位置关系
斜截式
1
1
2
2
,
y
k x
b
y
k x
b




一般式
1
1
1
2
2
2
0,
0
A x
B y
C
A x
B y
C






相交
1
2
k
k

1
2
2
1
0
A B
A B


或


1
1
2
2
2
2
0
A
B
A B
A
B


垂直
1
2
1
k k 
1
2
1
2
0
A A
B B


平行
2
k
k

1
且
1
2
b
b

1
2
2
1
1
2
2
1
0,
0
A B
A B
B C
B C







或
1
2
2
1
1
2
2
1
0,
0
A B
A B
AC
A C







或


1
1
1
2
2
2
2
2
2
0
A
B
C
A B C
A
B
C



重合
1
2
k
k

且
1
2
b
b

1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
0
A B
A B
B C
B C
AC
A C






或


1
1
1
2
2
2
2
2
2
0
A
B
C
A B C
A
B
C



3、常见的直线系方程
一条直线的确定需要两个独立条件.具有某个独立条件的所有直线的集合,称为直线系,它的方程称为
直线系方程.
（1）平行直线系
①斜率为k 的直线系方程为y
kx
b


( k 为常数,b 为参数).
②与直线
0
Ax
By
C



平行的直线系方程都能表示为
0
Ax
By
m



(其中m 为参数,且m
C

),
我们可以依据题设中另一个条件来确定m 的值.
③过点


0
0
,
,
P x y
且平行于直线
0
Ax
By
C



的直线方程为




0
0
0
A x
x
B y
y




0
0
(
0)
Ax
By
C



.
（2）垂直直线系
①与直线


0
y
kx
b k



垂直的直线系方程为
1
y
x
m
k


(
0
k 
, m 为参数).
②与直线
0
Ax
By
C



垂直的直线方程可表示为
0
Bx
Ay
n



,再由其他条件列方程求出n .
170
2026 年高二暑假讲义A 版
(3)过点


0
0
,
P x y
,且垂直于直线
0
Ax
By
C



的直线方程为




0
0
0.
B x
x
A y
y




（3）中心直线系
①斜率存在(设为k )且过定点


0
0
,
P x y
的直线系方程为


0
0 .
y
y
k x
x



②为避免对斜率是否存在进行讨论, 过定点


0
0
,
P x y
的直线系方程还可设为




0
0
0
A x
x
B y
y




( A , B 为参数).
例1、求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示．
(1)过点

4 3
P
,

，斜率
3
k ；
(2)经过点

2, 3

，倾斜角是直线
3
3
y
x

的倾斜角的2 倍；
(3)经过点

5,2

，且平行于y 轴；
(4)过



2,3 ,
5, 4
P
Q


两点．
【变式训练1】已知直线l 倾斜角为2π
3 ，且过点
(4,1)
A
，则直线l 的方程为（
）
A．
3
1
(
4)
3
y
x


B．
3
1
(
4)
3
y
x


C．
1
3(
4)
y
x


D．
1
3(
4)
y
x


【变式训练2】已知直线l 经过点

1,0
P
，且方向向量


1,2
v 

，则l 的方程为（
）
A．
2
1
0
x
y


B．2
2
0
x
y



C．2
2
0
x
y



D．
2
1
0
x
y


题型1
直线的点斜式方程及应用
171
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练3】已知
ABC
V
的三个顶点





1,6 ,
1, 2 ,
6,3
A
B
C

．
(1)求边BC 上的中线所在直线的方程；
(2)求边BC 上的高所在直线的方程．
例2、根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150，在y 轴上的截距是2
；
(3)倾斜角为2π
3 ，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.
【变式训练4】直线
3
:
1
3
l y
x

的倾斜角为（
）
A．30o
B．60o
C．120
D．150
【变式训练5】直线l 的方程为
,
0,
0
a
c
y
x
ab
ac
b
b




，则此直线必不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式训练6】已知直线1
2
:
,
:
l
y
ax
b l
y
bx
a




，当,a b 满足一定条件时，它们的图形可能是图中
的（
）
题型2
直线的斜截式方程及应用
172
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
B．
C．
D．
【变式训练7】已知直线



2
3
1
1
a
y
a
x



，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是
（
）
A．

,2


B．

,2


C．

2, 

D．

2, 

【变式训练8】一束光线从点

3,3
A 
射出，沿倾斜角为150的直线射到x 轴上，经x 轴反射后，
反射光线所在的直线方程为（
）
A．
3
2
y
x


B．
3
2
y
x


C．
3
2
3
y
x


D．
3
2
3
y
x


例3、下列直线方程是两点式方程的是（
）
A．y
kx
b


B．


0
0
2
y
y
k x
x



C．
1
2
x
y
a
b


D．


1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
,
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x







【变式训练9】已知直线l 的两点式为
9
8
5
9
2
8
y
x





，则（
）
A．直线l 经过点(5,2)
B．直线l 的斜截式为
3
11
2
2
x
y


题型3
直线的两点式方程及应用
173
2026 年高二暑假讲义A 版
C．直线l 的倾斜角为锐角
D．直线l 的点斜式为
2
2
(
5)
3
y
x



【变式训练10】已知点




,5 ,
3,
A m
B
n ，若AB 的中点坐标为

2,1 ，则直线AB 的方程为（
）
A．
4
9
0
x
y


B．
4
9
0
x
y



C．4
9
0
x
y



D．4
9
0
x
y



例4、过

2,0
A
、

0,3
B
两点的直线方程是（
）
A．
1
2
3
x
y


B．
1
3
2
y
x 

C．
2
3
y
x

D．
3
2
y
x

【变式训练11】两条直线1 :
1
x
y
l
a
b

和2 :
1
x
y
l
b
a

在同一直角坐标系中的图象可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12】已知直线l 过点

3,5 ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（
）
A．
8
0
x
y



B．5
3
0
x
y


C．5
3
0
x
y


或
8
0
x
y



D．5
3
0
x
y


或
8
0
x
y



【变式训练13】求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点


1, 3
A 

，且斜率为
1
4

；
(2)直线过点

2,1 ，且横截距为纵截距的两倍.
题型4
直线的截距式方程及应用
174
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练14】过点

1,3

且斜率为2 的直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（
）
A．25
2
B．25
4
C．5
2
D．5
4
【变式训练15】直线l 过点

3,4

，且在两坐标轴上的截距之和为12．
(1)求直线l 的方程
(2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积．
【变式训练16】直线l 的方程为

1
3
1
0
a
x
y
a




，a R .
(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；
(2)若直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ，点O是坐标原点．若
AOB
V
的面积为16，求a 的
值.
例5、直线3
3
2
0
x
y



的倾斜角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【变式训练17】若方程



2
2
3
2
4
0
m
m
x
m
m y
m







表示一条直线，则实数m 满足（
）
A．
0
m 
B．
2
m 
C．
1
m ，
2
m 
，
0
m 
D．
1
m 
题型5
直线的一般式方程及应用
175
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练18】如果
0
AC 
且
0
BC 
，那么直线
0
Ax
By
C



不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式训练19】若直线的截距式方程
1
x
y
a
b

化为斜截式方程为
2
y
x
b


，化为一般式方程为


8
0
0
bx
ay
a




，则a
b

（
）
A．2

B．2
C．6
D．8
【变式训练20】设直线l 的方程为



2
2
2
3
2
1
2
6
m
m
x
m
m
y
m







，根据下列条件分别求m
的值．
(1)直线l 在x 轴上的截距为2；
(2)直线l 的斜率为1．
例6、已知直线:
1
0
l mx
m
y



过定点，则定点的坐标为（
）．
A．

3,1
B．

3, 1

C．(
)
1, 1
-
D．

1,1
【变式训练21】直线


3
1
1
0
mx
m
y



必过定点（
）
A．

3,1
B．

3 1
,
C．1 ,1
3






D．1,0
3






【变式训练22】已知直线



2
1
2
1
0
x
y








（
R

）恒过定点M，则点M 的坐标
为
.
题型6
含参直线方程过定点问题
176
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练23】已知点




2, 3 ,
3, 2
P
Q



，直线
1
y
kx
k


与线段PQ相交，则实数k 的取值范围
是（
）
A．

3 ,
4
, 4









B．
3
4, 4







C．
3 ,4
4







D．


3
,
4,
4









【变式训练24】当原点O到动直线


:
2
1
0
l x
my
m
m



R 的距离最大时，实数m 的值
为
.
例7-1、已知直线
(
)
1
2
:
1
0,
:
1
2
2
0
l
x
ay
l
a
x
y
+
+ =
-
+
- =
．若1
2
l
l
// ，则实数a 的值为
．
【变式训练25】已知直线1 : (
2)
3
1
0
l
m
x
y



与直线2 :
(
2)
1
0
l
mx
m
y



相互平行，则实数m 的
值是（
）
A．4

B．1 或4

C．1

D．6
【变式训练26】已知直线


1 :
1
1
0
l
a
x
y



，




2 : 3
5
1
2
0
l
a
x
a
y





，则1l ∥
2l 的充要条件
的是（
）
A．
2
a 
B．
3
a 
C．
2
a 
或3
D．
4
a 
例7-2、已知直线1 : 2
3
1
0


l
x
y
，2 :
2
2
0
l
ax
y



，若1
2
l
l

，则实数a 的值为（
）
A．3
B．1
3
C．3

D．
1
3

【变式训练27】若直线1 :
2
1
0
l
ax
y


与直线2
1
: (
1)
0
2
l
a
x
y




垂直，则实数a 的取值是（
）
A．
1
a 或
2
a 
B．
1
a 
C．
2
a 
D．
2
3
a 
【变式训练28】“
10
a 
”是“直线
4
2
0
ax
y



与直线2
5
0
x
y
b



互相垂直”的（
）
题型7
根据直线的位置关系求参数
177
2026 年高二暑假讲义A 版
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
例8、据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．
(1)求经过点(
)
1, 1
-
，且与直线
3
0
x
y



平行的直线方程；
(2)已知点

2, 1
A 

，


4,3
B
．求线段AB 的垂直平分线的方程；
(3)求经过点

2,4
P
，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【变式训练29】求满足下列条件的直线方程；
(1)过点

1,2 ，且与直线3
2
3
0
x
y



平行的直线方程；
(2)过点

1,2

，且与直线3
2
0
x
y



垂直的直线方程；
(3)过点

1, 2

，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【变式训练30】菱形ABCD 的顶点A，C 的坐标分别为

4,7
A 
，


6, 5
C

，BC 边所在直线过点


4, 1
P

.
(1)求BC ，AD 边所在直线的一般式方程；
(2)求对角线BD 所在直线的一般式方程.
题型8
根据直线的位置关系求直线方程
178
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练31】已知在
ABC
V
中，





0,0 ,
2,0 ,
1,3 ,
,
A
B
C
D E ，分别在线段
,
AC AB 上，且
//
DE
BC ．
(1)求AC 边上的高所在直线的斜截式方程；
(2)若
ADE
V
的面积为
ABC
V
面积的1
4 ，求直线DE 的一般式方程
【变式训练32】已知直线1l ：


1
1
0
x
m
y



，2l ：
1
1
0
m
x
y



．
(1)若1
2
l
l
// ，求m 的值．
(2)设直线1l 过的定点为A，直线2l 过的定点B，且当
1
m 时，直线1l 与2l 交点为C，求
ABC
V
中BC
边上的高所在直线l 的方程.
【变式训练33】已知直线




1
2
3
1
:




a
y
a
x
l
．
(1)求直线l 所过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求实数a 的取值范围；
(3)若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程．
179
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、若方程



2
2
2
3
4
1
0
m
m
x
m
m y
m






表示一条直线，则实数m 满足（
）
A．
0
m 
B．
3
2
m 
C．
1
m 
D．
1
m ，
3
2
m 
，
0
m 
2、已知直线l 过点

4,5 ，且一个方向向量为

1,2

，则直线l 的方程为（
）
A．


1
5
4
2
y
x



B．


1
5
4
2
y
x



C．


5
2
4
y
x



D．


5
2
4
y
x



3、直线2
4
1
0
x
y



与直线
2
1
0
x
y


一定（
）
A．平行
B．垂直
C．重合
D．相交但不垂直
4、已知两条直线1
2
:
4
1
0,
:
2
0
l
ax
y
l
x
ay




，若1
2
l
l
// ，则a （
）
A．0
B．2
C．2

D．2 或2

5、过两点

2,4

和

4
1

,
的直线在x 轴上的截距为（
）
A．14
5
B．
14
5

C．7
3
D．
7
3

6、直线l 过点


2,3
A
，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（
）
A．9
B．12
C．18
D．24
7、已知点




4,4 ,
2, 3
A
B



，直线:
1
0
l kx
y
k



，若
,
A B 位于直线l 的两侧，则k 的取值范围为
（
）
A．

4,1

B．

1,4

C．



, 1
4,



D．



, 4
1,


U
二、多选题
8、下列说法不正确
．．．的有（
）
A．直线的倾斜角越大，斜率越大
B．过点



1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
的直线方程是
1
1
1
2
1
2
x
x
y
y
x
x
y
y





180
2026 年高二暑假讲义A 版
C．经过点

1,1 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线有2 条
D．直线
1
2
3
x
y

在y 轴上的截距是3
9、设直线1
2
: 2
2
l
x
ay
a



，则（
）
A．直线1l 在y 轴上的截距为1 a

B．直线1l 与直线2l ：
2
1
ax
y

一定垂直
C．直线1l 过定点(1,2)
D．当点
(0,0)
O
在直线1l 的右下方时，
1
a 
三、填空题
10、（1）若直线l 经过点
(2, 1), (2,7)
A
B

，则直线l 的方程为
；
（2）若点
(3,
)
P
m 在过点
(2, 1), ( 3,4)
A
B


的直线上，则m 
.
11、平面直角坐标系中，已知直线l 过点

0,4 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l 的方
程为
．
四、解答题
12、求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示.
(1)过点

4,3
P 
，斜率
3
k ；
(2)经过点

2, 3

，倾斜角是直线
3
3
y
x

的倾斜角的2 倍；
(3)经过点

5,2

，且平行于y 轴．
181
2026 年高二暑假讲义A 版
13、已知点

3,3
A
和直线l：
3
5
4
2
y
x


，求：
(1)过点A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程.
14、已知
ABC
V
的顶点坐标为





1,5
2, 1
4,3
A
B
C



､
､
.
(1)求过点B 且与直线AC 平行的直线的方程；
(2)求BC 边上的中线所在直线的方程；
(3)求AB 边上的高所在直线的方程.
15、已知直线




1
2
3
1
:




a
y
a
x
l
．
(1)求直线l 所过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求实数a 的取值范围；
(3)若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程．
182
2026 年高二暑假讲义A 版
直线的交点坐标和距离公式
1、点与坐标的一一对应关系
几何元素及关系
代数表示
点P
( , )
P a b
直线l
:
0
l Ax
By
C



点P 在直线l 上
0
Aa
Bb
C



直线1l 与2l 的交点是P
方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C









的解是x
a
y
b




2、直线的交点与方程的解
求两直线
1
1
1
1
1
1
0(
0)




A x
B y
C
A B C
与
2
2
2
2
2
2
0(
0)




A x
B y
C
A B C
的交点坐标，
只需求两直线方程联立所得方程组
1
1
1
2
2
2
0
0









A x
B y
C
A x
B y
C
的解即可．
若有
1
1
1
2
2
2


A
B
C
A
B
C ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有
1
1
1
2
2
2


A
B
C
A
B
C ，则方程组无解，此时两直线平行；
若有
1
1
2
2

A
B
A
B ，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．
1、两点间的距离公式
题型1
直线的交点问题
题型5
点关于点、直线对称
题型2
两点间的距离公式
题型6
直线关于点、直线对称
题型3
点到直线的距离公式
题型7
入射光线和反射光线问题
题型4
两平行线的距离公式
题型8 利用对称解决线段和、差最值问题
知识点1
两条直线的交点坐标
知识点2
距离公式
183
2026 年高二暑假讲义A 版
平面内两点


1
1
1
,
P x y
，


2
2
2
,
P x
y
间的距离公式为：




2
2
1
2
1
2
1
2




PP
x
x
y
y
.
特别地，原点
(0,0)
O
与任一点
( , )
P x y 的距离
2
2
|
|
OP
x
y


.
注：
①公式中
1P 和
2P 位置没有先后之分，也可以表示为：




2
2
1
2
2
1
2
1




PP
x
x
y
y
．
②两点间的距离公式的特殊形式：当
1
2
PP
x

轴时,
1
2
2
1
PP
y
y


; 当
1
2
PP
y

轴
时,
1
2
1
2 .
PP
x
x


③已知斜率为k 的直线上的两点


1
1
1
,
P x y
,


2
2
2
,
,
P x y
由两点间的距离公式可得




2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
.
PP
x
x
y
y
k
x
x
y
y
k










2、点到直线的距离公式
平面上任意一点


0
0
,
P x
y
到直线
:
0
l Ax
By
C



( A , B 不同时为0 ) 的距离
0
0
2
2
.
Ax
By
C
d
A
B




3、两条平行直线间的距离公式
一般地, 两条平行直线
1
1
2
2
:
0,
:
0
l
Ax
By
C
l
Ax
By
C






( 其中A 与B 不同时为0, 且
(
1
2)
C
C

间的距离
1
2
2
2 .
C
C
d
A
B



注：
①两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式,并且,x y 的系数分别对应相等的
情况,否则必须先化为一般式且系数对应相等才能使用此公式.
②当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时,可利用数形结合来解决.
(1)两直线都与x 轴垂直时, 1
1
:
l
x
x

, 2
2
:
l
x
x

,则
2
1 ;
d
x
x


(2)两直线都与y 轴垂直时, 1
1
:
l
y
y

, 2
2
:
l
y
y

,则
2
1
d
y
y


184
2026 年高二暑假讲义A 版
例1-1、分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系．
(1) 1 : 2
7
l
x
y


和2 :3
2
7
0
l
x
y



；
(2) 1 : 2
6
4
0
x
l
y



和2 : 4
12
8
0
l
x
y



；
(3) 1 : 4
2
4
0
l
x
y



和2 :
2
3
l
y
x

．
【变式训练1】直线2
2
0
ax
y



与直线
(
)1
2
0
x
a
y




互相垂直，则这两条直线的交点坐标为
（
）
A．
2
6
,
5
5








B．2 6
,
5 5






C．2
6
,
5
5







D．
2 6
,
5 5







【变式训练2】（多选）已知直线1 :
3
0
l
ax
y
a



，直线


2 : 2
1
6
0
l
x
a
y




，则（
）
A．当
3
a 
时，1l 与2l 的交点为

3,0
B．直线1l 恒过点

3,0
C．若1
2
l
l

，则
1
3
a 
D．存在aR ，使1
2
l
l
//
【变式训练3】若直线1l ：
2
4
0
x
y



与直线2l ：
2
1
0
kx
y
k



的交点位于第一象限，则实数k
的取值范围是（
）
A．
1 1
,
6 2







B．
1 1
,
2 6







C．
1
1
,
,
2
2















D．
1
1
,
,
2
6















题型1
直线的交点问题
185
2026 年高二暑假讲义A 版
例1-2、已知三条直线
2
8
0
mx
y



，2
10
0
x
y



，
2
0
x
y



相交于一点，则m 
.
【变式训练4】（多选）若三条直线

2
3
5
2
5
0
a
a
x
y





，
2
y
x

，
2
5
x
y


交于一点，则a
的值可为（
）
A．1

B．3
C．1
D．4
例1-3、已知直线l 过直线1 :
0
l
x
y


和2 :
2
0
l
x
y



的交点，且与3
4
5
0
x
y



平行，则l 的方程
是（
）
A．3
4
7
0
x
y



B．3
4
7
0
x
y



C．4
3
1
0
x
y


D．4
3
1
0
x
y


【变式训练5】经过两条直线2
3
10
0
x
y



与3
4
2
0
x
y



的交点，且垂直于直线
3
7
0
x
y



的
直线的方程为（
）
A．3
4
0
x
y



B．3
4
0
x
y



C．3
4
0
x
y



D．3
8
0
x
y



【变式训练6】经过直线
2
6
0
x
y



和
2
2
0
x
y



的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程
为
.
例2、已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是

3,4 ，则AB （
）
A．10
B．5
C．8
D．6
【变式训练7】已知





,2 ,
2, 3 ,
1,1
A a
B
C


三点，且AB
AC

，则a 的值为（
）
A．7
2
B．
11
4

C．
3
2

D．
9
2

【变式训练8】直线1 :3
2
0



l
ax
y
和直线


2 : 2
1
5
1
0
l
a
x
ay



分别过定点A 和B ，则AB （
）
A．13
5
B．17
5
C．11
5
D．
89
5
题型2
两点间的距离公式
186
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练9】已知四边形ABCD 的四个顶点为


0,0
A
，

3, 2
B

，

5,1
C
，

2,3
D
，则四边形ABCD
的形状是（
）.
A．平行四边形
B．正方形
C．菱形
D．矩形
【变式训练10】已知




1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
是直线:
2
l y
x
b


上的两点，若
2
1
3
x
x


，求
AB 
.
【变式训练11】顺次连接
(3,1),
(5,
),
( ,2)
A
B
m C m
构成一个等腰三角形，则实数m 的一个取值可能
为
．
【变式训练12】数学家欧拉（Euler）1765 年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角
形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若
ABC
V
的顶点






2,0 ,
0,4 ,
4,0
A
B
C

，则欧拉线方程为
．
【变式训练13】已知三角形的顶点为

2,3
A
，

0, 1
B

，


2,1
C 
.
(1)求直线AC 的方程；
(2)若直线l 过点B 且与直线AC 交于点E，
3
BE 
，求直线l 的方程.
187
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、点


1,2
M 
到直线3
4
6
0
x
y



的距离为（
）
A．2

B．2
C．1

D．1
【变式训练14】已知
(4,0)
A
到直线4
3
0
x
y
a



的距离等于3，则a 的值为
.
【变式训练15】已知两点


3,2
A
和

1,4
B 
到直线
3
0
mx
y



距离相等，则m 值为（
）
A．0 或
1
2

B．1
2 或6

C．
1
2

或1
2
D．0 或1
2
【变式训练16】过点

2,2 3
P
且和原点距离是2 的直线方程是
.
【变式训练17】（多选）过点


2,1
M 
且与




1,2 ,
3,0
A
B

两点距离相等的直线方程（
）
A．
2
0
x
y


B．
2
0
x
y


C．
1
y 
D．
1
x 
【变式训练18】已知

,
P m n 在直线3
4
15
0
x
y



上，则
2
2
m
n

的最小值为
．
例4、已知直线1 :3
4
10
0
l
x
y



，2 :3
4
5
0
l
x
y



，两直线之间的距离为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练19】两平行直线1 : 2
4
1
0
l
x
y


，2 :
2
2
0
l
x
y



之间的距离为（
）
A．
5
B．
5
2
C．1
D．1
2
【变式训练20】若直线1 : 2
1
0
l
x
y


与直线


2 :
2
0
R
l
kx
y
k




平行，那么这两条直线之间的
题型3
点到直线的距离公式
题型4
两平行线的距离公式
188
2026 年高二暑假讲义A 版
距离为（
）
A．3
5
B．1
5
C．3 5
5
D．
5
5
【变式训练21】若两条平行直线1l ：
2
0
x
y
m



与2l ：2
6
0
x
ny



之间的距离是2 5 ，则直线1l
在x 轴上的截距为
．
【变式训练22】已知直线:
2
3
0
l x
y



.
(1)若直线1l 过点


2, 1
M

，且1l
l
，求直线1l 的方程；
(2)若直线2//
l
l ，且直线2l 与直线l 之间的距离为
5 ，求直线2l 的方程.
【变式训练23】已知在
ABC
V
中，AB 边上的高所在的直线方程为
0,
x
y
AC


边上的高所在的直线
方程为3
4
9
0
x
y



，点A 的坐标为

1,2 .求：
(1)边BC 所在的直线方程；
(2)
ABC
V
的面积.
189
2026 年高二暑假讲义A 版
例5-1、已知点
( ,2)
A x
与
( 3, )
B
y

关于坐标原点对称，则x
y

等于（
）
A．5
B．1
C．5

D．1

【变式训练24】已知不同的两点

,
P a
b

与


1,
1
Q b
a


关于点

3,4 对称，则ab （
）
A．5

B．14
C．14

D．5
例5-2、点

2, 3
P

关于直线:
1
l y
x


的对称点为（
）
A．

3,4

B．

4, 3


C．

4,3

D．

3, 4


【变式训练25】（多选）若点


,4
A m
和点


1
,3
B
m

关于直线:
3
0
l x
ny



对称，则（
）
题型5
点关于点、直线对称
190
2026 年高二暑假讲义A 版
A．AB 的中点坐标为
1 7
,
2 2







B．
1
n 
C．直线l 的斜率为1
D．
0
m 
【变式训练26】点

1,3
P 
关于直线
0
x
y


的对称点为Q ，则点Q 到直线3
2
0
x
y



的距离为
（
）
A．3 5
5
B．3 10
C．3 10
5
D．10
例6-1、与直线3
4
5
0
x
y



关于坐标原点对称的直线的方程为（
）
题型6
直线关于点、直线对称
191
2026 年高二暑假讲义A 版
A．4
3
5
0
x
y



B．3
4
5
0
x
y



C．4
3
5
0
x
y



D．3
4
5
0
x
y



【变式训练27】直线l：
2
4
y
x


关于点
(1,0)
A
对称的直线方程为（
）
A．
2
y
x

B．
2
y
x

C．
2
8
y
x


D．
2
4
y
x


【变式训练28】直线ax＋y＋3a－1＝0 恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方
程为（
）
A．2x＋3y－12＝0
B．2x＋3y＋12＝0
C．3x－2y－6＝0
D．2x＋3y＋6＝0
例6-2、直线
2
1
0
x
y


关于直线
1
x 对称的直线方程是（
）
A．
2
1
0
x
y


B．2
1
0
x
y


C．
2
3
0
x
y



D．
2
3
0
x
y



【变式训练29】已知直线:
1
0
l x
y


，1 :
3
0
l
x
y



，2 : 2
1
0
l
x
y


．
（1）求直线1l 关于直线l 的对称直线1l 的方程；
（2）求直线2l 关于直线l 的对称直线2l 的方程．
例7、一条光线从点

4,2
P
射出，经过直线y
x

反射后与y 轴相交于点


0, 2
Q

，则入射光线所在
直线的方程为（
）
A．
3
2
0
x
y



B．3
2
0
x
y



C．
3
2
0
x
y



D．
3
10
0
x
y



【变式训练30】已知从点

1,5

发出的一束光线，经过直线2
2
0
x
y



反射，反射光线恰好过点


2,7 ，则反射光线所在的直线方程为（
）
题型7
入射光线和反射光线问题
192
2026 年高二暑假讲义A 版
A．2
11
0
x
y



B．4
1
0
x
y


C．4
15
0
x
y



D．
9
0
x
y



【变式训练31】如图所示，已知点
(2,0), (0,2)
A
B
，从点
(1,0)
P
射出的光线经直线AB 反射后再射到
直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程是（
）
A．3
B．10
C．3 3
D．2 5
题型8
利用对称解决线段和、差最值问题
193
2026 年高二暑假讲义A 版
例8、已知点




1, 3 ,
5,2
A
B

，点P 在y 轴上，则AP
BP

的最小值为
.
【变式训练32】已知点P 在直线
1
0
x
y


上，点
(1, 2),
(2,6)
A
B

，则|
|
|
|
PA
PB

的最小值为
【变式训练33】已知在
ABC
V
中，顶点


1,1
A
，点B 在直线
2
0
l x
y



:
上，点C 在x 轴上，则
ABC
V
的周长的最小值为（
）
A．
5
B．2 5
C．4 5
D．5 5
2
【变式训练34】已知点P 在直线
1
0
x
y


上，点


1, 2
A

，


2,6
B
，则PA
PB

的最小值
为
，此时点P 坐标为
一、单选题
1、直线2
5
7
0
x
y



和3
2
6
0
x
y



的交点坐标为（
）
A．

4,3
B．

3,4
C．

4,3

D．

4, 3


2、已知
ABC
V
三边所在直线方程分别为
:3
AB
x 4
12
0,
:4
3
16
0,
:2
2
0
y
BC
x
y
AC
x
y








，
则AC 边上的高所在直线的方程是（
）
A．
2
4
0
x
y



B．2
4
9
0
x
y



C．4
3
9
0
x
y



D．7
28
0
x
y



3、点
3
(2,
)
A

关于点
( 1,0)
B 
的对称点A的坐标是（
）
A．(5, 6)

B．( 4,3)

C．(3, 3)

D．1
3
,
2
2







4、已知点

2,4
A
关于直线l 对称的点为


1,2
B 
，则直线l 的方程为（
）
A．4
6
15
0
x
y



B．6
4
15
0
x
y



C．6
4
15
0
x
y



D．4
6
15
0
x
y



5、已知直线
4
2
0
mx
y



与2
5
0
x
y
n



互相垂直，垂足为


1,
P
p ，则m
n
p


的值是（
）
A．24
B．0
C．20
D．4

6、已知直线
3
1
0
x
ky
k



与
2
2
0
x
y



的交点在第四象限，则实数k 的取值范围为（
）
194
2026 年高二暑假讲义A 版
A．1 ,1
4






B．
1
2, 4







C．

1
, 2
,
4









D．


, 2
1,



7、已知直线1 : 4
3
4
0
l
x
y



，






2 :
2
1
2
5
0
R
l
m
x
m
y
m
m







，则下列说法错误的是（
）
A．直线2l 过定点

3, 1

B．当
1
m 时，1
2
l
l
∥
C．当
2
m 
时，1
2
l
l
∥
D．当1
2
l
l
∥
时，两直线1l ，2l 之间的距离为1
8、下列说法正确的是（
）
A．直线
2
0
x
y



与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点

0,2 关于直线
1
y
x

的对称点为

1,0
C．直线
2
3
0
x
y



关于直线
3
0
x
y



的对称直线的方程为
2
0
x
y


D．直线
3
3
y
x

关于点
(3,2)
A
的对称直线的方程为3
17
0
x
y



二、多选题
9、已知直线:
3
1
0
l x
y


，则下列说法正确的是（
）
A．直线l 在x 轴上的截距为1
B．直线l 与直线1 :
3
2
0
l
x
y



之间的距离为
10
10
C．直线l 的一个方向向量为
(1,3)
n 

D．直线l 与直线2 :3
1
0
l
x
y


垂直
10、下列说法中，正确的有（
）
A．直线


3
2
y
ax
a
a



R 必过定点

3,2
B．点

1,1 关于直线
1
0
x
y


对称的点是

3,4
C．直线
3
1
0
x
y


的斜率为
3
3

D．点

1,2 到2
3
0
x
y



的距离是3 5
5
三、填空题
11、已知三条直线
2
8
0
mx
y



，2
10
0
x
y



，
2
0
x
y



相交于一点，则m 
.
12、斜率为3
，且过两条直线3
4
0
x
y



和
4
0
x
y



交点的直线方程为
．
195
2026 年高二暑假讲义A 版
13、已知



2,4 ,
1,1
A
B
，若直线:
2
0
l kx
y
k




与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是
．
四、解答题
14、已知直线1
2
:
2
3
0,
: 2
3
8
0
l
x
y
l
x
y




．
(1)经过点
(1,4)
A
且与直线1l 平行的直线；
(2)经过点
(1,4)
A
且与直线2l 垂直的直线；
(3)经过直线1l 与2l 的交点，且在两坐标上的截距相等的直线．
15、已知直线:
2
2
0



l x
y
，试求：
(1)点


2, 1
P 

关于直线l 的对称点坐标.
(2)直线1 :
2
l
y
x


关于直线l 对称的直线2l 的方程.
(3)直线l 关于点


1,1
A
对称的直线方程.
16、设直线1 :
3
6
0
l
mx
my



与


2
2 : 4
4
0
l
m x
my
m
m





.
(1)若1
2
l
l
// ，求1l 、2l 之间的距离；
(2)当直线2l 与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求m 的值.
196
2026 年高二暑假讲义A 版
圆的方程
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，
A

的圆心A 的坐标为
( , )
A a b , 半径为r ,
( , )
M x y 为圆上任意一点，
A

可用集合表示为：
{
||
|
}
P
M
MA
r


1、圆的标准方程：我们把方程



2
2
2
x
a
y
b
r




称为圆心为

,a b ,半径为(
0)
r r 
的圆的标
准方程.
2、圆的一般方程：当
2
2
4
0
D
E
F



时，方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F





叫做圆的一般方程．
其中
,
2
2
D
E








为圆心，
2
2
1
4
2
D
E
F


为半径．
3、一般方程与标准方程关系：
对方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F





的左边配方，并将常数移项到右边，得
2
2
2
2
4
2
2
4
D
E
D
E
F
x
y


















，根据圆的标准方程可知：
题型1
由标准方程确定圆心和半径
题型6
点与圆位置的关系的最值问题
题型2
求圆的标准方程
题型7
圆过定点问题
题型3
二元二次方程表示圆的问题
题型8
与圆相关的对称问题
题型4
求圆的一般方程
题型9
与圆相关的轨迹问题
题型5
点与圆位置的关系判断
知识点1
圆定义
知识点2
圆的一般方程
197
2026 年高二暑假讲义A 版
（1）当
2
2
4
0
D
E
F



时，方程只有实数解
,
2
2
D
E
x
y


.它表示一个点
,
2
2
D
E








．
（2）当
2
2
4
0
D
E
F



时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当
2
2
4
0
D
E
F



时，可以看出方程表示以
,
2
2
D
E








为圆心，
2
2
1
4
2 D
E
F


为半径的圆．
注：圆的一般式方程特点：
①
2x 和
2
y 前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；
②没有xy 项；③
2
2
4
0
D
E
F



.
4、对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程的形式如下：
条件
标准方程
一般方程
圆心在原点


2
2
2
0
x
y
r
r





2
2
2
0
0
x
y
r
r




过原点




2
2
2
2
x
a
y
b
a
b





2
2
0
x
y
Dx
Ey




圆心在x 轴上


2
2
2
x
a
y
r



2
2
0
x
y
Dx
F




圆心在y 轴上


2
2
2
x
y
b
r



2
2
0
x
y
Ey
F




圆心在x 轴上且过原点


2
2
2
x
a
y
a



2
2
0
x
y
Dx



圆心在y 轴上且过原点


2
2
2
x
y
b
b



2
2
0
x
y
Ey



与x 轴相切




2
2
2
x
a
y
b
b






2
2
2
0
4
0
x
y
Dx
Ey
F
D
F







与y 轴相切




2
2
2
x
a
y
b
a






2
2
2
0
4
0
x
y
Dx
Ey
F
E
F







1、几何法（优先推荐）
设
0
0
(
,
)
M x
y
到圆心
( , )
A a b 的距离为d ，则
|
|
d
MA

①d
r

则点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A

外
②d
r

则点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A

上
③d
r

则点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A

内
2、代数法
（1）将点
0
0
(
,
)
M x
y
带入
A

：
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r




方程内
①点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A

外
2
2
2
0
0
(
)
(
)
x
a
y
b
r




知识点3
点与圆的位置关系
198
2026 年高二暑假讲义A 版
②点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A

上
2
2
2
0
0
(
)
(
)
x
a
y
b
r




③点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A

内
2
2
2
0
0
(
)
(
)
x
a
y
b
r




（2）已知点
0
0
(
,
)
M x
y
和圆的一般式方程
C

：
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F





（
2
2
4
0
D
E
F



），
则点
0
0
(
,
)
M x
y
与圆的位置关系：
①点
0
0
(
,
)
M x
y
在
C

外
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F





②点
0
0
(
,
)
M x
y
在
C

上
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F





③点
0
0
(
,
)
M x
y
在
C

内
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F





1、轨迹方程和轨迹的定义
已知平面上一动点
( , )
M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标( , )
x y 满足的关系式。轨迹是指点
在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：
（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；
（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．
3、坐标法求轨迹方程的步骤
（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；
（2）设点：用( , )
x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；
（3）列式：列出关于.x y 的方程；
（4）化简：把方程化为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
1．圆的对称性：圆关于直径所在的直线轴对称；圆关于圆心中心对称.
2．圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置.
②两圆关于点对称,则此点为两圆圆心连线的中点.
3．圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置.
②两圆关于直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
知识点4
轨迹与轨迹方程
知识点5
与圆有关的对称问题
199
2026 年高二暑假讲义A 版
4．常用结论
(1)点关于点的对称
点


0
0
,
P x
y
关于点


,
M m n 的对称点为


0
0
2
,2
.
P
m
x
n
y



(2)点关于直线的对称
点


0
0
,
P x
y
关于直线
0
Ax
By
C



的对称点为


'
,
P
m n , m , n 的值由以下方程组解得：
0
0
0
0
·
·
0,
2
2
·
1.
x
m
y
n
A
B
C
n
y
A
B m
x













设
A

的方程
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r




，圆心
( , )
A a b ，点M 是
A

上的动点，点P 为平面内一点；
记
|
|
d
PA

;
1、若点P 在
A

外，则
max
|
|
PM
d
r


;
min
|
|
PM
d
r


2、若点P 在
A

上，则
max
|
|
2
PM
r

;
min
|
|
0
PM

3、若点P 在
A

内，则
max
|
|
PM
d
r


;
min
|
|
PM
r
d


例1、圆
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y




的圆心坐标和半径分别为（
）
A．(1,1),2
B．(1,1), 2
C．( 1, 1),2

D．( 1, 1),
2

题型1
由标准方程确定圆心和半径
知识点6
圆上的点到定点的最大、最小距离
200
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练1】若直线
1
0
x
y


是圆
2
2
(
)
(
1)
1
x
m
y



的一条对称轴，则m （
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【变式训练2】给定圆的方程



2
2
8
9
2
y
x




，则过坐标原点和圆心的直线方程为（
）
A．4
0
x
y
＝
B．4
0
x
y
＝
C．
4
0
x
y

＝
D．
4
0
x
y

＝
例2、圆心为(2,2) 且过原点的圆的方程是（
）
A．
2
2
4
x
y


B．
2
2
8
x
y


C．
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y




D．
2
2
(
2)
(
2)
8
x
y




【变式训练3】已知点

2,6
A 
，

6,0
B
，则以AB 为直径的圆的方程为（
）
A．



2
2
2
3
25
x
y




B．



2
2
2
3
25
x
y




C．



2
2
2
3
1000
x
y




D．



2
2
2
3
100
x
y




【变式训练4】已知圆C 的圆心在x 轴上且经过



1,1 ,
2, 2
A
B

两点，则圆C 的标准方程是（
）
A．
2
2
(
3)
5
x
y



B．
2
2
(
3)
17
x
y



C．
2
2
(
3)
17
x
y



D．
2
2
(
1)
5
x
y



【变式训练5】
ABC
V
的三个顶点的坐标分别为(
)
1,0
A
，

3,0
B
，


3,4
C
，则
ABC
V
的外接圆方程
是（
）
A．



2
2
2
2
20
x
y




B．



2
2
2
2
20
x
y




C．



2
2
2
2
5
x
y




D．



2
2
2
2
5
x
y




题型2
求圆的标准方程
201
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练6】已知圆M 经过


1,1
P
，


7, 5
Q 

两点，且圆心M 在直线:
2
1
0
l x
y


，则圆M 的
标准方程是（
）
A．



2
2
2
3
5
x
y




B．



2
2
3
4
13
x
y




C．



2
2
3
2
25
x
y




D．



2
2
3
2
25
x
y




例3、下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径．
(1)
2
2
7
2
0
5
x
y
y




；
(2)
2
2
6
7
0
x
xy
y
x
y




；
(3)
2
2
0
x
y
x



；
(4)
2
2
2
2
0
x
y
ax
a




（
0
a 
）；
(5)
2
2
2
4
2 3
6
0
x
y
ax
ay
a





．
【变式训练7】若方程
2
2
2
2
0
x
y
x
y
m




表示圆，则m 的取值范围为（
）
A．
2
m 
B．
2
m 
C．
2
m 
D．
2
m 
【变式训练8】已知


2
2
2
2
1
2
1
0
a x
a
y
x





表示圆，则实数a 的值为（
）
A．1

B．1
C．1
2
D．
1
2

【变式训练9】“关于x
y
，的方程：
2
2
4
8
0
x
y
mx
y





表示圆”是“
4
m 
”的（
）条件
A．必要不充分
B．充要
C．充分不必要
D．既不充分也不必要
题型3
二元二次方程表示圆的问题
202
2026 年高二暑假讲义A 版
例4、已知


0,0
O
，


4,3
A
，

1, 3
B

，则
OAB
△
的外接圆方程为（
）
A．
2
2
4
3
0
x
y
x
y




B．
2
2
3
0
x
y
x
y




C．
2
2
5
5
0
x
y
x
y




D．
2
2
7
0
x
y
x
y




【变式训练10】（多选）已知三点
(4,3),
(5,2),
(1,0)
A
B
C
下列结论正确的是（
）
A．AB 的距离为2
B．直线BC 的一般式方程为
2
1
0
x
y


C．以BC 为直径的圆方程为
2
2
6
2
5
0
x
y
x
y





D．
ABC
V
外接圆的方程为
2
2
6
2
5
0
x
y
x
y





【变式训练11】已知点


0,0
A
，

0,2
B
，

3, 1
C

，

4,2
D
在同一个圆上，则这个圆的方程为
.
例5、点P

1,1 与圆
2
2
1
x
y

的位置关系为（
）
A．点P 在圆外
B．点P 在圆上
C．点P 在圆内
D．无法确定
【变式训练12】“1
2
b


”是“点


0,
B
b 在圆




2
2
:
1
2
2
C
x
y




内”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式训练13】若点

1,
P
m 在圆
2
2
:
2
2
1
0
C x
y
x
y




内，则m 的取值范围是（
）
A．

, 2

B．

2,0

C．(0,2)
D．( 2,0)

题型4
求圆的一般方程
题型5
点与圆位置的关系判断
203
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练14】若点


1,2
P 
在圆
2
2
2
2
0
x
y
x
y
k





的外部，则实数k 的取值范围是（
）
A．

5,


B．

, 5

C．
5
5,8







D．
5
5, 4







例6、已知点Q 在圆
2
2
(
3)
(
2)
49
x
y




上，点
(1,5)
P
，则PQ 的值可能为（
）
A．1
B．7
C．13
D．15
【变式训练15】已知半径为3 的圆经过点(3,4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练16】已知圆




2
2
:
1
2
1
C
x
y



，点

7,6
A
，B 为圆C 上的动点，Q 为x 轴上的动点，
则QA
QB

的最小值为
．
【变式训练17】已知直线:
2
2
0(
)
l kx
y
k
k




R 过定点Q ，若P 为圆
2
2
:(
5)
(
6)
4
C
x
y




上任
意一点，则PQ 的最大值为（
）
A．3
B．5
C．7
D．9
例7、圆
: ²
²
2
5
0
C x
y
ax
ay





恒过的定点为（
）
A．


2,1 , 2, 1


B．


1, 2 , 2,1

C．


1, 2 , 1,2

D．


2, 1 , 2,1


【变式训练18】对任意实数m ，圆
2
2
3
6
9
2
0
x
y
mx
my
m






恒过定点，则定点坐标为
．
题型6
点与圆位置的关系的最值问题
题型7
圆过定点问题
204
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练19】已知曲线C ：



2
2
1
1
4
8
0
a x
a y
x
ay






．
(1)当a 取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．
例8、若直线2
1
0
x
y


是圆

2
2
1
x
a
y


的一条对称轴，则a （
）
A．1
2
B．
1
2

C．1
D．0
【变式训练20】圆



2
2
4
3
25
x
y




关于原点

0,0 对称的圆的方程为（
）
A．



2
2
4
3
25
x
y




B．



2
2
4
3
25
x
y




C．



2
2
4
3
25
x
y




D．



2
2
4
3
25
x
y




【变式训练21】圆
2
2
:(
1)
(
1)
2
C
x
y




关于直线:
1
l y
x

对称后的方程为（
）
A．
2
2
(
2)
2
x
y



B．
2
2
(
2)
2
x
y



C．
2
2
(
2)
2
x
y



D．
2
2
(
1)
2
x
y



【变式训练22】已知圆




2
2
:
1
2
1
M
x
y



与圆




2
2
:
3
4
1
N
x
y



关于直线l 对称，则l 的
方程为（
）
A．
2
5
0
x
y



B．
2
5
0
x
y



C．2
5
0
x
y



D．2
5
0
x
y



题型8
与圆相关的对称问题
205
2026 年高二暑假讲义A 版
例9、已知

2,0
A 
，

2,0
B
，动点M 与点A 的距离是它与点B 的距离的2 倍，则点M 的轨迹方
程为
.
【变式训练22】已知向量




,
,
2, 4
a
x y
b





，满足


a
a
b





，则动点

,
P x y 的轨迹方程
是
.
【变式训练23】已知过点


1,1
P 
的直线l 与圆
2
2
:
6
0
C x
y
x



交于
,
M N 两点，则弦MN 的中点Q
的轨迹方程为
.
【变式训练24】已知等腰三角形ABC 的一个顶点为

2,2
A
，底边的一个端点为


0,0
B
，则底边的
另一个端点C 的轨迹方程为（
）
A．



2
2
1
1
1
x
y



（
0
x 
且
1
x ）
B．



2
2
2
2
8
x
y




（
0
x 
且
4
x 
）
C．



2
2
1
1
1
x
y




（
0
x 
且
4
x 
）
D．



2
2
2
2
8
x
y




（
0
x 
且
2
x 
）
【变式训练25】点P 在圆
2
2
36
x
y


上运动，它与点
(4,0)
Q
所连线段中点为M ，则点M 轨迹方程
为（
）
A．
2
2
(
2)
9
x
y



B．
2
2
(
2)
9
x
y



C．
2
2
(
2)
9
x
y



D．
2
2
(
2)
9
x
y



【变式训练26】已知圆C 的圆心为


3,0
C
，且过点

1, 5 .
A
(1)求圆C 的半径及标准方程；
(2)若O 为坐标原点，点

,
P x y 满足
2
PO
PC

，求点P 的轨迹方程.
题型9
与圆相关的轨迹问题
206
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、圆心为

1, 2

，且半径为2 的圆的方程是（
）
A．



2
2
1
2
2
x
y




B．



2
2
1
2
2
x
y




C．



2
2
1
2
2
x
y




D．



2
2
1
2
2
x
y




2、圆C 的圆心在y 轴上，且过
(3,1)
A
，
( 3,5)
B 
两点，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
(
1)
17
x
y



B．
2
2
(
3)
17
x
y



C．
2
2
(
1)
13
x
y



D．
2
2
(
3)
13
x
y



3、若点

1,3
A a 
在圆




2
2
:
1
C
x
a
y
m




外，则实数m 的取值范围是（
）
A．

, 5

B．

,5

C．

0,5
D．

0, 5
4、若圆




2
2
2
2
2
3
2
0
C
x
y
m
x
m
y
m
m









：
过坐标原点，则实数m 的值为（
）
A．1
B．2
C．2 或1
D．－2 或－1
5、已知圆M 的方程为
2
2
5
x
y


，则直线2
3
0
x
y



关于点M 的对称直线方程为（
）
A．
2
6
0
x
y



B．
2
0
x
y


C．2
9
0
x
y



D．2
3
0
x
y



6、已知圆
2
2
2
2
4
5
9
0
x
y
ax
ay
a





上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为（
）
A．
3
3,
2








B．
3
3,
2







C．

, 3

D．

, 3

7、已知圆



2
2
1
2
4
x
y




关于直线
1
0
ax
by

（
0
a 
，
0
b 
）对称，则1
2
a
b

的最小值为（
）
A．5
2
B．9
C．4
D．8
二、多选题
8、已知圆的一般方程为
2
2
3
2
3
0
x
y
x
y





，则（
）
A．该圆圆心坐标为3 , 1
2







B．该圆圆心坐标为
3 ,1
2







C．该圆半径为5
D．该圆半径为5
2
9、在平面直角坐标系中，
ABC
V
的顶点坐标分别为





1,1 ,
2, 1 ,
1,4
A
B
C


，则（
）
207
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
ABC
V
为直角三角形
B．
ABC
V
为等腰三角形
C．
ABC
V
的外接圆方程为
2
2
3
3
13
2
2
2
x
y
















D．
ABC
V
的重心位于直线y
x

上
10、已知实数,x y 满足圆的方程

2
2
1
1
4
x
y



，则（
）
A．圆心( 1,0)

，半径为1
2
B．x 的最大值为3
2
C．


2
2
1
x
y


的最大值为
1
2
2

D．
2
x
y

的最大值为1
2
三、填空题
11、已知直线l ：
2
3
0
x
y



平分圆C ：
2
2
3
0
x
y
ay




的周长，则实数a 
.
12、圆
2
2
2
0
x
y
mx
y
m





恒过的定点是
.
13、已知点

1,1
A 
，M

的方程为



2
2
1
1
10
x
y




，P，Q 为
M

上的动点，满足
90
PAQ


，
则PQ 中点的轨迹方程为
．
四、解答题
14、（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径：
①
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y





；
②
2
2
3
3
6
3
15
0
x
y
x
y





．
（2）已知点

1,2
A
在圆




2
2
2
:
2
C
x
a
y
a
a




的内部，求实数a 的取值范围.
208
2026 年高二暑假讲义A 版
15、已知圆上三点坐标分别为
(1,2), (4,6),
(2,0)
A
B
C
．
(1)求该圆的一般方程；
(2)求弦BC 垂直平分线的方程；
(3)求
ABC
V
的面积．
16、已知
ABC
V
的三个顶点分别是






4,0 ,
0,2 ,
3,1
A
B
C
．
(1)求
ABC
V
的外接圆G （G 为圆心）的标准方程：
(2)若点P 的坐标是

6,0 ，点Q 是圆G 上的一个动点，点M 满足
1
3
PM
PQ



，求点M 的轨迹方程，
并说明轨迹的形状.
209
2026 年高二暑假讲义A 版
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的图象
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
1、几何法（优先推荐）
图象
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
2
2
2
)
(
)
(:
r
b
y
a
x
C




；
0
:



C
By
Ax
l
。
圆心
)
,
(
b
a
C
到直线l 的距
离：
2
2
|
|
B
A
C
Bb
Aa
d




。

r
d
圆与直线相交。
2
2
2
)
(
)
(:
r
b
y
a
x
C




；
0
:



C
By
Ax
l
。
圆心
)
,
(
b
a
C
到直线l 的距离：
2
2
|
|
B
A
C
Bb
Aa
d




。

r
d
圆与直线相切。
2
2
2
)
(
)
(:
r
b
y
a
x
C




；
0
:



C
By
Ax
l
。
圆心
)
,
(
b
a
C
到直线l 的距
离：
2
2
|
|
B
A
C
Bb
Aa
d




。

r
d
圆与直线相离。
题型1
判断直线与圆的位置关系
题型5
求切线方程及参数问题
题型2
由直线与圆的位置关系求参数
题型6
切线长问题
题型3
弦长及中点弦问题
题型7
切点弦问题
题型4
弦长相关的参数问题
题型8
直线与半圆相交的问题
知识点1
直线与圆的三种位置关系
C
l
C
l
C
l
知识点2
判断直线与圆的位置关系的两种方法
C
r
l
d
C
l
r
d
C
l
r
d
210
2026 年高二暑假讲义A 版
2、代数法
直线l ：
0
Ax
By
C



；圆M
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F





联立
2
2
0
0
Ax
By
C
x
y
Dx
Ey
F











消去“ y ”得到关于“ x ”的一元二次函数
2
0
ax
bx
c



①
0

直线l 与圆M 相交
②
0

直线l 与圆M 相切
③
0

直线l 与圆M 相离
设直线l 的方程为y
kx
b


,圆C 的方程为



2
2
2
0
0
x
x
y
y
r




,求弦长的方法有以下几种：
1．几何法
如图所示,半径长r 、圆心到直线的距离d 、弦长l 三者具有关系式：
2
2
2
2
l
r
d







.
2．代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组,设交点坐标分别为


1
1
,
A x y
,


2
2
,
.
B x y
(1)若交点坐标简单易求,则直接利用两点间的距离公式进行求解.
(2)若交点坐标无法简单求出,则将方程组




2
2
2
0
0
,
,
y
kx
b
x
x
y
y
r








消元后得一元二次方程,由一元
二次方程中根与系数的关系可得
1
2
x
x

,
1
2
x x 或
1
2
y
y

,
1
2
y y 的关系式,则有：







2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
AB
x
x
y
y
k
x
x
k
x
x
x x














,
或






2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
4
AB
x
x
y
y
y
y
y
y
y y
k
k



















.
通常把
2
1
2
1
AB
k
x
x



或
1
2
2
1
1
AB
y
y
k



叫做弦长公式.
知识点3
直线与圆相交
211
2026 年高二暑假讲义A 版
1．自一点引圆的切线的条数
(1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线.
(2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点.
(3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.
2．切线方程的几个重要结论
(1)经过圆
2
2
2
x
y
r


上一点


0
0
,
P x y
的切线方程为
2
0
0
.
x x
y y
r


(2)经过圆



2
2
2
x
a
y
b
r




上一点


0
0
,
P x y
的切线方程为





2
0
0
x
a
x
a
y
b
y
b
r







(3)经过圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F





上一点.


0
0
,
P x y
的切线方程为
0
0
0
0
0.
2
2
x
x
y
y
x x
y y
D
E
F









(4)已知圆
2
2
2
x
y
r


的切线的斜率为k ,则圆的切线方程为
2
1.
y
kx
r k



(5)斜率为k 且与圆



2
2
2
x
a
y
b
r




相切的切线方程的求法
①几何法：先设切线方程为y
kx
m


,然后化为一般式
0
kx
y
m



,利用圆心到切线的距离等于
半径,列出方程求m .
②代数法：设切线方程为y
kx
m


,与圆的方程



2
2
2
x
a
y
b
r




联立,化为关于x 的一元二
次方程,再利用判别式为0 ,求出m .
(6)过圆外一点

0
0
,
x y
与圆相切的切线方程的求法
①先假设切线的斜率存在且为k ,有下列两种求k 的方法：
.a 几何法：设切线方程为


0
0 ,
y
y
k x
x



化为一般式
0
0
0.
kx
y
y
kx




因为直线与圆相切,
所以圆心到直线的距离等于半径,由此解出k ;
.b 代数法：设切线方程为


0
0 ,
y
y
k x
x



与圆的方程



2
2
2
x
a
y
b
r




联立,化为关于x 的
一元二次方程,再利用判别式为0 ,求出k .
②若通过上述方法只求出一个斜率k ,则说明另一条切线的斜率一定不存在,此时另一条切线方程为
0
x
x

知识点3
直线与圆相切
212
2026 年高二暑假讲义A 版
3．切线长公式
(1)如图所示,在Rt AOP

和Rt BOP

中,切线长
2
2
PA
PB
PO
r



∣∣∣
∣∣
∣
(2)过圆外一点.


0
0
,
P x y
引圆的两条切线,则切线长为
2
2
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F









2
2
2
0
0
x
a
y
b
r




4．切点弦方程
过圆
2
2
2
x
y
r


外一点


0
0
,
P x y
引圆的两条切线,切点分别为A , B ,则过A , B 两点的直线方程为
2
0
0
x x
y y
r


例1、直线l：
1
y
x

与圆
2
2
:(
1)
4
C
x
y



的位置关系是（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．都有可能
【变式训练1】直线
2
0
x
y



和圆
2
2
2
0
x
y
x



的位置关系为（
）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交且过圆心
【变式训练2】直线: cos
sin
2
0





l x
y
与圆
2
2
:
1
O x
y

的位置关系为（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【变式训练3】已知直线:
1
0
l kx
y
k



和圆
2
2
:
2
4
4
0
C x
y
x
y




，则直线l 与圆C 的位置关
系是（
）
A．相切
B．相交
C．相离
D．相交或相切
题型1
判断直线与圆的位置关系
213
2026 年高二暑假讲义A 版
例2、若直线:
1
0
l mx
y


与圆

2
2
2
4
x
y



相切，则m （
）
A．
3
4

B．1
C．3
4
D．
5
4

【变式训练4】已知直线:l y
kx
b


与圆
2
2
1 :
1
C
x
y

和圆
2
2
2 :
(
6)
1
C
x
y


都相切，则k 的值为
（
）
A．2
B．
2

C．2 2

D．2 2
【变式训练5】已知经过点

1,0
P 
且倾斜角为3π
4 的直线l 与圆C ：
2
2
6
0
x
y
x
m




相离，则m
的取值范围为（
）
A．

1,9

B．

,9

C．

1,9
D．

1,
【变式训练6】直线
3
y
kx

与圆


2
2
1
1
x
y


相交的充分不必要条件可以是（
）
A．
2
3
k 
B．
2
3
k 
C．
2
k 
D．
1
k 
例3、已知直线
2
y
x


与圆
2
2
4
x
y


相交于M 、N 两点，则MN 
.
【变式训练7】直线:3
4
1
0
l
x
y


被圆
2
2
:
4
6
4
0
C x
y
x
y





截得的弦长为（
）
A．2 2
B．4 3
C．2 3
D．4 2
【变式训练8】已知点

4,7

在圆
: ²
²
4
6
0
C x
y
x
y
a





上，则直线2
4
0
x
y



被C 截得
的弦长为（
）
A．2 15
B．2 10
C．2 5
D．10
题型2
由直线与圆的位置关系求参数
题型3
弦长及中点弦问题
214
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练9】若

1,2
P
为圆
2
2
:
9
O x
y


的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（
）
A．
2
5
0
x
y



B．2
4
0
x
y



C．
2
5
0
x
y



D．2
4
0
x
y



【变式训练10】已知圆O 的方程是
2
2
8
2
10
0
x
y
x
y





，则圆O 中过点(5,2) 的最短弦所在的直
线方程是（
）
A．
3
0
x
y



B．
7
0
x
y



C．
2
9
0
x
y



D．2
8
0
x
y



例4、直线
1
y
kx

与圆



2
2
1
2
4
x
y




相交于M、N 两点，若
2 3
MN 

，则k 等于（
）
A．0
B．-2
C．2 或0
D．-2 或0
【变式训练11】若直线4
3
2
0
x
y
m




被圆
2
2
16
x
y


所截得的弦的长度为4 3 ，则m （
）
A．12
B．8
C．12或8

D．8或12

【变式训练12】已知圆心为C 的圆经过点
(2,0),
(0, 4)
A
B

，且圆心C 在直线
0
x
y


上．
(1)求圆C 的方程；
(2)已知直线l 过点(8,0) 且直线l 截圆C 所得的弦长为2，求直线l 的方程．
题型4
弦长相关的参数问题
215
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、过点


2,1
P
作圆
2
2
:
2
3
0
C x
y
y



的切线，则切线方程为（
）
A．
1
0
x
y


B．
2
0
x
y


C．
2
4
0
x
y



D．
2
0
x 

【变式训练13】若圆



2
2
1
0
x
a
y
a




与直线
3
3
y
x

只有一个公共点，则a 的值为（
）
A．1
B．
3
C．2
D．2 3
【变式训练14】过点


1,1
A
作圆
2
2
(
3)
(
4)
25
x
y




的切线l ，则直线l 的方程为
.
【变式训练15】（多选）已知直线l 过点(2,1) ，且直线l 与圆
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y





相切，则直线
l 的方程可能是（
）
A．
1
y 
B．
2
x 
C．4
3
11
0
x
y



D．3
4
3
0
x
y



例6、过圆
2
2
:
1
O x
y

外的点

3,3
P
作O 的一条切线，切点为A，则AP （
）
A．2 2
B．17
C．3 2
D．5
【变式训练16】一束光线从点


1,1
A 
发出，经直线
1
0
x
y


上的B 点处反射后与圆
2
2
: (
2)
(
6)
1
C
x
y



相切于点P ，则光程长AB
BP


．
【变式训练17】已知直线:
2
1
0
l x
y


及圆




2
2
:
1
2
4
C
x
y




，过直线l 上任意一点P 作圆C
的一条切线PA，A 为切点，则PA 的最小值是（
）
A．4 5
5
B．2 5
5
C．4 70
5
D．2 70
5
题型5
求切线方程及参数问题
题型6
切线长问题
216
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、过点
( 2,0)
P 
作圆
2
2
:
4
1
M x
y
y


的两条切线，设切点分别为A，B，则|
|
AB 
．
【变式训练18】如图，圆


2
2
:
2
1
M
x
y


，点

1,
P
t

为直线:
1
l x 上一动点，过动点P 作圆M
的两条切线，切点分别为
,
A B ．则直线AB 的方程为
，直线AB 所经过的定点的坐标为
．
【变式训练19】过直线
1
y
x
上任一点P 向圆
2
2
(
1)
1
x
y


作两条切线，切点为A，B．则|
|
AB
的最小值为
．
例8、直线y
x
b

与曲线
2
1
x
y


恰有1 个交点，则实数b 的取值范围是（
）
A．1
1
b


B．
2
1
b



C．
2
1
b



D．1
1
b

或
2
b 
【变式训练20】若直线l ：
2
0
kx
y
k



与曲线C ：
2
1
1
x
y


有两个不同的交点，则实数k 的
取值范围是
.
【变式训练21】若直线:
2
0
l kx
y



与曲线


2
: 1
1
1
C
y
x



至少有一个公共点，则实数k 的
取值范围是（
）
A．4 ,2
3






B．4 ,4
3






C．
4
4
2,
,2
3
3














D．4 ,
3





题型7
切点弦问题
题型8
直线与半圆相交的问题
217
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、已知直线:
2
0



l x
y
与圆
2
2
:
2
C x
y


，点


1,1
A
，则下列说法正确的是（
）
A．点A 在圆C 上，直线l 与圆C 相切
B．点A 在圆C 内，直线l 与圆C 相离
C．点A 在圆C 外，直线l 与圆C 相切
D．点A 在圆C 上，直线l 与圆C 相交
2、以点


1, 2
A

为圆心，且与直线
0
x
y


相切的圆的方程为（
）
A．
2
2
1
(
1)
(
2)
2
x
y




B．
2
2
9
(
1)
(
2)
2
x
y




C．
2
2
1
(
1)
(
2)
2
x
y




D．
2
2
9
(
1)
(
2)
2
x
y




3、已知直线y
x
m


被圆
2
2
2
15
0
x
y
x




截得的弦长为4 2 ，则m （
）
A．1
或3
B．2
C．3
或5
D．4
4、过点


2,4
P
的直线与圆
2
2
:(
3)
1
O
x
y


相切于点A ，则切线段PA 长为（
）
A．3
B．4
C．17
D．5
5、过(1,0) 点且与圆
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y




相切的直线方程为（
）
A．2
2
0
x
y



B．3
4
3
0
x
y



C．2
2
0
x
y



或
1
x 
D．3
4
3
0
x
y



或
1
x 
6、直线
1
0
mx
y
m



被圆
2
2
2
8
0
x
y
x




截得的最短的弦长为（
）
A．10
B．2 3
C．4
D．9
2
二、多选题
7、已知圆
2
2
:
6
4
9
0
C x
y
x
y





与直线: 3
4
3
0
l
x
y


，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则（
）
A．圆C 上有两个点到直线l 的距离为2
B．圆C 上只有一个点到直线l 的距离为2
C．
min
2
PQ

D．从点Q 向圆C 引切线，切线长的最小值是2 5
218
2026 年高二暑假讲义A 版
8、已知直线1 :
l


2
3
0
m
x
y
m





与圆
:
C
2
2
2
3
0
x
y
x




，则（
）
A．直线l 过定点

1,1
B．圆C 的半径为4
C．直线l 与圆C 一定相交
D．圆心C 到直线l 的距离的最大值是1
三、填空题
9、已知直线
2
0
x
y



与圆


2
2
2
0
x
y
r
r



有且仅有一个公共点，则r 
.
10、若直线y
x
b

与曲线
2
2
x
y


有两个公共点，则实数b 的取值范围是
.
四、解答题
11、已知圆C 的圆心在直线2
5
0
x
y



上，且经过点


0,3
A
，


4, 1
B

.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)求过原点且与圆C 相切的直线方程.
12、已知ABC

的三个顶点坐标为


31
A
，、


0
2
B

，
、


3
5
C

，
(1)求边BC 上的高所在的直线方程；
(2)若圆M 是ABC

的外接圆，且经过点

2 0
P
，的直线l 被圆C 所截得的弦长为4 2 ，求直线l 的方
程.
219
2026 年高二暑假讲义A 版
13、已知圆
2
2
:
4
6
12
0
C x
y
x
y





.
(1)若直线AB 方程为3
8
0
x
y



与圆C 相交于A、B 两点，求AB .
(2)在（1）的前提下，若点Q 是
2
2
(
4)
(
3)
10
x
y




圆上的点，求QAB

面积的最大值.
14、已知圆C 经过点
(0, 4)
A

和
( 2,0)
B 
，并且圆心在直线
3
0
x
y



上，
(1)求圆C 的标准方程；
(2)直线l 交圆C 于M
N
，
两点，若直线AM
AN
，
的斜率之和为0. 求证：直线l 的斜率是定值，并求
出该定值.
220
2026 年高二暑假讲义A 版
圆与圆的位置关系
1、圆与圆相交，有两个公共点；
2、圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
3、圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象
位置关系
图象
位置关系
图象
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
1、几何法：若两圆的半径分别为1r ，2r ，两圆连心线的长为d．
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
交点个数
0
1
2
1
0
d 与1r ，2r 的
关系
1
2
d
r
r


1
2
d
r
r


1
2
1
2
r
r
d
r
r




1
2
d
r
r


1
2
0
d
r
r



题型1
判断圆与圆的位置关系
题型4
公切线的条数问题
题型2
由圆与圆的位置关系求参数
题型5
求公切线方程及长度
题型3
两圆的公共弦问题
题型6
圆系方程
知识点1
圆与圆的位置关系
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
知识点2
圆与圆的位置关系的判定
221
2026 年高二暑假讲义A 版
2、代数法
设
1
C

:
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
x
a
y
b
r




；
2
C

:
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r




联立
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
x
a
y
b
r
x
a
y
b
r











消去“ y ”得到关于“ x ”的一元二次方程
2
0
px
qx
r



，求出其
2
4
q
pr


①
2
4
0
q
pr




1
C

与设设
1
C

相交
②
2
4
0
q
pr




1
C

与设设
1
C

相切（内切或外切）
③
2
4
0
q
pr




1
C

与设设
1
C

相离（内含或外离）
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2 条外公切线和2 条内公切线，共4 条；
1
C
2
C
（2）两圆外切时，有2 条外公切线和1 条内公切线，共3 条；
1
C
2
C
（3）两圆相交时，只有2 条外公切线；
1
C
2
C
（4）两圆内切时，只有1 条外公切线；
1
C
2
C
（5）两圆内含时，无公切线．
1
C
2
C
知识点3
圆与圆的公切线
222
2026 年高二暑假讲义A 版
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离d
r

求解
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设
1
C

:
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
x
a
y
b
r




2
C

:
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r




联立作差得到：
0
Ax
By
C



即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
1、以( , )
a b 为圆心的同心圆圆系方程：
2
2
(
)
(
)
(
0)
x
a
y
b






；
2、与圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F





同心圆的圆系方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey






；
3、过直线
0
Ax
By
C



与圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F





交点的圆系方程为
2
2
(
)
0(
)
x
y
Dx
Ey
F
Ax
By
C
R











4、过两圆
1
C
2
2
1
1
1
0
x
y
D x
E y
F





，圆
2
C ：
2
2
2
2
2
0
x
y
D x
E y
F





交点的圆系方程
为
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
(
)
0
x
y
D x
E y
F
x
y
D x
E y
F











（
1

，此时圆系不含圆
2
C ：
2
2
2
2
2
0
x
y
D x
E y
F





）特别地，当
1
时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
例1、圆
2
2
1 :
4
C
x
y


与圆
2
2
2 : (
1)
(
2)
9
C
x
y




的位置关系是（
）
题型1
判断圆与圆的位置关系
知识点4
圆与圆的公共弦
知识点5
圆系方程
223
2026 年高二暑假讲义A 版
A．内含
B．内切
C．外离
D．相交
【变式训练1】圆
2
2
1 :
2 7
6
0
C
x
y
y




与圆
2
2
2 :
6
0
C
x
y
x



的位置关系是（
）
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
【变式训练2】已知圆




2
2
1 :
4
4
32
C
x
y




，则以下选项中与圆
1
C 内切的圆的方程为（
）
A．



2
2
2
2
4
x
y




B．



2
2
3
3
18
x
y




C．



2
2
1
3
2
x
y




D．



2
2
1
1
2
x
y




【变式训练3】已知圆






2
1
2
2
2
9
2
: x
m
y
m
m
C





与圆
2
2
2
8
8
34
0
: x
y
x
C
y
m






，则
“
4
m 
”是“圆
1
C 与圆
2
C 外切”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
例2、已知圆
2
2
1
1
C x
y


：
与圆
2
2
2
8
0
C x
y
y
m




：
外切，则m （
）
A．9

B．5

C．7
D．13
【变式训练4】已知圆




2
2
1 :
4
3
9
C
x
y




与圆
2
2
2 :
4
10
0
C
x
y
x
y
m





外离，则m 的取值范
围是（
）
A．

,29

B．

20,


C．

20,29

D．

28,29

【变式训练5】已知圆
1
O ：
2
2
1
x
y

，圆
2
O ：



2
2
3
16
x
y
a




，如果这两个圆有公共点，则
实数a 的取值范围是（
）
A．

4,0

B．

0,4
C．

4,4

D．

2,4
题型2
由圆与圆的位置关系求参数
224
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、若圆
2
2
1 :
4
0
O
x
y
y



，圆
2
2
2 :
6
O
x
y
x


4
4
0
y 

的两交点分别为A，B，则|
|
AB （
）
A．2 5
3
B．8 2
3
C．2 2
3
D．8 5
3
【变式训练6】两相交圆
2
2
1 :
4
1
0
C
x
y
x
y



与
2
2
2 :
2
2
1
0
C
x
y
x
y



的公共弦所在的直线
方程为
，以公共弦为直径的圆的方程为
.
【变式训练7】（多选）圆
2
2
1 :
2
0
x
y
x
O



和圆
2
2
2 :
2
4
0
O
x
y
x
y




的交点为A，B，则有（
）
A．公共弦AB 所在直线的方程为
0
x
y


B．公共弦AB 所在直线的方程为
1
0
x
y


C．公共弦AB 的长为
2
2
D．若P 为圆
1
O 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为
2
1
2 
【变式训练8】圆
2
2
1 :
4
C
x
y


与圆
2
2
2 :
4
4
C
x
y
x
y
a




的公共弦长为2 2 ，则a 的值为（
）
A．12 或4
B．12 或-4
C．16 或4
D．16 或-4
【变式训练9】已知圆
2
2
:
4
O x
y


与圆
2
2
:
4
3
0
C x
y
x




相交于
,
A B 两点，则
OAB
△
的面积为
（
）
A．7 15
16
B．7 15
15
C．
15
8
D．
15
16
例4、圆C ：


2
2
2
4
x
y



与圆D ：
2
2
8
2
8
0
x
y
x
y





的公切线的条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型3
两圆的公共弦问题
题型4
公切线的条数问题
225
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练10】已知圆
1
C ：
2
2
4
x
y


与圆
2
C ：
2
2
(
)
(
4)
9
x
a
y




有两条公切线，则实数a 的取
值范围为（
）
A．(1,5)
B．(
,1)
(5,
)



C．(
)
3,3

D．(
, 3)
(3,
)



【变式训练11】若圆
2
2
1 :
4
C
x
y


与圆




2
2
2 :
1
C
x
a
y
a



有公切线，则实数a 的范围是（
）
A．
2
2
[
,
]
2
2

B．
2
2
,
,
2
2




















C．(
,
1]
[1,
)



D．[ 1,1]

例5-1、已知圆
2
2
1 :(
1)
1
C
x
y


，圆
2
2
2 :(
4)
16
C
x
y



，则两圆公切线的方程为
.
【变式训练11】写出与圆
2
2
1
(
1)
(
2)
2
x
y




和圆
2
2
1
(
2)
(
1)
2
x
y




都相切的一条直线方
程
.
例5-2、圆
1
C ：



2
2
1
2
1
x
y



与圆
2
C ：



2
2
2
2
4
x
y




的内公切线长为（
）
A．3
B．5
C．26
D．4
【变式训练12】已知圆
2
2
1 :
4
4
1
0
C
x
y
x
y




，圆
2
2
2 :
2
6
9
0
C
x
y
x
y





，直线l 分别与圆
1
C
和圆
2
C 切于
,
M N 两点，则线段MN 的长度为
．
【变式训练13】圆
2
2
1 :
4
C
x
y


与圆


2
2
2 :
4
1
C
x
y


的一条公切线长为
（填入一个答案
即可）．
题型5
求公切线方程及长度
226
2026 年高二暑假讲义A 版
例6、圆C 经过点( 0, 1) ，且经过两圆
2
2
1 :
4
3
0
C
x
y
x




和圆
2
2
2 :
4
3
0
C
x
y
y




的交点，则圆C
的方程为
．
【变式训练14】过圆
1
C ：
2
2
6
4
0
x
y
x



和圆
2
C ：
2
2
6
28
0
x
y
y



的交点，且圆心在直线
2
4
0
x
y



上的圆的方程为（
）
A．



2
2
1
2
25
x
y




B．



2
2
1
2
20
x
y




C．



2
2
1
6
25
x
y




D．



2
2
1
6
20
x
y




【变式训练15】已知圆C：


2
2
1
4
x
y



．
(1)求过点

3, 3
A

且与圆C 相切的直线方程；
(2)求圆心在直线2
0
x
y


上，并且经过圆C 与圆Q：



2
2
2
1
4
x
y




的交点的圆的方程．
题型6
圆系方程
227
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、已知圆
2
2
1 :
4
0
C
x
y



，圆
2
2
2 :
4
4
8
0
C
x
y
x
y





，则两圆的位置关系是（
）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
2 、已知圆


2
2
1 :
2
1
0
R
C
x
y
x
my
m





的面积被直线
2
1
0
x
y


平分，圆




2
2
2 :
2
3
25
C
x
y




，则圆
1
C 与圆
2
C 的位置关系是（
）
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
3、已知圆C 的圆心在直线
5
0
x
y



上，并且圆C 经过圆
2
2
6
4
0
x
y
x



与圆
2
2
6
28
0
x
y
y




的交点，则圆C 的圆心是（
）
A．1
9
,
2
2







B．9
1
,
2
2







C．

4
1

,
D．

1, 4

4、若圆


2
2
1 :
1
4
C
x
y



与圆




2
2
2 :
1
1
C
x
y
a



有且仅有2 条公切线，则a 的取值范围是（
）
A．


0,1
1,1 2 2


B．

1
2 2,1
2 2


C．


1 2 2,1
1,1
2 2



D．


1 2 2,1
1,1 2 2



5、已知圆
2
2
1 :
4
0
C
x
y



与圆
2
2
2 :
4
4
12
0
C
x
y
x
y





交于M 、N 两点，则MN （
）
A．2 2
B．2
C．2 3
D．
3
6、已知直线l 与圆
2
2
(
2)
(
3)
1
x
y




和圆
2
2
(
1)
(
1)
36
x
y




均相切，则l 的方程为（）
A．
2
23
0
x
y



B．
2
23
0
x
y



C．3
4
23
0
x
y



D．3
4
23
0
x
y



7、若直线y
x
a


与圆
2
2
1 :
4
C
x
y


及圆
2
2
2 :
4
0
C
x
y
x



共有3 个公共点，则所有符合条件的a
的和为（
）
A．0
B．2 3
C．6

D．4

二、多选题
8、已知圆




2
2
1 :
3
4
16
O
x
y




与圆


2
2
2
2 :
0
O
x
y
r
r



，下列选项正确的有（
）
A．若
1
r ，则两圆外切
228
2026 年高二暑假讲义A 版
B．若
1
r ，则直线
1
x 为两圆的一条公切线
C．若
3
r 
，则两圆公共弦所在直线的方程为3
4
9
0
x
y



D．若
3
r ，则两圆公共弦的长度为24
5
9、圆
2
2
1 :
2
2
1
0
C
x
y
x
y




与圆
2
2
2 :
4
4
4
0
C
x
y
x
y





相交于A ，B 两点，下列说法正确的
是（
）
A．AB 的直线方程为2
2
3
0
x
y



B．公共弦AB 的长为14
4
C．圆
1
C 与圆
2
C 的公切线段长为1
D．线段AB 的中垂线方程为
0
x
y


三、填空题
10、圆
1
C ：
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y




与圆
2
2 : (
1)
C
x 

2
(
2)
9
y 

的公切线条数是
．
11、已知圆
2
2
:
(
2)
1
C x
y


和圆
2
2
:
6
10
30
0
D x
y
x
y





，M，N 分别是圆C，D 上的动点，P
为直线
1
y 上的动点，则PM
PN

的最小值是
．
四、解答题
12、已知圆


2
2
1 :
4
4
C
x
y



，圆




2
2
2 :
2
2
1
C
x
a
y
a




．
(1)若圆
1
C 与圆
2
C 外切，求实数a 的值；
(2)设
2
a 
时，圆
1
C 与圆
2
C 相交于A 、B 两点，求AB ．
13、已知圆
2
2
:
9
O x
y


，圆
2
2
:(
5)
16
N
x
y



交于
,
A B 两点，A 在第二象限．
(1)求以AB 为直径的圆的方程；
(2)若过点A 的直线（斜率存在）交圆O于点C ，交圆N 于点D ，且|
| |
|
AC
AD

，求直线CD 的方程．