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专题10.6 离散型随机变量及其分布列、数学期望与
方差
题型一
离散随机变量
题型二
求分布列
题型三
分布列的性质应用
题型四
求离散随机变量的均值与方差
题型五
均值和方差的性质应用
题型六
决策问题
题型一
离散随机变量
例1．下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有
个黑球个红球，任取
个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
为，是常量，A 错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B 错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，
C 正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D 错误.
故选：C.
例2．（多选）下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（ ）
A．高速公路某收费站在未来1 小时内经过的车辆数X
B．一个沿直线
进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y
1
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C．某景点7 月份每天接待的游客数量
D．某人一生中的身高X
【答案】AC
【分析】根据离散型随机变量的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：收费站在未来1 小时内经过的车辆数X 有限，且可一一列出，是离散型随机变量，
故A 正确
对于选项C：某景点7 月份每天接待的游客数量有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故C 正确；
对于选项B、D，都是某一范围内的任意实数，无法一一列出，不符合离散型随机变量的定义，故B、D 错
误．
故选：AC.
练习1．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数
；
②一个沿
轴进行随机运动的质点，它在
轴上的位置
；
③某派出所一天内接到的报警电话次数
；
④某同学上学路上离开家的距离
．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可.
【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿
轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机
变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．
故选：B．
练习2．(多选题)下列变量：
①某机场候机室中一天的旅客数量为
；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为
；
③某水电站观察到一天中长江的水位为
；
2
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④某立交桥一天内经过的车辆数为
.
其中是离散型随机变量的是（ ）
A．①中的
B．②中的
C．③中的
D．④中的
【答案】ABD
【分析】利用离散型随机变量的概念，对选项逐一分析判断即可得解.
【详解】因为所有取值可以一一列出的随机变量为离散型随机变量，
而①②④中的随机变量
的可能取值，我们都可以按一定的次序一一列出，
因此它们都是离散型随机变量；
而③中的
可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，
因此它不是离散型随机变量.
故选：ABD.
练习3．(多选)甲、乙两人下象棋，赢了得3 分，平局得1 分，输了得0 分，共下三局.用
表示甲的得分，
则
表示的可能结果为（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局平两局
【答案】BC
【分析】列举出
的所有可能的情况，由此得解.
【详解】甲、乙两人下象棋，赢了得3 分，平局得1 分，输了得0 分，
所以
有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：BC．
练习4．下列随机变量中是离散型随机变量的是 ，是连续型随机变量的是 （填序号）．
①某机场候机室中一天的旅客数量X；
②某水文站观察到一天中江水的水位X；
③某景区一日接待游客的数量X；
④某大桥一天经过的车辆数X.
3
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【答案】 ①③④ ②
【分析】利用离散型随机变量的定义与连续型随机变量的定义判断求解．
【详解】①③④中的随机变量
的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变
量；
②中的随机变量
可以取某一区间内的一切值，故是连续型随机变量．
故答案为：①③④，②
练习5．盒中有9 个正品和3 个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到
取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为
.
(1)写出
的所有可能取值;
(2)写出
所表示的事件.
【答案】(1)
的所有可能取值为
(2)
表示“第一次取得1 件次品，第二次取得正品”
【分析】（1）（2）利用离散型随机变量的定义即可求解.
【详解】（1）因为一共有9 个正品，3 个次品零件，
所以取得正品前已取出的次品数可能为
，即
的所有可能取值为
.
（2）依题意，可知
表示“第一次取得1 件次品，第二次取得正品”.
题型二
求分布列
例3．（多选）已知随机变量ξ 的分布列为：
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
若
，则实数
的值可以是（ ）
A．5
B．7
C．9
D．10
4
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【答案】ABC
【分析】根据随机变量ξ 的分布列，求出随机变量
的分布列，再找出满足
的
即可.
【详解】由随机变量
的分布列，知：
的可能取值为
，
且
，
，
，
，
则
，
.
若
，则实数
的取值范围是
.
故选：ABC.
例4．不透明的盒子中有个球，其中
个绿球，
个红球，这个小球除颜色外完全相同，每次不放回的
从中取出个球，取出红球即停. 记
为此过程中取到的绿球的个数.
(1)求
；
(2)写出随机变量
的分布列，并求
.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）
表示第一、二次抽取的都是绿球，第三次抽取红球，结合独立事件的概率乘法公式可
求得
的值；
（2）分析可知，
的可能取值有、、
、、
，求出随机变量
在不同取值下的概率，可得出随机
5
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变量
的分布列，进而可求得
的值.
【详解】（1）解：
表示第一、二次抽取的都是绿球，第三次抽取红球，
所以，
.
（2）解：由题意可知，随机变量
的可能取值有、、
、、
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
所以，
练习6．某城市有甲、乙、丙3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且此
人是否游览哪个景点互不影响，设
表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对
值，则
等于 ．
【答案】1.48
【分析】ξ 的取值有1，3，计算出其分布列，再利用期望公式即可得到答案.
【详解】随机变量ξ 的取值有1，3 两种情况，
表示三个景点都游览了或都没有游览，
所以
，
，
所以随机变量
的分布列为：
1
3
0.76
0.24
．
故答案为：1.48.
练习7．掷两颗骰子，用X 表示两点数差的绝对值.求X 的分布.
6
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【答案】答案见详解.
【分析】通过列举法求概率，然后可得分布列.
【详解】记掷两颗骰子所得点数分别为m，n，
则样本空间
，
X 的取值为
.
当
时，包含样本点
，所以
；
当
时，包含样本点
，所以
；
当
时，包含样本点
，所以
；
当
时，包含样本点
，所以
；
当
时，包含样本点
，所以
；
当
时，包含样本点
，所以
.
所以，X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
练习8．同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子中出现的点数分别为
，记
．
(1)求X 的概率分布；
(2)求
.
【答案】(1)答案见解析
(2)
7
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【分析】（1）根据题意分析可知：X 的可能取值为1，2，3，4，5，6，结合古典概型求分布列；
（2）根据题意可知
，结合（1）中数据运算求解.
【详解】（1）依题意易知抛掷两颗骰子出现的点数有36 种等可能的情况：
．
因而X 的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表：
X 的值
出现的点
样本点个数
1
1
2
3
3
5
4
7
5
9
6
11
由古典概型可知X 的概率分布如下表所示．
X
1
2
3
4
5
6
P
（2）由题意可知：
.
练习9．同学甲进行一种闯关游戏，该游戏共设两个关卡，闯关规则如下：每个关卡前需先投掷一枚硬币，
若正面朝上，则顺利进入闯关界面，可以开始闯关游戏；若反面朝上，游戏直接终止，甲同学在每次进入
闯关界面后能够成功通过关卡的概率均为
，且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行．
(1)同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率；
(2)同学甲成功通过关卡的个数为
，求
的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
8
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【分析】（1）在游戏终止时成功通过两个关卡，即各关前投币均正面向上，且两关卡都成功通过；
（2）按求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤进行，同学甲成功通过关卡的个数
的值为0，1，2，
明确各取值所表示的意义，再求概率取值，最后写出分布列即可.
【详解】（1）同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率
．
（2）同学甲成功通过关卡的个数
的值为0，1，2，
，
，
，
所以同学甲成功通过关卡的个数
的分布列为：
0
1
2
P
练习10．某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会.
在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1，2，3，5 四个数字，抽奖规则为：
每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为
，
，若
为奇数即为中奖.
(1)求某顾客甲获奖的概率；
(2)求随机变量
的分布列与数学期望
.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意可知，
和
必为一奇一偶才能中奖，所以共有
种中奖情况，即可求得概率；
（2）
的可能取值为1，2，3，4，分别求得各取值的概率即可列出分布列并求期望值.
【详解】（1）设事件
：某顾客甲获奖，
9
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即
为奇数，所以
，
必为一个奇数一个偶数，则
，
所以某顾客甲获奖的概率为
.
（2）由题意，
的可能取值为1，2，3，4.
所以
，
，
，
.
所以随机变量
的分布列为：
1
2
3
4
所以
题型三
分布列的性质应用
例5．（多选）随机变量X 的概率分布如表，其中2b＝a＋c，且
，
X
2
4
6
P
a
b
c
则（ ）
A．a＋b＋c＝1
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由概率的性质可得
，结合已知条件求出
的值可求解.
【详解】由概率的性质可得
，
10
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由
得
，
故选：ABD.
例6．设
，随机变量
的分布列为
0
1
2
P
b
则当
在
内增大时（ ）
A．
增大
B．
减小
C．
先减小后增大
D．
先增大后减小
【答案】A
【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】根据随机变量分布列的性质可知
，所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
单调递增，
故选：A
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练习11．已知随机变量
的分布列为
，2，3，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得
的值，又由
，计算可得答案.
【详解】根据题意，随机变量
的分布列为
，
由分布列的性质，则有
，解得
，
故
.
.
故选：C.
练习12．下列表中能称为随机变量X 的分布列的是（ ）
A．
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.4
B．
X
1
2
3
P
0.4
0.7
C．
X
0
1
P
0.3
0.4
0.3
D．
12
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X
1
2
3
P
0.3
0.4
0.4
【答案】C
【分析】由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1，可得答案.
【详解】对于A，由
，故A 错误；
对于B，由
，故B 错误；
对于C，由
，故C 正确；
对于D，由
，故D 错误.
答案：C
练习13．已知随机变量
的分布列为
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，求得参数值，结合互斥事件的概率公式，可得答案.
【详解】由题意，则
，解得
，
.
故选：A.
练习14．设随机变量
的分布列如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
且数列
满足
，则
．
【答案】5.5/
【分析】令
，即可得到
，再根据分布列的性质得到
，从而求出数学期望；
13
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【详解】解：令
，2，3，
，
，
则
，即
，
，2，3，
，
，
又
，所以
，
所以
故答案为：
练习15．设随机变量
的概率分布为
，
为常数，
，
，，
，则
．
【答案】
【分析】由概率之和为1 以及数列求和公式即可求解.
【详解】由题意知：随机变量
的所有可能取值的概率和为1，
即
，
则
，
由等比数列的求和公式，得
，
所以
，得
.
故答案为：
题型四
求离散随机变量的均值与方差
例7．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且
每一局甲赢的概率都是
，随机变量
表示最终的比赛局数，则（ ）
14
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出随机变量
的所有取值，求出对应概率，再根据期望与方差公式计算即可.
【详解】由题意，
可取
，
，
，
则
，
.
故选：D.
例8．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．
已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为
，
.在前3 次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ 的方差为
．
【答案】
【分析】首先根据题意得到
的取值为0，1，2，列出分布列，求出数学期望，再计算方差即可.
【详解】由题意可知：乙投篮的次数ξ 的取值为0，1，2.
则
，
，
.
故
的分布列为
0
1
2
P
15
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则
，
所以
.
故答案为：
练习16．（多选）设
，随机变量的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
0.5
0.5－x
x
则当x 在
内增大时（ ）
A．
减小
B．
增大
C．
减小
D．
增大
【答案】BD
【分析】根据分布列，利用公式得到
和
的算式，由函数思想判断变化情况.
【详解】
，由随机变量的分布列，
得：
，
，
当x 在
内增大时，
增大，
增大．
故选：BD.
练习17．随机变量
的概率分布列如下：
－1
0
1
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其中
，
，成等差数列，若随机变量
的期望
，则其方差
＝ ．
【答案】
【分析】利用等差中项的性质，分布列中概率和为1 以及均值的计算公式构建方程求得
，
，，再由方
差的计算公式求得答案.
【详解】因为
，
，成等差数列，则
，又由分布列的性质，则
，
所以得
，
又因为随机变量的均值
且
,
故解得
，
，
所以
.
故答案为：
.
练习18．第19 届亚运会将于2023 年9 月23 日至10 月8 日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、
丙三人参加男子100 米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．
已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为
；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为
和
；丙在预赛和
半决赛中晋级的概率分别为
和
，其中
，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响．
(1)试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；
(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为
，求三人中进入决赛的人数
的分布列和期望．
【答案】(1)
，即进入决赛的可能性甲
丙
乙.
(2)分布列见解析；
【分析】（1）根据题意求出甲、乙、丙三人初赛的两轮中均获胜的概率并比较大小即可；
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（2）根据题意先求出
与
所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列，并计算出
期望即可求解.
【详解】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为
，
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为
，
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为
，
因为
，所以
，所以
，
即甲进入决赛的可能性最大.
（2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为
，
则
，且
，解得
，
所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为
和
，
两轮中均获胜的概率为
，
进入决赛的人数
的可能取值为0，1，2，3，
则
，
，
，
.
所以
的分布列为
0
1
2
3
所以
.
18
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练习19．甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取
“3 局2 胜制”.
(1)求这场比赛甲获胜的概率；
(2)这场比赛甲所胜局数的数学期望（保留两位有效数字）；
(3)根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.
【答案】(1)0.648
(2)1.5
(3)0.57
【分析】（1）写出甲胜利的情况，结合组合公式和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）设甲所胜的局数为
，计算分布列，再利用期望公式即可得到答案；
（3）利用方差公式即可得到答案.
【详解】（1）甲胜利的情况有：胜胜；败胜胜；胜败胜.
甲胜概率为：
.
则甲胜利的概率为
.
（2）设甲所胜的局数为
，
.
，
，
，
则分布列为：
0
1
2
0.16
0.192
0.648
所以
.
（3）
.
练习20．喜迎新学期，高三一班、二班举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5 轮比赛，每轮比赛每个班
可以从
两个题库中任选1 题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每
19
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个班的题目必须来自同一题库，
题库每题20 分，
题库每题30 分，一班能正确回答
题库每题的概
率分别为
、
，二班能正确回答
题库每题的概率均为
，且每轮答题结果互不影响．
(1)若一班前两轮选
题库，后三轮选
题库，求其总分不少于100 分的概率；
(2)若一班和二班在前两轮比赛中均选了
题库，而且一班两轮得分60 分，二班两轮得分30 分，一班后三
轮换成
题库，二班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为
，求
的分布列，并从每班总分的均值来
判断，哪个班赢下这场比赛？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，一班赢下这场比赛.
【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；
（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求
出期望，比较大小即可判断.
【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20 分，后三轮得90 分，总分为110 分，
其概率为
，
若一班在前两轮得40 分，后三轮得60 分或90 分，总分为100 或130 分，
其概率为
，
于是一班总分不少于100 分的概率为
.
（2）由条件知，随机变量X 可能取值为60，80，100，120，
，
，
，
．
所以X 的分布列为：
X
60
80
100
120
20
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P
，
设二班最后的总分为Y，Y 可能取值为30，60，90，120，
，
，
，
，
的分布列：
，
因为
，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.
题型五
均值和方差的性质应用
例9．设随机变量
的分布列如下（其中
），
表示
的方差，则当
从0 增大到1 时（ ）
0
1
2
A．
增大
B．
减小
C．
先减后增
D．
先增后减
【答案】D
【分析】首先根据期望公式得
，再根据方差计算公式得
的表达式，最后利用二次函数
的性质即可得到答案.
【详解】由分布列可得
,
21
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则
，
因为
，所以
先增后减，
故选：D.
例10．（多选）已知随机变量
的分布列为
若随机变量
，
，
，则下列选项正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】先利用分布列的性质求出
，再利用均值和方差的性质求解即可.
【详解】依题意，由分布列可得
，解得
，A 正确；
，
，
因为
，
所以
，
，
解得
，
，B 错误，C 正确；
所以随机变量
的分布列为：
由分布列可知D 正确；
故选：ACD
练习21．（多选）已知离散型随机变量
的分布列为
22
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若离散型随机变量
满足
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
0
C．
D．
【答案】AB
【分析】先求得
，然后根据概率、期望、方差的知识求得正确答案.
【详解】由
，
所以
，所以A 选项正确.
，
所以
，对应概率为0，所以D 选项错误.
，
所以
，所以B 选项正确.
，C 选项错误.
故选：AB
练习22．（多选）若随机变量X 服从两点分布，其中
，
，
分别为随机变量X 的
均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据两点分布可得期望与方差，再结合期望、方差的性质运维求解.
23
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【详解】由题意可知：
，
随机变量X 的分布列为
X
0
1
P
由两点分布可知：
，故A 正确，D 错误；
所以
，
，故B 正确，C 错误；
故选：AB.
练习23．（多选）已知随机变量
的分布列如下表所示，且满足
，则下列选项正确的是（ ）
0
2
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出
，即可求出
，再根据方差的性质得到
，再求出
分布列，即可求出
与
.
【详解】依题意
，解得
，
所以
的分布列为：
－1
0
2
P
则
，故A 正确；
24
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则
，故C 正确；
所以
的分布列为：
0
2
P
则
，
，故B 错误；
所以
，故D 错误.
故选：AC.
练习24．（多选）设某项试验成功率是失败率的2 倍，若用随变量
描述一次试验的成功次数，
，
分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X 概率，最后求出随机变量X 的数学期望、
方差，逐个选项分析即可；
【详解】设试验成功的概率为
，解得：
；
记一次试验中成功的次数为X，则
的取值有0,1，
,选项A 正确；
X
0
1
25
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则随机变量X 的数学期望
,
选项B 正确；
选项C 正确；
选项D 错误；
故选：ABC.
练习25．已知随机变量
的分布列为
0
1
2
(1)求
的值；
(2)求
；
(3)若
，求
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分布列的性质即可得解；
（2）利用随机变量的期望公式可得答案；
（3）法一：利用
即可得解；法二：利用随机变量的期望公式可得答案.
【详解】（1）依题意，由分布列得
，解得
，
所以
的值为
.
（2）由（1）得
.
26
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（3）法一：因为
，
所以
.
法二：因为
，所以
的分布列如下：
所以
.
题型六
决策问题
例11．从2023 年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12 题是四道多选题，每题有四个选
项，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确
答案是两个选项的概率为
，正确答案是三个选项的概率为
（其中
）.现甲乙两名学生独立解
题.
(1)假设每道题甲全部选对的概率为
，部分选对的概率为
，有选错的概率为
；乙全部选对的概率为
，
部分选对的概率为
，有选错的概率为
，求这四道多选题中甲比乙多得13 分的概率；
(2)对于第12 题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中
的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做
出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先分析包含的事件有哪些种，再求概率即可.
（2）分别求出选择1,2,3 个选项三个情况下的得分的期望，取期望最大的情况即可.
【详解】（1）由题意知：甲比乙多得13 分的情况包含：
：甲四道全对；乙一道全对，一道部分选对，两道选错，即甲得20 分，乙得7 分.
：甲三道全对，一道部分选对；乙两道部分选对，两道选错，即甲得17 分，乙得4 分.
：甲三道全对，一道选错；乙一道部分选对，三道选错，即甲得15 分，乙得2 分.
27
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.
.
.
.
（2）若为甲出方案.
则甲可能的选项个数为：1，2，3.
记
表示选1 个选项的得分，则期望为
.
记
表示选2 个选项的得分，则得分可能为0，2，5，
，
，
此时期望为
.
记
表示选3 个选项的得分，则得分可能为0，5
，
，
此时期望为
.
∵
，
.
∴甲应选择1 个选项才有希望得到更理想的成绩.
28
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若为乙出方案.
则乙可能的选项个数为：1，2，3.
记
表示选1 个选项的得分，类比甲的情况，则
记
表示选2 个选项的得分，则得分可能为0，2，5，
此时
.
记
表示选3 个选项的得分，则得分可能为0，5，此时
.
∵
.
∴当
时，乙应选择2 个选项才有希望得到更理想的成绩.
当
时，乙应选择3 个选项才有希望得到更理想的成绩，
当
时，乙应选择2 或3 个选项都有希望得到更理想的成绩.
例12．核酸检测也就是病毒
和
的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于
新型冠状乙肝､丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体
有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备
份试验用血液标本，
从标本中随机取出
份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果
为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直
到确定所有样本的结果：
份阳性，
份阴性.若每次检测费用为
元（
为常数），记检测的总费用为
元.
(1)当
时，求
的分布列和数学期望.
(2)以检测成本的期望值为依据，在
与
中选其一，应选哪个？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)
时的方案更好一些
29
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【分析】（1）分成
份阳性在一组和
份阳性各在一组两种情况，由此可确定检测次数及
所有可能的取
值，计算出每个取值对应的概率即可得到分布列，由数学期望公式可求得
；
（2）与（1）的方法相同，计算出
时检测费用
的取值和对应概率，由此可得分布列，由数学期望公
式可求得
，根据
可得结论.
【详解】（1）当
时，共分
组，
当
份阳性在一组时，第一轮检测
次，第二轮检测次，共检测次，
若
份阳性各在一组，第一轮检测
次，第二轮检测次，共检测
次，
检测的总费用
的所有可能值为
，
，任意检测有
种等可能结果，
份阳性在一组有
种等可能结果，
，
，
检测的总费用
的分布列为：
数学期望
.
（2）当
时，共分组，当
份阳性在一组，共检测次，
若
份阳性各在一组，共检测
次，
检测的总费用
的所有可能值为
，
，
任意检测有
种等可能结果，
份阳性在一组有
种等可能结果，
，
，
检测的总费用
的分布列为：
30
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数学期望
，
，
时的方案更好一些.
练习26．王师傅用甲、乙两台不同型号的车床加工某种零件，已知用甲车床加工的零件合格的概率为
，
用乙车床加工的零件合格的概率为
，且每次加工的零件是否合格相互独立．
(1)若王师傅用甲、乙车床各加工2 个零件，求他加工的零件恰好有3 个合格的概率；
(2)若王师傅加工3 个零件，有以下两种加工方案：
方案一：用甲车床加工2 个零件，用乙车床加工1 个零件；
方案二：每次用一台车床加工1 个零件，若加工的零件合格，则下次继续用这台车床加工，否则下次换另
一台车床加工，且第一次用甲车床加工．
若以加工的合格零件数的期望值为决策依据，应该选用哪种方案？
【答案】(1)
(2)应该选方案二．
【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式即可求概率;
（2）利用二项分布及数学期望公式求离散型随机变量的期望，进而进行决策．
【详解】（1）设“加工的零件恰好有3 个合格”为事件A，
则
．
（2）记王师傅用方案一加工的合格零件数为X，
由题意知用甲车床和乙车床加工的合格零件数分别服从二项分布
和
，
故
．
记王师傅用方案二加工的合格零件数为Y，Y 的所有可能取值为0，1，2，3．
31
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，
，
，
．
所以
．
因为
，所以应该选方案二．
练习27．2022 年5 月14 日6 时52 分，编号为B-001J 的C919 大飞机从上海浦东机场第4 跑道起飞，于9
时54 分安全降落，标志着中国商飞公司即将交付首家用户的首架C919 大飞机首次飞行试验圆满完成．
C919 大飞机某型号的精密零件由甲、乙制造厂生产，产品按质量分为
，
，
三个等级，其中
，
等
级的产品为合格品，
等级的产品为不合格品．质监部门随机抽取了甲、乙制造厂的产品各400 件，检测
结果为：甲制造厂的合格品为380 件，甲、乙制造厂的
级产品分别为80 件、100 件，两制造厂的不合格
品共60 件．
(1)补全下面的
列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为产品的合格率与制造厂有关？
合格品
不合格
品
合计
甲制造厂
400
乙制造厂
400
合计
800
(2)若每件产品的生产成本为200 元，每件
，
等级的产品出厂销售价格分别为400 元、320 元，
等级
的产品必须销毁，且销毁费用为每件20 元．用样本的频率代替概率，试比较甲、乙制造厂生产1 件这种产
品的平均盈利的大小．
附：
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
32
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【答案】(1)表格见解析，认为产品的合格率与制造厂有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
(2)甲制造厂生产1 件这种产品的平均盈利比乙制造厂大．
【分析】（1）卡方计算求解，然后比对做出判断即可；
（2）列出
、
的分布列，然后求解期望值比较；
【详解】（1）
列联表如下
合格品
不合格
品
合计
甲制造厂
380
20
400
乙制造厂
360
40
400
合计
740
60
800
零假设为
：产品的合格率与制造厂无关，
因为
，
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，即认为产品的合格率与制造厂有关，此推断犯
错误的概率不大于0.01．
（2）对于甲制造厂，抽到的400 件产品中有
等级产品80 件，
等级产品300 件，
等级产品20 件，设
生产一件产品的利润为
元，则
可能取得的值为200，120，
．
，
的分布列为
200
120
0.2
0.75
0.05
所以
．
对于乙制造厂，抽到的400 件产品中有
等级产品100 件，
等级产品260 件，
等级产品40 件，设生产
一件产品的利润为
元，则
可能取得的值为200，120，
．
，
的分布列为
33
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200
120
0.25
0.65
0.1
所以
．
因为
，所以甲制造厂生产1 件这种产品的平均盈利比乙制造厂大．
练习28．某公司对新生产出来的300 辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各
进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽车，有且只有一名质
检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员
中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽车．假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每
一次检测不合格的概率为
(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率p；
(2)每辆汽车不需要重新检测的费用为60 元，需要重新检测的前后两轮检测的总费用为100 元，求每辆汽
车需要检测的费用X 的分布列及数学期望．
(3)公司对本次质量检测的预算支出是4 万元，若300 辆汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算?
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
（元）
(3)实际费用估计不会超过预算．
【分析】（1）直接利用概率加法公式和独立事件的概率公式进行求解即可，
（2）设每辆汽车质量检测的费用为X 元，则X 的可能取值为60，100，然后求出相应的概率，从而可求得
X 的分布列及数学期望，
（3）根据检测的费用的数学期望，判断实际费用是否会超过预算.
【详解】（1）由题意可知有两名以上检测不合格的概率为
，
有且仅有一人检测不合格，重新检测后仍不合格的概率为
，
34
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综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概率为
（2）设每辆汽车质量检测的费用为X 元，则X 的可能取值为60，100，
由题意知，
，
．
X
P
所以随机变量X 的数学期望为
（元），
（3）所以此方案的费用为
，
综上可知，实际费用估计不会超过预算．
练习29．某水果店的草莓每盒进价20 元，售价30 元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10
元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40 天草莓的日销售量（单位：十
盒），获得如下数据：
日销售量/十盒
7
8
9
10
天数
8
12
16
4
假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X 的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16 十盒，17 十盒两种方案中应选择哪种？
【答案】(1)分布列见解析，数学期望17.44
(2)选择每两天进17 十盒
【分析】（1）首先计算日销售量为7 盒、8 盒、9 盒、10 盒的概率，根据题意写出随机变量
的所有取值
并计算概率可得分布列，进一步计算可得期望值；
（2）分别计算每两天进16 十盒，17 十盒两种方案下利润的期望值，比较即可作出决策．
【详解】（1）日销售量为7 盒、8 盒、9 盒、10 盒的概率依次为：
，
根据题意可得：
的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，
，
，
35
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，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
14
15
16
17
18
19
20
所以
；
（2）当每两天进16 十盒时，利润为
，
当每两天进17 十盒时，利润为
，
，所以每两天进17 十盒利润较大，故应该选择每两天进17 十盒．
练习30．某学校组织“中亚峰会”知识竞赛，有
两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择
一类并从中随机抽取一个问题回答.若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随
机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.
类问题中的每个问题回答正确得
分，否则得0 分；
类问题中的每个问题回答正确得
分，否则得0
分.已知学生甲能正确回答
类问题的概率为
，能正确回答
类问题的概率为
，且能正确回答问题的
概率与回答次序无关.
(1)若学生甲先回答
类问题，
，记
为学生甲的累计得分，求
的分布列
和数学期望.
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(2)若
，则学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)学生甲应选择先回答
类问题，理由见解析
【分析】（1）根据题意得
的所有可能取值，求出
取每个值的概率，可得分布列，根据数学期望公式
得数学期望；
（2）分别求出学生甲选择先回答
类问题和先回答
类问题时累计得分的数学期望，再比较数学期望的大
小，可得结果.
【详解】（1）由题知，
，
，
.
的分布列为：
0
20
100
0.2
0.32
0.48
.
（2）学生甲选择先回答
类问题时：
，
，
，
.
学生甲选择先回答
类问题时：
，
，
，
，
37
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.
学生甲应选择先回答
类问题.
38
