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第13 讲 抛物线重点题型全归纳
目 录
题型01 抛物线的轨迹方程
题型02 抛物线定义理解与焦半径
题型03 抛物线中的距离最值问题
题型04 抛物线几何性质的应用
题型05 抛物线中的焦点弦问题
题型06 抛物线的标准方程
题型07 抛物线在实际问题中的应用
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 抛物线的轨迹方程
题型点拨
求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P 的轨迹方程;二是定义法,利用抛物
线的定义判断轨迹是抛物线或抛物线的一部分，再结合限制条件写出轨迹方程及其范围。
【典例1】设
，点
在
轴上，点
在
轴上，且
，当点
在
轴上运动时，
点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设点
，根据向量关系及垂直关系可得点
的轨迹方程.
【详解】设点
，因为
，则
为
的中点，且点
在
轴上，
所以
，则
,
又
，则
，
，
由
，
故点
的轨迹方程为
.
故选：D.
【变式1】（25-26·江苏苏州）如图，已知点
，
轴于点C，M 是线段OB 上任意一点，
轴于点D，
于点E．OE 与MD 相交于点P，则P 的轨迹方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设所求点
，根据点
在直线
上可得
，根据点
在直线
上可得
，最后根据
轴得
，化简即可.
【详解】设
，
因为直线
的方程为
，且点
在直线
上，所以
，
因为直线
的方程为
，且点
在直线
上，所以
，
因为
轴，所以
，则
，故D 正确.
故选：D．
题型2 抛物线定义理解与焦半径
题型点拨
1、用坐标表示焦半径公式
（1）抛物线
，
．
（2）抛物线
，
．
（3）抛物线
，
．
（4）抛物线
，
．
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦
半径公式．
2、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距
离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简
单．
【典例1】（25-26·内蒙古包头）已知抛物线
的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P 作
且
垂足为Q，若
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抛物线定义，可得
进而求得点
的坐标，得点
坐标，利用斜率公式得解.
【详解】由题，
，则
，代入抛物线方程得
，
，又
，
.
故选：C.
【变式1】（25-26·上海）已知抛物线C：
的焦点为F，点A、B 是抛物线C 上不同的两点，且A、
B 中点的横坐标为2，则
.
【答案】6
【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果.
【详解】设
，由A，B 中点的横坐标为2，可得
，
所以
．
故答案为：6.
题型3 抛物线中的距离最值问题
题型点拨
(1)解决此类问题时，可利用抛物线的定义，以及“两点之间线段最短”“三角不等式”“垂线段最短”
等平面几何知识，使问题化难为易。
(2)若已知抛物线上点P 到焦点F 的距离(或与此有关),往往转化为点P 到准线的距离,其步骤:
①过P 作PN 垂直于准线l,垂足为N;
②连接PF;
|PF|=|PN|=x
③
P+p
2 (焦点在x 轴正半轴上时).
【典例1】（25-26·吉林）已知A，B 是抛物线
上的两点，A 与B 关于x 轴对称，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】设
，则
，
，利用两点距离公式求得
，结合
二次函数的性质即可求解.
【详解】设
，则
，
，
所以
．
因为
，所以当
时，
取得最小值，且最小值为
．
故答案为：
【变式1】（25-26·广东深圳）已知
是抛物线
上一点，则
的最小值为
．
【答案】
/
【分析】过抛物线
上的动点
作直线
的垂线交直线于
，过点
作
轴的垂线交
轴于
，交准线于
点，
为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，
，则
进而求解．
【详解】由题可知，过抛物线
上的动点
作直线
的垂线交直线于
，过点
作
轴的垂线交
轴于
，交准线于
点，
为抛物线焦点，
由
，得
，所以
，则
，如图所示，
则
，动点
到
轴的距离为
，
所以
，
当且仅当
三点共线时，
有最小值，
所以
，（
为点
到直线的距离），
因为
到直线
的距离为
，
所以要求的最值为
，
故答案为：
．
题型4 抛物线几何性质的应用
题型点拨
(1)为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用
抛物线的对称性避免分类讨论.
(2)沿开口方向，抛物线的切线方向逐渐接近对称轴方向，但抛物线本身不存在渐近线。
(3)通径为
【典例1】（25-26·吉林长春）抛物线
的焦点为F，C 的准线与
轴交于点
，过
且倾
斜角为
的直线与
交于M，N 两点（
在
轴上方），则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】D
【分析】易得直线MF 的方程为
，与抛物线方程联立，求得M，N 的坐标，进而得到
求解.
【详解】由抛物线
得焦点为
，
由题意，得直线MF 的方程为
，与抛物线方程联立，
消去
得
，
解得
，
所以
，
，
所以
，
故选：D
【变式1】（25-26·河南周口）已知边长为
的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B
在抛物线
上，则
．
【答案】2
【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得
，再求出
长即可求解.
【详解】设抛物线
上的点
，即有
，
，
由
是正三角形，得
，则
，即
，
整理得
，而
，
，
，
因此
，由抛物线对称性得点
关于
轴对称，即
垂直于
轴，且
，不妨令
，
则
，而
，于是
，即
，
因此
，所以
.
故答案为：2
题型5 抛物线中的焦点弦问题
题型点拨
1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐
标问题.
2、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦．
3、焦点弦长：如图，
是抛物线
过焦点
的一条弦，设
，
，
的
中点
，过点
，
，
分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点
，
，
，
根据抛物线的定义有
，
，
故
.
又因为
是梯形
的中位线，所以
，
从而有下列结论；
（1）以
为直径的圆必与准线相切.
（2）
(焦点弦长与中点关系)
（3）
．
（4）若直线
的倾斜角为
，则
．
（5）
，
两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即
，
．
（6）1/|AF|+1/|BF| 为定值 2/p．
【典例1】（25-26·重庆）（多选）已知抛物线
，过其焦点
的直线与抛物线交于
，
两点，
在第一象限，抛物线的准线与
轴交于点
，则（ ）
A．
B．
时，
C．以
为直径的圆与准线相切
D．
【答案】ACD
【分析】A 选项，过焦点
的直线方程为
，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计
算出
；B 选项，由焦点弦长公式得到方程，得到
，不妨设
，解得
，
，求出
，
，
；C 选项，求出
的中点坐标为
，计算出
到准
线的距离为
，C 正确；D 选项，计算出
，得到D 正确.
【详解】A 选项，设过焦点
的直线方程为
，
联立
，可得
，
，
，
，则
，故A 正确；
B 选项，
，故
，
当
时，
，解得
，
由对称性，不妨设
，则
，
，
解得
，
，此时
，
，显然
，故B 错误；
C 选项，
，
，
的中点坐标为
，
到准线的距离为
，
所以，以
为直径的圆与准线相切，C 正确；
D 选项，
，
，
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式1】（25-26·上海）已知抛物线
是过其焦点
的一条弦，若
，则直线
的
斜率为
【答案】
【分析】根据焦点弦长公式，即可求解.
【详解】设直线
的倾斜角为
，
，
所以
，所以
，
，
所以
，
所以直线
的斜率为
.
故答案为：
题型6 抛物线的标准方程
题型点拨
1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确
得到参数
，从而得焦点坐标与准线方程，要注意
；
（2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半
轴．
2、求抛物线标准方程的方法
（1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数
；
（2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数
.当焦点位置不确定时，应分
类讨论或设抛物线方程为
或
；
注意：** 错误的表达式 **已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；
** 错误的表达式 **已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开
口方向确定．
【典例1】（25-26·江苏南京）抛物线
的顶点为坐标原点，焦点在
轴上，直线
交
于
，
两点，
的准线交
轴于点
，若
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件求出
的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出
，进而得到抛物线方程.
【详解】根据题意，设抛物线方程为
，
则
，准线方程为
.
所以点
.
因为
，所以
，
化简得
，即
，解得
.
所以抛物线方程为
.
故选：D.
【变式1】（25-26·江西南昌）抛物线
的焦点为
，
为坐标原点，
为抛物线上一点，且
，
的面积为
，则抛物线方程为
【答案】
【分析】根据题意过点
作
轴垂线垂足为
，作直线垂线垂足为
，则根据抛物线定义可得点
坐标为
或
，再根据
面积为
即可求解.
【详解】根据题意过点
作
轴垂线垂足为
，作直线垂线垂足为
，
由抛物线定义可得
,
所以可得点
坐标横坐标为
，代入抛物线
可得点
纵坐标为
，
又因
的面积为
，所以可得
，
所以可求得
，则抛物线方程为
.
故答案为：
题型7 抛物线在实际问题中的应用
题型点拨
抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物
线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论.
【典例1】（25-26·四川德阳）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称
轴旋转
而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶
点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图
②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（ ）
A．
B．
C．1m
D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为
，代入点
求出
，进而可得
答案.
【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系
，使接收天线的顶点（即抛
物线的顶点）与原点
重合，焦点
在
上，
设抛物线的标准方程为
，
由已知得
在抛物线上，所以
，得
，
其顶点到焦点的距离等于
.
故选：A.
【变式1】（25-26·陕西咸阳）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬
索桥.大桥主跨
长约500 米，主塔
高约100 米，缆悬索
是以
为顶点且开口向上的抛物线
的一
部分，若
为抛物线
的焦点，则主塔端点
到焦点
的距离约为（ ）
A．1350 米
B．758 米
C．725 米
D．558 米
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解.
【详解】以
为原点，直线
为
轴，过
且与主塔
平行的直线为
轴，建立平面直角坐标系，
连接
，
，则
，
设抛物线
的方程为
，
则
，解得
，
因此抛物线
的焦点为
，
准线方程为
，
利用抛物线的定义得：
.
故选：C
强化训练（共10 题）
1．（25-26·江苏南通）已知圆
，直线
，则与直线相切且与圆
外切的圆的圆心
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】考察点
到F 的距离与到直线
的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解.
【详解】由图可知，
到F 的距离比到直线的距离大1，
记直线
为直线
，则
到F 的距离等于到直线
的距离，
由抛物线定义可知，M 的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中
，
所以M 的轨迹方程为：
故选：B
2．（25-26·河南）已知点
是抛物线
上的一点，设点
到直线
和
的距离分
别为
，
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义得
，从而转化为求
的最小值，最后转化为计算点到直线的距
离即可.
【详解】由题知
的焦点
，准线方程为
．因为点
在
上，所以
，
所以
．联立方程组
得
，
则
，
所以直线
与
无公共点，
如图所示，
的最小值即为点
到直线
的距离，
所以最小值为
，即
的最小值为5．
故选：A．
3．（25-26·重庆）已知抛物线
的焦点为F，A、B 是抛物线上异于原点O 的两点，且
，则
的最小值为（ ）
A．21
B．13
C．10
D．9
【答案】A
【分析】设
，根据
得
，再根据抛物线定义得
，最后利用基本不等式求最值.
【详解】根据题意，设
，
因为
，所以
，所以
，
因为A、B 是抛物线上异于原点O 的两点，所以
，
又因为抛物线
的准线方程为
，
根据抛物线定义可得：
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
此时
取最小值为
.
故选：A
4．（25-26·云南）已知抛物线
，其中
，
是过拋物线焦点
的两条互相垂直的弦，直线
的倾斜角为
，当
时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】D
【分析】依题写出直线
的方程并与抛物线方程联立，求得
的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对
称性求出相关线段长，即可求得答案．
【详解】由题意知
，直线
的倾斜角
，则直线
的方程为
，
联立
，消去
可得：
，解得
，
，
，
由抛物线的定义可得
，
，
根据抛物线的对称性结合
是过抛物线焦点
的两条互相垂直的弦，
可知
，
，
故
，
故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为
．
故选：D
5．（25-26·湖北武汉）（多选）抛物线
的焦点为F，过焦点的倾斜角为
的直线交抛物线于A，B
两点，设
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
【答案】BCD
【分析】由题设直线AB 的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断A，B；再依次应用抛物线焦点弦长
公式和焦半径公式计算即可判断C，D..
【详解】对于AB，由抛物线的方程可知，
，即
，
，
直线AB 的斜率不可能为0，设其方程为
，
联立
，消去x，得
，
，
故
，故A 错误，B 正确；
对于C，若
，则
，
则
，C 正确；
对于D，由抛物线的定义知，
，
又
，
，即选项D 正确.
故选:BCD
6．（多选）（2025·重庆）已知抛物线C：
的准线为l，焦点为F，P 为抛物线C 上的动点，过点P
作
：
的一条切线，Q 为切点，过点P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．准线l 与圆A 相切
B．过点F，A 的直线与抛物线C 相交的弦长为5
C．当P，A，B 三点共线时，
D．满足
的点P 有且仅有2 个
【答案】BCD
【分析】对于A，只需判断圆的半径是否等于1 即可；对于B，联立直线
的方程
与抛物线方
程，结合韦达定理，焦点弦公式即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，联立直线
的垂直平分线方
程与抛物线方程，判断判别式是否大于0 即可.
【详解】
对于A，抛物线的准线为
，圆A 的圆心在
轴上，半径
，准线l 与圆A 相离，A 错误；
对于B，直线
的方程为
，代入
得
，
弦长为
，B 正确；
对于C，
中，令
得
，故
，显然
⊥
，
由勾股定理得
，所以
，C 正确；
对于D，由抛物线的定义得
，故满足要求的点在线段
的垂直平分线上，
其中直线
的垂直平分线方程为
，代入
得
，
故点
有且仅有2 个，D 正确．
故选：BCD.
7．（25-26·湖南郴州）已知抛物线
，过抛物线焦点的直线
与抛物线交于
两
点，则
．
【答案】
【分析】首先求出直线与
轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设
，
，联立直线与
抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得.
【详解】直线
过点
，又抛物线
的焦点坐标为
，
所以
，解得
，所以抛物线
，设
，
，
由
，消去
可得
，显然
，
所以
，则
.
故答案为：
8．已知
为抛物线
上的两点，若
是边长为
的等边三角形，
为坐标原点，
则抛物线方程为 ．
【答案】
【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于
轴对称，不妨取
在第一象限，根据对称性求出
点坐标，
代入抛物线方程中可得答案．
【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于
轴对称，则
两点关于
轴对称，
轴是等边三角形边
的垂直平分线，不妨取
在第一象限，
如图，由
，
，得
，
将
代入抛物线方程中得
，
所以
，抛物线方程为
．
故答案为：
.
9．（25-26·上海）已知点
是抛物线
上的动点，点
是圆
上的动点，则
两点间
的最短距离为 ．
【答案】
/
【分析】由题意转化为抛物线上动点到圆心的距离的最小值即可得解.
【详解】由圆
，知圆心为
，半径为
，
设
为抛物线上动点，则
两点间的距离为
，
所以当
时，
，
所以
．
故答案为：
10．已知抛物线
的焦点为
，准线为，过点
且倾斜角为
的直线交抛物线于点A
（点A 在第一象限），过点A 作
，垂足为
，直线
交
轴于点
，若
的外接圆的面积为
，则抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合抛物线的性质可得
是Rt
的外接圆的直径，可知
，过点A 作
轴，结合抛物线的定义可得
，即可得方程.
【详解】如图，因为直线
的倾斜角为
，
，
可知
，
，
设准线与
轴交于点
，则坐标原点
是线段
的中点，
，
可知点
是线段
的中点，则
，
即
为直角三角形，
为斜边，
所以
是Rt
的外接圆的直径，
由题意可得：
，解得
．
过点A 作
轴，垂足为
，
在Rt
中，
，
又因为
，则
，即
，
所以抛物线的方程为
．
故答案为：
知识小测（共5 题）
1．（25-26·北京平谷）以
为焦点的抛物线标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程
，求出
的值，即得.
【详解】由题意，抛物线方程形如
，因
，解得
，
故以
为焦点的抛物线标准方程是
.
故选：D.
2．（25-26·广东）已知抛物线
，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化为抛物线的标准方程即可得解.
【详解】由抛物线
化为标准方程得
，
则抛物线的焦点
到准线
的距离为
，
故选：A.
3．（25-26·湖南永州）已知点
在抛物线
上，则
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用抛物线上点的坐标解方程可得
，即可求准线方程.
【详解】把点
代入抛物线方程可得
，
解得
或
（舍去），
故抛物线
的方程为
，其准线方程为
，
故选：C.
4．（多选）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）
A．平行四边形
B．梯形
C．有三条边相等的四边形
D．有一组对角相等的四边形
【答案】BCD
【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等，
所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A 错误；
对于选项C：任作一条直线垂直于抛物线的对称轴，交抛物线与
两点，则
，
再以
圆心，
为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点
，
此时可得
，符合题意，故C 正确；
对于选项B：任作两条直线垂直于抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于
和
，
此时
，即
为梯形，故B 正确；
对于选项D：如图，以
为直径作圆，与抛物线交于
，
此时
，符合题意，故D 正确；
故选：BCD.
5．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽
为
，渠深
为
，水面
距
为
，则截面图中水面宽
的长度约为（ ）（
，
，
）
A．0.816m
B．1.33m
C．1.50m
D．1.63m
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果.
【详解】以
为原点，
为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的标准方程为
（
），
由题意可得
，代入
得
，得
，故抛物线的标准方程为
，
设
（
，
），则
，则
，
即可得
，
所以截面图中水面宽
的长度约为
，
故选：D.
