文档文本内容
第20 讲 数列求和题型全归纳
目 录
题型01 裂项求和基础型
题型02 裂项求和根式、指数型
题型03 错位相减求和
题型04 分组、并项求和
题型05 倒序相加求和
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 裂项求和基础型
题型点拨
基础原理：
，如：
；
基本题型：①
；②
；
注意（避免掉坑）
①分母分解因式：
2
1
1
1 1
1
3
3
3
3
n n
n
n
n
n
；
②系数不相同就提系数：
；
③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察消项后剩余的首尾项
（或正、负项）的对应关系.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
分式型分子裂差法
形如
型，如果
，则可以分子裂差：
【典例1】（25-26·广东佛山）已知
是首项为1 的等比数列，数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到方程，求出公比，从而得到通项公式；
（2）先得到
，裂项得到
，进而求和即可.
【详解】（1）设
的公比为
，根据题意，当
时，
．
即
，解得
．所以
．
（2）因为
，所以
，
方程两边都除以
得
．
所以
．
于是
．
【变式1】（25-26·湖南）已知等比数列
的各项均为正数，首项
，
为其前n 项和，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)
，
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的基本量运算求出公比
，即可求得其通项公式；
（2）先求出数列
的通项公式，利用裂项相消法求其和即可.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，
由
可得
，整理得
，
即
，因
，则得
，
解得
或
，依题意
，故
故数列
的通项公式为
．
（2）因
，则
，
故
．
题型2 裂项求和根式、指数型
题型点拨
（1）
（2）
（3）
（4）
【典例1】已知各项都是正数的数列
，其前
项和为
，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对题干条件化简，求出前
项和为
与
的关系式，再利用关系式求出通项公式.
（2）先求出数列
的通项公式，根据裂项相消法求出
的值.
【详解】（1）由题意得
，
所以
，又数列
是各项都是正数的数列，
，
所以
，
，
当
时，有
，
所以
，
所以
，故数列
是1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
.
（2）由（1）得
，
所以
，
所以
，
裂项得
，证毕.
【变式1】数列
的通项公式为
，则这个数列的前63 项之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用裂项相消法求和即得.
【详解】依题意，
，
所以这个数列的前63 项之和
.
故选：C
题型3 错位相减求和
题型点拨
（1）适用条件
若
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和
．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出
与
的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
；
【典例1】（25-26·湖南长沙）已知等差数列
满足
，
，数列
满足
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，可得
，求解即可得数列
的通项公式，运用累
加法可求得数列
的通项公式；
（2）由（1）可得
，运用错位相减法可求得
，根据
的单调性可得结论.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
因为
，
，所以
，
即
，解得
，
，
所以数列
的通项公式
；
因为
，所以
，所以
，
又
，适合上式，所以
的通项公式为：
；
（2）由（1）知
和
，得：
；
两式相减得
，
所以
，因
，则
，
当
时，
，
单调递增，又
，所以
.
【变式1】（25-26·北京）已知数列
的前
项和为
，数列
满足，
，
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求数列
的通项公式
；
(3)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）由
分析计算即可求解；
（2）由累加法即可求解；
（3）由错位相减法计算求解即可.
【详解】（1）因为数列
的前
项和为
，
所以当
，
；
当
，
；
显然
满足
，
所以
.
（2）因为数列
满足，
，
，
所以
，
数列
的通项公式
.
（3）由（1）（2）得
，
所以数列
的前
项和
，
所以
，
所以
.
所以
.
题型4 分组、并项求和
题型点拨
并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【典例1】（25-26·江苏苏州）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）对递推式合理变形，再利用等差数列的定义证明等差数列，再求解通项公式即可.
（2）结合题意并利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，
两侧同时除以
，可得
，得到数列
是公差为1 的等差数列，
而
，可得
，故
，解得
，
则
，故
.
（2）由题意得
，
，
两式相减可得
，
则
，
得到
，
可得
，
则
，
故
.
【变式1】已知数列
的首项
，
．
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)令
，求数列
的最大项．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得
，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得
，利用分组求和法计算可得；
（3）由（2）可得
，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项.
【详解】（1）因为
，
所以
，
又
，所以
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列；
（2）由（1）可得
，
所以
，
所以
.
（3）由（2）可得
，
则
，
所以当
时
，当
时
，
即
，
所以数列
的最大项为
；
题型5 倒序相加求和
题型点拨
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可
用倒序相加法（等差数列前
项和公式的推导即用此方法）．
【典例1】（25-26·福建漳州）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定
的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数
（
），则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先确定
，再利用倒序相加法求和即可.
【详解】由题意得
，设
，
，
设
，
倒序得
，
两式相加得到
，解得
，故只有A 正确.
故选：A
【变式1】（25-26·黑龙江哈尔滨）若等差数列
满足
，则
（ ）
A．2025
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案.
【详解】由等差数列
满足
，
则对于
，当
时，
，
则
，
设
，则
，
两式相加可得
，解得
.
故选：C.
强化训练（共10 题）
1．（25-26·广东佛山）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
与
的关系，通过作差即可求解；
（2）由等比数列求和公式得到
，再通过分组求和即可.
【详解】（1）因为
，故
，两式相减
所以
即
，故等比数列的公比为
，
当
时，
，故
，
故
（2）由等比数列求和公式得
，
所以数列
的前
项和
2．（25-26·福建龙岩）设数列
的前n 项和为
，
，
是等比数列，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知
，利用
与
的关系求
即可；
（2）利用等比数列的通项公式可得
，利用裂项相消法与分组求和法可得
.
【详解】（1）∵
，∴当
时，
，
当
时，
，
，
当
时，
符合上式，
故数列
的通项公式为
.
（2）由（1）得
，则
，
，∴
，
在等比数列
中，公比
，∴
，
∴
，
∴数列
的前n 项和
.
3．已知数列
中，
，
，且数列
为等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)记
为数列
的前n 项和，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出数列
的公差，可求出数列
的通项公式，进而可求得数列
的通项公式；
（2）利用裂项求和法求出
，即可证得结论成立.
【详解】（1）因为数列
中，
，
，且数列
为等差数列，
设数列
的公差为
，则
，故
，
所以
，故
.
（2）因为
，
所以
，故原不等式成立.
4．（25-26·浙江温州）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
作差计算可得；
（2）由（1）可得
，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为
，
当
时，
，
当
时，
，所以
，
当
时，
也成立，所以
；
（2）由（1）可得
，
所以
.
5．（25-26·湖南邵阳）已知数列
满足
，
（
），记
.
(1)求数列
的通项；
(2)设
，求数列
的前n 项和为
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义即可求证
是等比数列，求出
，即可得出
的通项；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由
，即
，
得
，即
，
又
，得
，
故数列
中任意一项不为0，有
，
所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
故
，则
.
（2）由（1）可知，
，则
，
所以
，
，
两式作差得，
，
所以
.
6．（25-26·广西北海）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式.
（2）写出数列
的通项公式，根据裂项求和法，求出数列前
项和，进而得证.
【详解】（1）因为
，所以
，
又
，所以
，所以
是以3 为首项，3 为公比的等比数列，
所以
，所以
；
（2）由（1）知
，
所以
，
又
，所以
．
7．（25-26·福建厦门）已知等差数列
满足
，数列
满足
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设cn=
an
bn+1，数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用已知项之间的关系列方程求出
公差和首项，从而得到通项公式；对递推数列
，
通过累加法求出通项公式，再验证首项；
（2）将通项代入分数形式的表达式进行化简，得到等差乘等比型数列求和，通过错位相减法求得前n 项和
的表达式.
【详解】（1）等差数列
满足
，可得
，即
，
，
，
，即
；
由数列
满足
，
可得
，则
，
，
，
即
，
（2）证明：
，
数列
的前
项和
,
相减可得
，
.
8．记
分别为数列
的前
项和，已知
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用
和
的关系式，消去
得到
的递推关系，利用等差数列的定义求出通项即可；
（2）根据（1）的结论和
的关系式，利用裂项相消法求出
的表达式，结合数列增减性即可证明.
【详解】（1）因为
①，
当
时，
，解得
．
当
时，
②，
由 ①－②得
，
即
，所以
．
所以数列
是首项为
，公差为1 的等差数列，
则
，所以
．
（2）由（1）可知
，
从而
，
因为
，
单调递增，则
．
9．（25-26·江苏盐城）已知等差数列
的公差为
，且
，设
为
的前
项和，数列
满足
.
(1)若
，
，且
，求
；
(2)若数列
也是公差为
的等差数列
①求数列
的通项公式；
②求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）根据给定条件，依次求出
，列出不等式求解即得.
（2）①设
，由已知借助恒成立求出
，进而求出
；②利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）依题意，
，
，
则
，由
，得
，解得
，
而
，所以
.
（2）①由数列
是公差为
的等差数列，设
，
又
，
于是
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
则
，又
，解得
，所以
，从而
；
②由①知
，
故
.
10．（25-26·江苏苏州）已知函数
，数列
满足
.
(1)求证：
为定值，并求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）计算
为定值2，用倒序相加法求得
通项公式；
（2）由（1）得到
，裂项相消求和得
，进而结合单调性证明不等式即可.
【详解】（1）由题意得
，
则
，
得到
，
两式相加得
，即
.
（2）由题意得
，
则
，
而
，而
，可得当
时，
，
令
，因为反比例函数
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，故
得证.
知识小测（共5 题）
1．（25-26·北京顺义）已知等比数列
为递增数列，其前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
是首项为1，公差为3 的等差数列，求数列
的通项公式及前
项和
.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）设出公比，根据条件得到方程组，求出公比，得到通项公式；
（2）利用等差数列通项公式得到
，然后分组求和得到结果.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，由
，且等比数列
为递增数列，所以
，
，解得
（负值舍去），
所以
，即
；
（2）由数列
是首项为1，公差为3 的等差数列，所以
，
所以
，
.
2．（25-26·福建厦门）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和为
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意整理可得
，进而可得
，即可得结果；
（2）整理可得
，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为
，且
，可得
，
即
对任意
恒成立，可得
，
所以
.
（2）由（1）可知：
，
则
，
可得
，
所以
.
3．（25-26·河南）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
的通项公式和
；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前
项和为
求得首项
与公差
即可得数列
的通项公式和
；
（2）由（1）得
，通过裂项相消法可求得
.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，又
，
，
所以
，
解得
，
，
所以
，
；
（2）由（1）知
，
所以
.
4．（25-26·江西南昌）已知等差数列
满足：
，且
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若等差数列
的公差不为零，且数列
满足：
，求数列
的前99 项和
.
【答案】(1)
或
；
(2)
【分析】（1）利用
，
，
成等比数列列出关于公差
的方程，再利用等差数列的通项公式即可；
（2）利用（1）中的通项公式，利用分母有理化化简
，最后利用裂项相消求和即可.
【详解】（1）设等差数列
的公差为d，依题意，
，
，
成等比数列，
所以
，解得：
或
当
时，
；当
时，
，
所以数列
的通项公式为
或
.
（2）因为等差数列
的公差不为零，由（1）知
（
），
则
，
所以
.
5．已知数列
满足：
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，若
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）用累加法即可求出结果；
（2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n 项和为
，即可证明结果.
【详解】（1）因为
，
所以当
时，
，…，
，
，
上述各式相加得
，
又
，所以
，
又
满足上式，故
.
（2）由（1）得
，
所以
，
所以数列
的前n 项和
，
即
.
