文档文本内容
第3 讲 空间向量中的探索性及最值（范围）问题
目 录
题型01 平行与垂直中的探索性问题
题型02 距离中的探索性问题
题型03 线面角的最值与探索
题型04 二面角的最值与探索
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 平行与垂直中的探索性问题
题型点拨
利用空间向量证明平行关系的方法和步骤
1、要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另
一条直线上.
2、要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与
平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内.
3、要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不
在另一个平面内(也可转化为证明线面平行、线线平行).
【典例1】（25-26·江苏南京）如图，在正四棱锥
中，各棱长均为
，
为侧棱
上的点，
是
中点.
(1)若
是
中点，求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设
，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到
，求得向量
和平面
的法向量
，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）设
，得到
，求得平面
的法向量为
，根据
平面
，利用
，列出方程，求得
的值，即可求解.
【详解】（1）解：如图所示，设
，
以点
为坐标原点，以
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
在正方形
中，由
，可得
，
又因为
，所以
，所以
，可得
，
则
，
因为
分别为
中点，可得
，
可得
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，可得
，所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
可得
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值
.
（2）解：因为
，
可得
，
设
，可得
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，可得
，所以
，
若
平面
，可得
，
即可得
，解得
，所以
，
即存在点
，使得
平面
，此时
的值为
.
【典例2】（25-26·浙江台州）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是直角梯形，
其中
，
，
，
，
为棱
上的点，且
，点
在棱
上（不与点
，
重合）.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的平面角的余弦值；
(3)直线
能与平面
垂直吗？若能，求出
的值；若不能，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，利用向量先证明
平面
，然后可证明平面
平面
；
（2）分别求出平面
与平面
的一个法向量，然后计算出法向量夹角的余弦值，结合图形可求二面
角的平面角的余弦值；
（3）由
表示出
点坐标即可表示出
，再根据位置关系确定出
与法向量
的关系，确定方
程解的情况可作出判断.
【详解】（1）因为
平面
，所以
，
，
又
，则以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
，
所以
，
，且
，
，
平面
，
所以
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由（1）知
是平面
的一个法向量，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
所以
，即
，
令
，则
，
，所以
，
所以
，
又由图可知二面角
的平面角为锐角，
所以二面角
的平面角的余弦值为
.
（3）由（1）得
，
，
，
，
设
，则
，可得
，
所以
，
由（2）知
是平面
的一个法向量，
若
平面
，可得
，则
，该方程无解，
所以直线
不能与平面
垂直.
题型2 距离中的探索性问题
【典例1】（25-26·广东梅州）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
为棱
的中点．
(1)求平面
与平面
的夹角余弦值；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离是
？若存在，求出
的值；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)
(2)存在满足题意的点
，此时
【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可；
（2）假设存在满足题意的点
，
，利用空间向量法求解点面距，建立关于a 的方程，解
之即可求解.
【详解】（1）由平面
平面
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
又
，有
，故
，
建立如图空间直角坐标系
，
，得
，
易知平面
的一个法向量为
，设平面
的一个法向量为
，
，令
，得
，
，
所以
，
即平面
与平面
所成角的余弦值为
；
（2）由（1）知
，则
，假设存在满足题意的点
.
设
，则
，
得
，即
，所以
，
故点
到平面
的距离为
，
即
，解得
或
（舍去），
所以存在满足题意的点
.
此时
，所以
.
【变式1】（25-26·福建厦门）如图，在四棱锥
中，
，底面
为直角梯形，
，
，
，
为线段
上一点.
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若
，
，异面直线
与
成
角，二面角
的余弦值为
，在线段
上是
否存在点
，使得点
到直线
的距离为
，若存在请指出点
的位置，若不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)线段
上存在点
，为靠近
或靠近
的三等分点
【分析】（1）过点
作
，交
于点
，连接
，通过证明四边形
为平行四边形得
出
，然后利用线面平行的判定定理即可得出结论；
（2）证明出
平面
，过点
作
交
于点
，并以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，设
，利用空间向量法结合二面角
的余
弦值为
，求出
的值，再利用空间中点到直线的距离公式即可得出结论.
【详解】（1）（1）过点
作
，交
于点
，连接
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
∵
平面
，
平面
，
∴
平面
；
（2）由异面直线
与
成
角，即
，
∵
，
，∴
平面
，
∵
，过点
作
交
于点
，
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
，
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
，
可得平面
的一个法向量为
，
由于二面角
的余弦值为
，
则
，解得
，
则
，
假设线段
上存在点
，使得点
到直线
的距离为
，
设
，
∴
，
则
，
∴
，
，
∴点
到直线
的距离为
，
解得
或
，
所以线段
上存在点
，为靠近
或靠近
的三等分点时，使得点
到直线
的距离为
.
题型3 线面角的最值与探索
【典例1】（25-26·福建泉州）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)过直线
与线段
的中点E 的平面
与线段
交于点F.
（i）试确定F 点位置；
（ii）若H 点为线段
上一动点，求直线
与平面
所成角正弦值的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）点F 为靠近A 的三等分点；（ii）
【分析】（1）连接
、
，设
，连接
，由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）解法一：（i）取
的中点M，连接
、
，由几何关系得到
，
，过E 点作
，连结
，确定F 点位置即可；
（ii）先由线面垂直的判定定理证明
平面
，再建立如图所示空间直角坐标系，求出平面
的
法向量，再由集合关系求出
，代入线面角公式，再令
，结合二次函数分析最值即可；
解法二：（i）先由线面垂直的判定定理证明
平面
，建立如图所示空间直角坐标系，由向量的
基本定理得到
，再确定F 点位置即可；
解法三：（i）延长
，
交于点Q，连结
交
于点F，再由几何关系确定其位置即可；
（ii）由线面垂直的判定定理证明
平面
，再由余弦定理和同角的三角函数关系得到
，再利用等体积法求出A 点到平面
的距离为d，然后分析其最值即可；
【详解】（1）
连接
、
，设
，连接
，
，
，
，
，则
，
，即
是
的角平分线，
，
，
，
平面
，
平面
（2）同理可得
故
，所以，
，
因为
，则
，则
，
（解法一）（i）取
的中点M，连接
、
，
，
，故
为等边三角形，
∵M 为
的中点，
，
在底面
中，
，
，
，
过E 点作
，则
，所以C，D，E，K 四点共面。
连结
，则
，则
，所以A，K，P，C 四点共面。
连结
，面
面
，则
必与
相交，交点为所求的点F，
，所以点F 为靠近A 的三等分点.
（ii）
平面
，
平面
，
，
因为
，
，
，所以，
，则
，
，
，所以，
，
所以，
，即
，
，
平面
，所以，
平面
，
以点O 为坐标原点，
、
、
所在直线分别为x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
、
、
，
，
设平面
的法向量为
，
，
，
则
，取
，可得
，
设
，其中
，
则
，
所以，
，
因为
，所以令
，
，
，
所以
，
设
，对称轴为
，
故当 1/3 或 1，即 λ = 0 或 1 时，sin θ 取得最小值 √42/7.
因此，当H 点与E 点或F 点重合时直线
与平面
所成角的正弦值的最小值为
.
（解法二）
平面
，
平面
，
，
因为
，
，
，所以，
，则
，
，
，所以，
，
所以，
，即
，
，
平面
，所以
平面
，
以点O 为坐标原点，
、
、
所在直线分别为x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
、
、
，
设
，
，
，
，
，
C，D，E，F 四点共面，则
，解得
，
，
，
所以点F 为靠近A 的三等分点，下同解法一，
（解法三）延长
，
交于点Q，连结
交
于点F，即为所求点.在
中，
，
，
，
，则A 为
中点.又因为E 为
中点，则F 为
的重心，则
，F 为靠近A 的三等分点.
平面
，
平面PBD，
，
因为
，
，
，所以，
，则
，
，
，所以，
，
所以，
，即
，
，
平面
，所以
平面
，
，
，
，
，
，
设A 点到平面
的距离为d，
，
，
，
假设直线
与平面
交点为G，
则直线
与平面
所成角正弦值
，
所以当
最大，正弦值最小，
，
，
因为
，
所以当H 点与E 点或F 点重合时
最小.
【典例2】（2025·天津·二模）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是矩形，
平面
，
为边CD 的中点，且
.
(1)求线段
的长；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)在线段
上（不含端点）是否存在点
，使直线
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求
线段
的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设
，由
即可求解；
（2）分别求平面
与平面
的法向量，利用夹角公式即可求解；
（3）设
，利用直线
与平面
所成角的正弦值为
即可求解.
【详解】（1）由
底面
平面
，
故
，又底面
是矩形，故
，
故AD、AB、PA 两两垂直，
故可以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
、
，
设
，则
，
则
，
由
，则
，
解得
，即
；
（2）
，
设平面
的一个法向量
，
因为
，可得
，
令
，则
，所以
，
，
设平面
的一个法向量
，
可得
，
令
，则
，所以
，
设平面
与平面
夹角为
，
则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
；
（3）（3）
设
，
则
，
因为
与平面
所成角的正弦值为
，设AN 与平面
所成角
，
所以
，
所以
所以
或
，
因为
所以
，所以
.
题型4 二面角的最值与探索
【典例1】（25-26·北京海淀）如图，四棱锥
中，
平面
，过
的平面分别与棱
交于点M，N．
(1)求证：
;
(2)记二面角
的大小为
，求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，设
，利用法向量方法，用
表示两平面法向量夹角的余弦，
再由向量夹角与二面角大小关系求
最大值.
【详解】（1）因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
.
因为过
的平面分别与棱
交于
，
所以
；
（2）因为
平面
，
平面
，
平面
，
所以
，
又因为
，
如图，建立空间直角坐标系
，
则
，
所以
，
设
，
则
，
设平面
即平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
于是
；
设平面
即平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
于是
，
所以
，
因为
，所以
，
由二面角
的大小为
，
根据
的方向判断可得
，
所以，当
时，
的最大值为
.
【典例2】（25-26·广东深圳）如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直径，
为
底面圆
的内接正三角形，点
在母线
上，且
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)在线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，确定点
的
位置，若不存在，请说明理由
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，且
【分析】（1）利用余弦定理与勾股定理推得
，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理与性质定
理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，得到直线
的方向向量与平面
的法向量后借助空间向量夹角公式计
算即可得；
（3）设
，求出平面
与平面
的法向量后，借助空间向量夹角公式计算出相
应
即可得.
【详解】（1）如图，设
交
于点
，连接
，由圆锥的性质可知
底面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
是底面圆的内接正三角形，由
，
可得
，
，
又
，
，所以
，
即
，
，
所以在
中，
，
在
中，由余弦定理：
，
所以
，故
，
因为
底面
，
面
，所以平面
平面
，
又
面
，
平面
平面
，
，故
面
，
又
平面
，所以平面
平面
；
（2）易知
，以点
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
即直线
与平面
所成的角的正弦值为
；
（3）
，
，
，
设
，可得
，
设平面
与平面
的法向量分别为
，
，
则有
，
，
令
，则
，
，
，
，
即
，
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
整理得
，即
，则
，
故线段
上存在符合题意的点
，且
.
强化训练（共10 题）
1．（25-26·甘肃白银）如图，在正方体
中，
是
的中点，
是
的中点.
(1)在平面
内确定一点
，使
平面
；
(2)证明：棱
上不存在点
，使平面
平面
.
【答案】(1)当点
的坐标为
时，
平面
.
(2)证明见解析
【分析】（1）根据证明线面垂直的向量方法，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出方向向量，
列出方程组，求出结果；
（2）根据证明面面平行的向量方法，设出点的坐标，证明面上两条直线方向向量，不能同时与另一个面
的法向量垂直即可.
【详解】（1）
建立如图所示的空间直角坐标系
，设正方体的棱长为2，
则
，
，
，
，
，
，
设
，
.
因为
，
，
，又
，
不共线，
所以当
时，
平面
.
所以
，解得
，
，
所以当点
的坐标为
时，
平面
.
（2）设平面
的法向量为
，则
，
因为
，
，所以
，
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量
.
若平面
平面
，则
也是平面
的一个法向量.
因为
，
，
所以
，即
，得
，
此时
，
所以
不是平面
的一个法向量，即
与平面
不垂直.
所以棱
上不存在点
，使平面
平面
.
2．（2025·贵州黔西·一模）如图所示为直四棱柱
，
，
分别是线段
的中点.
(1)证明:
平面
；
(2)求直线BC 与平面
所成角的正弦值，并判断线段BC 上是否存在点
，使得
平面
，若存
在，求出BP 的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
；在线段
存在点
使得
平面
，
的值为
【分析】（1）由题意可知
为正三角形，则
，又
，结合线面垂直的判定定理即
可证明；
（2）根据勾股定理的逆定理可得
，建立如图空间直角坐标系
，利用空间向量法求解线面
角即可；假设在线段
上存在点
，使得
平面
，令
，利用
求出
，
进而求出
即可.
【详解】（1）由
，知
为正三角形，
又
为
的中点，则
.
又
为
的中点，则
，
而
，所以
，
又
平面
，
所以
平面
；
（2）由（1）知
为正三角形，则
，
在
中，
，有
，所以
，
易知
，建立如图空间直角坐标系
，
则
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，得
，故
，
设
与平面
所成角为
，则
，
即
与平面
所成角的正弦值为
.
假设在线段
上存在点
，使得
平面
，令
，
则
，所以
，
由
平面
，得
，所以
，
解得
，所以
，即
的值为
.
3．（25-26·山东临沂）如图1，在边长为2 的菱形
中，
于点
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．
(1)求证：
平面
；
(2)求点B 到平面
的距离；
(3)在线段
上是否存在点
，使平面
平面
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在 ，
【分析】（1）根据线面垂直先证得
，再结合
可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得点B 到平面
的距离.
（3）设
，根据平面
与平面
的法向量垂直建立等量关系求得
即可．
【详解】（1）证明：
，
，
又
平面
平面
，
所以
平面
，
平面
，
，
又
平面
平面
，
平面
；
（2）
平面
，
∴ 以
为原点，分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，设平面
的法向量为
，
则
，故可设
.
，
所以点B 到平面
的距离为
.
（3）存在，理由如下：
假设在线段
上存在一点
，使得平面
平面
，
设
，
则
，
，
，
设平面
的法向量
，
由
，
得
，
令
，得
．
设平面
的法向量为
，
，
故
，
取
，得
．
因为平面
平面
，
所以
，
解得
，
所以在线段
上存在点
，使得平面
平面
，且
．
4．（25-26·北京朝阳）在如图所示的多面体中，
且
，
，
且
，
且
，
平面ABCD，
，M，N 分别为棱
的中点.
（I）求点F 到直线EC 的距离；
（II）求平面BED 与平面EDC 夹角的余弦值；
（III）在棱GF 上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平面EDC？若存在.指出点Q 的位置，若不存在，说明
理由.
【答案】（I）
；（II）
；（III）不存在，证明见解析；
【分析】（I）由题知，
，
，又
，建立以D 点为原点的空间直角坐标系，求得
向量
，
，则点F 到直线EC 的距离为
；
（II）求得平面BED 和平面EDC 的法向量，利用向量的夹角求得二面角的余弦值；
（III）假设GF 上存在点Q 使得平面
平面
，设出坐标，求得平面MNQ 的法向量，与平面
EDC 的法向量应共线，验证是否存在即可.
【详解】（I）由
平面ABCD 知，
，
，又
，
则建立以D 点为原点的空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
所以点F 到直线EC 的距离为
（II）由（I）知，
，
，
设平面BED 的法向量为
，
则
，令
，则
设平面EDC 的法向量为
，
则
，令
，则
故
由图知，二面角
为锐二面角，故余弦值为
（III）设GF 上存在一点Q，设
，
则
，
设平面MNQ 的法向量为
则
，令
，则
若平面
平面
，则
，
故
不存在，即不存在点Q 使得平面
平面
5．（25-26·江苏扬州）如图，等边三角形ABC 的边长为，
，
分别为边AB，AC 的中点，
为线段
的中点，现将三角形
沿直线
折起，使得二面角
为直二面角．
(1)求线段
的长度；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)棱
上是否存在异于端点的点
，使得点
到平面
的距离为
．若存在，请指出点
的位
置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点
位于线段
的靠近点
的三等分点
【分析】（1）连接
，证明
，结合面面垂直性质定理证明
平面
，取边
的中点
记为
，建立空间直角坐标系，求
的坐标，再求线段
的长度；
（2）求平面
的法向量，结合向量夹角公式求直线
与平面
所成角的正弦值；
（3）设
，求平面
的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点
到平面
的距离，
列方程求
，由此可得结论.
【详解】（1）由已知
，连接
，因为
为线段
的中点，所以
；
因为 AO
⊂平面 AEF，且 AO EF
⟂
，又平面 AEF
⟂平面 BCEF，两平面的交线为 EF，
所以 AO
⟂平面 BCEF；取边 BC 的中点记为 D，则 OE OD
⟂
；
以点
为原点，以
为
轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则
，所以
；
（2）由（1）
，
，
，
，
所以
，
，
，
记平面
的法向量为
，
所以
，
不妨取
，得
，
所以
为平面
的一个法向量；
记直线
与平面
的所成角为
，
则
，
所以，直线
与平面
的所成角的正弦值为
；
（3）设
，其中
，
，
，
，
，
，
记平面
的一个法向量为
，
则有
，
不妨取
，解得
，
即
；
则点
到平面
的距离
，
整理得：
即
，
解得
或
（舍去），
所以，当点
位于线段
的靠近点
的三等分点时，点
到平面
的距离为
．
6．（2025·山东青岛·三模）如图，已知底面
是正三角形，
平面
，
平面
，
．
(1)若
，
是
中点，证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）由已知有
，取
中点
，连接
，
，易证
，再应用线面平行的
判定证明结论；
（2）令
，取
中点为
，连接
，过
作
，且交
于
，构建合适的空间直
角坐标系，标出相关点坐标，求出直线的方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角的最大正弦值，
【详解】（1）
，
均垂直于平面
，
，
取
中点
，连接
，
，
，
，
且
，
又
且
，故四边形
是平行四边形，
，又
平面
，
平面
，
平面
；
（2）令
，取
中点为
，连接
，过
作
，且交
于
，
，
平面
，
平面
，
是正三角形，所以
，
，
以
为坐标原点，
，
，
方向为
，
，
轴正方向，建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，所以
，
，
设平面
法向量
，则
，所以
，
取
，则
，
又
，设
与平面
所成角为
，则
所以，当
时，
最大值为
，
综上，直线
与平面
所成角正弦值的最大值为
.
7．（25-26·四川德阳）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
为棱
上
的动点.
(1)若
为
中点，证明：
平面
；
(2)若
，在线段
上是否存在点
使得面
与面
夹角余弦值为
，若存
在，求出点
位置，若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）连接
，交
于点
，结合中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，设
，
，则
，利用向量法求出
即可
求解.
【详解】（1）连接
，交
于点
，
因为底面
为矩形，故
为
的中点，
又因为
为
的中点，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）底面
为矩形，所以
，
平面
，又
平面
，
，
如图，以
为原点，
所在直线为
轴、
轴，
轴建立空间直角坐标系，
由题意得
，
，
设
，设
，
所以
，可得
，
所以
，
，
，
，
设面
的法向量为
，
则
，
取
，则
，
为平面
的一个法向量，
设面
的法向量为
，
则
，
取
，则
，
可取
，
设面
与面
夹角为
，
则
，
化简得
，即
，
解得
或
（舍），
所以在线段
上存在点
使得面
与面
夹角余弦值为
，此时
，即点
为
（靠近点
）的三等分点.
8．（25-26·辽宁大连）如图，在三棱柱
，平面
平面
，四边形
为矩形，
，且
.
(1)求二面角
的正弦值
(2)设
为棱
上的一个动点（包含端点），直线
与平面
所成角为
，求
的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证得
平面
，从而建立空间直角坐标系，进而求得平面
与平面
的法向量，结合空间向量法即可得解；
（2）利用（1）中结论，求得平面
的法向量，再利用空间向量法求得
关于
的表达式，结合二
次函数的性质即可得解.
【详解】（1）过
点作
交
于D，过
点作
交
于
，如图，
因为平面
平面
，平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为四边形
为矩形，所以
，则
，
故以
为原点，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，
因为在
中，
，
，则
，又
，
则
，
所以
，设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，故
，
易知平面
的法向量为
，
设二面角
为
，则结合图象可知其为锐角，即
，
所以
.
所以
，
所以二面角
的正弦值为
.
（2）由（1）得
，
，
因为
为棱
上的一个动点（包含端点），设
，
则
，
设平面
的法向量为
，
所以
，取
，则
，故
，
因为直线
与平面
所成角为
，其中平面
与平面
共面，
所以
，
对于
，
则
，
所以
的取值范围为
.
9．（25-26·广东深圳）如图，在四棱锥
中，
，且
，底面
是边长为
的菱形，
.
(1)证明：面
面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，点
为棱
上的动点，求平面
与平面
夹角
的正弦值的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）连接
交
于点
，连接
，由题设可得
、
，再应用线面、面面垂
直的判定证结论；
（2）过
作
交
于点
，由面面垂直性质有
面
，则
即为直线
与平面
所成角，并证明
为
的重心，结合已知求得
，构建空间直角坐标，设
，应用向量法求面面角的正弦值关于
的表达式，进而求其最值.
【详解】（1）连接
交
于点
，连接
.
因为
是菱形，所以
，
为
的中点，
，所以
.
又
面
，且
，
所以
平面
，又
平面
，
所以，平面
平面
.
（2）过
作
交
于点
，
面
面
，
，面
面
，
面
，
所以
面
，则
即为直线
与平面
所成角，
，
面
，
面
，则
，
为
的交点，
为等边三角形，所以
为
的重心，
，则
，
在
中
，解得
，
以
为原点，
所在直线为
轴建立如下图坐标系，
故
，
则
，
设平面
的一个法向量为
，则
，令
，故
．
设
，则
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，令
，故
．
设平面
与平面
夹角为
，于是
，
令
，则
，
当
，即
时，
， 此时
，
平面
与平面
夹角的正弦值的最小值为
.
【点睛】关键点点睛：第二问，过
作
交
于点
，利用已知条件求出
，进而构建空间直
角坐标系，设
，向量法求面面角正弦值关于参数的表达式为关键.
10．（25-26·云南）如图，直四棱柱
的底面
是菱形，
，
为锐
角，
分别是
的中点．
(1)证明：
平面
．
(2)求二面角
的余弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证法一：连接
，设
，连接
，由线面平行的判定即可证明；
证法二：设
的中点分别为
，连接
,由线面平行的判定及性质即可证明；．
（2）建立空间直角坐标系，由面面角余弦的向量公式及基本不等式即可求解．
【详解】（1）证法一：连接
，设
，连接
．
在
中，
分别是
的中点，所以
．
在
中，
分别是
的中点，所以
，则
．
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
证法二：设
的中点分别为
，连接
,如图所示．
因为
，
所以四边形
为平行四边形，所以
．
因为
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，所以
．
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
．
因为
平面
，
平面
，
，所以平面
平面
．
因为
平面
，所以
平面
．
（2）过点
作
交
于点
．
以
为坐标原点，
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
．
设
，且
，则
．
设
，则
，即
，
则
．
设平面
的法向量为
，则
，
所以
可取
．
易得平面
的一个法向量为
．
．
令
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
．
故二面角
的余弦值的最大值为
．
知识小测（共5 题）
1．（25-26·上海）已知向量
，
，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底
是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断.
【详解】因为向量
，
，是不共面的三个向量，
对于A：因为
，所以
，
，
共面，
所以
，
，
不能构成空间的一组基底，故A 错误；
对于B：因为
，所以
，
，
共面，
所以
，
，
不能构成空间的一组基底，故B 错误；
对于C：因为
，所以
，
，共面，
所以
，
，不能构成空间的一组基底，故C 错误；
对于D ：假定向量
，
，共面，
则存在不全为
的实数
，
，使得
，整理得
，
而向量
，
，不共面，则有
，显然不成立，所以向量
，
，不共面，
即向量
，
，能构成空间的一个基底，故D 正确；
故选：D
2．（25-26·江苏宿迁）已知¿{a}=(¿{3},2,3)，空间向量¿{e}为单位向量，⟨¿{a},¿{e}⟩=¿{2¿}{3}，
则空间向量¿{a}在向量¿{e}方向上的投影向量为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由投影向量的计算公式即可求解.
【详解】空间向量 a⃗在向量
方向上的投影向量为 ( · ) / ‖ ‖² ·
a⃗e⃗
e⃗
e⃗，
因为¿{e}为单位向量，⟨¿{a},¿{e}⟩=¿{2¿}{3}，¿{a}=(¿{3},2,3)，
所以
，
所以 ( · ) / ‖ ‖² · = -2
a⃗e⃗
e⃗
e⃗
e⃗，
故选：B
3．已知
，
，
，
，
，则直线
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先证明
平面
，直线
到平面
的距离可转化为点
到平面
的距离，利用
点到平面的距离公式计算即可.
【详解】
，
，
，
，
显然
，所以
，
而
平面
，
平面
，于是
平面
，
因此直线
到平面
的距离等于点
到平面
的距离．
设平面
的法向量为
，则
,令
，得
，
所以点
到平面
的距离为
，
所以直线
到平面
的距离是
．
故选：D
4．（25-26·安徽）如图，已知在长方体ABCD - A _ 1B _ 1C _ 1 D _ 1中，AA _ 1=2 AB =2, AD =3，
点E在棱BC上，且¿{BE }=2¿{EC }，则直线A _ 1 E与直线C _ 1 D _ 1所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量
和
的坐标，再利用向量的夹
角公式求出两向量夹角的余弦值，由于异面直线所成角的范围是
，所以取其绝对值即为异面直线所
成角的余弦值．
【详解】以
为原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系．
已知
，
，则
，
．
所以
，
，
．
因为点
在棱
上，且
，
，所以
，
，则
．
所以
，
．
根据向量的夹角公式
．
先计算
．
．
．
则
．
因为异面直线所成角的范围是
，所以直线
与直线
所成角的余弦值为
．
直线
与直线
所成角的余弦值为
．
故选：C．
5．（25-26·湖北）（多选）如图，在棱长均为2 的平行六面体
中，底面
是正方形，
且
，下列选项正确的是（ ）
A．
长为
B．异面直线
与
所成角的余弦值为
C．
D．
【答案】ACD
【分析】以
为一组基底，将
用基底表示，得
，利用数
量积的运算即可求解，进而判断A，先求
，利用向量的夹角公式即可判断B，计算
和
即可判断CD.
【详解】由题意有：
，所以
，所以
，故A 正确；
，所以
，所以
，
所以
，故B 错误；
由
，
，
所以
，所以
，故C 正确；
由
，
所以
，故D 正确；
故选：ACD.
