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第07 讲 整式
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：9 大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 单项式
1.单项式定义
（1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.
2、单项式的系数：
单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.
说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如
2
3x 的系数是3；3
2
ab
的系数是3
1 ；
a
8.4
的系数是4.8；
（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号
如
2
4xy
的系数是
4
；
y
x 2
2
的系数是
2
；
（3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1 或-1，不能认为是0，如
2
ab
的系数是-1；
2
ab 的系数是
1；
（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，
而不能当成字母。如2πxy 的系数就是2.
3、单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
说明：
（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1 的情况。如单项式
z
y
x
2
4
2
.
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的次数是字母z，y，x 的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7 次，应注意字母z 的指数是1 而不是0；
（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式
4
3
2
4
2
z
y
x
的次数是2＋3＋4=9
而不是13 次；
（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一
般不讨论它的次数；
4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。
例如：
t
100
可以写成
t
100
或
t
100
5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.
知识点2 多项式
1、定义： 几个单项式的和叫多项式.
2、多项式的项：
多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
3、多项式的次数：
多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
4、多项式的项数：
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项.
知识点3 整式
（1）单项式和多项式统称为整式。
（2）单项式或多项式都是整式。
（3）整式不一定是单项式。
（4）整式不一定是多项式。
（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
知识点4 升幂和降幂
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列，
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列。
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教材习题01
解题方法
单项式的系数和次数
【答案】
（1）系数：5；次数：2
（2）系数：1；次数:2
（3）系数：
2
7
；次数：4
（4）系数：
3
2
；次数：3
教材习题02
解题方法
多项式的概念
【答案】
教材习题03
解题方法
升幂和降幂的定
义
【答案】
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考点一 单项式的判断
1．（24-25 七年级上·湖北宜昌·期中）代数式2𝑚+ 𝑛，3𝑎𝑏，
𝑥
𝑦，𝑎，−8，
𝑥−𝑦
2 中，单项式的个数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫
做单项式．根据单项式的概念找出单项式的个数．
【详解】解：代数式2𝑚+ 𝑛，3𝑎𝑏，
𝑥
𝑦，𝑎，−8，
𝑥−𝑦
2 中，
单项式有：3𝑎𝑏，𝑎，−8，共3个．
故选：A．
2．（24-25 七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子：𝑥2 +2，
1
𝑎+4，
3𝑎𝑏2
7 ，
𝑎𝑏
𝑐，−5𝑥，0 中，单项式的个数
是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一
个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义分析即可．
【详解】解：
3𝑎𝑏2
7 ，−5𝑥，0 是单项式；
𝑥2 +2是多项式；
1
𝑎+4，
𝑎𝑏
𝑐既不是单项式，也不是多项式．
故选D．
3．（24-25 七年级上·重庆江津·期中）给出下列式子：0，3𝑎，𝜋+ 3，
𝑥−𝑦
2 ，1，3𝑎2 +1，−
𝑥+ 𝑦
5 ，
1
𝑥+𝑦，其
中单项式的个数是（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了单项式的判断，
根据定义解答，即数字与字母的乘积就是单项式，注意单独的数字和字母也是单项式
【详解】解：单项式有0,3𝑎,1,𝜋+ 3，一共4 个，其中
𝑥−𝑦
2 ,3𝑎2 +1,−
𝑥+ 𝑦
5 是多项式，而
1
𝑥+𝑦不是单项式，
也不是多项式.
故选：B.
4．（24-25 七年级上·福建福州·期末）下列代数式中，属于单项式的是（ ）
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A．
𝑥
6
B．
𝑠
𝑡
C．3𝑥+ 2𝑦
D．
𝑥+ 1
2
【答案】A
【分析】本题考查了单项式的定义，解题的关键是理解数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的
一个数或一个字母也是单项式．
根据单项式的定义进行分析即可．
【详解】解：A、
𝑥
6是单项式，符合题意；
B、
𝑠
𝑡不是单项式，不符合题意；
C、3𝑥+ 2𝑦是多项式，不符合题意；
D、
𝑥+ 1
2 是多项式，不符合题意；
故选：A．
考点二 单项式的系数、次数
1．（24-25 七年级上·湖南长沙·期末）单项式−
2
5𝑥2𝑦的系数和次数分别是（ ）
A．−
2
5，3
B．
2
5，4
C．
2
5，4
D．−
2
5，4
【答案】A
【分析】本题考查了单项式的次数和系数，根据单项式的数字因数是单项式的系数，字母的次数之和为
单项式的次数，进行作答即可．
【详解】解：单项式−
2
5𝑥2𝑦的系数和次数分别是−
2
5，3，
故选：A
2．（24-25 七年级上·广东广州·期中）单项式−3𝑥𝑦2系数和次数分别是（ ）
A．3、3
B．−3、3
C．3、2
D．−3、2
【答案】B
【分析】本题考查了单项式系数和次数，根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．
【详解】解：单项式−3𝑥𝑦2系数与次数分别是−3与3，
故选：B．
3．（24-25 七年级上·广东汕头·期末）若单项式2𝑥𝑛𝑦𝑧2的次数是8，则𝑛的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】本题考查单项式次数的定义．熟练掌握单项式中所有字母的指数和，叫做单项式的次数，是解
决问题的关键．利用单项式次数的定义计算即可．
【详解】解：∵2𝑥𝑛𝑦𝑧2的次数是，𝑛+ 1 + 2 = 𝑛+ 3，
∴𝑛+ 3 = 8，
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∴𝑛= 5，
故选：D．
4．（24-25 七年级上·四川南充·期中）单项式−6𝜋𝑥𝑎+1𝑦2与
52𝑥2𝑦3
6
的次数相同，则𝑎=
．
【答案】2
【分析】此题考查了单项式的次数，所有字母指数的和叫做单项式的次数．据此进行列式计算即可．
【详解】解：∵单项式−6𝜋𝑥𝑎+1𝑦2与
52𝑥2𝑦3
6
的次数相同，
∴𝑎+ 1 + 2 = 2 + 3，
解得𝑎= 2，
故答案为：2
考点三 写出满足某些特征的单项式
1．（24-25 七年级上·湖北襄阳·期末）请写出一个只含有𝑥、𝑦两个字母，系数是−2，次数是5 的单项
式
．
【答案】−2𝑥𝑦4（答案不唯一）
【分析】本题考查单项式定义：数与字母的积叫单项式，根据题意，结合单项式定义即可得到答案，
熟记单项式定义是解决问题的关键．
【详解】解：由单项式定义可得，该单项式可以是−2𝑥𝑦4（答案不唯一），
故答案为：−2𝑥𝑦4（答案不唯一）．
2．（24-25 七年级上·福建厦门·期末）请写出一个只含字母m 和n，次数为3，系数为2 的单项式
．
【答案】2𝑚2𝑛或2𝑚𝑛2
【分析】本题考查了单项式系数、次数的定义，解题的关键是正确理解单项式的次数是所含字母的指
数和．根据单项式系数、次数的定义求解即可．
【详解】解：只含字母m 和n，次数为3，系数为2 的单项式为：2𝑚2𝑛或2𝑚𝑛2，
故答案为：2𝑚2𝑛或2𝑚𝑛2．
3．（2024 七年级上·全国·专题练习）
请你写出一个含有字母a，b 的单
项式，使它的系数为5，次数为3，这个单项式是
．
【答案】5𝑎2𝑏(答案不唯一，也可以是5𝑎𝑏2)
【分析】本题考查的是单项式，熟知一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题
的关键．
根据单项式次数的定义解答即可．
【详解】解：一个只含有字母a、b 的单项式，使它的系数为5、次数为3 的单项式为：5𝑎2𝑏；
故答案为：5𝑎2𝑏(答案不唯一，也可以是5𝑎𝑏2)．
4．（2024·广西河池·三模）写出一个系数为5，次数为3 的单项式是 ．
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【答案】5𝑥3（答案不唯一）
【分析】本题考查了单项式的知识，根据单项式的概念求解．
【详解】解：由题意，这个单项式可以为5𝑥3，
故答案为：5𝑥3（答案不唯一）．
考点四 单项式规律题
1．（20-21 七年级上·山东日照·期中）按一定规律排列的单项式：−2𝑥,4𝑥2,−8𝑥3,16𝑥4,−32𝑥5，…，第n 个
单项式是（ ）
A．−2𝑛−1𝑥𝑛
B．(−2)𝑛−1𝑥𝑛
C．−2𝑛𝑥𝑛
D．(−2)𝑛𝑥𝑛
【答案】D
【分析】本题主要考查了单项式中的数字变化规律问题，先确定系数的变化规律：−2的序号数次方，再
确定字母指数的变化规律：x 的序号数次方，即可得出答案．
【详解】解：因为(−2)1𝑥1,(−2)2𝑥2,(−2)3𝑥3,(−2)4𝑥4 ⋅⋅⋅，
所以第n 个单项式为(−2)𝑛𝑥𝑛．
故选：D．
2．（24-25 七年级上·云南临沧·期末）按一定规律排列的代数式：2𝑥，4𝑥3，6𝑥5，8𝑥7，10𝑥9，…，第n 个
代数式是（ ）
A．𝑛𝑥2𝑛−1
B．(2𝑛−1)𝑥2𝑛
C．2𝑛𝑥𝑛−1
D．2𝑛𝑥2𝑛−1
【答案】D
【分析】从系数，指数两个角度去探索各自遵循的基本规律，解答即可．
本题考查了规律探索，熟练掌握从系数，指数两个角度去探索各自遵循的基本规律时解题的关键．
【详解】解：根据题意，得2𝑥= (2 × 1)𝑥2×1−1，4𝑥3 = (2 × 2)𝑥2×2−1，
6𝑥5 = (2 × 3)𝑥2×3−1，8𝑥7 = (2 × 4)𝑥2×4−1，
故第n 个单项式是2𝑛𝑥2𝑛−1，
故选：D．
3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）按一定规律排列的单项式：
𝑎
3，−𝑎2
5 ，
𝑎3
9 ，−𝑎4
17，…第n个单项式是
．
【答案】
(−1)𝑛+1𝑎𝑛
2𝑛+ 1
【分析】本题主要考查单项式规律探索，根据分子𝑎,𝑎2,𝑎3,𝑎4，…，可得出第n 个单项式的分子，由分
母3，5，9，17，…，可得出第n 个单项式的分母，由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，
可得出符号规律，即可求出结果．
【详解】解：由分子𝑎,𝑎2,𝑎3,𝑎4，…，可得第n 个单项式的分子为𝑎𝑛；
由分母3，5，9，17，…，可得第n 个单项式的分母为2𝑛+1；
由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，可得符号规律为(−1)𝑛+1，
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所以第n 个单项式是
(−1)𝑛+1𝑎𝑛
2𝑛+ 1 ，
故答案为：
(−1)𝑛+1𝑎𝑛
2𝑛+ 1 ．
4．（24-25 七年级上·山东聊城·期末）观察下面一组单项式：−
3
2𝑥2𝑦，
5
4𝑥4𝑦2，−
7
8𝑥6𝑦3，
9
16𝑥8𝑦4，⋯根据其中
的规律，得出第𝑛个单项式是
．
【答案】(−1)𝑛2𝑛+ 1
2𝑛𝑥2𝑛𝑦𝑛
【分析】本题考查的是单项式的规律探究，从符号规律可得以−，+ 循环，可以用(−1)𝑛表示，系数的
分子是奇数，可以用2𝑛+ 1表示，系数的分母是2的正整数指数幂，可以用2𝑛表示，𝑥的指数是偶数，
可以用2𝑛表示，𝑦的指数是正整数，可以用𝑛表示，从而可得答案．
【详解】解：∵一组单项式：−
3
2𝑥2𝑦，
5
4𝑥4𝑦2，−
7
8𝑥6𝑦3，
9
16𝑥8𝑦4，…
∴从符号规律可得以−，+ 循环，可以用(−1)𝑛表示，
∴系数的分子是奇数，可以用2𝑛+ 1表示，系数的分母是2的正整数指数幂，可以用2𝑛表示，
∴𝑥的指数是偶数，可以用2𝑛表示，𝑦的指数是正整数，可以用𝑛表示，
∴得出第n 个单项式是(−1)𝑛2𝑛+ 1
2𝑛𝑥2𝑛𝑦𝑛；
故答案为：(−1)𝑛2𝑛+ 1
2𝑛𝑥2𝑛𝑦𝑛．
考点五 多项式的判断
1．（24-25 七年级上·广东河源·期末）在代数式−1,2𝑥+ 7,−
𝑥+ 𝑦
2π ,𝑥(𝑥+ 1),
𝑚+ 𝑛
2 中，多项式的个数是（ ）个
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【分析】本题考查了多项式“由几个单项式的和组成的代数式，称为多项式”，熟记多项式的定义是解题关
键．根据多项式的定义求解即可得．
【详解】解：2𝑥+ 7，−
𝑥+ 𝑦
2π ，𝑥(𝑥+ 1)，
𝑚+ 𝑛
2 都是多项式，共有4 个，
故选：B．
2．（2024 七年级上·全国·专题练习）下列各式中是多项式的是（ ）
A．
1
2𝑥𝑦
B．2𝑥
C．
1
2
D．𝑥2−2
【答案】D
【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题．根据“数与字母的积是单项式”与“几个单项式
的和叫做多项式”找出其中的多项式即可．
【详解】解：A．根据多项式的定义，
1
2𝑥𝑦是单项式，不是多项式，故A 不符合题意．
B．根据多项式的定义，2𝑥是单项式，不是多项式，故B 不符合题意．
C．根据多项式的定义，
1
2是单项式，不是多项式，故C 不符合题意．
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D．根据多项式的定义，𝑥2−2是多项式，故D 符合题意．
故选：D．
3．（24-25 七年级上·天津·阶段练习）在下列代数式
1
2𝑎𝑏，
𝑎+ 𝑏
2 ，𝑎𝑏2 +𝑏+ 1，−9，
1
𝑥，𝑥3 + 𝑥2−3中，多项
式有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了多项式的定义“几个单项式的和为多项式”．根据多项式的定义即可判断．
【详解】解：代数式
1
2𝑎𝑏，
𝑎+ 𝑏
2 ，𝑎𝑏2 +𝑏+ 1，−9，
1
𝑥，𝑥3 + 𝑥2−3中，多项式有
𝑎+ 𝑏
2 ，𝑎𝑏2 +𝑏+ 1，𝑥3 + 𝑥2
−3，即多项式有3 个，
故选：B．
4．（24-25 七年级上·四川宜宾·期中）在代数式
𝑎2 + 1
3
，𝑎𝑥+ 𝑏，
2
𝑎，𝑥−𝑦，0，
3
π中，多项式有
个．
【答案】3
【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不
含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．根
据多项式的定义分析即可．
【详解】解：
𝑎2 + 1
3
，𝑎𝑥+ 𝑏，𝑥−𝑦是多项式，共3 个，
0，
3
π是单项式，
2
𝑎的分母含字母，不是整式；
故答案为：3．
考点六 多项式的项、项数或次数
1．（24-25 七年级上·陕西榆林·阶段练习）多项式2𝑥4−3𝑥3𝑦2 +1是（ ）
A．四次三项式
B．三次五项式
C．九次三项式
D．五次三项式
【答案】D
【分析】本题考查了多项式的次数和项的定义，解题的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高
的项的次数，项数是单项式的个数．
根据多项式的定义，若干个单项式的和组成的式子叫做多项式．多项式中每个单项式叫做多项式的项，
这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
【详解】解：根据多项式的定义可知，多项式2𝑥4−3𝑥3𝑦2 +1是五次三项式，
故选D．
2．（23-24 七年级上·甘肃平凉·期中）下列语句正确的是（ ）
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A．2𝑥2−2𝑥+ 3是二次三项式
B．3𝑚2−
2
𝑛+1是二次二项式
C．𝑥2−2𝑥−34是四次三项式
D．3𝑥3−2𝑥2 +1是五次三项式
【答案】A
【分析】本题考查了多项式的项、项数或次数，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中
的最高次数，就是这个多项式的次数，根据定义判定即可．
【详解】解：A、2𝑥2−2𝑥+ 3是二次三项式，故该选项符合题意；
B、3𝑚2−
2
𝑛+1不是整式，故该选项不符合题意；
C、𝑥2−2𝑥−34是二次三项式，不是四次三项式，故该选项不符合题意；
D、3𝑥3−2𝑥2 +1是三次三项式，故该选项不符合题意；
故选：A
3．（24-25 七年级上·北京·期中）3𝑎2𝑏−4𝑎𝑏3 +2𝑎𝑏−2是 次
项式．
【答案】
四
四
【分析】本题考查了多项式的概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键；
几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数
项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，据此解答
即可．
【详解】解：3𝑎2𝑏−4𝑎𝑏3 +2𝑎𝑏−2是四次四项式；
故答案为：四，四．
4．（24-25 七年级上·吉林·阶段练习）多项式−7𝑥2𝑦3 +3𝑥𝑦−5的最高次项的系数是 ．
【答案】−7
【分析】本题考查了多项式的次数和系数，多项式的次数：次数最高的项的次数即为该多项式的次
数．
先找出多项式的最高次项，再找出最高次项的系数即可．
【详解】多项式−7𝑥2𝑦3 +3𝑥𝑦−5的最高次项−7𝑥2𝑦3的系数是−7．
故答案为：−7．
考点七 多项式系数、指数中字母求值
1．（24-25 七年级上·河南商丘·期中）多项式(𝑚−4)𝑥|𝑚−2| +𝑥−5是关于𝑥的二次三项式，则𝑚取值为（ ）
A．0
B．4
C．4 或0
D．-4 或1
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的
次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键．
根据多项式的定义得|𝑚−2| = 2且𝑚−4 ≠0，求解即可．
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【详解】解：∵多项式(𝑚−4)𝑥|𝑚−2| +𝑥−5是关于𝑥的二次三项式，
∴|𝑚−2| = 2且𝑚−4 ≠0，
∴𝑚= 0，
故选：A．
2．（2024 七年级上·全国·专题练习）多项式
2
3𝑥|𝑚|−(𝑚−2)𝑥+ 3是关于x 的二次三项式，则m 的值为（ ）
A．2
B．−2
C．± 2
D．3
【答案】B
【分析】本题考查多项式的概念，当|𝑚| = 2，且𝑚−2 ≠0时，多项式
2
3𝑥|𝑚|−(𝑚−2)𝑥+ 3是关于x 的二
次三项式，再解即可．
【详解】解：∵多项式
2
3𝑥|𝑚|−(𝑚−2)𝑥+ 3是关于x 的二次三项式，
∴|𝑚| = 2，且𝑚−2 ≠0；
∴𝑚= −2．
故选：B．
3．（24-25 七年级下·四川雅安·期中）多项式3𝑥|𝑚−4|−5𝑥−𝑚是关于x 的四次三项式，则m 的值
是
．
【答案】8
【分析】本题考查多项式的概念，熟练掌握单项式的个数就是多项式的项数，这些单项式中最高次项
的次数就是这个多项式的次数是解题的关键．
利用多项式次数和项数的确定方法可得|𝑚−4| = 4，且𝑚≠0，再求解即可．
【详解】解：∵多项式3𝑥|𝑚−4|−5𝑥−𝑚是关于𝑥的四次三项式，
∴|𝑚−4| = 4，
∴𝑚= 8或0，
又∵𝑚≠0，
∴𝑚= 8，
故答案为：8．
4．（24-25 七年级上·福建福州·期末）若5𝑥𝑛−(𝑚−1)𝑥+ 3为关于𝑥的三次二项式，则𝑚−𝑛的值
为
．
【答案】−2
【分析】本题考查多项式的命名，根据多项式的概念可知求出该多项式最高次数项为3，项数为2 求解
即可得到．
【详解】解：∵5𝑥𝑛−(𝑚−1)𝑥+ 3为关于𝑥的三次二项式，
∴𝑚−1 = 0，𝑛= 3，
∴𝑚= 1，𝑛= 3，
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∴𝑚−𝑛= 1−3 = −2，
故答案为：−2．
考点八 整式的判断
1．（24-25 七年级上·广东东莞·期末）在式子𝑎2 +2，
1
𝑥，𝑎𝑏2，−8𝑥，3中，整式有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了整式的定义，根据整式的定义直接判断即可，理解掌握整式的定义“单项式和多项
式统称为整式”是解题的关键．
【详解】解：在式子𝑎2 +2，
1
𝑥，𝑎𝑏2，−8𝑥，3中，整式有𝑎2 +2，𝑎𝑏2，−8𝑥，3，共4个，
故选：C．
2．（24-25 七年级上·黑龙江·期末）在
1
𝑥，2𝑥+ 𝑦，
1
3𝑎2，
𝑥−𝑦
𝜋，
5𝑦
4𝑥，0，−2.3中，整式的个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式是字母和数的乘积，单个的数或单个的字母也是单项式；
多项式是若干个单项式的和．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．
根据整式的定义逐个判断即可解答．
【详解】解：在
1
𝑥，2𝑥+ 𝑦，
1
3𝑎2，
𝑥−𝑦
𝜋，
5𝑦
4𝑥，0，−2.3中，整式有2𝑥+ 𝑦，
1
3𝑎2，
𝑥−𝑦
𝜋，0，−2.3，共计5
个．
故选：D．
3．（23-24 七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在代数式−2𝑥2，3𝑥𝑦，
𝑏
𝑎，−
𝑥𝑦
3 ，0，𝑚𝑥−𝑛𝑦中，整式的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】本题考查了整式的定义，根据整式的定义进行判断即可，正确理解单项式和多项式统称为整
式是解题的关键．
【详解】解：代数式−2𝑥2，3𝑥𝑦，
𝑏
𝑎，−
𝑥𝑦
3 ，0，𝑚𝑥−𝑛𝑦中是整式为−2𝑥2，3𝑥𝑦，−
𝑥𝑦
3 ，0，𝑚𝑥−𝑛𝑦，共5
个，
故选：D．
4．（2024 七年级上·全国·专题练习）在式子𝑥2 +5，−1，
1
𝑥−1，−2𝑥3 +1，3𝑥𝑦2，𝑥2 +
1
𝑥+1，
2𝑥
𝑦，
2𝑥𝑦
3 ，
1
2𝑥中，
整式有（ ）
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
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【答案】B
【分析】本题考查了整式的定义，理解整式的定义是解题的关键．根据单项式和多项式统称为整式进
行判断即可．
【详解】解：在式子𝑥2 +5，−1，
1
𝑥−1，−2𝑥3 +1，3𝑥𝑦2，𝑥2 +
1
𝑥+1，
2𝑥
𝑦，
2𝑥𝑦
3 ，
1
2𝑥中，整式有𝑥2 +5，
−1，−2𝑥3 +1，3𝑥𝑦2，
2𝑥𝑦
3 共 5 个，
故选：B．
考点九 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列
1．（24-25 七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）多项式2𝑦2−2𝑥3𝑦−6𝑥+ 3𝑥2𝑦3按𝑥的降幂排列正确的是（ ）
A．3𝑥2𝑦3−2𝑥3𝑦+ 2𝑦2−6𝑥
B．2𝑦2−6𝑥+ 3𝑥2𝑦3−2𝑥3𝑦
C．−2𝑥3𝑦+ 3𝑥2𝑦3−6𝑥+ 2𝑦2
D．2𝑥3𝑦+ 3𝑥2𝑦3−6𝑥+ 2𝑦2
【答案】C
【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母降
幂排列．本题考查多项式的降幂排列，掌握方法并注意符号不变才能正确求解．
【详解】解：依题意，2𝑦2−2𝑥3𝑦−6𝑥+ 3𝑥2𝑦3按字母𝑥的降幂排列为−2𝑥3𝑦+ 3𝑥2𝑦3−6𝑥+ 2𝑦2
故选：C
2．（24-25 七年级上·福建泉州·期末）把多项式
3
2𝑥2 +
5
3−3𝑥+
1
2𝑥3按𝑥的升幂排列，正确的是（ ）
A．
1
2𝑥3 +
3
2𝑥2−3𝑥+
5
3
B．
5
3 +3𝑥−
3
2𝑥2 +
1
2𝑥3
C．
5
3−3𝑥+
3
2𝑥2 +
1
2𝑥3
D．−3𝑥+
3
2𝑥2 +
1
2𝑥3 +
5
3
【答案】C
【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从
小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x 的次数从小到大排列即可．
【详解】解：多项式
3
2𝑥2 +
5
3−3𝑥+
1
2𝑥3按𝑥的升幂排列为
5
3−3𝑥+
3
2𝑥2 +
1
2𝑥3．
故选：C．
3．（24-25 七年级上·吉林长春·期中）将整式3𝑥𝑦3−𝑥2𝑦−6−𝑥3按x 降幂排列为
．
【答案】−𝑥3−𝑥2𝑦+ 3𝑥𝑦3−6
【分析】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．先分清各项，再根据多项式幂
的排列的定义解答．
【详解】解：3𝑥𝑦3−𝑥2𝑦−6−𝑥3按x 降幂排列：−𝑥3−𝑥2𝑦+ 3𝑥𝑦3−6．
故答案为：−𝑥3−𝑥2𝑦+ 3𝑥𝑦3−6．
4．（24-25 七年级下·四川乐山·期中）将多项式5𝑎4𝑏3−2𝑎2𝑏4 +3𝑎3𝑏2−𝑎5 +𝑏按下列要求进行排列：
(1)按𝑎的降幂排列；
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(2)按𝑏的升幂排列．
【答案】(1)−𝑎5 +5𝑎4𝑏3 +3𝑎3𝑏2−2𝑎2𝑏4 +𝑏
(2)−𝑎5 +𝑏+ 3𝑎3𝑏2 +5𝑎4𝑏3−2𝑎2𝑏4
【分析】本题考查多项式的有关知识，关键是掌握多项式降幂或升幂排列的概念．
（1）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母降
幂排列，由此即可得到答案．
（2）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母升
幂排列，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：多项式5𝑎4𝑏3−2𝑎2𝑏4 +3𝑎3𝑏2−𝑎5 +𝑏按𝑎的降幂排列为：−𝑎5 +5𝑎4𝑏3 +3𝑎3𝑏2−2𝑎2𝑏4
+𝑏
（2）解：多项式5𝑎4𝑏3−2𝑎2𝑏4 +3𝑎3𝑏2−𝑎5 +𝑏按𝑏的升幂排列：−𝑎5 +𝑏+ 3𝑎3𝑏2 +5𝑎4𝑏3−2𝑎2𝑏4
知识导图记忆
知识目标复核
1. 单项式的判断
2. 单项式的系数、次数
3. 写出满足某些特征的单项式
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4.单项式规律题
5. 多项式的判断
6. 多项式的项、项数或次数
7.多项式系数、指数中字母求值
8. 整式的判断
9. 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列
一、单选题
1．（24-25 七年级上·广东广州·期中）单项式−2𝑥𝑦2
3 的系数和次数分别是（ ）
A．−
2
3，4
B．−
2
3，3
C．
2
3，3
D．−2，2
【答案】B
【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义求解即可，解题的关键是需灵活
掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个
单项式的次数．
【详解】解：−2𝑥𝑦2
3
= −
2
3𝑥𝑦2，
∴单项式−2𝑥𝑦2
3 的系数是−
2
3，次数是1 + 2 = 3，
故选：B．
2．（24-25 七年级上·吉林长春·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．−2𝑥2𝑦的系数是2
B．𝑥2 +𝑥−1的常数项是1
C．22𝑎𝑏3的次数是6 次
D．2𝑥−5𝑥2 +7是二次三项式
【答案】D
【分析】本题考查了单项式与多项式的相关概念，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫
做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个
单项式的次数；几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，
这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据
单项式以及多项式的概念逐项分析即可得解，熟练掌握单项式及多项式的有关概念是解题的关键．
【详解】解：A、−2𝑥2𝑦的系数是−2，故原说法错误，不符合题意；
B、𝑥2 +𝑥−1的常数项为−1，故原说法错误，不符合题意；
C、22𝑎𝑏3的次数是4次，故原说法错误，不符合题意；
D、2𝑥−5𝑥2 +7是二次三项式，故原说法正确，符合题意；
故选：D．
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3．（24-25 七年级上·广西南宁·阶段练习）多项式−5𝑥2𝑦+ 3𝑥𝑦+ 𝑦−1的次数、项数、最高次项的系数分别
是（ ）
A．2，4，3
B．3，4，−5
C．3，4，5
D．2，4，−5
【答案】B
【分析】此题主要考查了多项式的次数、系数、项数的定义，利用几个单项式的和叫做多项式，每个
单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而分别分析得出答案．
【详解】解：多项式−5𝑥2𝑦+ 3𝑥𝑦+ 𝑦−1的次数、项数、最高次项的系数分别是3，4，−5．
故选：B．
4．（24-25 七年级上·吉林·期中）已知一个单项式的系数是3，次数是4，则这个单项式可以是（ ）
A．3𝑥𝑦2
B．−3𝑥4
C．3𝑥2 +𝑦
D．3𝑥3𝑦
【答案】D
【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数
或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单
项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数．
【详解】解：A、3𝑥𝑦2的系数为3，次数为3，不符合题意；
B、−3𝑥4的系数为−3，次数为4，不符合题意；
C、3𝑥2 +𝑦不是单项式，不符合题意；
D、3𝑥3𝑦的系数是3，次数是4，符合题意；
故选：D．
5．（24-25 七年级上·北京·期中）对于多项式4𝑏𝑎−5−3𝑎2𝑏，下列结论正确的是（ ）
A．这个多项式的项为4𝑏𝑎，−5，3𝑎2𝑏
B．这个多项式是二次三项式
C．这个多项式的常数项为5
D．这个多项式按a 的降幂排列是−3𝑎2𝑏+ 4𝑏𝑎−5
【答案】D
【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，与多项式相关的概念：多项式的次数、
项、常数项及项的系数，几个单项式的和叫做多项式，组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不
含字母的项叫常数项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数；根据这些知识去判断即可．
【详解】解：多项式4𝑏𝑎−5−3𝑎2𝑏的项分别是4𝑏𝑎，−5，−3𝑎2𝑏，故A 选项不符合题意；
多项式4𝑏𝑎−5−3𝑎2𝑏是三次三项式，故B 选项不符合题意；
多项式这个多项式的常数项为−5，故C 选项不符合题意；
这个多项式按a 的降幂排列是−3𝑎2𝑏+ 4𝑏𝑎−5，故D 选项符合题意；
故选：D．
6．（24-25 七年级上·陕西咸阳·期中）多项式7𝑥3𝑦−4𝑥𝑦+ 5的次数为（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】本题考查了多项式次数的定义，解题的关键是能熟记多项式次数的定义，注意：多项式中，
次数最高的项的次数，叫多项式的次数．
根据多项式的次数的定义得出即可．
【详解】解：多项式7𝑥3𝑦−4𝑥𝑦+ 5的次数为3 + 1 = 4，
故选：C．
7．（24-25 七年级上·江苏泰州·期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．单项式
3𝑥2𝑦
7 的系数是3，次数是3
B．
𝑎𝑏−1
2 是二次单项式
C．多项式2𝑥2 + 𝑥2𝑦+ 34是四次三项式
D．−𝑦𝑧3单项式的系数为−1，次数是4
【答案】D
【分析】本题考查了多项式，单项式，根据多项式和单项式的意义，逐一判断即可解答．几个单项式
的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的
项的次数叫做多项式的次数．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项
式．
【详解】解：A、单项式
3𝑥2𝑦
7 的系数是
3
7，次数是3，选项说法错误，不符合题意；
B、
𝑎𝑏−1
2 是二次二项式，选项说法错误，不符合题意；
C、多项式2𝑥2 + 𝑥2𝑦+ 34是三次三项式，选项说法错误，不符合题意；
D、−𝑦𝑧3单项式的系数为−1，选项说法正确，符合题意．
故选：D．
8．（24-25 七年级上·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式：x，4𝑥2，9𝑥3，16𝑥4，25𝑥5，…，第n 个
单项式是（ ）
A．(𝑛+ 1)2𝑥𝑛+1
B．(𝑛+ 1)2𝑥𝑛
C．𝑛2𝑥𝑛+1
D．𝑛2𝑥𝑛
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律
是解题的关键．根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
所给单项式的系数依次为：1，4，9，16，…，
所以第n 个单项式的系数可表示为：𝑛2．
所给单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…，
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所以第n 个单项式的次数可表示为：n，
所以第n 个单项式可表示为：𝑛2𝑥𝑛．
故选：D．
二、填空题
9．（24-25 七年级上·陕西咸阳·阶段练习）单项式−
1
2𝑎2𝑏的次数为
．
【答案】3
【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的所有字母指数之和即为单项式的次数进行作答即
可．
【详解】解：单项式−
1
2𝑎2𝑏的次数为3．
故答案为：3
10．（24-25 七年级上·河北邢台·阶段练习）多项式−2𝑎3𝑏+
1
5𝑎𝑏−𝑏3 +4的最高次项是
．
【答案】−2𝑎3𝑏
【分析】此题主要考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，
就是这个多项式的次数．直接利用多项式的次数确定项得出答案．
【详解】解：多项式−2𝑎3𝑏+
1
5𝑎𝑏−𝑏3 +4的最高次项是：−2𝑎3𝑏，
故答案为：−2𝑎3𝑏．
11．（24-25 七年级上·甘肃陇南·阶段练习）若多项式𝑥𝑦|𝑚−𝑛| + (𝑛−2)𝑥2𝑦3 +1是关于𝑥，𝑦的四次多项式，
则𝑚𝑛=
．
【答案】−2或10
【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，代数式求值，多项式中次数最高的项叫做多项式的次数，
据此可得1 + |𝑚−𝑛| = 4，𝑛−2 = 0，求出m、n 的值，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵多项式𝑥𝑦|𝑚−𝑛| + (𝑛−2)𝑥2𝑦3 +1是关于𝑥，𝑦的四次多项式，
∴1 + |𝑚−𝑛| = 4，𝑛−2 = 0，
∴𝑚= −1或𝑚= 5，𝑛= 2，
∴𝑚𝑛= −1 × 2 = −2或𝑚𝑛= 5 × 2 = 10，
故答案为：−2或10．
12．（24-25七年级上·江西上饶·期末）把多项式−2𝑥−3 + 5𝑥2 +6𝑥3按x的降幂排列:
．
【答案】6𝑥3 +5𝑥2−2𝑥−3
【分析】本题考查了多项式按某一字母的排列－降幂或升幂排列；把多项式中的项按x 指数从高到低
进行排列即可．
【详解】解：−2𝑥−3 + 5𝑥2 +6𝑥3 = 6𝑥3 +5𝑥2−2𝑥−3；
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故答案为：6𝑥3 +5𝑥2−2𝑥−3．
13．（23-24 七年级上·西藏拉萨·期末）如果关于𝑥、𝑦的多项式−3𝑦2 + (𝑛−5)𝑥+ 1中不含一次项，那么
𝑛=
．
【答案】5
【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式
的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的
次数叫做多项式的次数．令一次项的系数等于0 求解即可．
【详解】解：∵关于𝑥、𝑦的多项式−3𝑦2 + (𝑛−5)𝑥+ 1中不含一次项，
∴𝑛−5 = 0，
∴𝑛= 5．
故答案为：5．
三、解答题
14．（24-25 七年级上·河南濮阳·期中）下列哪些是单项式，哪些是多项式？𝑎4𝑏2，0，10𝑥+ 𝑦，𝑚，3𝑎2𝑏3
−𝑎4 +𝑏，𝑎𝑏2𝑐，𝑥7𝑦+ 2，
𝑥3
π
单项式{ }
多项式{ }
【答案】𝑎4𝑏2，0，𝑚，𝑎𝑏2𝑐，
𝑥3
π；10𝑥+ 𝑦，3𝑎2𝑏3−𝑎4 +𝑏，𝑥7𝑦+ 2
【分析】本题主要考查整式的有关概念及分类，注意区分单项式与多项式的概念是解答本题的关键．“由
数字或字母组成的式子叫做单项式，特别的，单独的一个数字或字母也是单项式．” “几个单项式的和
叫做多项式．”根据单项式和多项式的定义一一判断即分类即可．
【详解】解：单项式{𝑎4𝑏2，0，𝑚，𝑎𝑏2𝑐，
𝑥3
π}
多项式{10𝑥+ 𝑦，3𝑎2𝑏3−𝑎4 +𝑏，𝑥7𝑦+ 2 }
15．（24-25 七年级上·陕西渭南·期中）已知多项式𝑥2𝑦7−𝑚+𝑥𝑦2−3𝑥4−6是关于𝑥、𝑦的五次四项式．
(1)求𝑚的值；
(2)把这个多项式按𝑥的降幂重新排列．
【答案】(1)𝑚= 4
(2)−3𝑥4 + 𝑥2𝑦3 +𝑥𝑦2−6
【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定
义是解题的关键．
（1）多项式中次数最高的项为多项式的次数，据此可得2 + 7−𝑚= 5，解之即可得到答案；
（2）按照x 的次数从高到低排列多项式即可．
【详解】（1）解；∵项式𝑥2𝑦7−𝑚+𝑥𝑦2−3𝑥4−6是关于𝑥、𝑦的五次四项式，
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∴2 + 7−𝑚= 5，
∴𝑚= 4；
（2）解：把多项式𝑥2𝑦7−𝑚+𝑥𝑦2−3𝑥4−6 = 𝑥2𝑦3 +𝑥𝑦2−3𝑥4−6按照𝑥的降幂重新排列为−3𝑥4 + 𝑥2𝑦3 +𝑥
𝑦2−6．
16．（2024 七年级上·全国·专题练习）−5𝑥2𝑦𝑚+3 +𝑥𝑦2−3𝑥3−6是六次四项式，且−2𝑥2𝑛𝑦5−𝑚的次数跟它相
同．
(1)求m，n 的值；
(2)求多项式各项的系数和．
【答案】(1)𝑚= 1,𝑛= 1
(2)−13
【分析】本题主要考查了多项式与单项式的概念，
（1）根据多项式和单项式的概念即可求出𝑛与𝑚的值；
（2）根据多项式即判断出各项系数，进而即可得解；
熟练掌握多项式与单项式的概念是解决此题的关键．
【详解】（1）解：∵−5𝑥2𝑦𝑚+3 +𝑥𝑦2−3𝑥3−6是六次四项式，
∴2 + 𝑚+ 3 = 6，
∴𝑚= 1
∵−2𝑥2𝑛𝑦5−𝑚的次数也是六次，
∴2𝑛+ 5−𝑚= 6
∴𝑛= 1
∴𝑚= 1,𝑛= 1；
（2）解：该多项式为：−5𝑥2𝑦4 +𝑥𝑦2−3𝑥3−6，各项系数为：−5，1，−3,−6，
故系数和为−5 + 1−3−6 = −13．
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