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知识点60：电场强度的
解
计算
理
和
【知识思维方法技巧】
（1）电场强度的性质
①矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。
②唯一性：电场中某一点的电场强度E 是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q 无
关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
③叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场
源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
（2）电场强度的三个公式比较
公式
适用条件
说明
定义式
E＝
任何电场
某点的场强为确定值，大小及方
向与q 无关
决定式
E＝k
真空中点电荷的电场
E 由场源电荷Q 和场源电荷到某
点的距离r 决定
关系式
E＝
匀强电场
d 是沿电场方向的距离
点一：
考
点电荷电场强度的计算
【知识思维方法技巧】
点电荷的电场强度公式E＝k。如果某空间有多个点电荷同时存在，则某点的电场强度应为
多个点电荷在该处产生的电场强度的矢量和，叠加时应遵从平行四边形定则。一般应用合
成法计算点电荷电场叠加。
题型一：点电荷电场强度的叠加计算
类型一：2 个点电荷电场强度的叠加计算
【典例1a 拔尖题】如图所示，在电场强度大小为E 的匀强电场中A、B、C 三个点构成等
边三角形。在B、C 两点各放一个等量的正点电荷，A 点的场强刚好为零。若把B 点的正
电荷换成等量的负点电荷，则A 点的电场强度大小为( )
A．E B．E C．E
D．E
【典例1a 拔尖题】【答案】D
【解析】根据点电荷的电场强度公式E＝k 可知，B、C 处所放正电荷在A 处的电场强度大
小相等，设为E1，两电荷的合电场强度方向竖直向上，由于A 点的电场强度刚好为零，故
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匀强电场方向竖直向下，满足2E1cos 30°＝E；若把B 点的正电荷换成等量的负点电荷，则
两电荷的合电场强度大小等于E1，方向水平向左，与匀强电场叠加后，A 点的电场强度大
小为E′＝，联立可解得E′＝E，故D 正确。
类型二：3 个点电荷电场强度的叠加计算
【典例1b 拔尖题】(多选)如图所示，a、b、c、d 分别是一个菱形的四个顶点，∠abc＝
120°。现将三个等量的正点电荷分别固定在a、b、c 三个顶点上，下列说法正确的有( )
A.d 点电场强度的方向由O 指向d
B.O 点电场强度的方向由d 指向O
C.d 点的电场强度大于O 点的电场强度
D.d 点的电场强度小于O 点的电场强度
【典例1b 拔尖题】【答案】AD
【解析】a、c 两点的点电荷在d 点的合电场强度的方向由O 指向d，b 点的点电荷在d 点的
电场强度的方向由O 指向d，所以d 点的电场强度的方向是由O 指向d，选项A 正确；同
理，O 点的场强的方向也是由O 指向d，选项B 错误；设菱形的边长为L，则a、c 两点的
点电荷在d 点的电场沿Od 方向的分量均为EOd＝cos 60°＝，故d 点的电场强度为Ed＝2×
＋＝；a、c 两点的点电荷在O 点的合场强为0，故O 点的电场强度为EO＝＝，所以Ed＜
EO，选项C 错误，D 正确。
类型三：多个点电荷电场强度的叠加计算
【典例1c 拔尖题】(多选)如图，四个电荷量均为q(q＞0)的点电荷分别放置于菱形的四个顶
点，其坐标分别为(4l，0)、(－4l，0)、(0，y0)和(0，－y0)，其中x 轴上的两个点电荷位置固
定，y 轴上的两个点电荷可沿y 轴对称移动(y0≠0)，下列说法正确的是( )
A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
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B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C．当y0＝8l 时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移至点(0，－3l)，静电力做正功
D．当y0＝4l 时，将一带负电的试探电荷放置在点(l，l)处，其所受到的静电力方向与x 轴
正方向成45°倾斜向上
【典例1c 拔尖题】【答案】ACD
【解析】由对称及电场叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部各点电场强度处处不为
零，故A 正确．分析可知O 点电场强度等于零，由对称及电场叠加原理可知，除O 点外，
菱形内部的电场强度为零的点都是成对出现的，所以在菱形内部不可能只存在两个电场强
度为零的点，故B 错误．当y0＝8l 时，由对称性可知点(0，－3l)和点(0，3l)的电势相等，
将负点电荷从点(4l，5l)移到点(0，－3l)和从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做功相同，由
等量同种点电荷形成的电场的特点可知，在x、y 正半轴上的两个点电荷形成的电场中，点
(4l，5l)和点(0，3l)是两点电荷连线的中垂线上对称的两点，电势相等，所以将负点电荷从
点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力不做功；在x 负半轴的点电荷形成的电场中，将负点电荷
从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做正功；在y 负半轴的点电荷形成的电场中，将负点电
荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)，电场力做正功；综上所述，当y0＝8l 时，将一带负电的试探
电荷由点(4l，5l)移到点(0，－3l)，电场力做正功，故C 正确．当y0＝4l 时，x、y 正半轴的
两个点电荷在点(l，l)处的合场强与x 轴负方向的夹角为45°，倾斜向下，大小为·，x、y 负
半轴的两个点电荷在点(l，l)的合场强与x 轴正方向的夹角为45°，倾斜向上，大小为·，故
该点的合场强与x 轴负方向的夹角为45°，倾斜向下，负点电荷受到的电场力与x 轴正方向
的夹角为45°，倾斜向上，故D 正确．
题型二：均匀带电球体（球壳）电场强度的计算
【知识思维方法技巧】
均匀带电的球体（球壳）在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。
如图：半径为R 的均匀带电球体（或球壳）在外部产生的电场，与一个位于球心的、电荷
量相等的点电荷产生的电场相同，球外各点的电场强度：E＝kQ
r
2，r＞R，Q 是整个球体所
带的电荷量。
【典例2 拔尖题】如图甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q 的均匀带电球体，以
球心为坐标原点，沿半径方向建立x 轴．理论分析表明，x 轴上各点的场强随x 变化关系如
图乙所示，则( )
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A．x2处场强大小为
B．球内部的电场为匀强电场
C．x1、x2两点处的电势相同
D．假设将试探电荷沿x 轴移动，则从x1移到R 处和从R 移到x2处电场力做功相同
【典例2 拔尖题】【答案】A
【解析】计算x2处的电场强度时，可把带电球体等效为位于原点的点电荷，则有x2处场强
大小为E＝k，故A 正确；由乙图Ex 图象可知，球内部由O 到球表面区间电场强度均匀增
大，所以内部电场为非匀强电场，故B 错误；x 轴上O 点右侧的电场方向始终是向右的，
沿着电场的方向电势逐渐减小，可知φx1>φx2，故C 错误；Ex 图象与x 轴所围面积表示电势
差，由乙图可知两处面积不相等，所以x1处与球表面、球表面与x2处的电势差不同，则将
试探电荷沿x 轴从x1移到R 处和从R 移到x2处电场力做功不相同，故D 错误．
【典例2 拔尖题对应练习】有一半径为R 的均匀带电薄球壳，在通过球心的直线上，各点
的场强E 随与球心的距离x 变化的关系如图所示；在球壳外空间，电场分布与电荷量全部
集中在球心时相同，已知静电常量为k，半径为R 的球面面积为S＝4πR2，则下列说法正确
的是( )
A．均匀带电球壳带电密度为 B．图中r＝1.5R
C．在x 轴上各点中有且只有x＝R 处电势最高 D．球面与球心间电势差为E0R
【典例2 拔尖题对应练习】【答案】A
【解析】由图线可知，距离球心R 处的场强为E0，则根据点电荷场强公式可知：E0＝，解
得球壳带电荷量为Q＝，则均匀带电球壳带电密度为＝，选项A 正确；根据点电荷场强公
式E0＝，解得r＝R，选项B 错误；由题意可知在x 轴上各点中，在0～R 范围内各点的电
势均相同，球面与球心间的电势差为零，选项C、D 错误。
点二：
考
非点电荷电场强度的
计算方法
特殊
【知识思维方法技巧】
非点电荷电场强度计算的选用技巧：均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法，计算
均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法．
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题型一：用微元法计算非点电荷的电场强度
【知识思维方法技巧】
微元法：将均匀带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每
个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
【典例1 拔尖题】如图所示，两个固定的半径均为r 的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两
细圆环的圆心，且O1O2＝2r，两圆环分别带有均匀分布的等量异种电荷＋Q、－Q(Q>0)．
一带正电的粒子(重力不计)从O1由静止释放．静电力常量为k.下列说法正确的是( )
A．O1O2中点处的电场强度为
B．O1O2中点处的电场强度为
C．粒子在O1O2中点处动能最大
D．粒子在O2处动能最大
【典例1 拔尖题】【答案】A
【解析】把圆环上每一个点都看成一个点电荷，则电荷量为q＝，根据点电荷场强公式，
点电荷在O1O2中点的场强为E＝，根据电场的叠加原理，单个圆环在O1O2中点的场强为E
＝cos 45°，两个圆环在O1O2中点的合场强为E 总＝，故A 正确，B 错误；带电粒子从O1点
开始由静止释放，在粒子从O1向O2的运动过程中，两圆环对粒子的作用力皆向左，可见
电场对带电粒子做正功，故粒子在O1O2中点处动能不是最大，故C 错误；
根据电场叠加原理，在O2左侧场强方向先向左后向右，因此粒子到达O2左侧某一点时，
速度最大，动能最大，在这以后向左运动的速度开始减小，动能也减小，故D 错误．
题型二：用等效法计算非点电荷的电场强度
【知识思维方法技巧】
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
如图甲、乙所示，把一个点电荷＋q 与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种
点电荷形成的电场。
【典例2 拔尖题】如图所示，a、b、c、d、e、f 六点把绝缘均匀圆环平均分成六部分，其
中圆弧af、bc 带正电，圆弧de 带负电，其余部分不带电，单位长度圆弧所带电荷量相等。
圆弧af 所带电荷在圆心O 处产生的电场强度大小为E。则圆心O 处的合电场强度大小为(
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)
A．0 B.E C．E D．2E
【典例2 拔尖题】【答案】D
【解析】因单位长度圆弧所带电荷量相等，所以圆弧af、bc、de 所带电荷在圆心O 处产生
的电场强度大小相等，都等于E；圆弧af 所带电荷在圆心O 处产生的电场强度方向沿
∠dOc 的角平分线，圆弧bc 所带电荷在圆心O 处产生的电场强度方向沿∠fOe 的角平分线，
圆弧de 所带电荷在圆心O 处产生的电场强度方向沿∠dOe 的角平分线，两两夹角为60°，
如图所示，根据平行四边形定则可知圆心O 处的合电场强度大小为2E，选项D 正确。
【典例2 拔尖题对应练习】如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体
的四条长边a、b、c、d 上．移去a 处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变．关于
长方体几何中心O 点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是( )
A．电场强度方向垂直指向a，电势减小
B．电场强度方向垂直指向c，电势减小
C．电场强度方向垂直指向a，电势增大
D．电场强度方向垂直指向c，电势增大
【典例2 拔尖题对应练习】【答案】A
【解析】根据对称性与电场叠加原理可知，移去a 处绝缘棒前O 点电场强度为0，则移去a
处的绝缘棒后，电场强度方向垂直指向a，再根据电势的叠加原理，设每根长棒在O 点产
生的电势为φ0，四根完全相同、均匀带正电绝缘长棒在O 点产生的电势为4φ0，现在撤去a
处的绝缘棒后，其他三棒在O 点产生的电势为3φ0，故O 点的电势减小，故选A.
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题型三：用对称法计算非点电荷的电场强度
【知识思维方法技巧】
利用带电体电荷分布具有对称性或者带电体产生的电场具有对称性的特点求合场强，使复
杂电场的叠加计算问题大为简化。如图所示，均匀带电的球壳在O 点产生的场强，等效为
弧BC 产生的场强，弧BC 产生的场强方向，又等效为弧的中点M 在O 点产生的场强方向。
【典例3 拔尖题】正电荷均匀分布在半球面上，它们在此半球的球心O 处产生的电场强度
大小为E0，现将一个通过O 点且与半球底面成θ＝60°的平面把半球面切分出一个“小瓣”
球面，如图所示，所分出的“小瓣”球面上的电荷在O 点处产生电场的电场强度大小为(
)
A.E0 B.E0 C.E0 D．E0
【典例3 拔尖题】【答案】B
【解析】根据对称性，作出球面上的电荷在O 点产生的电场分布，如图所示，由平行四边
形定则得到“小瓣”球面上的电荷在O 处的电场强度E＝E0cos θ＝E0。故B 正确。
【典例3 拔尖题对应练习】如图所示，正方形线框由边长为L 的粗细均匀的绝缘棒组成，
O 是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现在线框上侧中点A 处取下足够短的带电
荷量为q 的一小段，将其沿OA 连线延长线向上移动的距离到B 点处，若线框的其他部分
的带电荷量与电荷分布保持不变，则此时O 点的电场强度大小为(k 为静电力常量)( )
A．k B．k C．k D．k
【典例3 拔尖题对应练习】【答案】C
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【解析】设想将线框分为n 个小段，每一小段都可以看成点电荷，由对称性可知，线框上
的电荷在O 点产生的场强等效为与A 点对称的电荷量为q 的电荷在O 点产生的场强，故E1
＝＝，B 点的电荷在O 点产生的场强为E2＝，由场强的叠加可知E＝E1－E2＝.
题型四：用填补法（补偿法）计算非点电荷的电场强度
【知识思维方法技巧】
若题给条件建立的模型A 不是一个容易求解的模型，可以补充一些条件，建立一个容易求
解的模型B，且模型A 与模型B 恰好组成一个完整的标准模型，将求解模型A 的问题转化
为求解完整的标准模型与模型B 的差值问题。
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难
为易、事半功倍。
【典例4 拔尖题】若在一半径为r，单位长度带电荷量为q(q>0)的均匀带电圆环上有一个很
小的缺口Δl(且Δl≪r)，如图所示，则圆心处的场强大小为( )
A. B. C. D．
【典例4 拔尖题】【答案】C
【解析】把缺口处填补为完整的圆，则填补上的小圆弧带电荷量q′＝Δlq
由于Δl≪r，故可视为点电荷，它在O 点产生的场强为：
E′＝
由对称性可知整个圆环在O 点的场强E 合＝0，
则存在缺口时在O 点的场强大小E＝E′
即E＝。故选项C 正确。
【典例4 拔尖题对应练习】已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心、所
带电荷量与之相等的点电荷产生的电场相同．如图所示，半径为R 的球体上均匀分布着总
电荷量为Q 的电荷，在过球心O 的直线上有A、B 两个点，O 和B 间、B 和A 间的距离均
为R.现以OB 为直径在球内挖出一个球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝
πr3，则此时A 点处电场强度的大小为( )
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A.
B.
C.
D.
【典例4 拔尖题对应练习】【答案】B
【解析】实心大球在A 点产生的电场强度E1＝
，被挖出的实心小球所带的电荷量Q′＝
Q·
＝，被挖出的实心小球在A 点产生的电场强度E2＝
，故挖出球形空腔后A 点处
的电场强度大小为E＝E1－E2＝
，选项B 正确．
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