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第 43 讲 抛物线
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦
点,直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y=0 x=0
焦点
离心率 e=1
准线方程
范围
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
P(x,y))
0 0
3.常用结论：与焦点弦有关的常用结论
设 ．
(1) ， .
(2) (θ为AB的倾斜角)．
(3) .
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．考点一 抛物线方程问题
考点二 求焦半径、焦点弦
考点三 定义转化法求距离的最值问题
考点四 抛物线的应用
考点一：抛物线方程问题
例1．（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则 的准线方程是
（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·陕西渭南·统考二模）抛物线 绕其顶点顺时针旋转 之后，得到的图象正好对应抛
物线 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点二：求焦半径、焦点弦
例3．（2023届山东省滨州市高三二模数学试题）已知抛物线 上一点 到其焦点
的距离为5，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点三：定义转化法求距离的最值问题
例4．（2023·江西南昌·南昌十中校考一模）抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上一动点，定
点 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．9
考点四：抛物线的应用
例5．（2022秋·福建莆田·高二莆田二中校考阶段练习）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的
交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装
置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为 ，深度为 ，则信号装置与
卫星接收天线中心 的距离为（ ）．A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线 的准线过双曲线 的左焦点，点
为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若 到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·陕西商洛·统考三模）设 为坐标原点，直线 与抛物线C: 交于 两点，
若 正三角形，则点 到抛物线 的焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线 的焦点为F，C上一点 满
足 ，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2023·内蒙古乌兰察布·统考二模）已知 为抛物线 上第一象限的一点，以点B
为圆心且半径为12的圆经过C的焦点F，则 （ ）
A． B． C． D．5．（2023·北京海淀·一模）过抛物线 的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段 的中点M的
横坐标为4，则 长为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
6．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C： ，（ ）的焦点为F， 为C上
一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为 ，则直线FM的斜率为（ ）
A． B． C． D．
萨·统考一模）已知点 是抛物线 ： 的焦点， 是抛物线 上的一点，若 ， ，
则点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·天津·校联考一模）已知双曲线 的焦点为 ， ，抛物线
的准线与 交于M，N两点，且 为正三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河南新乡·统考二模）已知抛物线 的焦点为F，点P在抛物线C上， ，若
的面积为 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．5 D．2
10．（2023·天津和平·统考一模）抛物线 的焦点为 ，其准线与双曲线 的渐近线
相交于 两点，若 的周长为 ，则 （ ）
A．2 B． C．8 D．411．（2022·江西·校联考二模）已知抛物线C： 的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，
若 ， ，则p＝（ ）
A．2 B．4
C．2或 D．2或
12．图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，
拱顶与水面之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
13．图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，
反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差
约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系
xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（
）
A．225m B．275m C．300m D．350m
14．（2023·四川乐山·统考三模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q
两点， 于H，若 ，O为坐标原点，则 与 的面积之比为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16二、填空题
15．（2022·山西太原·统考三模）已知点 为抛物线 上一点，则A到其焦点F的距离
为_________.
16．（2023·江西鹰潭·二模）已知直线 ，定点 ， 是直线 上的动点，若经过点
， 的圆与直线 相切，则这个圆的面积的最小值为_________．
17．（2023·山东潍坊·统考一模）已知抛物线 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个
满足条件的 的标准方程__________.
18．（2023·山西临汾·统考二模）设抛物线 焦点为 ，从 发出的光线经过抛物线上的点
反射， 为反射光线上一点，则 的面积为___________.
19．（2023·河南安阳·统考二模）已知抛物线的焦点为F，点A，B在C上，且，，则______．
