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专题15 导数与函数的极值、最值
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
1.函数的极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f ′( x )>0
；对于x0右侧附近的任意x，都有f ′( x )<0
，那么此时x0是f(x)
的极大值点.
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f ′( x )<0
；对于x0右侧附近的任意x，都有f ′( x )>0
，那么此时x0是f(x)
的极小值点.
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.
(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在[a，b]上的最值
如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间
端点a 或b，要么是极值点.
1
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(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f ( a ) ，
f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小
值.
温馨提示：
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是
最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
3.不等式恒成立
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
分类讨论求参数：根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是
对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值
或一段内的函数值不满足题意即可.
双变量恒成立
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.
(4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
4.利用导数研究函数的零点
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图像，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图像与性质确定函数有多少个零点.
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；
(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
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一、利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 函数
的导函数为
的图象如图所示，关于函数
，下列说法不正确的是（ ）
A．函数
，
上单调递增
B．函数在
，
上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
答案 C
分析 利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及
最值的概念判断D.
解析 根据
的图象可知，
函数在
和
上
，
单调递增，A 选项正确；
函数在
和
上
，
单调递减，B 选项正确；
所以
的极小值点为
，3，极大值点为1，C 选项错误；
由上述分析可知，函数的最小值是
和
两者中较小的一个，没有最大值，D 选项正确.
故选：C
[拓展]
3
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已知函数
，则（ ）
A．
有极小值，且极小值为0
B．
有极小值，且极小值为
C．
有极大值，且极大值为0
D．
有极大值，且极大值为
答案 D
分析 对
进行求导，令
，得出极值点，根据极值定义进行求解
解析 由
，得
，
令
，
当
时，
，所以
在
单调递减，
当
时，
，所以
在
单调递增，
所以
时，函数
有极大值为
故选：D
命题点2 求已知函数的极值
例2 若函数
的极大值为11，则
的极小值为 ．
答案 －21
分析 首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求
，再求解函数的极小值.
解析 函数的定义域为
，
，令
，解得
或
，
列表：
0
0
+
单调递
增
极大值
单调递
减
极小值
单调递增
所以当
时，函数有极大值
，由题意得
，解得
，
4
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当
时，函数有极小值
.
故答案为：
[拓展]1. 函数
的极大值为 ．
答案
/
分析 利用导数求解极值即可.
解析
，当
时，
，当
时，
．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值为
．
故答案为：
2．已知函数
的极值点为1，且
（
为
的导函数），则
的极小值为
.
答案 4
分析 极值点为1，则有
，又由
，可求出
、
的值，再求出
的单调性即可求解.
解析
，
，
，所以
，
解得：
，
，
所以
，
，令
得
，
时，
，
单调递减，
，
，
单调递增.
所以
是函数的极小值点，
.
故答案为：4.
命题点3 已知极值(点)求参数
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例3 (1)若函数
有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C
分析 求出函数的定义域与导函数，依题意可得
在
上有变号零点，结合二次函数的性质得到
，解得即可.
解析 函数
的定义域为
，且
，
因为函数
有极值，所以
在
上有变号零点，
即
在
上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数
的对称轴为
，开口向上，
所以只需
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：C
(2)若函数
，既有极大值又有极小值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B
分析 求导，由
既有极大值也有极小值可知，一元二次方程
在
上有2 个不同的实
根，进而建立不等式组，解之即可求解.
解析
，则
，
函数
既有极大值，也有极小值，
等价于一元二次方程
在
上有2 个不同的实根，
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则
，解得
，
即实数a 的取值范围为
.
故选：B
[拓展]已知函数
在
处取得极值，且
，
，若
的单调递减区间为
；则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 D
分析 求出导函数并根据极值点求得
的关系，然后用判别式和根与系数的关系讨论导函数的零点问题，
最后求出答案.
解析 由
可得
，由条件可得
，故
，
由
可得
，故
.
对于方程
，
，当且仅当
时取等号，与
矛盾，故等号不成立，即
，故方程
有两个实数根：
，
，由
，得
，故
，
因为函数的单调递减区间为
，容易判断，m=1，于是
.
故选：D.
方法归纳： 根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
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二、利用导数求函数最值
例4 已知函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)求函数
在
上的最小值.
答案 (1)
(2)
分析（1）求导后分析单调性求最值即可；
（2）利用（1）的结论，对参数分类讨论，得到参数区间的范围，进而求最值即可.
解析 （1）因为
，所以
，
由
，得
，所以
；由
，得
，所以
，
所以函数
在
上单调递减，在
单调递增，
故
在
处取得极小值，也是最小值，
所以
的最小值为
，无最大值．
（2）由（1）知，函数
在
上单调递减，在
单调递增，
当
，即
时，
在
单调递减，
；
当
时，即
在
单调递减，
单调递增，
．
当
时，
在
单调递增，
；
综上所述
.
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方法归纳： (1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得
到函数f(x)的最值．
9
