《2026初高衔接》[第七讲]——充要条件与量词命题_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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充要条件与量词命题
充要条件与量词命题
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
充要条件
能准确区分三类条件，借助集合关
系推导条件逻辑
逻辑推理、数学抽象
量词与恒成立
会否定量词命题，掌握恒成立题型
的参数分析方法
逻辑推理、数学运算
一充要条件
命题
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”的
形式．其中p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．
1 (★☆☆☆☆)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形
(
)
(2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等
(
)
(3) 若x2- 4x + 3 = 0，则x ＝１
(
)
(4) 若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l，则a ∥b
(
)
将命题“若p，则q” 中的条件p 和结论q 互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原
命题的逆命题．
2 (★☆☆☆☆)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等
(
)
(2) 若两个三角形全等，则两个三角形周长相等
(
)
(3) 若一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝０有两个不相等的实数根，则ac < 0
(
)
(4) 若A ∪B 是空集，则A 与B 均是空集
(
)
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p ⇒q，又有q ⇒p，就记作p ⇔q
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充要条件
对于一个“若p，则q”的命题，我们将p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．若存在：
①条件p结论q，则称p 是q 的充分条件；
②结论q条件p，则称p 是q 的必要条件．
则有四类条件形式：
p ⇒q，q ⇏p：p 是q 的充分不必要条件；
q ⇒p，p ⇏q：p 是q 的必要不充分条件；
p ⇒q，q ⇒p：p 是q 的充要条件；
p ⇏q，q ⇏p：p 是q 的既不充分也不必要条件．
命题结果唯一性判定法
命题语句：“若×××，则×××”，则×××的×××要与题目所给的一致，出现多结果情况，则
该推断过程不成立．我们称为唯一性判断
例：x = 1 ⇒|x| = 1，由|x| = 1 可得x =±1，结果不唯一，故x = 1 是|x| = 1 的充分不必要条件．
不等式判定法
设满足p 的解集为集合P，满足q 的解集为集合Q：
范围大小规律：
小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．即：
①若P ⊊Q，即p ⇒q，q ⇏p 时，p 是q 的充分不必要条件；
②若Q ⊊P，即q ⇒p，p ⇏q 时，p 是q 的必要不充分条件；
③若P = Q，则p ⇔q，p 与q 互为充要条件．
例：x > 2 （小范围）⇒x > 1 （大范围），反之不成立，故x > 2 是x > 1 的充分不必要条件.
充要条件的判定方法
3 (★★☆☆☆)已知全集U = R，集合P = {x x-5
x+2 <0


，集合Q = {x|a + 1 ≤x ≤2a + 1}．
(1) 若a = 3，求P ∩(∁UQ)；
(2) 若“x ∈P”是“x ∈Q”必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
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1
(★☆☆☆☆)设x ∈R，则“x < 1”是“0 < x < 1”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2
(★☆☆☆☆) P：(x + 8) (x + 2) = 0 是q：x = 2 的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充要条件
3
(★☆☆☆☆)集合M 与N，M ⊆N 是M ∩N = M 的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 若x ∈R，下列选项中，使x2- 2x - 3 < 0 成立的充分不必要条件为
(
)
A. - 1 < x < 3
B. - 1 ≤x ≤3
C. - 1 < x < 2
D. - 2 < x < 3
5
(★★☆☆☆)“|2x + 1| < 5”是“x2< 3”成立的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充分必要条件
6
(多选•★★☆☆☆)若x2- x - 2 < 0 是-2 < x < a 的充分不必要条件，则a 的值可以是
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7
(★★☆☆☆)方程ax2 + 2x + 1 = 0，(a ≠0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
(
)
A. a < 0
B. a > 0
C. a <-1
D. a > 1
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(★★☆☆☆)已知集合A = {x|(x - a) (x + a + 1) ≤0}，B = {x|x ≤3 或x ≥6}．
(1) 当a = 4 时，求A ∩B；
(2) 当a > 0 时，若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，求实数a 的取值范围．
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(★★☆☆☆)已知p：A = {x|x2- 8x - 20 ≤0}，q：B = {x|1 - m ≤x ≤1 + m} (m > 0)．
(1) 是否存在实数m，使p 是q 的充分条件，若存在，求出m 的范围；
(2) 是否存在实数m，使p 是q 的必要条件，若存在，求出m 的范围．
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二量词与恒成立
全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫
做全称量词命题．即：全称命题p：“∀x ∈Μ，p(x) 成立”．
恒成立
在研究范围内，自变量的所有取值都能使某一条件(方程、不等式) 成立，这样的描述称为“恒成立”
存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命
题，叫做存在量词命题．即：特称命题p：“∃x0 ∈Μ，p(x0) 成立”．
成立
在研究范围内，自变量的部分(至少一个) 取值使某一条件(方程、不等式) 成立，这样的描述称为“成立”
二次不等式的恒成立条件
ax2+ bx + c > 0 恒成立的条件是
a>0
Δ<0

ax2+ bx + c < 0 恒成立的条件是
a<0
Δ<0

成立与恒成立的翻译
对于一个含参结构h(m,x) > 0 的翻译：(h(m,x) 表示整个不等式带有两个字母：m 和x)
①参变分离：将参数摆在左侧，变量摆在右侧，如：m > g(x) 恒成立
②翻译恒成立：m > g(x) 恒成立m > g(x)
max
m < g(x) 恒成立m > g(x)
min
命题的否定
全称命题的否定是特称命题，将∀改为∃，再否定结论．特称命题的否定是全称命题，将∃改为∀，
再否定结论．原命题与其否定真假性相反．
初识成立与恒成立
4 (★★★☆☆)若存在x ≥0，y ≥0，且3x + y = 1，使不等式
3
x+1 +
4
y+1 < m2 - 2m - 3 能成立，则实
数m 的取值范围是
(
)
A. (-4，2)
B. (-∞，-4) ∪(2，+∞)
C. (-2，4)
D. (-∞，-2) ∪(4，+∞)
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10 (★☆☆☆☆)用全称量词“∀”或存在量词“∃”改写下列命题，并判断真假．
(1) 任意实数的绝对值都是正数
(2) 自然数的平方都大于零
(3) 有些实数是整数
(4) 非零实数的零次幂都是1
(5) 某些无理数的平方仍是无理数
(6) 所有矩形都是平行四边形
11 (多选•★☆☆☆☆)下列命题中真命题有
(
)
A. p：∀x ∈R，x2- x + 1
4 ≥0；
B. q：所有的正方形都是矩形；
C. r：∃x ∈R，x2+ 2x + 2 ≤0；
D. s：至少有一个实数x，使x2+ 1 = 0．
12 (★☆☆☆☆)命题“∀x > 1，x2- 1 > 0”的否定形式是
(
)
A. ∀x > 1，x2- 1 ≤0
B. ∀x ≤1，x2- 1 ≤0
C. ∃x > 1，x2- 1 ≤0
D. ∃x ≤1，x2- 1 ≤0
13 (★☆☆☆☆)命题“∃x ∈R，x2- x - 2 ≤0”的否定是
(
)
A. ∀x ∈R，x2- x - 2 ≤0
B. ∃x ∈R，x2- x - 2 ≤0
C. ∀x ∈R，x2- x - 2 > 0
D. ∃x ∈R，x2- x - 2 < 0
14 (★★☆☆☆)若命题“∀x ∈R，x2- x + m ≥0”是假命题，则实数m 的取值范围是
(
)
A. {m m≤1
4


B. {m m< 1
4


C. {m m> 1
4


D.
m m≥1
4



15 (★★☆☆☆)命题“∃x ∈R，1
2 x2 + x - 3
2 - a < 0”为真命题，则实数a 的取值范围
(
)
A. a ≥0
B. a ≥1
C. a >-2
D. a ≥-2
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16 (★★☆☆☆)不等式(a - 2)x2+ 2(a - 2)x - 4 < 0 对一切实数恒成立，则实数a 的取值范围是
(
)
A. [-2，2]
B. (-∞，2)
C. (-∞，-2)
D. (-2，2]
17 (多选•★★☆☆☆)若对于任意实数x，不等式(a - 1)x2- 2(a - 1)x - 4 < 0 恒成立，则实数a 可能是
(
)
A. - 2
B. 0
C. - 4
D. 1
18 (★★★☆☆)若关于x 的不等式x2- (m + 1)x + 9 ≤0 在[1，4] 上有解，则m 的最小值为
(
)
A. 9
B. 5
C. 6
D. 21
4
19 (★★★☆☆)若不等式(ax - 2) (x - b) ≥0 对任意的x ∈R 恒成立，则a + 2b 的最小值为
(
)
A. 3
B. 2 2
C. 4
D. 3 2
20 (★★★☆☆)不等式(x - m) (x2- nx - 2) ≥0 对任意x > 0 恒成立，则m2+ n2的最小值为
(
)
A. 4 2 - 4
B. 4
C. 4 2
D. 4 2 + 2
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21 (★★★☆☆)已知x，y 均为正实数，且1
x + 2
y = 4，若2x + y > m2 - m 恒成立，则实数m 的取值
范围是
(
)
A. m <-2 或m > 1
B. - 2 < m < 1
C. m <-1 或m > 2
D. - 1 < m < 2
22 (★★★★☆)已知函数y = ax2+ bx + c．
(1) 关于x 的不等式ax2 + bx + c < 0 的解集为{x| -1 < x < 3}，求关于x 的不等式bx2 - a(c - 2)x - 3a2 ≥
0 的解集；
(2) 已知a > 0，b > 0，当x = 2 时，y = 2ab + c，
i


若存在正实数a，b，使不等式t2 + 3t - a - b
2 > 0 有解，求t 的取值范围；
ii


求
4b
b-2 + 16a
a-1 的最小值．
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1 (★☆☆☆☆)“x > 1”是“ 1
x < 1”的
(
)
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要
2 (★☆☆☆☆)若已知条件p：x ≤1，条件q：x2- 6x + 5 ≥0，则p 是q 的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3 (多选•★★☆☆☆)下列命题为真命题的是
(
)
A. “∃x ∈Z，x4< 0”是存在量词命题
B. ∀x ∈R，9x2≥0
C. ∃x ∈N，3x2- 4x + 1 < 0
D. “全等三角形面积相等”是全称量词命题
4 (★★★☆☆)若不等式ax2 + bx + c > 0 的解集为{x - 1
2 <x<3


，则x2 + b
a x + c
a < 0 成立的一个
必要不充分条件是
(
)
A. - 1
2 < x < 3
B. - 1
2 < x < 0
C. - 3 < x < 1
2
D. - 1 < x < 6
5 (★★★☆☆)若不等式(ax - 1) (x - b) ≥0 对任意的x ∈R 恒成立，则4a + b 的最小值为
(
)
A. 2 2
B. 4
C. 5
D. 4 2
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6 (★★☆☆☆)设集合A = {x|x2- 2mx + m2- 1 ≤0}，B = {x|x2- 4x - 5 ≤0}．
(1) 若m = 5，求A ∩B．
(2) 若“x ∈A”是“x ∈B”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
7 (★★★☆☆)记命题p：对任意x ∈[-2，2]，不等式-x2 - m2 + 5m ≥0 恒成立，命题q：存在x ∈
(0，3]，使得不等式x2- mx + 1 < 0 成立．
(1) 若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题p 与命题q 一真一假，求实数m 的取值范围．