《2026初高衔接》[第十三讲]——函数的变换与分段作图_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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选择胜于努力，笃行成就未来
夏• 2026 初高衔接
13
函数的变换与分段作图
函数的变换与分段作图
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
函数变换的方法
熟练掌握图象变换法则，准确推导
变换后函数解析式并能作图
直观想象、数学抽象
分段函数认识与作图
读懂分段函数，规范绘制分段图象，
求解单调性、最值问题
直观想象、逻辑推理
一函数的变换作图
此前我们已经梳理了函数的定义与基础性质，同时结合初中所学内容，对反比例函数、二次函数展开了更
深层次的拓展研究．步入高中，除各类基本初等函数外，函数图象变换也是核心知识点；依托图象变换，我们
能由基础函数推导出各式各样的函数图象．高中阶段要求熟练掌握四类图象变换：平移、伸缩、翻折、对称．
本节课我们重点讲解平移变换与翻折变换．
平移变换
将y = f(x) 在横方向向左右


平移a 个单位．可以得到新函数y = f(x ± a)．口诀：左加右减．
将y = f(x) 在纵方向向上下


平移b 个单位．可以得到新函数y = f(x) ± b．口诀：上加下减．
f(x)
O
x
y
f(x-1)
1
2
3 4
5
1
-1
f(x)
O
x
y
f(x)+1
1
2 3 4
1
-1
翻折变换
初中阶段我们学习了绝对值：a


=
a,
a≥0
-a ,
a<0

或
a


=
a,
a>0
-a,
a≤0

去绝对值原理：非负数的绝对值为它本身，负数的绝对值等于它的相反数．
由此我们可以对函数y = f(x)


与y = f( x


) 进行解读：
y = f(x)


=
f(x)，
f(x)≥0
-f(x)，
f(x)<0

y = f( x


) =
f(x)，
x≥0
f(-x)，
x<0

从图象角度，函数y = f(x) 翻折变换的通法为：
①y = f(x)


图象是将f(x) 在x 轴上方图象保留，将x 轴下方的图象作x 轴对称到x 轴上方后得到．
②y = f( x


) 图象是将f(x) 在y 轴右侧的图象保留，将y 轴右侧图象作y 轴对称到到y 轴左侧得到．
翻折变换的通用方法
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1 (★★★☆☆)设函数f(x) = |x2- 2x|．
(1) 在区间[-1，4] 上画出函数f(x) 的图象；
(2) 方程f(x) = a 在区间[-1，4] 有两个不同的实数根，求a 的取值范围．
(3) 若对任意x1，x2∈[t，t + 1]，且x1≠x2，都有f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0 成立，试求实数t 的取值范围．
1
(★☆☆☆☆)请结合课堂内容，绘制下列函数的图象．
1


f x


= x2- 2x，绘制f x-1


2


绘制f x


= x-2


4
3
2
1
2
1
5
4
3
2
1
1
x
y
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
1
x
y
3


绘制f x


= x-2


+ 1
3


绘制f x


= 2x


- 1
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
x
y
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
1
x
y
5


绘制f x


= x2- 2 x


+ 1
6


绘制f(x) = x-1
x+1


5
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
y
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
x
y
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
x
y
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2
(★☆☆☆☆)函数y = |x2- x| 的单调递增区间是
(
)
A.
0, 1
2




B. [1, +∞)
C.
0, 1
2




,[1, +∞)
D.
-∞,0


, 1
2 ,1




3
(★★☆☆☆)已知f(x) = x+1，x∈[-1，0)
x2+1，x∈[0，1]

，则下列选项错误的是
(
)
x
y
①
1
2
1
2
x
y
②
1
2
-1
1
x
y
③
1
2
1
-1
x
y
④
1
2
1
-1
A. ①是f(x - 1) 图像
B. ②是f(-x) 的图像
C. ③是f(|x|) 的图像
D. ④是|f(x)| 的图像
4 (★★☆☆☆)已知f(x) = |x - a|，若函数f(x) 在区间(-∞，2] 上为减函数，则a 的取值范围是(
)
A. a ≥1
B. a > 1
C. a ≥2
D. a > 2
5
(★★☆☆☆)若方程2|x - 1| = a 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是
(
)
A. (0，1)
B. [0，+∞)
C. (0，+∞)
D. (-∞，0]
6
(★★☆☆☆)函数y = |4x - x2| 的图象与直线y = a 有四个不同公共点，则实数a 的取值范围是
(
)
A. (0,4)
B. [0,4]
C. (4, +∞)
D. (-∞,4)
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7
(多选•★★★☆☆)已知函数f(x) = x-1
x

，则表达正确的是
(
)
A. 函数f(x) 的单调递减区间为(-∞，0)，(0，1)
B. (1，+∞) 为函数f(x) 的单调递增区间
C. 函数f(x) 有最小值，无最大值
D. 函数f(x) 满足f(x) + f(-x) =-2
8
(★★★☆☆)函数f(x) = x2+ 2a|x| +4a2- 1 的图象与x 轴有且只有一个交点，则实数a 的值为
(
)
A. 1
2
B. - 1
2
C. 1
D. 0
9
(★★★☆☆)函数f(x) = |x2- 1|，若实数a > b > 0，满足f(a) = f(b)，则ab 的取值范围是
(
)
A. (0,1)
B. [0,1]
C. (1, +∞)
D. (0, +∞)
10 (★★★☆☆)设函数f(x) = 1- 1
x

．
(1) 作出函数f(x) = 1- 1
x

的图象；
(2) 当0 < a < b，f(a) = f(b) 时，求1
a + 1
b 的值；
(3) 若方程f(x) = m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．
7
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
x
y
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11 (★★★★☆)已知函数f(x) = |2x - a| +a．
(1) 若不等式f(x) ≤6 的解集为{x| -2 ≤x ≤3}，求实数a 的值；
(2) 在(1) 的条件下，若存在实数n ∈0, 1
2


使得f(n) ≤m - f(-n) 成立，求实数m 的取值范围．
12 (★★★★☆)已知f(x) = x2- 2ax + 5
(1) 当a = 3 时，作出函数|f(x)| 的图象，若关于x 的方程|f(x)| = m 有四个解，直接写出m 的取值范围；
(2) 若y = f(x) 的定义域和值域均为[1，a]，求实数a 的值；
(3) 若y = f(x) 是(-∞，2] 上的严格减函数，且对任意的x ∈[1，a + 1]，总有-4 ≤f(x) ≤1 成立，求实
数a 的取值范围．
7
6
5
4
3
2
1
1
7
6
5
4
3
2
1
x
y
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二分段函数及其应用
高一阶段我们对于函数的作图要求相对简单．大部分都是对已知的函数进行变换或者分段，很多时候需要
借助函数的图象解决问题，在进行作图分析问题时，我们虽是作的函数草图，但还需注意以下一些细节和要
求，这些细节会影响由图得到的结论．
函数作图的一般步骤：
①确定函数的定义域；
②判定函数是否有奇偶性；
③确定函数的单调区间；
④确定函数的渐近线；
⑤确定函数的零点的位置．
函数作图的细节要求：
1 体现函数性质的特殊点需进行标注．
如:函数的最值点、最值变换后的对称点、函数零点、直线(曲线)所过的定点等等．
2 体现函数性质的特殊直线需用虚线标注。
如:函数的对称轴、图象变换后的对称轴、函数的渐近线、图象变换后的渐近线等等．
3 直角坐标系和直线用直尺作图，不要徒手画！！所作函数草图尽量使图象趋势与教学图象保持一
致，不要过于夸张，避免因作图不规范影响结论．
④分段函数作图首先做出分段线．第二步先计算分段点处的函数值是否相等，进而判断函数是连续还
是间断．第三步，在各自区间内分别做出函数图象．
函数作图的细节要求
2 (★★☆☆☆) 请作出f(x) = 2-x,
x≤1
-x2+4x-2,
x>1

图象．
高中阶段，为便于研究方程、函数与不
等式三者间的内在联系，我们把函数图
象与x 轴交点的横坐标定义为函数的零
点，该零点同时也是对应方程的实数解．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
x
y
零点
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13 (★★☆☆☆)请作出下列函数图象，并且解决相关问题．
(1) f(x) =
2
x ,x≥2,
x2-3,x<2

, 若f(x) = k 有且只有三个不同的实根，则实数k 的取值范围．
(2) f(x) = x2+1，x≥0
1，x<0

求满足不等式f(3 - x2) > f(2x) 的x 取值范围．
(3)f(x) =
|3x-4|(x≤2)
2
x-1 (x>2)

，解不等式f(x) ≥1.
14 (★☆☆☆☆)函数f(x) =
x2-1,x≥0,
1
x ,x<0,

若f(f(a)) =-1，则a =
(
)
A. 1 或-1
B. 1 或0
C. 1 或-1 或0
D. - 1 或0
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15 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = x2+2x+1,x≤1
2x2-8x+10,x>1

，若函数g(x) = f(x) - a 恰有两个零点，则实数a
的取值范围是
(
)
A.
0,2


∪(4, +∞)
B.
2,4


C.
2,+∞


D.
0,+∞


16 (★★☆☆☆)函数f(x) =
x2+2x,
x≤0
3x
x+1 ,
x>0

，y = f(x) - m 有两个不同的零点，则m 取值范围是(
)
A. (-1,3)
B. (-1，3]
C. (-1, +∞)
D. [-1，+∞)
5
(高考题•★★★☆☆)已知函数f(x) =
2
x ,
x≥2
(x-1)3,
0<x<2

，若关于x 的方程f(x) = kx 有两个不同的
实根，则实数k 的取值范围是
(
)
A.
0, 1
2


B.
0,
2
4


∪
2
4 , 1
2


C.
2
4 ,+∞


D.
1
2 ,2 2




6
(★★★☆☆)已知函数f(x) = |x - 2| +1，g(x) = kx，若方程f(x) = g(x) 有两个不相等的实根，则实
数k 的取值范围是
(
)
A.
1
2 ，1


B.
0，1
2


C. (1，2)
D. (2，+∞)
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7
(★★★☆☆)已知函数f(x) =
(3a-1)x+4a，(x<1)
a
x ，(x≥1)

在R 上单调递减，则a 的取值范围为
(
)
A.
1
7 ，1



B.
0，1
3



C.
1
6 ，1



D.
1
6 ，1
3



8
(★★★☆☆)函数f(x) =
a
x ，(x>1)
(2-3a)x+1，(x≤1)

是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
2
3 ，1


B.
3
4 ，1



C.
2
3 ，3
4



D.
2
3 ，+∞


9
(★★★★☆)设f(x) =
x2-(a2-5a+4)x+3a，(x<1)
2x+
2
x-1 +3，(x>1)

，若f(x) 的最小值为f(0)，则a 的值为(
)
A. 0
B. 1 或4
C. 1
D. 4
10 (★★★★★)设a ∈R，函数f(x) = ax2-2x+1，x≤a
ax+1，x>a

，有最大值的一个充分不必要条件是
(
)
A. a ∈-1，- 1
2




B. a ∈- 1
2 ，0




C. a ∈[-1，0)
D. a ∈[-2，0)
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11 (原创•★★★★☆)函数f(x) 满足条件：f(x) = 4-|4x-8|，1≤x≤3
|x-4|，x>3

．
(1) 请作出函数f(x) 的图象．
(2) 函数h(x) = f(x) - m 有三个不同的零点，求m 的范围．
(3) (培优生选做) 函数h(x) = f(x) - mx + 1 有三个不同的零点，求m 的范围．
5
4
3
2
1
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
x
y
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1 (★☆☆☆☆)函数f(x) = |2x - 1| -1 + a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
-∞，3
2


B.
1
2 ，+∞


C. (-∞，1)
D. (1，+∞)
2 (多选•★★☆☆☆)设函数f(x) = ||x| -1|，下列关于函数f(x) 的叙述正确的是
(
)
A. f(x) 的单调递增区间是(-1，0) ∪(1，+∞)
B. f(x) 在(-∞，1] 没有最大值
C. f(x) 是偶函数
D. f(x) 的零点是(-1，0) 和(1，0)
3 (多选•★★★☆☆)已知函数f(x) = |x| -x2，则下列说法正确的是
(
)
A. f(x) 的最大值为1
4
B. f(x) 在(-1，0) 上是增函数
C. f(x) > 0 的解集为(-1，1)
D. f(x) + 2x ≥0 的解集为[0，3]
4 (★★★☆☆)设函数f(x) = -ax+1，x<a
(x-2)2，x≥a

，若f(x) 存在最小值，则a 的最大值为
(
)
A. 1
B. - 1
C.
2
2
D. -
2
2
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5 (★★☆☆☆) 已知函数f(x) = |x - 1| 且f(a) = f(b)．
(1) 作出f(x) 的图象，求a，b 之间的关系；
(2) 求ab 的取值范围．
6 (★★☆☆☆) 已知函数f(x) = x2- 2|x| -3．
(1) 作出f(x) 的图象，并写出f(x) 的单调区间；
(2) 讨论方程x2- 2|x| -3 = k 的解的个数，并说明相应的k 的取值范围．
7 (★★★☆☆)已知函数f(x) = |x - m| +2m．
(1) 若函数f(x) 为偶函数，求m 的值；
(2) 若f(x) ≥2 对一切x ∈R 恒成立，试求m 的取值范围．
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
2
1
x
y
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
y