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专题19 利用导数研究函数的零点
知识梳理
方法技巧
题型归类
题型一：判断、证明或讨论零点的个数
题型二：根据零点情况求参数范围
题型三：利用函数性质研究函数零点
题型四：与函数零点相关的综合问题
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
解答题：共16 题
一、【知识梳理】
【方法技巧】
1.利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零
点.
2.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.
3.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特
殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的
交点情况.
4.利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定
函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
二、【题型归类】
【题型一】判断、证明或讨论零点的个数
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【典例1】已知函数f(x)＝xsin x－.
判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明.
【典例2】已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1).
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点.
【典例3】已知函数f(x)＝x－aln x(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数g(x)＝x2－ax－f(x)的零点个数．
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【题型二】根据零点情况求参数范围
【典例1】函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：
(1)求a，b 的值并写出f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c 的取值范围．
【典例2】已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R 且a≠0)．
(1)若f(0)＝2，求实数a 的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a 的取值范围．
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【典例3】已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有三个零点，求k 的取值范围．
【题型三】利用函数性质研究函数零点
【典例1】已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，g(x)＝x2＋4.
(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；
(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R 上有且仅有三个零点．
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【典例2】已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
【典例3】已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：
(1)f′(x)在区间上存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2 个零点．
【题型四】与函数零点相关的综合问题
【典例1】已知a>0 且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．
(1)当a＝2 时，求f(x)的单调区间；
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(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1 有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
【典例2】设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)证明：当a>0 时，f(x)≥2a＋aln .
【典例3】设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点处的切线与y 轴垂直.
(1)求b；
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1 的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
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三、【培优训练】
【训练一】已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(a－b－1)x＋b＋1(a，b∈R)．
(1)若a＝0，试讨论f(x)的单调性；
(2)若0<a<2，b＝1，实数x1，x2为方程f(x)＝m－ax2的两个不等实根，求证：＋>4－2a.
【训练二】设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点处的切线与y 轴垂直．
(1)求b；
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1 的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
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【训练三】已知函数f(x)＝aex－aex－1，g(x)＝－x3－x2＋6x，其中a>0.
(1)若曲线y＝f(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程；
(2)若f(x)＝g(x)＋m 在[0，＋∞)上有解，求实数m 的取值范围．
【训练四】已知函数f(x)＝ex＋1－kx－2k(其中e 是自然对数的底数，k∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明x1＋x2>－2.
【训练五】已知函数f(x)＝－2(a∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在点处的切线经过坐标原点，求实数a；
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(2)当a>0 时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．
【训练六】已知函数f(x)＝x3－3kx＋2，k∈R.
(1)若x＝－2 是函数f(x)的极值点，求k 的值及f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[0，2]上有且仅有2 个零点，求f(x)在[0，2]上的最大值g(k).
四、【强化测试】
【解答题】
1. 已知函数f(x)＝a＋ln x(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)试判断f(x)的零点个数．
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2. 已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2 的图象过点A.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3 有3 个零点，求m 的取值范围．
3. 已知函数f(x)＝aex－aex－1，g(x)＝－x3－x2＋6x，其中a>0.
(1)若曲线y＝f(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程；
(2)若f(x)＝g(x)＋m 在[0，＋∞)上有解，求实数m 的取值范围．
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4. 已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1 处的切线方程为y＝bx－e.
(1)求a，b 的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．
5. 已知函数f(x)＝ex－(k＋1)ln x＋2sin α.
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数k 的取值范围；
(2)当k＝0 时，证明：函数f(x)无零点．
6. 已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)．
(1)当a＝1 时，讨论f(x)极值点的个数；
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(2)讨论函数f(x)的零点个数．
7. 已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1 处的切线方程为y＝bx－e.
(1)求a，b 的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．
8. 已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围．
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9. 已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R 且a≠0)．
(1)若函数f(x)在x＝0 处取得极值，求实数a 的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a 的取值范围．
10. 已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.
(1)证明：ln x≤x－1；
(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数．
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11. 已知函数f(x)＝a＋ln x(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)试判断f(x)的零点个数．
12. 已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2 的图象过点A.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3 有3 个零点，求m 的取值范围．
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13. 已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
14. 已知函数f(x)＝aex－－1，其中a＞0.若函数f(x)有唯一零点，求a 的值．
15. 设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
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(2)当m≥1 时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数．
16. 已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，g(x)＝x2＋4.
(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；
(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R 上有且仅有三个零点．
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