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统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列递推问题
专项训练
1．（24-25 高二下·山东菏泽·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该
家庭有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ）
A．2
3
B．
1
2
C．1
3
D．1
4
2．（24-25 高二下·贵州安顺·期末）某班级组织抽奖活动，共有10 个外观相同的抽奖盒，其中3 个盒子有奖品，7
个盒子为空盒．现甲、乙两名同学依次抽奖（甲抽完后不放回），则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概
率是（ ）
A．1
3
B．3
10
C．1
4
D．2
9
3．（24-25 高二下·福建·期末）从编号1~10 的10 张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片
编号数字为5 的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则
P B A =（ ）
A．2
3
B．13
18
C．7
9
D．17
18
4．（24-25 高二下·天津西青·期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9 环的概率为0.7，此运动
员两次均击中9 环的概率为0.56，则在第一次击中9 环的条件下，第二次也击中9 环的概率，（ ）
A．0.392
B．0.56
C．0.8
D．0.9
5．（24-25 高二下·福建三明·期末·多选）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且
1
2
P A =
，
5
12
P AB =
，
1
2
P B A =
，则（ ）
A．
5
6
P B A =
B．
1
12
P AB =
C．
5
6
P B =
D．
1
6
P B A =
考点一
条件概率
6．（24-25 高二下·福建·期末·多选）若
,
A B 是一次随机试验中的两个事件，
1
( )
3
P A =
，
3
( )
4
P B =
，
2 (
)
5 (
)
P A
B
P AB
+
=
，则下列结论正确的有（ ）
A．A 与B 相互独立
B．
1
(
)
12
P AB =
C．
1
2
P B A =
D．
3
5
P B A
B
+
=
7．（24-25 高二下·山东菏泽·期末）在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列．由于随机因素的干扰，发送
的信号0 或1 有可能被错误地接收为1 或0．已知发送信号0 时，接收为0 和1 的概率分别为0.8 和0.2；发送信
号1 时，接收为1 和0 的概率分别为0.9 和0.1．假设发送信号0 和1 是等可能的，则接收信号为1 的概率
是
．
8．（24-25 高二下·江苏南京·期末）设A ，B 是一个随机试验中的两个随机事件，且
1
( )
3
P A =
，
1
( )
2
P B =
，
3
(
)
4
P A
B
+
=
，则
(
)
P B A =
∣
．
9．（24-25 高二下·福建福州·期末）福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人
就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1 分；若答错，则对手得1 分；谁先得3 分，谁就胜出，比赛结束．假设
两人每一次抢到题的概率均为
1
2 ，甲、乙两人答对每道题的概率分别为3
4 ，
1
2 ，且两人答题正确与否互不影响．
(1)在某次抢答中，求甲得1 分的概率；
(2)在某次抢答中，在乙得1 分的条件下，求乙答对这个题的概率；
(3)比赛进行中，若甲、乙暂时各得1 分，两人继续抢答了X 题后比赛结束，求X 的分布列及数学期望．
10．（24-25 高二下·山东临沂·期末）某选手参加一项人工智能机器人PK 比赛，规则如下：该选手的初始分为20
分，每局比赛，该选手胜加10 分；平局不得分；负减10 分．当选手总分为0 分时，挑战失败，比赛终止；当选
手总分为30 分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为1 1 1
2 4 4
、、，
且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3 局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，选手每胜1 局，获奖5 千元．记
1
(
0)
n n ³
局后比赛终止且选手获奖1 万元的概率为
( )
P n ，求
( )
P n 的最大值.
11．（24-25 高二下·河南驻马店·期末）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为
p（0
1
p
<
< ），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（0
1
q
<
< ）．通过任意一次测试即为合格
芯片，否则报废．
(1)若某批次生产了n 枚芯片，合格数为随机变量X．当
0.8
p =
，
0.5
q =
时，求X 的期望与方差；
(2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率．
12．（24-25 高二下·山东济宁·期末）某校航空航天社团学生利用AI 训练平台对无人机完成飞行任务进行训练．无
人机每轮训练有以下规律：若上一轮成功，本轮成功概率为p ；若上一轮失败，本轮成功概率为2
p ．已知首轮成
功概率为2
3 ，且前两轮都成功的概率为4
9 ．
(1)求p ；
(2)在三轮训练中，求第一轮失败的条件下，第二轮、第三轮都成功的概率；
(3)设随机变量X 表示三轮训练中成功的次数，求X 的分布列及数学期望．
13．（24-25 高二下·广东广州·期末）一批笔记本电脑共有10 台，其中A 品牌3 台，B 品牌7 台．
(1)若每次从中随机抽取1 台，抽取后不再放回，则在第一次抽到A 品牌的条件下，第二次抽到B 品牌的概率；
(2)若从中随机抽取2 台，求这2 台电脑中A 品牌台数的分布列和期望．
14．（24-25 高二下·河北石家庄·期末）在学校趣味运动会上，有一个限时通过障碍的项目，闯关者在规定的时间内
到达终点视为闯关成功，否则视为闯关失败.甲、乙两班各有3 人参加此项目，已知甲班3 名队员闯关成功的概率
分别为1
4 ，
0
1
p
p
<
<
，
1
2 ，乙班每名队员闯关成功的概率均为1
3 ，且各个队员闯关是否成功互不影响.
(1)若
1
3
p =
，求在甲、乙两班共有4 人闯关成功的条件下，甲、乙两班闯关成功的人数相同的概率；
(2)记甲、乙两班闯关成功的人数分别是X ，Y ，若
E X
E Y
>
，求p 的取值范围.
1．（24-25 高二下·山东济宁·期末）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采
纳的概率为8
9 ，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为1
3 ．已知输入的问题表达不清晰的
概率为1
4 ．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ）
A．2
3
B．3
4
C．4
5
D．5
6
2．（24-25 高二下·贵州黔西·期末）某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为
25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为（ ）
A．
1
2
B．3
5
C．9
14
D．3
4
3．（24-25 高二下·海南·阶段练习）王刚是校足球队的替补球员，已知每场比赛王刚上场的概率为1
3 ，校足球队获
胜的概率为
1
2 ，若王刚上场的情况下校足球队获胜的概率为3
5 ，则校足球队获胜的比赛中王刚上场的概率为
（ ）
A．
1
2
B．2
5
C．3
10
D．1
5
4．（24-25 高二下·福建泉州·期末）某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产
电器的产品比例为2 :3，已知第一车间的电器次品率为3％，第二车间的电器次品率为8％．今有一客户从电器仓
库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为
1p ；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为
2
p ，那么
（ ）
A．
1
11
100
p =
，
2
3
11
p =
B．
1
3
50
p =
，
2
3
11
p =
C．
1
11
100
p =
，
2
1
5
p =
D．
1
3
50
p =
，
2
1
5
p =
考点二
全概率公式与贝叶斯公式
5．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期末·多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1 号箱内装有4 个绿
球、1 个红球，2 号箱内装有2 个绿球、3 个红球，3 号箱内装有5 个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能
从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件
iA 表示“取到i 号箱(
1,2,3)
i =
”，事件B 表示“摸到绿球”，事件C 表
示“摸到红球”，则（ ）
A．
2
2
5
P B A
=
B．
1
1
1
P B A
P C A
P A
+
=
C．
11
15
P B =
D．
1
4
11
P A B =
6．（24-25 高二下·河北承德·期末·多选）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3 个红
球、2 个黄球和1 个绿球，黄盒内有2 个红球、1 个绿球，绿盒内有1 个红球、2 个黄球．规定第一次先从红盒内
任取1 个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1 个球．规定每次抽球均能
获得优惠券，抽到红球获得1 张优惠券，抽到黄球获得2 张优惠券，抽到绿球获得3 张优惠券，每张优惠券的金
额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是1
4
B．顾客最终获得6 张优惠券的概率是1
12
C．第二次抽到红球的概率是5
12
D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为1
11
7．（24-25 高二下·北京丰台·期末）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机
销售量的40%，优质率为80%，乙品牌的优质率为90%．从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率
为
．
8．（24-25 高二下·山东菏泽·期末）在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列．由于随机因素的干扰，发送
的信号0 或1 有可能被错误地接收为1 或0．已知发送信号0 时，接收为0 和1 的概率分别为0.8 和0.2；发送信
号1 时，接收为1 和0 的概率分别为0.9 和0.1．假设发送信号0 和1 是等可能的，则接收信号为1 的概率
是
．
9．（24-25 高二下·北京海淀·期末）AI 幻觉，是指AI 模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现
象．AI 幻觉率是指AI 模型产生AI 幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14 个使用率较高的AI
模型，其幻觉率如下表所示：
公司
甲
乙
丙
丁
AI 模型
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
幻觉率
1.3%
1.8%
2.9%
1.5%
1.9%
2.9%
0.7%
0.9%
1.6%
2.4%
0.8%
1.6%
2.4%
2.8%
(1)从表中提供的AI 模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率；
(2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI 模型中任取3 个，用随机变量X 表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随
机变量X 的分布列和数学期望;
(3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI 模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI 幻觉，则该模型来自
哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明）
10．（2025·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6 道正误判断题组成，每位选手从
中随机抽取3 道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4 道题.
(1)设X 表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量X 的分布列和方差；
(2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为
1
2 .若各题作答结果互不影响，求他通过预
赛的概率.
11．（24-25 高二下·河北石家庄·期末）有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3 个红球
7 个白球，乙袋中有4 个红球6 个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球
试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束.
(1)求首次摸球后试验就结束的概率；
(2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率；
(3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸
球；
方案二：从另外一个袋子中摸球.
请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大.
12．（24-25 高二下·福建厦门·期末）某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为
20000 件，乙生产线每天产量为10000 件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率
为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱．
(1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率；
(2)已知每箱中有3 件产品，其中二等品的定价为100 元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400 元，一
等品应该如何定价．
13．（24-25 高三下·云南丽江·阶段练习）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中，则此人继续
投篮，若未命中，则换对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为
1
2 ，乙每次投篮的命中率均为
2
3 .由抽签决定第1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率均为
1
2 .
(1)求第2 次投篮的人是甲的概率.
(2)记X 为前3 次投篮中，甲总共投篮的次数，求X 的分布列与期望.
14．（24-25 高二下·海南海口·期末）高中数学试题多选题给出的四个选项中有2 个或3 个选项符合题目要求．全部
选对的得6 分，有选错的得0 分，部分选对的得部分分（答案为3 个选项每个得2 分，答案为2 个选项每个得3
分）．
(1)若一道多选题只有2 个选项符合题目要求，求随机选择2 个选项能得6 分的概率；
(2)假定四个选项中有2 个或3 个选项符合题目要求的概率均为
1
2 ．
（ⅰ）求一道多选题随机选择1 个选项时得0 分的概率；
（ⅱ）一道多选题在能确定A 选项错误的前提下随机作答（选择1 至3 个选项），从得分期望角度分析，建议作答
时选择几个选项？
1．（24-25 高二下·四川凉山·期末）某学校食堂每天中午提供A ，B 两种套餐，同学小李第一天午餐时随机选择一
种套餐，如果前一天选择A 套餐，那么第二天选择A 套餐的概率为
1
2 ；如果前一天选择B 套餐，那么第二天选择
A 套餐的概率为1
3 .
(1)该食堂对A 套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，调查了学生对A 套餐的满意程度情况，统计了100 名
学生的数据，如下表（单位：人）
A 套餐满意度情况
A 套餐改善前
A 套餐改善后
合计
满意
35
40
75
不满意
15
10
25
合计
50
50
100
根据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，能否认为学生对A 套餐的满意程度与套餐的改善有关?
(2)若A 套餐拟提供2 种品类的素菜，n （
3
n ³
，
*
N
nÎ
）种品类的荤菜，同学小李从这些菜品中随机选择4 种菜
品，记选择素菜的种数为X ，求
2
P X =
的最大值，并求此时n 的值.
(3)设同学小李第n 天选择B 套餐的概率为
nP ，求
nP .
参考数据：
2
2
n ad
bc
x
a
b
c
d
a
c
b
d
-
=
+
+
+
+
，其中n
a
b
c
d
=
+
+ +
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
考点三
全概率公式与数列递推问题
2．（24-25 高二下·安徽·期末）某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班
车，则第二天仍坐班车的概率为1
4 ，第二天改开私家车的概率为3
4 ；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的
概率为
1
2 ，第二天改坐班车的概率为
1
2 .若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为
1
2 ，该工厂某员工
第n 天坐班车的概率为
nP .
(1)设该工厂某3 位员工中第二天坐班车的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；
(2)求
nP ；
(3)为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10 人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车
停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由.
3．（24-25 高二下·四川广元·期末）已知甲乙两个盒中均有3 个除颜色外完全相同的小球，其中2 个白球和1 个红
球．从甲乙两个盒中各任取一个小球交换，重复进行
*
N
n nÎ
次操作后，记甲盒中红球的个数为
nx ，甲盒中恰有
1 个红球的概率为
na ，恰有2 个红球的概率为
nb ．
(1)求
1
x 的数学期望；
(2)找出
1
na + 与
na 的关系，并求
na
的通项公式；
(3)证明：
2
1
n
n
a
b
+
= ．
4．（24-25 高二下·山东东营·期末）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概
率为3
4 .若第i 次降落成功，则第
1
i + 次降落成功的概率为4
5 ；若第i 次降落未成功，则第
1
i + 次降落成功的概率为
2
3 ，其中
*
N
iÎ
.
(1)求该操作员第二次降落成功的概率；
(2)记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X 的分布列和数学期望；
(3)设第i 次降落成功的概率为
iP ，求证：3
10
4
13
iP
£
<
.
5．（24-25 高二下·甘肃甘南·期末）现有A，B 两个盒子，A，B 两盒子中各装有1 个黑球和2 个红球，现从A，B
两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行
Î
*
N
n n
次这样的操作后，记A 盒子中黑球的个数为
n
X ，恰有2 个黑球的概率为
np ，恰有1 个黑球的概率为
nq ．
(1)求
1p ，
2
p ，
1q ，
2q 的值；
(2)求证：2
n
n
p
q
+
是定值；
(3)求
n
X 的数学期望
n
E X
．
6．（24-25 高二下·山东泰安·期末）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：
①每局比赛胜者得1 分，负者得0 分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设
每局比赛甲队获胜的概率都是
(0
1)
p
p
<
<
，各局比赛之间的结果互不影响.
(1)当
2
3
p =
时，若两队共进行3 局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若
1
X ³ ，则甲队可额外
获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率；
(2)若两人共进行
*)
2
1(
n
n
+
ÎN
局比赛，当
1
3
p =
且
2
n ³
时，记事件
kA 表示“在前2
1
n - 局比赛中甲赢了
(
0,1,2,
,2
1)
k k
n
=
-
局”，事件B 表示“甲最终获胜”，求
1
(
|
)
n
P B A -
，
(
|
)
n
P B A
的值；
(3)若甲队在进行
*
2
1(
N )
n
n
-
Î
局比赛时获胜的概率记为
nP ，在进行2
1
n + 局比赛时获胜的概率记为
1
nP + ，在进行
2
3
n + 局比赛时获胜的概率记为
2
nP + ，已知1
1
2
p
<
< ，试判断
2
n
n
P
P +
+
与
1
2 nP + 的大小关系，并说明理由.
