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专题15 排列组合与二项式定理
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题型01 相邻与不相邻问题..........................................................................................................................................1
题型02 计数问题..........................................................................................................................................................2
题型03 分组分配问题..................................................................................................................................................3
题型04 染色问题..........................................................................................................................................................4
题型05 三项展开式问题..............................................................................................................................................5
题型06 两个二项式乘积展开式问题..........................................................................................................................6
题型07 赋值法的应用..................................................................................................................................................6
题型08 杨辉三角与二项式定理..................................................................................................................................8
题型01 相邻与不相邻问题
【解题规律·提分快招】
1、对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的
方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置
的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。
2、捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注
意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大
大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,
对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.
3、插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足
题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.
【典例训练】
一、单选题
1．（2025 高三·全国·专题练习）某班一天上午有4 节课，下午有3 节课，现在安排该班一天中语文、英语、
物理、政治、体育各1 节，数学2 节，要求2 节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不
同的排法种数是（ ）
A．624
B．528
C．312
D．264
2．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7 天假（10 月1 日至10 月7 日），马老师、张
1
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老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同
的值班方法共有（ ）种
A．114
B．120
C．126
D．132
3．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）四本大小相同的语文、数学、英语、物理练习册随机堆叠成一座四层
小“书山”，记事件
为“语文练习册不在最底层”，事件
为“数学练习册在语文练习册上层（可以不
相邻）”，则在事件
发生的条件下，事件
发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（24-25 高三·上海·随堂练习）某小学开家长会，会场第一排有连在一起的8 个座位，有4 名同学和她
们的妈妈共8 人坐在第一排的这8 个座位上，则每名同学和她们的妈妈坐一起的不同排法种数为 ．
5．（24-25 高三·上海·课堂例题）
、
、
、
、
五人排成一排，如果
必须站在
的右边，且
、
不相邻，则不同的排法共有 种．
6．（2024 高三·全国·专题练习）现有9 位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，
3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有 种．
题型02 计数问题
【解题规律·提分快招】
对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意
隐含条件：0 不能在首位.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·广西·三模）已知
这
个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个
位上排成三位数，这样的三位数有（ ）
A．55 个
B．70 个
C．40 个
D．35 个
2．（2024·全国·模拟预测）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当
142857 与1 至6 中任意1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7 这6 个数字组成．若从1，4，2，
8，5，7 这6 个数字中任选4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200 的偶
数个数是（ ）
A．87
B．129
C．132
D．138
3．（2024·湖北·模拟预测）不等式
，其中
是非负整数，则使不等式成立的三元数组
有多少组（ ）
A．560
B．455
C．91
D．55
二、填空题
4．（23-24 高三上·北京海淀·期末）从数字1，2，3，4 中选出3 个不同的数字构成四位数，且相邻数位上
的数字不相同，则这样的四位数共有 个．
2
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5．（24-25 高三·上海·随堂练习）从0，1，2，3，4，5 中任取3 个数字组成没有重复数字的三位数，其中
能被5 整除的概率为 （用数字作答）．
6．（24-25 高三上·广西·期末）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进
制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4 来表示数值，例如五进制数324 转化成十进制数为
.若由数字1，2，3，4 组成的五位五进制数，要求1，2，3，4 每个数字都要出现，例
如12334，则不同的五位五进制数共有 个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随
机取1 个，则该数对应的十进制数能被3 整除的概率为 .
题型03 分组分配问题
【解题规律·提分快招】
①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以
A(n 为均分的组数)，避免重复计数．
②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除
以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三下·浙江·开学考试）2024 年9 月16 日，台风“贝碧嘉”登陆上海浦东，当地某机关单位组
织甲，乙等4 名志愿者参与
三个受灾小区的抗台抢险工作.每个人只能去一个小区，并且每个小区
都要有人去，则不同的分配方案共有（ ）
A．16 种
B．20 种
C．26 种
D．36 种
2．（2024·江西·模拟预测）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，县委组织部将派前五位大学生村官对四
个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，则其中的
甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6 名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的
风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1 名同学前往打卡，则不
同方案的种数为（ ）
A．180
B．360
C．450
D．540
二、填空题
4．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）某大学5 名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1 所
学校，每所学校至多接收2 名同学.若同学A 确定到甲学校，则不同的安排方法共有 种.
5．（24-25 高三上·天津和平·期末）在杭州亚运会比赛中，6 名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛
场记录这三项工作，若每项工作至少安排1 人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共
有 种.（用数字作答）
3
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6．（24-25 高三上·内蒙古通辽·期末）为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请
、
、
、
、
五位党
的二十大代表分别到一中、五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中
、
因只会汉
语不能到蒙中宣讲，其余三人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有 种.
题型04 染色问题
【解题规律·提分快招】
解决染色问题的一般思路
(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三下·广东梅州·期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5 个面涂色，每个面涂
一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（
）
A．1080 种
B．720 种
C．660 种
D．600 种
2．（24-25 高三上·广西·阶段练习）如图，对
，
，
，
，
五块区域涂色，现有种不同颜色的颜
料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色
方法共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
3．（23-24 高三下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规
模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002 年第24 届国际数学家大
会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形
构成（如图）.现给图中5 个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有
5 种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）
4
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A．120 种
B．360 种
C．420 种
D．540 种
二、填空题
4．（2024·河南濮阳·模拟预测）对一个四棱锥各个顶点着色，现有5 种不同颜色供选择，要求同一条棱连
接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有 种（用数字作答）．
5．（2024·安徽淮北·二模）在
的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个
的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为 .
题型05 三项展开式问题
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·山东威海·阶段练习）
的展开式中，含
的项的系数为（ ）
A．240
B．
C．560
D．360
2．（2024·江苏南京·模拟预测）
的展开式中，
的系数为（ ）
A．60
B．
C．120
D．
3．（2025·陕西咸阳·一模）若
，则
（ ）．
A．1
B．5
C．10
D．15
二、填空题
4．（2024 高三·全国·专题练习）
的展开式中的常数项为 ．
5．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）若
为一组从小到大排列的数
，1，3，5，7，9，11，13 的第六十
百分位数，则
的展开式中
的系数为 .
6．（2024·广东广州·模拟预测）若
的展开式中，
项的系数为
，则
的最大值为 .
5
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题型06 两个二项式乘积展开式问题
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·山东滨州·期末）
的展开式中
的系数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
2．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）若
的展开式中
的系数为
，则a 的值为
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
3．（24-25 高三上·河南南阳·期末）
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（24-25 高三上·云南楚雄·期末）已知
，则
.
5．（24-25 高三上·湖南长沙·期末）已知
的展开式中各项系数的和是2，则展开式中
的
系数为 .（用数字作答）
题型07 赋值法的应用
【解题规律·提分快招】
1、常用赋值举例
（1）设
0
1
1
2
2
2
n
n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C a
b
C b
，
二项式定理是一个恒等式，即对
，
的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取
，
的
值．
①令
1
a
b
，可得：
0
1
2n
n
n
n
n
C
C
C
②令
，可得：
0
1
2
3
0
1
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
，即：
0
2
1
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
（假设n 为偶数），再结合①可得：
0
2
1
3
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
．
（2）若
，则
①常数项：令
，得
．
②各项系数和：令
，得
．
6
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注意：常见的赋值为令
，
或
，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
2、奇数项的系数和与偶数项的系数和
①5 当
为偶数时，奇数项的系数和为
；
偶数项的系数和为
．
（可简记为：
为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
②当
为奇数时，奇数项的系数和为
；
偶数项的系数和为
．
（可简记为：
为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若
，同理可得．
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三下·全国·自主招生）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
2．（24-25 高三上·江西宜春·阶段练习）若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三下·广东广州·期中）已知
，其中
，则
（ ）
A．16
B．32
C．24
D．48
二、多选题
4．（24-25 高三上·广东潮州·期末）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．当
时，
除以8 的余数是7
5．（24-25 高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知
，则下
列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
6．（24-25 高三上·上海·阶段练习）设
，若
7
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，则
．
题型08 杨辉三角与二项式定理
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三·全国·假期作业）当
时，将三项式
展开，可得到如图所示的三项展开式和
“广义杨辉三角形”：
若在
的展开式中，
的系数为
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
2．（23-24 高三下·云南·期中）我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式
系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．第6 行第
､
7 行第
､
8 行的第7 个数之和为第9 行的第8 个数
C．第12 行中从左到右第2 个数与第3 个数之比为
D．第2020 行的第1010 个数最大
3．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形
8
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中的
换成
得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（24-25 高三上·江西·阶段练习）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中
国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正
确的是（ ）
A．
B．第8 行所有数字之和为256
C．
D．记第20，21 行数字的最大值分别为
，则
5．（23-24 高三下·河南郑州·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算
法》《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在
､
1261 年所著的《详解九章算法》给出了如下图1 所示的表，
我们称这个表为杨辉三角，图2 是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500 年左右，由此可
见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（ ）
9
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A．第2024 行中，第1012 个数最大
B．杨辉三角中第8 行的各数之和为256
C．记第
行的第个数为
，则
D．在“杨辉三角”中，记每一行第
个数组成的数列称为第
斜列，该三角形数阵前2024 行
中第
斜列各项之和为
一、单选题
1．（24-25 高三上·河南·阶段练习）在一次文物展览中，要将5 件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，
其中有2 件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（ ）
A．24 种
B．48 种
C．96 种
D．120 种
2．（24-25 高三上·福建漳州·期末）据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古
乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”
和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（ ）
A．12
B．18
C．24
D．36
3．（23-24 高三上·江苏常州·期末）在100，101，102，…，999 这些数中，各位数字按严格递增（如
“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（ ）
A．120
B．204
C．168
D．216
4．（24-25 高三上·辽宁沈阳·期末）
展开式中，
的系数为（ ）
A．
320
B．320
C．
240
D．240
10
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5．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）某高校有8 名研究生要去小兴安岭采集植物样本，其中男生6 人，女生2
人，将这8 人分成两组，若要求每组至少2 人，且两名女生不单独成组，则不同的分组方案共有（ ）
A．240 种
B．158 种
C．126 种
D．118 种
7．（24-25 高三上·四川成都·期中）从重量分别为 1，2，3，4，… ，8 克的砝码（每种砝码各 2 个）中
选出若干个，使其总重量恰为 9 克的方法总数为（ ）
A．48
B．56
C．64
D．72
8．（24-25 高三上·江西·期末）小明、小红等5 人报名学校的三类选修课(球类、武术类、田径类)，规定每
个人只能报其中的一类选修课，且每类选修课至少一人报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有（
）
A．132 种
B．114 种
C．96 种
D．84 种
二、多选题
9．（24-25 高三上·甘肃定西·期末）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．展开式中所有项的二项式系数的和为16
10．（24-25 高三上·辽宁大连·期末）已知
，则
（ ）
A．
的值为2
B．
的值为80
C．
的值为
D．
11．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）若
，则下列选项正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
11
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12．（23-24 高三下·黑龙江哈尔滨·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国
南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行
两边的数都是1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4 行的6 为第3 行中两个3 的和.则
下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9 行中，从左到右第7 个数是84
B．由“第
行所有数之和为
”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当
时，从第2 行起，每一行的第3 列的数字之和为284
D．在“杨辉三角”中，第
行所有数字的平方和恰好是第
行的中间一项的数字
13．（24-25 高三上·辽宁·期末）在探究
的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张
表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图①，小明在学完杨辉三角之后进
行类比探究，将
的展开式按
的升幂排列，将各项系数列表如下（如图②）：
上表图②中第
行的第
个数用
表示，即
展开式中含
项的系数为
，则（ ）
A．
B．
C．
（
，
）
D．
三、填空题
14．（24-25 高三下·江西·开学考试）若
的展开式中
的系数是20，则实数
的值为 ．
15．（24-25 高三下·湖南长沙·开学考试）
的展开式中常数项是 ．
12
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16．（24-25 高三上·安徽马鞍山·阶段练习）某宾馆安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3 个房间，每个房间
至少住1 人，且甲和乙住同一个房间，则共有 种不同的安排方法．（用数字作答）
17．（23-24 高三上·山东·阶段练习）
展开式中各项的系数可以仿照杨辉三角构造如图所示的广
义杨辉三角，其性质是以下各行每个数是它正上方和左右两边三个数的和（不足
､
3 个数时，用0 补上），
则
的展开式中，
项的系数为 .
18．（24-25 高三上·甘肃酒泉·期末）用4 种不同的颜色对如图所示的6 个区域（图中
，
，
，
，
，
）进行着色，要求相邻区域颜色不同，则共有 种不同的着色方法．
19．（24-25 高三上·陕西渭南·阶段练习）安排甲、乙、丙、丁、戊5 名大学生去杭州、宁波、金华三个城
市进行毕业生实践，每个城市至少安排一人，则其中学生甲被单独安排去杭州的概率是 ．
20．（24-25 高三上·辽宁锦州·期末）如图，左边是编号为、
、、
的
型钢板，右边是编号为甲、乙、
丙的
型钢板，现将两堆钢板自上而下地混合堆放在一起，则
型钢板均不相邻的放法共 种，乙
号钢板上方的
型钢板的编号之和与其下方的
型钢板的编号之和相等的放法共 种．（用数字作
答）
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