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第 17 讲 导数的极值
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近
的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近
的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2.函数的极值的辨析
(1)函数的极值是一个局部概念,是某个点的函数值与它附近的函数值相比较是最大的或是最小的,因而端点
不是函数的极值点.
(2)函数在定义域的某个区间内极大值或极小值不一定唯一,也可能不存在,并且函数的极大值与极小值之间
无确定的大小关系.
(3)函数的极值点处的导数为0,但导数为零的点可能不是函数的极值点.
(4)若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在区间(a,b)内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
考点一 利用导数求解函数的极值
考点二 利用函数的极值求参数值
考点三 利用导数解决函数的极值点问题
考点一：利用导数求解函数的极值
例1．函数 （ ）
A．有极大值1，无极小值 B．无极大值，也无极小值
C．有极小值0，极大值1 D．有极小值1，无极大值
【答案】D
【分析】直接求导得 ，利用导数与极值的关系即可得到答案.【详解】 ， ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以当 时，函数有极小值 ，无极大值，
故选：D.
例2．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 无零点 B．单调递增区间为
C． 的极大值为 D． 的极小值点为
【答案】C
【分析】由 的定义域为 ，可判定B不正确；求得 ，得到函数 的单调性和
极值的概念，可判定C正确，D不正确；结合单调性和 ，可判定A不正确.
【详解】由函数 ，可得定义域为 ，所以B不正确；
又由 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值，极大值为 ，无极小值，
所以C正确，D不正确；
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以函数 在定义域内有一个零点，所以A不正确.
故选：C.
考点二：利用函数的极值求参数值例3．若函数 在 处取得极值2，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】求导，根据 处的极值为2，列方程解方程得到 ， ，即可得到 .
【详解】解： ，
，
又函数 在 处取得极值2，
则 ，且 ，
所以 ， ，经检验满足要求，所以 ．
故选：A．
例4．若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，由导函数在 上有两个零点可得实数 的取值范围.
【详解】∵ 有两个不同的极值点，
∴ 在 上有2个不同的零点，
∴ 在 有2个不同的实数根，
∴ ，解得 ．
故选：B
考点三：利用导数解决函数的极值点问题
例5．已知函数 ，则 的极值点个数为（ ）
A．由参数 确定 B．0 C．1 D．2
【答案】D【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而得到函数的极值点.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 或 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，故 有 个极值点.
故选：D
例6．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数 的极值点为 ，函数
的最大值为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 求定义域，求导，观察出导函数单调递增，结合零点存在性定理得到
，对 求定义域，求导，得到其单调性和极值，最值，得到 ，判断出
.
【详解】 的定义域为 ，
在 上单调递增，且 ， ，
所以 ， ．
的定义域为 ，由 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
即 ．所以 ．
故选：A
一、单选题
1．已知函数 ，则 的极小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ，
因为
所以 ，
令 ，则 ，解得 或 （舍），
x 2
－ 0 ＋
单调递减 极小值 单调递增
由此表可知，当 时， 的取得极小值为 .
故选：D.
2．数列 在 时有（ ）
A．不存在极值 B．既有极大值也有极小值C．极小值 D．极大值
【答案】D
【分析】根据函数极值的概念，求导确定函数单调性即可得结论.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 时， ，函数 单调递增， 时， ，函数 单调递减；
所以函数在 时取得极大值，无极小值.
故选：D.
3．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 上有且仅有2个极值点
C． 在区间 上有且仅有3个零点
D． 在区间 上存在极大值点
【答案】D
【分析】结合导数图像的正负性，判断原函数的单调性，进而逐一对选项辨析即可.
【详解】由图可知， 在区间 为负， 单调递减，
在区间 为正， 单调递增，故A错误；
在区间 上有3个零点，且零点附近左右两边 的值一正一负，
故 有3个极值点，故B错误；由选项B可知，只能判断 在区间 上有3个极值点，
当 的3个极值都小于0时， 至多只有1个零点，
当 的3个极值有正有负时， 至少有1个零点，
所以无法判断 零点个数，故C错误；
在区间 上为正， 单调递增，
在区间 上为负， 单调递减，
则 为极大值点，故D正确；
故选：D.
4．若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.
【详解】函数的定义域为 ，
因为函数 有两个不同的极值点，
所以 有两个不同正根，
即 有两个不同正根，
所以 解得 ，
故选：A.
5．函数 的极小值是（ ）
A． B．0 C．2 D．3【答案】C
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值.
【详解】解： 定义域为 ，
所以 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极小值，该值为 .
故选：C
6．若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可.
【详解】由 ，
当 时，函数 单调递增，在 时，该函数单调递减，
当 时，函数 有最大值，且 ，且函数 的对称轴
为 ，
所以当 时， 有两个不同的极值点，等价于直线 与函数
有两个不同的交点，所以 ，
故选：B7．已知函数 有极值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导，由题设得 必有两个不等的实根，再利用判别式求解即可.
【详解】由题意知，定义域为R， ，要使函数 有极值，则 必有两个不等的实根，
则 ，解得 .
故选：D.
二、填空题
8．函数 的极大值为___________.
【答案】
【分析】利用导数求得函数的极大值.
【详解】 的定义域是 ，
，
令 解得 ，
所以， 在区间 递增；
在区间 递减；
所以 的极大值为 .故答案为：
9．已知 ， 是函数的一个极值点，则 值为________
【答案】1
【分析】根据函数极值点的性质运算即可.
【详解】因为 ，则 ，又 是函数的一个极值点，
所以 ，解得 ，经检验 是函数的一个极值点.
故答案为： .
10．若函数 在区间 上有极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】函数 在区间 上有极值点，转化为 在区间 上有解即可求解.
【详解】由已知得 ，若函数 在 上有极值点，则 在 上有
解，即 ，解得 ．
故答案为：
11．设函数 在 和 处均有极值，且 ，则 ______．
【答案】
【分析】由题可得 ，从而可求 的值.
【详解】由题可得 ，
∵ 在 和 处有极值，且 ，∴ ，即 ，
∴ ，经检验适合题意，
∴ .
故答案为： .
12．函数 在 上存在极值点，则a的取值范围是______ ．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，由题意得到关于a的不等式，求解得答案．
【详解】由 ，得 ，
∴ ，函数 单调递减， ，函数 单调递增，
由函数 在 上存在极值点，
可得 ，
∴ ，
∴实数a的取值范围是 ．
故答案为： ．
13．函数 有2个极值点，则实数 的取值范围是________
【答案】
【分析】由题意可知 有两个不相等的实根，从而可 可求出实数 的取值范围
【详解】由 ，得 ，
因为函数 有2个极值点，所以 有两个不相等的实根，
所以 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：
三、解答题
14．已知函数 ，且 在点 处的切线 与 平行．
(1)求切线 的方程；
(2)求函数 的单调区间和极值点．
【答案】(1)
(2)增区间 ，减区间 ，极小值点为2，无极大值点
【分析】（1）求导，然后通过 列方程求出 的值，代入 求出 ，利用点斜式可求出切线
的方程；
（2）令 ， 求出单调区间，根据单调区间可得极值点.
【详解】（1）由已知 ，
在点 处的切线 与 平行，
，解得 ，
，
切线 的方程为 ，
即 ；
（2）由（1）得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ，极小值点为2，无极大值点.
15．已知函数 ．
(1)判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由；
(2)求证：函数 在 上有且只有一个极值点．
【答案】(1)函数f（x）在区间 上的单调递增，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数 ，确定在 上 的正负得单调性；
（2）令 ，求出 得 的单调性，从而得 在 上的零点个数，即可得证 的
极值点个数．
（1）
函数f（x）在区间 上的单调递增，
，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以函数f（x）在区间 上的单调递增．
（2）
证明：令 ，则 ，
当 时， ，h（x）单调递减，
又因为 ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
随着x变化 ， 的变化情况如下；
x+ 0 -
递增 极大值 递减
所以f（x）在 内有且只有一个极值点．
16．已知函数 有两个极值点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，由题意可知 是 即 的两个正根，由此列出不等
式组，即可求得答案；
（2）化简 可得 ，从而构造函数 ，判断其单调性，即可求
得答案.
【详解】（1）由 可得 ，
因为函数 有两个极值点 ，
故 是 即 的两个正根，则
故 ，即 ，
即实数 的取值范围为 .
（2）由（1）可知 ， ，，
由于 ，故 ，
设 ，
故 在 上单调递增，
故由 可得 ，
即实数 的取值范围为 .
