01一元二次函数的图像与性质
1
1
容易
单选题
函数y = −x2 + 2x，x ∈[0, 3]的最小值和最大值分别为（ ）
A. 0，3
B. －3，0
C. －3，1
D. 0，1
C
先确定二次函数在区间上的单调性，再求解其最值即可.
函数y = −x2 + 2x的图象开口向下，对称轴为直线x = 1，
所以在区间[0, 1]上单调递增，在区间[1, 3]上单调递减，
当x = 1时，函数y = −x2 + 2x取得最大值，ymax = 1
当x = 0时，y = 0，当x = 3时，y = −32 + 2 × 3 = −3，
所以该函数的最小值为ymin = −3.
故选：C.
答案
解析
2
较易
单选题
已知函数f (x) = √(m + 2)x2 + 2mx + 1的值域是[0, +∞)，则实数m的取值范围是（ ）
A. [−2, 2]
B. [−1, 2]
C. [−2, −1] ∪[2, +∞)
D. (−∞, −1] ∪[2, +∞)
C
由题意可知函数y = (m + 2)x2 + 2mx + 1的值域包含[0, +∞)，分m + 2 = 0与m + 2 ≠0两种情况讨论，可得
出关于实数m的不等式，进而可求得实数m的取值范围.
答案
解析
2
由于函数f (x) = √(m + 2)x2 + 2mx + 1的值域是[0, +∞)，
则函数y = (m + 2)x2 + 2mx + 1的值域包含[0, +∞).
当m + 2 = 0时，m = −2，此时函数y = −4x + 1的值域为R，合乎题意；
当m + 2 ≠0时，m ≠−2，要使得二次函数y = (m + 2)x2 + 2mx + 1的值域包含[0, +∞).
则{
，解得−2 < m ≤−1或m ≥2.
综上所述，实数m的取值范围是[−2, −1] ∪[2, +∞).
故选：C.
本题考查复合型二次函数的值域求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
m + 2 > 0
Δ = 4m2 −4 (m + 2) = 4 (m2 −m −2) ≥0
3
较易
填空题
定义一种新运算：a △b = √ab + a + b, a, b ∈R，若1 △k = 3，则函数y = (k △x) −3x
2 的值域为
(−∞, 3
2 ]
根据新定义列方程求出k，然后由二次函数性质可得.
由题知1 △k = √k + 1 + k = 3，解得k = 1，
则y = √x + 1 + x −3x
2 = −1
2 x + √x + 1 = −1
2 (√x −1)
2 + 3
2 ≤3
2 ，
所以，函数y = (k △x) −3x
2 的值域为(−∞, 3
2 ].
故答案为：(−∞, 3
2 ]
答案
解析
4
较易
多选题
二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，则下列结论中，错误的是（ ）
A. a + b + c > 0
B. a −b + c < 0
C. abc > 0
D. b = 2a
3
CD
根据二次函数的图象中的信息，即可判断选项.
由图象可知，当x = 1时，y = a + b + c > 0，故A正确；
当x = −1时，y = a −b + c < 0，故B正确；
函数图象的开口向下，a < 0，对称轴−b
2a > 0，即b > 0，当x = 0时，y = c > 0，则abc < 0，故C错误；
若b = 2a，则对称轴−b
2a = −1，与图象不符，故D错误.
故选：CD
答案
解析
5
一般
单选题
如图所示，当ab > 0时，函数y = ax2与f(x) = ax + b的图象是 （ ）
A.
B.
C.
D.
D
答案
解析
4
∵ab > 0, ∴a > 0, b > 0或a < 0, b < 0
当a > 0, b > 0时，函数y = ax2开口向上，f(x) = ax + b过第一、二、三象限，无选项；
当a < 0, b < 0时，函数y = ax2开口向下，f(x) = ax + b过第二、三、四象限，D选项正确；
故选：D
本题考查一次函数与二次函数图象，属于基础题.
02集合的概念及表示方法
1
1
已知非空集合M满足：若x∈M，则
1
1 −x ∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于
A. 0
B. 1
C. －1
D. 不确定
C
试题分析：依题意，得
当4∈M时，有
1
1 −4 = −1
3 ∈M，从而
1
1 + 1
3
= 3
4 ∈M，
1
1 −3
4
= 4 ∈M，
于是集合M的元素只有4，−1
3 ，3
4 所有元素之积等于4×（−1
3 ）× 3
4 =-1
考点：元素与集合关系的判断
答案
解析
2
已知集合A={1，2，a -2a}，若3∈A，则实数a=
．
3或 −1
根据3∈A即可得出a −2a=3，解方程得到a即可．∵3∈A，A={1，2，a −2a}，
∴a −2a=3，
解得a=−1或3
故答案为−1或3．
本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题．
2
答案
解析
2
2
2
2
3
直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为
．
{(x, y) ∣x < 0, y > 0}
根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答.
依题意，第二象限所有点组成的集合是{(x, y) |x < 0, y > 0, y ∈R}.
故答案为：{(x, y) ∣x < 0, y > 0}
答案
解析
4
下列关系式错误的个数为：（ ）
①0 ∈∅；
②∅⊆{0}；
③0 ∈N；
④{0} ⊆{∅}．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
B
根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可．
对①：空集不含任何元素，故①错误；
对②：空集是任何集合的子集，故②正确；
对③：0是自然数，故③正确；
对④：0 ∉{∅}，故{0} ⊆{∅}错误，故④错误；
故错误的个数为2．
故选：B．
答案
解析
5
用适当的方法表示下列集合
3
（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A
（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B
（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C
答案见解析
（1）利用列举法表示集合；
（2）利用描述法表示集合；
（3）利用描述法表示集合；
解：（1）大于0且不超过6的全体偶数有2, 4, 6，故集合A = {2, 4, 6}；
（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B = {x |x = 3n + 2, n ∈N}；
（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C = {(x, y) |x < 0, y > 0, x ∈R, y ∈R}.
本题考查集合的表示，属于基础题.
答案
解析
03集合和集合的关系
1
1
容易
填空题
已知集合A = {−2, 2}，B = {−2, −1, a + 3}，且A ⊆B，则实数a的值为
.
−1
由集合包含关系得到a + 3 = 2即可求解；
由题意可知a + 3 = 2，
解得：a = −1，
故答案为：−1
答案
解析
2
容易
解答题
已知集合A = {−1, 1}, B = {x ∣x ≥a}.
(1)
若A ∩B = {1}，求实数a的取值范围；
(2)
若A ∩B = A，求实数a的取值范围.
(1) (−1, 1]
(2) a ∈(−∞, −1]
(1) ∵A ∩B = {1}, ∴1 ∈B, −1 ∉B, ∴a ∈(−1, 1]
(2) ∵A ∩B = A, ∴A ⊆B, ∴1, −1 ∈B, ∴a ∈(−∞, −1]
答案
解析
3
较易
解答题
已知集合A = {x|a ≤x ≤a + 2}，集合B = {x|x < −1或x > 5}，全集U = R.
(1)
若a = 1，求A ∪B；
(2)
若A ⊆B，求实数a的取值范围.
–
2
(1) {x|x < 1或 x > 3}；
(2) a < −3或 a > 5.
(1) 由题设A = {x|1 ≤x ≤3}，则A={x ∣x < 1 或 x > 3}，
所以A ∪B ={x|x < 1或x > 3}.
(2) 由A ⊆B且a + 2 > a恒成立，即A为非空集，
所以a + 2 < −1或a > 5，即a < −3或a > 5.
答案
解析
–
–
4
较易
填空题
满足{a} ⊆M ⊂{a, b, c}的集合M的个数为
个.
3
通过列举法即可求解.
由题意可知：M可以是：
{a}，{a, b}, {a, c}，共3个，
故答案为：3.
答案
解析
04集合的基本运算
1
1
容易
填空题
集合A = {3, 1}，B = {0, b}，若A ∩B = {1}，则A ∪B =
.
{3, 1, 0}
根据集合的交集以及并集的定义即可求解.
由A ∩B = {1}知b = 1，∴A ∪B = {3, 1, 0}.
故答案为：{3, 1, 0}
答案
解析
2
容易
填空题
已知集合A = {−1, 0, 1}, B = {x|x2 −2x = 0}，则A ∪B =
．
{−1, 0, 1, 2}
先求出集合B，再应用并集定义计算即可.
A = {−1, 0, 1}, B = {0, 2}, ∴A ∪B = {−1, 0, 1, 2}．
故答案为：{−1, 0, 1, 2}.
答案
解析
3
较易
填空题
若全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {1, 2, 5}，则A ∪B=
∅
首先求并集，再求补集.
–
答案
解析
2
A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}，所以A ∪B = ∅.
故答案为：∅
–
4
较易
填空题
设全集U = {2, 3, 5, 7}，若A ∩B = {2}, 3 ∉A, 5 ∉B, 7 ∈A ∩B，则A =
.
{5, 7}
根据Venn图，即可求解.
如图，根据条件画出Venn图，可知，A = {5, 7}
故答案为：{5, 7}
–
答案
解析
5
一般
填空题
已知x ∈R，记符号[x]表示不大于x的最大整数，集合A = {x
[x]2 −2 [x] = 3}，B = [−1, 3]，则A ∩B =
.
[−1, 0) ∪{3}
解一元二次方程，结合[x]的定义写出集合A，再利用集合的交集运算求A ∩B.
由[x]2 −2 [x] = 3得([x] −3) ([x] + 1) = 0，解得[x] = 3或[x] = −1，
又因为[x]表示不大于x的最大整数，
所以由[x] = 3得3 ≤x < 4，由[x] = −1得−1 ≤x < 0，
所以A = [−1, 0) ∪[3, 4)，所以A ∩B = [−1, 0) ∪{3}.
故答案为：[−1, 0) ∪{3}
答案
解析
6
一般
单选题
已知全集U = R，集合A = {x |−2 ⩽x ⩽5}，B = {x |m + 1 ⩽x ⩽2m −1}，若A ∩B = ∅，则实数m的取值范围
为（ ）
A. [−3, 3]
–
3
B. [2, 3]
C. (−∞, 2)
D. (−∞, 3]
D
先求出集合A的补集，再对集合B分空集和非空集讨论，建立不等式关系，进而可以求解．
由已知可得¯A = {x ∣x > 5 或 x < −2}，又A ∩B = ∅，
当B = ∅时，m + 1 > 2m −1，解得m < 2，此时满足题意；
当B ≠∅时，要满足题意，只需
，解得2 ⩽m ⩽3，
综上，实数m的范围为(−∞, 3]．
故选：D
答案
解析
–
⎧
⎨
⎩
m + 1 ⩽2m −1
m + 1 ⩾−2
2m −1 ⩽5
05常用逻辑关系
1
1
容易
单选题
已知a, b ∈R，则“a > b + 1”是“a > b”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
A
易知b + 1 > b，根据定义即可判断得出结论.
易知若a > b + 1，由b + 1 > b可得a > b + 1 > b，可知充分性成立，
又a > b推不出a > b + 1，因此必要性不成立，
所以“a > b + 1”是“a > b”的充分非必要条件.
故选：A
答案
解析
2
容易
填空题
若“1 ≤x < 4”是“x < m”的充分非必要条件，则实数m的取值范围是
.
[4, +∞)
根据题意得到1 ≤x < 4与x < m的包含关系，从而得到答案.
根据题意可知1 ≤x < 4 ⇒x < m，但x < m ⇏1 < x < 4，故1 ≤x < 4是x < m的真子集，
故m ≥4,
故答案为：[4, +∞)
答案
解析
3
较易
填空题
“x = 1”是“x2 = 1”的
条件．
2
充分不必要条件
利用充分条件、必要条件的概念判断即可
因为x2 = 1，解得x = 1或x = −1，
所以“x = 1”是“x2 = 1”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
答案
解析
4
较易
填空题
已知α ：m + 1 ≤x ≤2m + 4，β：1 ≤x ≤3，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是
.
{m
−1
2 ≤m ≤0}
根据题意得到A = {x|1 ≤x ≤3}是B = {x|m + 1 ≤x ≤2m + 4}的子集，从而得到不等式，求出答案.
因为α是β的必要条件，所以A = {x|1 ≤x ≤3}是B = {x|m + 1 ≤x ≤2m + 4}的子集，
故{
，解得−1
2 ≤m ≤0，
故答案为：{m
−1
2 ≤m ≤0}
答案
解析
m + 1 ≤1
2m + 4 ≥3
5
一般
单选题
对任意实数a, b, c，给出下列命题：①“a = b”是“ac = bc”的充要条件；②“a + 5是无理数”是“a是无理数”的充要条
件；③“a > b”是“a2 > b2”的充分条件；④“a < 4”是“a < 3”的必要条件；其中真命题的个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
B
答案
解析
3
利用等式与不等式的性质逐一验证命题的真假即可①“a = b”⇒“ac = bc”,但当c = 0时,“ac = bc”无法推出“a = b
”,则“a = b”是“ac = bc”的充分不必要条件,故①是假命题；
②“a + 5是无理数”⇒“a是无理数”,且“a是无理数”⇒“a + 5是无理数”,则“a + 5是无理数”是“a是无理数”的充要条
件,故②是真命题；
③当a = 1 > −2 = b时,a2 = 1 < 4 = b2,即“a > b”无法推出“a2 > b2”,且当a2 = 4 > b2 = 1时,a = −2 < b = 1,即“
a2 > b2”无法推出“a > b”,则“a > b”是“a2 > b2”的既不充分也不必要条件,故③是假命题；
④因为{a|a < 3}{a|a < 4},所以“a < 4”是“a < 3”的必要条件,故④是真命题；
综上,真命题有2个,
故选:B
本题考查命题的真假的判断,考查两命题的充分性和必要性的判断,考查等式与不等式的性质的应用
07不等式的性质
1
1
较易
单选题
若实数a，b，c满足a > b > 0，c < 0，则（ ）
A. ac > bc
B. a
c > b
a
C. a + c < b + c
D.
c
a > c
b
D
利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案.
依题意，a > b > 0，c < 0，所以ac < bc，A选项错误；
a = 2, b = 1, c = −1，则a
c = −2 < b
a = 1
2 ，B选项错误.
根据不等式的性质可知a + c > b + c，C选项错误.
c
a −c
b = b −a
ab
⋅c，其中b −a < 0, ab > 0, c < 0，
所以c
a −c
b = b −a
ab
⋅c > 0 ⇒c
a > c
b ，D选项正确.
故选：D
答案
解析
2
容易
单选题
若a < b < 0下列不等式中：①a
b < 1；②|a| > |b|；③1
b2 < 1
a2 ； ④1
a < 1
b ，成立的有（ ）个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A
答案
解析
2
根据不等式的性质一一判断即可.
因为a < b < 0，所以a
b > 1，故①错误；
|a| > |b| > 0，故②正确；
|a|2 > |b|2 > 0，即a2 > b2 > 0，所以1
b2 > 1
a2 ，故③错误；
因为a < b < 0，所以1
a > 1
b ，故④错误；
故选：A
3
容易
填空题
下列命题中，正确的是
①若a > b，c > d，则ac2 > bd2；②若a < b，则3√a <
3√b；③若a < b < 0，则1
a > 1
b ；④若a > b > 0，c > d > 0，
则a
c > b
d ；⑤若a < b < 0，c < d < 0，则ac < bd.
②③
【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】对①，举反例，取a = 2, b = 1, c = −1, d = −2不成立，故①错误；
对②，开三次方根不改变大小关系，故②正确；
对③，是不等式的性质，正确；
对④，取a = 4, b = 3, c = 4, d = 3不成立，故④错误；
对⑤，明显错误，负数越小绝对值越大，应该是ac > bd，故⑤错误；
故答案为：②③
答案
解析
4
较易
单选题
对任意实数a, b, c给出下列命题：
①“a > b”是“ac2 > bc2”的充要条件；
②若a < b, c < 0，则c
a < c
b ；
③“a > b”是“a2 > b2”的充分条件；
④若a > b，则3√a >
3√b；
⑤ 若a > 1, s > 0，则as > 1.
其中真命题的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
3
D. 4
B
根据不等式的基本性质，结合指数函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
对①：当c = 0时，由a > b，显然无法得到ac2 > bc2，充分性不成立，故①是假命题；
对②：取a = −1, b = 1, c = −1，满足a < b, c < 0，但此时c
a = 1, c
b = −1，不满足c
a < c
b ，故②是假命题；
对③：取a = 1, b = −2，满足a > b，但不满足a2 > b2，充分性不成立，
取a = −2, b = 1，满足a2 > b2，但不满足a > b，必要性不成立，故③是假命题；
对④：y = x
1
3 是R上的单调增函数，故当a > b时，3√a >
3√b，故④是真命题；
对⑤：y = ax, (a > 1)是R上的单调增函数，故当s > 0时，as > a0 = 1，故⑤是真命题.
综上所述，有2个真命题.
故选：B.
答案
解析
5
较易
填空题
已知−2 ≤a ≤3, 2 ≤b ≤7
2 ，则a −2b的取值范围为
.
[−9, −1]
根据不等式的性质得解.
因为−2 ≤a ≤3, 2 ≤b ≤7
2 ，
所以−7 ≤−2b ≤−4，
所以−9 ≤a −2b ≤−1，
故答案为：[−9, −1]
答案
解析
08不等式的解法（一）
1
1
容易
单选题
x ∈R ，则 “ x ≥2 ” 是 “ x2 −x > 0 ” 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
由一元二次不等式求解x2 −x > 0，结合集合的包含关系判断即可.
因为x2 −x > 0，解得x < 0或x > 1，记为M = {x|x < 0或x > 1}，
令N = {x|x ≥2}，
则N是M的真子集，
所以“x ≥2”是“x2 −x > 0”的充分不必要条件.
故选：A.
答案
解析
2
容易
单选题
已知a < 0，则关于x的不等式x2 −4ax −5a2 < 0的解集是（ ）
A. {x|x > 5a或x < −a}
B. {x|x < 5a或x > −a}
C. {x ∣−a < x < 5a}
D. {x ∣5a < x < −a}
D
直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可.
解：因为方程x2 −4ax −5a2 = 0的解为x = −a或5a，且a < 0，
答案
解析
2
所以不等式x2 −4ax −5a2 < 0的解集是{x ∣5a < x < −a}.
故选：D.
3
较易
解答题
已知全集U = {x |x ≥−3}，集合A = {x |−1 < x ≤1}，B = {x |x (x −3) ≤0}.
(1)
求A ∩B（区间表示）；
(2)
求A ∪B（区间表示）.
(1) [0, 1]
(2) [−3, −1] ∪(3, +∞)
(1) ∵A = {x |−1 < x ≤1}，B = {x |x (x −3) ≤0} = {x |0 ≤x ≤3}，
∴A ∩B = {x |0 ≤x ≤1} = [0, 1].
(2) ∵A ∪B = {x |−1 < x ≤3}，U = {x |x ≥−3}，
∴A ∪B = [−3, −1] ∪(3, +∞).
–
答案
解析
–
4
一般
单选题
设集合A = {x|x2 + 2x −3 > 0}，集合B = {x|x2 −2ax −1 ≤0, a > 0}，若A ∩B中恰有一个整数，则实数a的取值
范围（ ）
A. (0, 3
4 )
B. [ 3
4 , 4
3 )
C. [ 3
4 , 2)
D. (1, +∞)
B
先求出集合A, B， 再根据A ∩B中恰有一个整数，列出不等式求解.
由已知可得集合A = {x|x < −3或x > 1},
由x2 −2ax −1 ≤0解得，a −√a2 + 1 ≤x ≤a + √a2 + 1，
所以B = {x|a −√a2 + 1 ≤x ≤a + √a2 + 1}，
答案
解析
3
因为a > 0，所以a + 1 > √a2 + 1，则a −√a2 + 1 > −1，且小于0，
由A ∩B中恰有一个整数，所以2 ≤a + √a2 + 1 < 3，
即{
，也即{
，解得3
4 ≤a < 4
3 ，
故选：B．
a + √a2 + 1 ≥2
a + √a2 + 1 < 3
√a2 + 1 ≥2 −a
√a2 + 1 < 3 −a
5
一般
填空题
若关于x的不等式ax2 + bx + c > 0的解集为(−2, 1)，则不等式ax2 + (a + b)x + c −a < 0的解集为
.
(−∞, −3) ∪(1, +∞)
根据不等式ax2 + bx + c > 0的解集得出a与b、c的关系，再代入不等式ax2 + (a + b)x + c −a < 0中化简求解
集即可．
不等式ax2 + bx + c > 0的解集为(−2, 1)，
所以−2和1是ax2 + bx + c = 0的实数根，且a < 0，
所以
，可得b = a, c = −2a，
所以不等式ax2 + (a + b)x + c −a < 0可化为ax2 + 2ax −3a < 0，即x2 + 2x −3 > 0，
整理可得(x + 3) (x −1) > 0，解得x < −3或x > 1，
所以不等式的解集为(−∞, −3) ∪(1, +∞)．
故答案为：(−∞, −3) ∪(1, +∞)．
答案
解析
⎧
⎨
⎩
−2 + 1 = −b
a
−2 × 1 = c
a
09不等式的解法（二）
1
1
较易
填空题
不等式 2x −1
x + 1 > 0 的解集为
{x
x < −1或x > 1
2 }
不等式 2x −1
x + 1 > 0 等价于 (x + 1)(2x −1) > 0 ，解得 x < −1 或 x > 1
2 ，故原不等式的解集为
{x
x < −1或x > 1
2 } ．
故答案为：{x
x < −1或x > 1
2 } ．
答案
解析
2
较易
填空题
不等式|2x −1| ≤3的解是 .
[−1, 2]
【分析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.
【详解】由|2x −1| ≤3得(2x −1)2 ≤9，即x2 −x −2 ≤0，
解得−1 ≤x ≤2，
故答案为: [−1, 2].
答案
解析
3
一般
填空题
已知关于x的不等式ax2 + bx + c < 0的解集是(−∞, 1
2 ) ∪(2, +∞)，则不等式ax + b
ax −c < 0的解集为
．
答案
2
{x
1 < x < 5
2 }
根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到b = −5
2 a，c = a，进而将问题转化成求解不等式
x −5
2
x −1 < 0，
即可求解.
因为关于x的不等式ax2 + bx + c < 0的解集是(−∞, 1
2 ) ∪(2, +∞)，
则方程ax2 + bx + c = 0的两解为1
2 , 2，且a < 0，
则
，得到b = −5
2 a，c = a，所以ax + b
ax −c =
ax −5
2 a
ax −a
=
x −5
2
x −1 ，
又
x −5
2
x −1 < 0，等价于(x −5
2 ) (x −1) < 0，解得1 < x < 5
2 ，
所以不等式ax + b
ax −c < 0的解集为{x
1 < x < 5
2 }，
故答案为：{x
1 < x < 5
2 }.
解析
⎧
⎨
⎩
1
2 + 2 = −b
a
1
2 × 2 = c
a
4
较易
解答题
已知集合A = {x
2x −1
x −1 < 0}，B = {x| (x −a) (x −a + 1) < 0}．
(1)
若a = 1，求A ∪B；
(2)
若x ∈A是x ∈B的充分条件，求a的取值范围．
(1) A ∪B = (0, 1)
(2) [1, 3
2 ]
(1) 因为2x −1
x −1 < 0，则(2x −1) (x −1) < 0，
解得1
2 < x < 1，所以A = ( 1
2 , 1)，
因为(x −a) (x −a + 1) < 0，解得a −1 < x < a，所以B = (a −1, a)，
当a = 1时，B = (0, 1)，
所以A ∪B = (0, 1).
(2) 因为x ∈A是x ∈B的充分条件，所以A ⊆B，
所以
，即1 ≤a ≤3
2 ，
答案
解析
⎧
⎨
⎩
a −1 ≤1
2
a ≥1
3
所以a的取值范围为[1, 3
2 ].
5
一般
解答题
已知集合 A = {x
x + 2
x −2 > 0} ，集合 B = {x||x −2 ∣< 1} ，求 A ∩B、A ∪B .
(2, 3)， (−∞, −2) ∪(1, +∞)
解分式不等式及含绝对值不等式，再由集合的交集、并集得解.
因为x + 2
x −2 > 0 ⇒(x −2) (x + 2) > 0，
所以x > 2或x < −2，即A = (−∞, −2) ∪(2, +∞)，
因为|x −2| < 1 ⇒−1 < x −2 < 1 ⇒1 < x < 3，
所以B = (1, 3)，
所以A ∩B = (2, 3)，A ∪B = (−∞, −2) ∪(1, +∞).
答案
解析
10基本不等式
1
1
容易
填空题
若x > 0，则3x + 4
x 的最小值为 ；
4√3
由基本不等式求出最小值.
因为x > 0，故3x > 0, 4
x > 0，
所以3x + 4
x ≥2√3x ⋅4
x = 4√3，当且仅当3x = 4
x ，即x = 2√3
3
时，等号成立，
故3x + 4
x 的最小值为4√3.
故答案为：4√3
答案
解析
2
容易
填空题
已知x > 2，那么函数y =
4
x −2 + x的最小值是
.
6
由基本不等式即可求.
由于x > 2，所以x −2 > 0，故y =
4
x −2 + x −2 + 2 ≥2√(
4
x −2 ) (x −2) + 2 = 6，
当且仅当
4
x −2 = x −2，即x = 4时等号成立，
故答案为：6
答案
解析
3
较易
单选题
已知函数f (x) = 2x + 1
x + 2, x ∈(0, 4)，则f (x)最小值为（ ）
A. 2
2
B. 5
C. 2√2
D. 2√2 + 2
D
利用基本不等式，求得2x + 1
x ≥2√2，进而求得函数f (x)的最小值，得到答案.
因为x ∈(0, 4)，可得2x + 1
x ≥2√2x ⋅1
x = 2√2，
当且仅当2x = 1
x 时，即x = √2
2 时，等号成立，
所以f (x) = 2x + 1
x + 2 ≥2√2 + 2，即f (x)的最小值为2√2 + 2.
故选：D.
答案
解析
4
较易
填空题
如果 x > 0, y > 0, x + y = 8 ，则 xy 的最大值是 .
暂无
暂无
答案
解析
5
较易
填空题
已知x > 0, y > 0，且xy = 4，则x + 2y的最小值为
．
4√2
根据基本不等式可求和的最小值.
因为x > 0, y > 0，所以由基本不等式可得：
x + 2y ≥2√2xy = 2√2 × 4 = 4√2，
当且仅当x = 2√2, y = √2时，等号成立，所以x + 2y的最小值为4√2.
答案
解析
3
故答案为：4√2.
6
较易
单选题
若a, b满足ab > 0，则下列不等式正确的是（ ）
A. a + b ≥2√ab
B.
1
a + 1
b ≥
2
√ab
C. a
b + b
a ≥2
D. a + b
2
≥
2ab
a + b
C
AB通过分析a，b符号，可判断选项正误；
C由基本不等式可判断选项正误；
D由作差法结合AB分析可判断选项正误.
对于AB，因ab > 0，则a，b同号，当a，b都为负数时，
显然a + b < 0 < 2√ab，1
a + 1
b < 0 <
2
√ab
，故AB错误；
对于C，由基本不等式，因ab > 0，则b
a ，a
b > 0，a
b + b
a ≥2√a
b ⋅b
a = 2，
当且仅当a = b时取等号，故C正确；
对于D，a + b
2
−
2ab
a + b = (a + b)2 −4ab
2 (a + b)
= (a −b)2
2 (a + b) ，则当a，b都为负数时，
a + b
2
≤
2ab
a + b ，故D错误.
故选：C
答案
解析
11基本不等式（二）
1
1
一般
解答题
2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽
车需另投入成本C (x)万元，且C (x) =
，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万
元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）
(1)
求2023年的利润L (x)（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式.
(2)
当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
(1)
L (x) =
；
(2) 年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
(1) （1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；
（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.
解：（1）当0 < x < 40时，
L (x) = 500x −10x2 −100x −2500 = −10x2 + 400x −2500；
当x ≥40时，L (x) = 500x −501x −10000
x
+ 4500 −2500 = 2000 −(x + 10000
x
)，
所以L (x) =
；
（2）当0 < x < 40时，L (x) = −10(x −20)2 + 1500，
所以L(x)max = L (20) = 1500；
当x ≥40时，L (x) = 2000 −(x + 10000
x
) ≤2000 −2√x ⋅10000
x
= 2000 −200 = 1800，
当且仅当x = 10000
x
，即x = 100时等号成立.
故L(x)max = L (100) = 1800 > 1500，
所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
(2) 同(1)题详解
⎧
⎨
⎩
10x2 + 100x, 0 < x < 40
501x + 10000
x
−4500, x ≥40
答案
⎧
⎨
⎩
−10x2 + 400x −2500, 0 < x < 40
2000 −(x + 10000
x
), x ≥40
解析
⎧
⎨
⎩
−10x2 + 400x −2500, 0 < x < 40
2000 −(x + 10000
x
), x ≥40
2
较易
填空题
2
若正实数a, b满足1
a + 2
b = 1，则a + b的最小值为
.
3 + 2√2
利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
由题意可得a, b > 0，a + b = (a + b) ( 1
a + 2
b ) = 1 + 2a
b + b
a + 2 ≥3 + 2√2，
当且仅当2a
b = b
a 时，取到最小值，
所以a + b的最小值为3 + 2√2，
故答案为：3 + 2√2
答案
解析
3
较易
填空题
设x > −1, y > 0且x + 3y = 1，则
1
x + 1 + 1
y 的最小值为
.
2 + √3
变形得到x + 1
2
+ 3y
2 = 1，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
x + 3y = 1 ⇒x + 1 + 3y = 2 ⇒x + 1
2
+ 3y
2 = 1，
又x > −1, y > 0，
由基本不等式得
1
x + 1 + 1
y = (
1
x + 1 + 1
y ) ( x + 1
2
+ 3y
2 ) = 1
2 +
3y
2 (x + 1) + x + 1
2y
+ 3
2
≥2 + 2√
3y
2 (x + 1) ⋅x + 1
2y
= 2 + √3，
当且仅当
3y
2 (x + 1) = x + 1
2y
，即x = √3 −2, y = 1 −√3
3 时，等号成立，
故
1
x + 1 + 1
y 的最小值为2 + √3.
故答案为：2 + √3
答案
解析
4
一般
填空题
若a > −1，b > 0，且a + 1
b = 3，则式子
1
a + 1 + 2025b的最小值是
3
529
应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
由题设a + 1 > 0, b > 0，且a + 1 + 1
b = 4，
所以
1
a + 1 + 2025b = 1
4 (
1
a + 1 + 2025b) [(a + 1) + 1
b ] = 1
4 [2026 +
1
b(a + 1) + 2025b (a + 1)]
≥1
4 [2026 + 2√
1
b(a + 1) ⋅2025b (a + 1)] = 1
4 (2026 + 90) = 529，
当且仅当b (a + 1) = 1
45 ，即a = −21
23 , b = 23
90 时取等号.
故答案为：529
答案
解析
阶段测
1
1
较易
填空题
若关于x, y的二元一次方程组{
有无穷多组解，则m的取值为
．
2
关于x, y的二元一次方程组{
有无穷多组解，所以直线mx + 4y = m + 2与直线x + my = m重
合，所以m
1 = 4
m = m + 2
m
，解得m = 2 ，即m的取值为2，故答案为2.
mx + 4y = m + 2
x + my = m
答案
解析
mx + 4y = m + 2
x + my = m
2
较易
填空题
含有三个实数的集合可表示为{a, b
a , 1}，也可以示为{a2, a + b, 0}，则a2013 + a2014的值为
.
0
结合已知条件，利用集合元素的互异性，即可求得本题答案.
因为{a, b
a , 1} = {a2, a + b, 0}，且a ≠0，所以b = 0，
则有{a, 0, 1} = {a2, a, 0}，
所以a2 = 1，且a ≠1，得a = −1，
所以，a2013 + a2014 = (−1)2013 + (−1)2014 = −1 + 1 = 0
故答案为：0
答案
解析
3
容易
单选题
由实数x, −x, |x|, √x2, −
5√x5所组成的集合最多含（ ）
A. 3个元素
B. 2个元素
C. 4个元素
2
D. 5个元素
B
通过分类讨论，对算式进行化简，判断集合中元素的个数.
当x = 0时，x = −x = |x| = √x2 = −
5√x5 = 0，集合中只有1个元素0；
当x > 0时，|x| = x, √x2 = x, −
5√x5 = −x，集合中只有2个元素x和−x；
当x < 0时，|x| = −x, √x2 = −x, −
5√x5 = −x，集合中只有2个元素x和−x.
所以实数x, −x, |x|, √x2, −
5√x5所组成的集合最多有2个元素．
故选：B
答案
解析
4
较易
双空题
函数f (x) = x + 1, x ∈{−1, 1, 2}的值域是
；
函数f(x)= −x2 + 4x −2，x ∈[0, 3)的值域是
.
{0, 2, 3} ; [−2, 2] | {f(x)| −2 ≤f(x) ≤2}
将x = −1、1、2代入f (x) = x + 1可得其值域；利用配方法可得y = −(x −2)2 + 2，结合二次函数的单调性和
x ∈[0, 3)即可得出值域.
f (x) = x + 1，x ∈{−1, 1, 2}，
当x = −1时，f (−1) = −1 + 1=0；
当x = 1时，f (1) = 1 + 1 = 2；
当x = 2时，f (2) = 2 + 1 = 3，
∴值域为{0, 2, 3}.
y = −x2 + 4x −2 = −(x −2)2 + 2，
由二次函数的性质知，该函数在(−∞，2)上单调递增，在(2，+ ∞)上单调递减，
∵x ∈[0, 3)，∴当x = 0时，y = −2，当x = 3时，y = 1，
故y = −(x −2)2 + 2 ∈[−2, 2]，
故答案为：{0, 2, 3}；[−2, 2]
答案
解析
5
较易
填空题
若不等式(a −2)x2 + (a −2)x −1 < 0对任意x ∈R恒成立，则实数a的取值范围是
.
3
(−2, 2]
先对二次项的系数a −2分类讨论，利用二次函数的性质，即可求出结果．①当a = 2时，不等式化为−1 < 0对
一切x∈R恒成立，因此a = 2满足题意；
②当a ≠2时，要使不等式(a −2)x2 + (a −2)x −1 < 0对一切x ∈R恒成立，
则必有 {
解得$-2<2$ ．
综上①②可知：实数a取值的集合是(−2, 2]．
故答案为：(−2, 2]．
熟练掌握二次函数的性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．
答案
解析
a −2 < 0
(a −2)2
+ 4
(a −2)
< 0
6
容易
解答题
已知集合A = {2, a2 + 1, a2 −a}，B = {0,7，a2 −a −5，2 −a}，且5 ∈A，求集合B．
B = {0,1，4， 7}
由5 ∈A，得到a2 + 1 = 5或a2 −a = 5(舍)，从而得a = ±2，分别代入集合A和B，利用集合中元素的互异性能
求出集合B．∵集合A = {2, a2 + 1, a2 −a}，
B = {0,7，a2 −a −5，2 −a}，且5 ∈A，
∴a2 + 1 = 5或a2 −a = 5(舍)，
解得a = ±2，
当a = 2时，A = {2,5，2}，不成立；
当a = −2时，A = {2,5，6}，B = {0,7，1，4}，成立．
∴集合B = {0,1，4，7}．
本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础
题．
答案
解析
7
一般
解答题
已知全集为R，集合A = {x|x2 −5x + 6 = 0}，B = {x|x2 −(m + 3)x + m2 = 0}，A ∪B = R，求实数m的取值范
围．
–
4
(−∞, −1) ∪[3, +∞)
解出集合A，根据A ∪B = R可知B ⊆A，分类讨论B的情况，结合判别式以及根与系数的关系即可求得答案.
由题意得A = {x|x2 −5x + 6 = 0} = {2, 3}，
由A ∪B = R，则B ⊆A，即B = ∅, {2}, {3}, {2, 3},
当B = ∅时，Δ = (m + 3)2 −4m2 < 0，解得m > 3或m < −1，满足题意；
当B = {2}时，Δ = (m + 3)2 −4m2 = 0且2 + 2 = m + 3，
解得m = 3或m = −1，且m = 1，此时m不存在；
当B = {3}时，Δ = (m + 3)2 −4m2 = 0且3 + 3 = m + 3，
解得m = 3或m = −1，且m = 3，此时m = 3；
当B = {2, 3}时，{
，此时m不存在，
故实数m的取值范围为(−∞, −1) ∪[3, +∞).
答案
解析
–
–
2 + 3 = m + 3
2 × 3 = m2
8
较易
解答题
已知关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠0) 有两个实数根，通过对该方程配方发现：
x1 + x2 = −b
a , x1 ⋅x2 = c
a ，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定
理．根据以上结论，回答下列问题：
已知x1, x2为一元二次方程2x2 −3x −1 = 0的两实数根，求下列各式的值：
(1)
1
x1 + 1
x2 ；
(2)
(x2
1 −x2
2)
2；
(3)
2x2
1 + 3x2
(1) −3
(2) 153
16
(3) 11
2
(1)
因为x1, x2为一元二次方程2x2 −3x −1 = 0的两实数根，则
，
答案
解析
⎧
⎨
⎩
x1 + x2 = 3
2
x1x2 = −1
2
5
所以1
x1
+ 1
x2
= x1 + x2
x1x2
=
3
2
−1
2
= −3.
(2) 由（1）可得：
(x2
1 −x2
2)
2 = (x1 + x2)2(x1 −x2)2 = (x1 + x2)2 [(x1 + x2)2 −4x1x2] = ( 3
2 )
2
[( 3
2 )
2
−4 (−1
2 )] =
153
16
.
(3) 因为x1为一元二次方程2x2 −3x −1 = 0的实数根，
则2x2
1 −3x1 −1 = 0，即2x2
1 = 3x1 + 1，
所以2x2
1 + 3x2 = 3x1 + 1 + 3x2 = 3 (x1 + x2) + 1 = 3 × 3
2 + 1 = 11
2 .
9
较易
解答题
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
{m|m≤3}．
由B＝∅和B≠∅分类讨论得不等式（或不等式组）解之可得．
解：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B⊆A；
②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B⊆A，得
，解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
答案
解析
⎧
⎨
⎩
m ≥2
m + 1 ≥−2
2m −1 ≤5
10
一般
解答题
证明：√2是无理数．（我们知道任意一个有理数都可以写成形如m
n （m，n互质，m ∈z, n ∈z）的形式）
详见解析
答案
解析
6
利用反证法，即可推得矛盾.
假设√2有理数，则√2 = m
n ，则m2 = 2n2，
m为整数，m2的尾数只能是0,1,4,5,6,9，n2的尾数只能是0,1,4,5,6,9，
则2m2的尾数是0,2,8，由n2 = 2m2得，尾数为0，则n2的尾数是0，而m2的尾数为0或5，
这与m
n 为最简分数，m, n的最大公约数是1，相矛盾，
所以假设不正确，√2是无理数.
结课测
1
1
容易
填空题
已知集合A = {x
(m −1)x2 + 3x −2 = 0}有且仅有两个子集，则实数m =
.
−1
8 或1
根据集合的子集个数得到集合A为单元素集.然后在二次项系数为0时直接检验；在二次项系数不为零时，利用
判别式等于零求得m的值.
解：集合A = {x
(m −1)x2 + 3x −2 = 0}有且仅有两个子集，则集合A为单元素集.
当m = 1时，A = { 2
3 }，符合题意；
当m ≠1时，Δ = 9 + 8 (m −1) = 0，解得m = −1
8 ，符合题意；
故答案为：−1
8 或1.
答案
解析
2
较易
填空题
已知集合A = {x ∣x2 + x −6 = 0}, B = {x ∣mx + 1 = 0}，若A ∩B = B，则实数m组成的集合为
．
{0, −1
2 , 1
3 }
解方程求得集合A；分别在m = 0和m ≠0两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果.
解：因为A = {x ∣x2 + x −6 = 0} = {x| (x −2) (x + 3) = 0} = {2, −3}，
当m = 0时，B = ∅，满足A ∩B = B，
当m ≠0时，B = {x ∣mx + 1 = 0} = {−1
m }，
∵A ∩B = B，∴−1
m = 2或−1
m = −3，解得：m = −1
2 或1
3 ，
∴实数m组成的集合为{0, −1
2 , 1
3 }，
答案
解析
2
故答案为：{0, −1
2 , 1
3 }
3
较易
填空题
若|x −2| + |x + 4| ≥6对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为
．
[−4, 2]
根据绝对值三角不等式关系即可求解.
因为|x −2| + |x + 4| ≥|x −2 −x −4| = 6，当且仅当(x −2) (−x −4) ≥0时，即−4 ≤x ≤2时等号成立．
故答案为：[−4, 2]
答案
解析
4
容易
填空题
已知等式2x2 −3x −1 = a(x −1)2 + b (x −1) + c恒成立，则a + b + c =
.
1
根据系数相等求出a、b和c即可求解.
因为2x2 −3x −1 = a(x −1)2 + b (x −1) + c恒成立，
所以2x2 −3x −1 = ax2 + (b −2a)x + a −b + c恒成立，
所以
，解得a = 2，b = 1，c = −2，
所以a + b + c = 1.
故答案为：1.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
a = 2
b −2a = −3
a −b + c = −1
5
较易
填空题
若不等式−x2 + mx −2 ≥0对x ∈[1, 3]恒成立，则实数m的取值范围是
.
[ 11
3 , +∞)
答案
3
将不等式转化为m ≥x + 2
x 恒成立，通过对勾函数求得m的取值范围.
由题意：不等式−x2 + mx −2 ≥0对x ∈[1, 3]恒成立，
又因为x ∈[1, 3]，所以m ≥x + 2
x 恒成立，
设g (x) = x + 2
x ，x ∈[1, 3]，则g (x) = x + 2
x 是对勾函数，
且在x = 3时取得最大值为g(x)max = g (3) = 3 + 2
3 = 11
3 ，
所以m的取值范围是[ 11
3 , +∞).
故答案为：[ 11
3 , +∞).
解析
6
容易
填空题
不等式
x
x + 1
>
x
x + 1 的解集为
.
(−1, 0)
不等式等价于
x
x + 1 < 0，求解即可.
不等式
x
x + 1
>
x
x + 1 ⇔
x
x + 1 < 0 ⇔x (x + 1) < 0 ⇔−1 < x < 0，
所以不等式的解集为(−1, 0).
故答案为：(−1, 0).
答案
解析
7
容易
填空题
设x ∈R，方程|1 −x |+|2x −1 |=|3x −2|的解集为
.
(−∞, 1
2 ] ∪[1, +∞)
利用零点分段法去绝对值，由此求得方程的解集.
依题意|1 −x |+|2x −1 |=|3x −2|，
当x ≤1
2 时，方程化为1 −x −(2x −1) = −(3x −2), 2 −3x = −3x + 2，恒成立.
当 1
2 < x ≤2
3 时，方程化为 1 −x + 2x −1 = −(3x −2), 4x = 2, x = 1
2 ，不符合．当 2
3 < x ≤1 时，方程
答案
解析
4
化为 1 −x + 2x −1 = 3x −2, 2x = 2, x = 1 ．
当x > 1时，方程化为−(1 −x) + 2x −1 = 3x −2, 3x −2 = 3x −2，恒成立.
方程|1 −x |+|2x −1 |=|3x −2|的解集为(−∞, 1
2 ] ∪[1, +∞).
故答案为：(−∞, 1
2 ] ∪[1, +∞)
8
较易
单选题
若“不积跬步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（ ）
A. 积跬步一定可以至千里
B. 不积跬步也可能至千里
C. 要想至千里一定要积跬步
D. 不想至千里就不用积跬步
C
根据命题与逆否命题的真假关系,即可判断.
命题“不积跬步,无以至千里”
则其逆否命题为“至千里,积跬步”
可知C为正确选项.
故选:C
本题考查了命题与逆否命题的真假关系应用,对抽象问题的分析与理解能力,属于基础题.
答案
解析
9
较易
单选题
下列命题正确的有
①很小的实数可以构成集合；
②集合{y|y = x2 −1}与集合{(x, y)|y = x2 −1}是同一个集合；
③1, 3
2 , 6
4 ,
−1
2
, 0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{(x, y)|xy ≤0, x, y ∈R}是指第二和第四象限内的点集．
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
A
答案
5
试题分析：由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③
中
，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二，四象限的点，还可表示
原点，故错误，综合没有一个正确，故选A．
考点：集合的性质.
解析
10
较易
单选题
若实数a，b，c满足a > b > 0，c < 0，则（ ）
A. ac > bc
B. a
c > b
a
C. a + c < b + c
D.
c
a > c
b
D
利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案.
依题意，a > b > 0，c < 0，所以ac < bc，A选项错误；
a = 2, b = 1, c = −1，则a
c = −2 < b
a = 1
2 ，B选项错误.
根据不等式的性质可知a + c > b + c，C选项错误.
c
a −c
b = b −a
ab
⋅c，其中b −a < 0, ab > 0, c < 0，
所以c
a −c
b = b −a
ab
⋅c > 0 ⇒c
a > c
b ，D选项正确.
故选：D
答案
解析
11
较易
单选题
当0 < a < 1时，关于x的不等式(x −3) [(1 −a)x + (a −3)] < 0的解集为（ ）
A. (−∞, a −3
a −1 ) ∪(3, +∞)
B. (−∞, 3) ∪( a −3
a −1 , +∞)
C. (3, a −3
a −1 )
D. ( a −3
a −1 , 3)
6
C
将原不等式转换为(x −3) [x −a −3
a −1 ] < 0，在0 < a < 1的前提下，比较3, a −3
a −1 的大小即可得解.
0 < a < 1时，1 −a > 0，不等式(x −3) [(1 −a)x + (a −3)] < 0可化为(x −3) [x −a −3
a −1 ] < 0，
因为a −3
a −1 −3 = a −3 −3a + 3
a −1
= −2a
a −1 ，且0 < a < 1，
所以−2a
a −1 > 0，a −3
a −1 > 3，
解原不等式，得3 < x < a −3
a −1 ，
所以原不等式的解集为{x|3 < x < a −3
a −1 }.
故选：C.
答案
解析
12
较易
单选题
若正实数x，y. 且x + 2y = 1则2
y + 3
x 的最小值为（ ）
A. 2
B. 3 + 2√2
C. 5 + 2√6
D. 7 + 4√3
D
用“1”的代换后凑出定值，然后由基本不等式得最小值．
由题意2
y + 3
x = ( 2
y + 3
x ) (x + 2y) = 7 + 2x
y + 6y
x ≥7 + 2√2x
y ⋅6y
x = 7 + 4√3，
当且仅当2x
y = 6y
x ，即x = 2√3 −3, y = 2 −√3时等号成立，
故选：D．
答案
解析
13
较易
解答题
已知不等式ax2 −3x + 2 > 0的解集为或{x|x < 1或x > b}．
(1)
求实数a，b的值；
7
(2)
解不等式3 + ax
bx + 1 > 2．
(1) a = 1, b = 2
(2) {x| −1
2 < x < 1
3 }
(1) 由题意得1, b为方程ax2 −3x + 2 = 0的两根，且a > 0，
故1 + b = 3
a , b = 2
a ，解得a = 1, b = 2；
(2) 由（1）得a = 1, b = 2，
3 + x
2x + 1 > 2 ⇒3 + x
2x + 1 −2 > 0 ⇒1 −3x
2x + 1 > 0，
等价于(1 −3x) (2x + 1) > 0，解得−1
2 < x < 1
3 ，
不等式解集为{x| −1
2 < x < 1
3 }
答案
解析
14
较易
解答题
已知集合A = [−2, 10], B = {x ∣|x −m| ≤2}.
(1)
若A ∩B = ∅，求实数m的取值范围；
(2)
若“x ∈A”是“x ∈B”的必要非充分条件，求实数m的取值范围.
(1) (−∞, −4) ∪(12, +∞)
(2) [0, 8]
(1) 解不等式可得B = [−2 + m, 2 + m]，显然B ≠∅
若A ∩B = ∅，可得2 + m < −2或−2 + m > 10，
解得m < −4或m > 12，
即实数m的取值范围为(−∞, −4) ∪(12, +∞)；
(2) 若“x ∈A”是“x ∈B”的必要非充分条件，可得集合B是集合A的真子集；
可得{
，解得0 ≤m ≤8，
因为不等式0 ≤m ≤8两端等号不会同时成立，
所以实数m的取值范围为[0, 8].
答案
解析
−2 + m ≥−2
2 + m ≤10
8
15
一般
解答题
现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用m（万元）和与仓库A、厂房B的距离x（千米）的关系为：
m =
k
3x + 2 （0 < x ≤8），若距离为1千米时，仓库A建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修建
一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为3万元，设f (x)为建造仓库A与修路费用之和．
(1)
求f (x)的表达式；
(2)
当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用f (x)最小？并求出最小值．
(1) f (x) = 5 + 3x +
400
3x + 2 (0 < x ≤8)；
(2) 当仓库A与厂房B距离6千米时，可使得总费用 f (x)最小，最小值为43万元.
(1) 由已知得当x = 1时，m = 80，代入可得80 =
k
3 + 2 ，解得k = 400，
所以m =
400
3x + 2 ，
所以总费用f (x) = 5 + 3x +
400
3x + 2 (0 < x ≤8)；
(2) 由（1）得f (x) = 5 + 3x +
400
3x + 2 (0 < x ≤8)，
所以f (x) = 5 + 3x +
400
3x + 2 = 2 + 3x +
400
3x + 2 + 3 ≥2√(2 + 3x) ×
400
3x + 2 + 3 = 43（万元），
当且仅当
400
3x + 2 = 3x + 2，即x = 6时，等号成立，
所以当隔离病房与药物仓库距离为6千米时，可使得总费用最小为43万元.
答案
解析
