01 一元二次函数的图象与性质
1
巩固练习
考点1：二次函数一般式中各参数的几何意义
A组
1
如图所示，当ab > 0时，函数y = ax2与f(x) = ax + b的图象是 （ ）
A.
B.
C.
D.
D
∵ab > 0, ∴a > 0, b > 0或a < 0, b < 0
当a > 0, b > 0时，函数y = ax2开口向上，f(x) = ax + b过第一、二、三象限，无选项；
当a < 0, b < 0时，函数y = ax2开口向下，f(x) = ax + b过第二、三、四象限，D选项正确；
故选：D
本题考查一次函数与二次函数图象，属于基础题.
答案
解析
2
已知二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0
B. 3是方程ax +bx+c=0的一个根
2
2
2
C. c＜0
D. 当x＜1时，y随x的增大而减小
B
根据二次函数的图象，判断a, c的符号、对称性、对应一元二次方程的根、单调性等知识确定正确答案.
二次函数开口向下，a < 0，A选项错误.
由图可知，二次函数对称轴为x = 1，ax2 + bx + c = 0的一个根是−1，
根据对称性可知另一个根是3，B选项正确.
由图可知，当x = 0时，y = c > 0，C选项错误.
由图可知，当x < 1时，y随x的增大而增大，D选项错误.
故选：B
答案
解析
3
若函数f (x) = x2 + (a + 2)x + 3，x ∈[a, b]的图象关于直线x = 1对称，则b =
.
6
根据给定的二次函数，利用二次函数的性质列式计算作答.
函数f (x) = x2 + (a + 2)x + 3的对称轴为：x = −a + 2
2
，
依题意，−a + 2
2
= 1且a + b = 2，解得a = −4，b = 6，
所以b = 6.
故答案为：6
答案
解析
4
已知二次函数y = ax2 + bx + c（其中a > 0，b > 0，c < 0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口
一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧.以上说法正确的个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
C
答案
3
①因为a > 0，所以图像的开口一定向上，故正确；
②因为a > 0，b > 0，c < 0，所以−b
2a < 0，4ac −b2
4a
< 0，所以图像的顶点一定在第三象限，故错误；
③因为a > 0开口向上，对称轴x = −b
2a < 0，4ac −b2
4a
< 0, f (0) = c < 0，所以图像与x轴的交点至少有一个
在y轴的右侧，故正确；
故选：C.
本题主要考查二次函数的图象和性质，还考查分析求解问题的能力，属于基础题.
解析
考点2：定轴定区间值域问题
A组
1
求函数y = −x2 + 2x + 3, x ∈[0, 3]的最大值和最小值.
最大值为4；最小值为0.
先求出二次函数的图象的对称轴，再结合函数的图象得解.函数y = −x2 + 2x + 3的对称轴为x = 1，
所以当x = 1时，函数取得最大值−12 + 2 + 3=4，
当x = 3时，函数取得最小值−32 + 6 + 3=0.
所以函数的最大值为4，最小值为0.
本题主要考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
答案
解析
4
B组
1
已知函数f (x) = x2 −4x + 5
（1）写出函数y随x增大而增大的x的区间范围
（2）求f (x)在[1，4]上的最值
（3）求f (x)在[3，6]上的最值
（4）求f (x)在[−2，0]上的最值
（1）单调增区间为 [2, +∞)，（2） f(x)min = 1， f(x)max = 5
（3） f(x)min = 2， f(x)max = 17（4） f(x)min = 5， f(x)max = 17
（1）因为f (x) = x2 −4x + 5，
对称轴为x = 2，
所以函数的单调增区间为[2, +∞)
（2）当x ∈[1, 4]时，在[2, 4]上为增函数，
所以x = 2时，f(x)min = f(2) = 1，
当x = 4时，f(x)max = f(4) = 5，
（3）由（1）知f (x)在[3，6]上单调递增，
所以f(x)min = f(3) = 2，f(x)max = f(6) = 17，
（4）由（1）知f (x)在[−2，0]上单调递减，，
f(x)min = f(0) = 5，f(x)max = f(−2) = 17
答案
解析
考点3：R上的恒成立值域问题
5
B组
1
函数f (x) = √mx2 −2mx + 4的x在R上函数恒有意义，则实数m的取值范围是
[0，4]
根据题意，问题化为不等式mx ﹣2mx+4≥0对任意x∈R恒成立，讨论m＝0和m≠0时，求出对应m的取值范围即
可．解：函数f（x）= √mx2 −2mx + 4的定义域为R，
则不等式mx ﹣2mx+4≥0对任意x∈R恒成立，
当m＝0时，不等式为4≥0，显然成立；
当m≠0时，应满足{
，解得0＜m≤4；
综上知，实数m的取值范围是[0，4]．
故答案为[0，4]．
本题利用函数的定义域考查了不等式恒成立应用问题，考查等价转化思想，是基础题．
答案
解析
2
2
m＞0
△= 4m2 −4m × 4 ≤0
02 集合的概念及表示方法
1
巩固练习
考点1：集合的定义
A组
1
下列对象能组成集合的是
①桃浦中学一部分学生
②倒数等于自身的实数
③超过100页的书
④世界知名艺术家
⑤方程x2 + 1 = 0的全体解
②③⑤.
根据集合元素的三要素，确定性、互异性和无序性可判断.
①桃浦中学一部分学生不符合确定性，不能构成集合；
②倒数等于自身的实数有−1和1，可构成集合{−1, 1}；
③超过100页的书符合集合元素的特征，可以构成集合；
④世界知名艺术家，“知名”没有确定性，不能构成集合；
⑤方程x2 + 1 = 0无解，可构成空集.
因此，能构成集合的为②③⑤.
故答案为：②③⑤.
答案
解析
考点2：集合的分类
A组
1
判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
2
(1)
上海各区的名称；
(2)
尾数是5的自然数；
(3)
我们班身高大于1.7m的同学．
(1) 能；有限集；
(2) 能；无限集；
(3) 能；有限集.
(1) 因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合
为有限集；
(2) 因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该
集合为无限集；
(3) 因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大
于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.
答案
解析
考点3：集合的性质
A组
1
若−3 ∈{a −3, 2a −1, a2 −1}，则a的值为（ ）
A. －1
B. 0
C. 1
D. 2
答案
3
A
由题意得a −3 = −3，或2a −1 = −3，或a2 −1 = −3，分别求解a，再由集合元素的互异性验证即可.
因为−3 ∈{a −3, 2a −1, a2 −1}，
所以a −3 = −3，或2a −1 = −3，或a2 −1 = −3，
当a −3 = −3时，得a = 0，此时集合为{−3, −1, −1}，不合题意，舍去，
当2a −1 = −3时，得a = −1，此时集合为{−4, −3, 0}，
当a2 −1 = −3时，得a2 = −2无解，
综上，a = −1.
故选：A
解析
考点4：方程解与元素个数问题
B组
1
若集合A = {x
ax2 + 2x −1 = 0, x ∈R}只有一个元素，则实数a的取值范围是
．
{−1, 0}
分a = 0和a ≠0两种情况讨论，结合根的判别式即可得解.
解：当a = 0时，方程ax2 + 2x −1 = 0为一元一次方程2x −1 = 0，
只有一个实根x = 1
2 ，符合题意；
当a ≠0时，方程ax2 + 2x −1 = 0为一元二次方程，
若要使集合A只有一个元素，需使方程ax2 + 2x −1 = 0有两个相等的实数根，
∴Δ = 4 + 4a = 0，解得a = −1，
综上所述，实数a的取值范围是{−1, 0}．
故答案为：{−1, 0}．
答案
解析
2
已知集合A = {x
ax2 −3x + 2 = 0, x ∈R}.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A. a ≥9
8
B. a ≥9
8 或a = 0
C. a > 9
8 或a = 0
D. a < 9
8 或a = 0
4
B
因集合A是方程ax2 −3x + 2 = 0的解集，欲使集合A = {x|ax2 −3x + 2 = 0}至多有一个元素，只须此方程有
两个相等的实数根或没有实数根，或只有一个实根，下面对a进行讨论求解即可．解：∵集合
A = {x|ax2 −3x + 2 = 0}至多有一个元素，
分类讨论：
①当a = 0时，A = {x| −3x + 2 = 0}只有一个元素，符合题意；
②当a ≠0时，要A = {x|ax2 −3x + 2 = 0}至多有一个元素，
则必须方程：ax2 −3x + 2 = 0有两个相等的实数根或没有实数根，
∴Δ ⩽0，得：9 −8a ⩽0，∴a ⩾9
8 ，
综上所述：a ⩾9
8 或a = 0．
故选：B．
本小题主要元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论、化归与
转化思想．属于基础题．
答案
解析
考点5：列举法表示集合
A组
1
用列举法表示下列集合：
（1）方程组{
的解集；
（2）不大于10的非负奇数集；
（3）A = {x|x ∈Z,
6
4 −x ∈N}．
x + y = 3
x −y = 1
5
（1）解集是 {(2, 1)}；（2）不大于10的非负奇数集为 {1, 3, 5, 7, 9}；（3） A = {3, 2, 1, −2}.
根据列举法的定义进行表示即可．
解：（1）解方程组{
，得{
，
∴用列举法表示方程组{
的解集是{(2, 1)}；
（2）不大于10即为小于或等于10，非负是大于或等于0，
故不大于10的非负奇数集为{1, 3, 5, 7, 9}．
（3）∵x ∈Z,
6
4 −x ∈N，∴4 −x = 1, 2, 3, 6，此时x = 3, 2, 1, −2，即A = {3, 2, 1, −2}．
答案
解析
x + y = 3
x −y = 1
x = 2
y = 1
x + y = 3
x −y = 1
B组
1
已知集合A={x|-2<x<2,x∈Z},B={y|y=x +1,x∈A},则集合B用列举法表示是
.
{1,2}
由题意知A={-1,0,1},而B={y|y=x +1,x∈A},所以B={1,2}.
故答案为{1,2}
2
答案
解析
2
考点6：描述法表示集合
A组
1
被7除余2的所有自然数组成的集合可以表示为
.
{x ∣x = 7k + 2, k ∈N}
答案
6
用集合描述法表示.
被7除余2的所有自然数组成的集合A = {x ∣x = 7k + 2, k ∈N}
故答案为: {x ∣x = 7k + 2, k ∈N}
解析
B组
1
用描述法表示下列集合：
(1)
被3除余1的所有自然数组成的集合；
(2)
比1大又比10小的所有实数组成的集合；
(3)
平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.
(1) {x ∣x = 3n + 1, n ∈N}
(2) {x ∣1 < x < 10}
(3) {(x, y) ∣xy = 0}
(1) 被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为{x ∣x = 3n + 1, n ∈N}；
(2) 比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为{x ∣1 < x < 10}；
(3) 平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为{(x, y) ∣xy = 0}.
答案
解析
考点8：符号运用
A组
1
用符号“∈”或“∉”填空．
（1）0
N；
7
（2）−√2
R；
（3）3π
Q；
（4）−10
Z．
∈; ∈; ∉; ∈
判断给出的集合是何类型，然后利用集合和元素间的关系依次填空．
（1）因为0时自然数，所以0 ∈N；
（2）因为−√2是无理数，所以−√2∈R；
（3）因为3π是无理数，所以3π∉Q；
（4）因为−10是整数，所以−10∈Z；
故答案为：∈，∈，∉，∈
答案
解析
考点9：元素与集合的关系问题
A组
1
下列写法正确的是（ ）.
A. 0 ∈{(0, 1)}
B. 1 ∈{(0, 1)}
C. (0, 1) ∈{(0, 1)}
D. (0, 1) ∈{0, 1}
C
可判断0∉{（0，1）}，1∉{（0，1）}，（0，1）∉{0，1}，（0，1）∈{（0，1）}．由元素与集合的关系知，
{（0，1）}中的元素为集合
故0∉{（0，1）}，1∉{（0，1）}，（0，1）∉{0，1}，
（0，1）∈{（0，1）}；
故选C．
本题考查了元素与集合的关系的判断及有序数对与数的区别，属于基础题．
答案
解析
2
8
已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为
．
3
由集合B中的元素所满足的条件，用列举法写出集合B中的所有元素，则答案可求．由A={1，2，3}，B＝
{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，
当x=1时，y=2，1．
当x=2时，y=1．
所以B={（1，2），（1，1），（2，1）}
所以B中所含元素个数为3个．
故答案为3．
本题考查了集合中元素的个数，考查了描述法和列举法之间的转化，是基础题．
答案
解析
3
设集合A = {x, xy, xy −1}，其中x ∈Z，y ∈Z且y ≠0. 若0 ∈A，则用列举法表示集合A =
{−1, 0, 1}
根据y ≠0且0 ∈A,结合集合的互异性原则可知xy −1 = 0,进而求得x和y的值,即可表示集合A.集合
A = {x, xy, xy −1},其中x ∈Z,y ∈Z且y ≠0.
若0 ∈A,则当x = 0时, x = xy = 0由集合的互异性可知不符合要求
所以xy −1 = 0,即xy = 1
则{
或{
当{
时,x = xy = 1, 由集合的互异性可知不符合要求
因而{
,此时x = −1, xy = 1, xy −1 = 0
所以A = {−1, 0, 1}
故答案为: {−1, 0, 1}
本题考查了元素与集合的关系,集合的互异性原则的应用,属于基础题.
答案
解析
x = 1
y = 1
x = −1
y = −1
x = 1
y = 1
x = −1
y = −1
B组
9
1
已知A = {x|x = a + b√3, a ∈Z, b ∈Z}
（1）试写出集合A的五个元素；
（2）判断下列元素是否属于A：0，−√3，√12，3√2，1
2 −√3；
（3）若x ∈A, y ∈A，试判断x + y, xy与A的关系.
（1） 0, 2 ± √3, 3 ± 4√3；（2） 0 ∈A, −√3 ∈A, √12 ∈A, 3√2 ∉A, 1
2 −√3 ∉A；（3） x + y ∈A, xy ∈A.
（1）取恰当的a, b后可得A的五个元素；
（2）令a + b√3为给定的值，判断是否存在对应的整数a, b，从而可得相应元素与集合的关系；
（3）设x = a1 + b1√3, y = a2 + b2√3，其中a1, a2, b1, b2 ∈Z，计算x + y, xy后根据集合元素的属性判断即可.
（1）分别取a = b = 0；a = 2, b = ±1；a = 3, b = ±4，
则得A的五个元素可为：0, 2 ± √3, 3 ± 4√3.
（2）令a + b√3 = 0，其中a ∈Z, b ∈Z，故a = b = 0，故0 ∈A，
令a + b√3 = −√3，其中a ∈Z, b ∈Z，故a = 0, b = −1，故−√3 ∈A，
令a + b√3 = √12 = 2√3，其中a ∈Z, b ∈Z，故a = 0, b = 2，故√12 ∈A，
因为不存在a ∈Z, b ∈Z，使得a + b√3 = 3√2，故 3√2 ∉A，
也不存在a ∈Z, b ∈Z，使得a + b√3 = 1
2 −√3，故 1
2 −√3 ∉A，
故0，−√3，√12均为A中元素，3√2，1
2 −√3均不是A中元素.
（3）因为x ∈A, y ∈A，故存在a1, a2, b1, b2 ∈Z，使得x = a1 + b1√3, y = a2 + b2√3，
故x + y = a1 + a2 + (b1 + b2)√3，因为a1 + a2, b1 + b2 ∈Z，故x + y ∈A.
又xy = a1a2 + 3b1b2 + (a1b2 + a2b1)√3，因为a1a2 + 3b1b2, a1b2 + a2b1 ∈Z，故xy ∈A.
故x + y ∈A，xy ∈A.
本题考查元素与集合的关系，其判断的基本方法就是观察元素是否满足集合的属性，本题属于中档题.
答案
解析
03 集合和集合的关系
1
巩固练习
考点1：子集与真子集的概念
B组
1
集合A＝{﹣1，2，4}，B＝{2，m2}，B ⊆A，则m＝
．
±2
根据B⊆A，得到集合B的元素都是集合A的元素，进而求出m的值．
∵集合A = {−1，2，4}，B = {2，m2}，B ⊆A，
∴m2 = 4，解得m = ±2．
故答案为：±2．
答案
解析
2
已知集合A = {1}，B = {x
x2 + 3x + a = 0}，若A ⊆B，则实数a的值为
．
−4
因为A = {1}，B = {x
x2 + 3x + a = 0}，A ⊆B，
所以x = 1是方程x2 + 3x + a = 0的解，
即12 + 3 × 1 + a = 0，解得a = −4，
故答案为：−4.
本题考查根据集合的包含关系求参数，能否根据集合的包含关系得出x = 1是方程x2 + 3x + a = 0的解是解决
本题的关键，考查计算能力，是简单题.
答案
解析
3
2
已知集合M = {x|x = kπ
4 + π
4 , k ∈Z}，集合N = {x
x = kπ
8 −π
4 , k ∈Z}，则（ ）
A. M ∩N = ∅
B. M ⊆N
C. N ⊆M
D. M ∪N = M
B
先分析集合M、N，得到M ⊆N，再对四个选项一一判断.
M = {x|x = kπ
4 + π
4 , k ∈Z} = {x|x = π
4 (k + 1), k ∈Z} = {x|x = π
8 (2k + 2), k ∈Z}，
N = {x|x = kπ
8 −π
4 , k ∈Z} = {x|x = π
8 (k −2), k ∈Z}.
因为2k + 2可以表示偶数，列举出为{⋯−2, 0，2，4，6 ⋯}，而k −2可以表示全部整数.
所以M ⊆N
对于A：M ∩N = M.故A错误；
对于B、C：M ⊆N.故B正确；C错误；
对于D：M ∪N = N.故D错误.
故选：B
答案
解析
考点2：符号运用
A组
1
若集合A = {x
x2 −2x + 1 = 0}，B = {x
x2 −1 = 0}，则A
B.（用符号“⊂”“=”或“⊃”连接）
⊂
先化简集合A、B，再去判断集合A、B间的关系即可解决.
A = {x
x2 −2x + 1 = 0} = {1}，B = {x
x2 −1 = 0} = {−1, 1}，则A ⊂B
故答案为：⊂
答案
解析
2
用适当的符号（∈、∉、=、、）填空：
3
（1）∅
{0}；
（2）{y |y = 3x}
{x
y = (x −1)2 + 1}.
;
（1）（2）利用集合与集合的关系可得出结果.
（1）∅{0}；
（2）因为{y |y = 3x} = {y |y > 0}，{x
y = (x −1)2 + 1} = R，
所以，{y |y = 3x}{x
y = (x −1)2 + 1}.
故答案为：（1）；（2）.
答案
解析
考点3：集合相等
B组
1
若集合A = {x|ax2 −ax + 2 = 0} = ∅，则实数a的取值范围是
.
0 ≤a < 8
利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得.
当a = 0时，2 = 0不成立，即A = ∅，则a = 0；
当a ≠0时，由A = ∅，得Δ = a2 −8a < 0，解得0 < a < 8，
所以实数a的取值范围是0 ≤a < 8.
故答案为：0 ≤a < 8
答案
解析
考点5：子集个数的求算
A组
4
1
集合P满足P ⊂{(x, y)|x2 + y2 = 4, x, y ∈Z}，则这样的集合P有
个．
15
分析集合{(x, y)|x2 + y2 = 4, x, y ∈Z}中的元素个数，由于P ⊂{(x, y)|x2 + y2 = 4, x, y ∈Z}，则符合的集合个
数即可确定.
解：x2 + y2 = 4, x, y ∈Z，则当x = 0时，y = ±2 ∈Z；当x = ±1时，y = ±√3 ∉Z；当x = ±2时，y = 0 ∈Z
；所以{(x, y)|x2 + y2 = 4, x, y ∈Z} = {(0, 2), (0, −2), (2, 0), (−2, 0)}
又P ⊂{(x, y)|x2 + y2 = 4, x, y ∈Z}，集合{(x, y)|x2 + y2 = 4, x, y ∈Z}中有4个元素，P为真子集，故符合这
样的集合P有：∅，{(0, 2)}，{(0, −2)}，{(2, 0)}，{(−2, 0)}，{(0, 2), (0, −2)}，{(0, 2), (2, 0)}，
{(0, 2), (−2, 0)}，{(2, 0), (0, 2)}，{(2, 0), (0, −2)}，{(2, 0), (−2, 0)}，{(0, 2), (0, −2), (2, 0)}，
{(0, 2), (0, −2), (−2, 0)}，{(0, −2), (2, 0), (−2, 0)}，{(0, 2), (2, 0), (−2, 0)}，共15个.
故答案为：15.
答案
解析
考点6：子集个数的应用
B组
1
已知集合P满足{a, b} ⊂P ⊆{a, b, c, d, e}，则集合P的个数有
个；
7
利用分步计数原理，分析元素c, d, e是否在集合P中，即得解
由题意，集合P中一定包含元素a, b，元素c, d, e至少有一个在集合P中，
因为集合{c, d, e}的非空子集有7个，所以集合P的个数有7个.
故答案为：7
答案
解析
5
考点8：集合关系中的参数取值问题
A组
1
已知集合A = {x|x2 + x −6 = 0}，B = {x|mx + 1 = 0}，若B ⊆A，求实数m的取值范围．
m = 1
3 或 m = −1
2 或 m = 0
首先求出集合A，根据B ⊆A，则B = {−3}，或B = {2}，或B = ∅，分别求出参数的值，即可得解；
解：由x2 + x −6 = 0，解得x = −3或x = 2
所以A = {−3, 2}
∵B ⊆A，且B中元素至多一个，
∴B = {−3}，或B = {2}，或B = ∅
(1)当B = {−3}时，由−3m + 1 = 0，得m = 1
3 ；
(2)当B = {2}时，由2m + 1 = 0，得m = −1
2 ；
(3)当B = ∅时，由mx + 1 = 0无解，得m = 0；
∴m = 1
3 或m = −1
2 或m = 0
本题考查集合的包含关系求参数的取值，考查分类讨论思想，属于基础题.
答案
解析
B组
1
已知a ∈R，x ∈R，集合A = {2, 4, x2 −5x + 9}，B = {3, x2 + ax + a}，C = {x2 + (a + 1)x −3, 1}.
（1）求使集合A = {2, 3, 4}的x的值；
（2）求使2 ∈B，B ⊆A的a，x的值；
（3）求使集合B = C的a，x的值.
6
（1） x = 2或 x = 3（2）
\left\{
或
\left\{
（3）
\left\{
或
\left\{
(1)由题意得x2 −5x + 9 = 3，解得x = 2或x = 3.
(2)∵2 ∈B，B ⊆A，∴{
联立解得x = 2时，a = −2
3 ， x = 3时，a = −7
4 .
所以可得满足题意的x，a 为
或
.
(3)∵B = C，∴有{
，联立解得{
或{
本题考查了由集合之间的关系求参数的问题，考查了相等集合概念的应用，考查了计算能力，属于一般难度
的题.
答案
x = 2,
a = −2
3
x = 3,
a = −7
4 ．
x = −1,
a = −6
x = 3,
a = −2．
解析
x2 + ax + a = 2
x2 −5x + 9 = 3
⎧
⎨
⎩
x = 2
a = −2
3
⎧
⎨
⎩
x = 3
a = −7
4
x2 + (a + 1)x −3 = 3
x2 + ax + a = 1
x = −1,
a = −6
x = 3,
a = −2．
2
已知A = {x
x2 + 4x = 0}，B = {x
x2 + 2 (a + 1)x + a2 −1 = 0}.
(1)
若A ∩B = A，求实数a的值；
7
(2)
若B是A的真子集，求实数a的取值范围.
(1) 1
(2) (−∞, −1]
(1) 因为A = {x ∣x2 + 4x = 0} = {−4, 0}，
若A ∩B = A，则得：B = A = {−4, 0}，
所以得：方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 −1 = 0有两根，
所以得：
，解之得：a = 1.
(2) 若B是A的真子集，则得：B真包含于A.
①若B = ∅，则Δ = 4(a + 1)2 −4 (a2 −1) = 8a + 8 < 0，解之得：a < −1；
②若B ≠∅，即B为单元素集合，
则Δ = 4(a + 1)2 −4 (a2 −1) = 8a + 8 = 0，解之得：a = −1.
将a = −1代入方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 −1 = 0，
得x2 = 0，解之得：x = 0，所以得：B = {0}，符合要求；
综上所述，实数a的取值范围为：(−∞, −1].
故答案为：(−∞, −1].
答案
解析
⎧
⎨
⎩
Δ = 4(a + 1)2 −4 (a2 −1) > 0
−4 + 0 = −2(a + 1)
−4 × 0 = a2 −1
04 集合的基本运算
1
巩固练习
考点1：交并补集的定义
A组
1
已知全集U = R, A = (1, +∞), B = [√2, √5)，则A ∩B =
.
(1, √2) ∪[√5, +∞)
根据集合的补集、交集运算求解即可.
∵U = R, A = (1, +∞), B = [√2, √5),
∴B = (−∞, √2) ∪[√5, +∞),
∴A ∩B = (1, √2) ∪[√5, +∞).
故答案为：(1, √2) ∪[√5, +∞)
–
答案
解析
–
–
2
若集合A = {(x, y) |x + y = 0}, B = {(x, y) |2x −y = 3}，则A ∩B =（ ）
A. {1, −1}
B. {−1, 1}
C. {(1, −1)}
D. {(−1, 1)}
C
根据交集的定义，联立方程即可求解.
由{
，解得x = 1, y = −1，
故A ∩B ={(1, −1)}，
故选：C
答案
解析
x + y = 0
2x −y = 3
2
3
若全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {3, 5, 8}, B = {7, 9, 10}，则A ∪B =
.
{1, 2, 4, 6}
根据给定条件，直接利用并集、补集的定义求解作答.
因A = {3, 5, 8}, B = {7, 9, 10}，则A ∪B = {3, 5, 7, 8, 9, 10}，而全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，
所以A ∪B = {1, 2, 4, 6}.
故答案为：{1, 2, 4, 6}
–
答案
解析
–
B组
1
已知A = (−∞, 0]，B = [a, +∞)，且A ⋃B = R，则实数a的取值范围为
.
a ≤0
根据并集的运算结果列出不等式，即可得解.
解：因为A ⋃B = R，
所以a ≤0.
故答案为：a ≤0.
答案
解析
考点2：已知交并补集求参数取值问题
A组
1
设全集U = {2, 3, a2 + 2a −3}，A = {3, a}，若A = 5，则实数a =
.
–
答案
3
2
由题可得5 ∈U，即可求出a，验证即可.
∵U = {2, 3, a2 + 2a −3}，A = {3, a}， A = 5，
∴5 ∈U，则a2 + 2a −3 = 5，解得a = 2或−4，
当a = 2时，U = {2, 3, 5}，A = {3, 2}，A = 5，符合题意；
当a = −4时，U = {2, 3, 5}，A = {3, −4}，不符合题意，
∴a = 2.
故答案为：2.
解析
–
–
B组
1
已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x-a<0}．
（1）求A ⋂C = A；
（2）求A ⋂B；
（3）若A ⋃B，求实数a的取值范围．
（1）{x|2＜x＜10}；（2）{x|2＜x＜3或7＜x＜10}；（3）a＞7．
（1）利用集合并集的定义，即可求解A ⋃B；
（2）根据题意，先求出CRA，即可求出(CRA) ⋂B；
（3）由A ⋂C = A，得A ⊆C，利用集合的运算，即可求解实数a的取值范围．
解：（1）∵A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，
∴A∪B={x|2＜x＜10}；
（2）∁A={x|x＜3或x＞7}，∴（∁A）∩B={x|2＜x＜3或7＜x＜10}；
（3）若A∩C=A，则A⊆C，∴a＞7．
本题主要考查了集合的基本运算，其中熟记集合的交集、并集和补集的运算的基本概念是解答的关键，着重
考查了推理与运算能力，属于基础题．
–
答案
解析
R
R
考点3：交并补集与一元二次方程的根
B组
1
4
已知集合A = {x|x2 + (p −1)x + q = 0}，B = {x|(x −1)2 + p (x −1) + q = x + 1}，当A = {2}时，求集合B．
B = {3 + √2, 3 −√2}
根据集合和元素的关系解出p, q的值，代入(x −1)2 + p (x −1) + q = x + 1，解一元二次方程即可.
因为A = {2}，所以{
，解得{
，
代入(x −1)2 + p (x −1) + q = x + 1得(x −1)2 −3 (x −1) + 4 = x + 1，
整理得x2 −6x + 7 = 0，解得x = 3 ± √2，
所以B = {3 + √2, 3 −√2}.
答案
解析
22 + (p −1) × 2 + q = 0
(p −1)2 −4q = 0
p = −3
q = 4
考点4：交集的运算性质
A组
1
已知集合A={x｜-2≤x≤5}，B={x｜m≤x≤2m-1} A∩B=B，求m的取值范围．
m ≤3
试题分析：由A∩B=B得到B ⊆A，将两集合标注在数轴上使其满足子集关系，进而得到m的不等式，得到m的
范围，求解时要将B集合分为空集与非空集两种情况讨论
答案
解析
5
试题解析：①B=∅时，m>2m-1
m<1
②B≠∅时, m≤2m-1 即m≥1
又有{
}⇒−2 ≤m ≤3⇒1 ≤m ≤3
则m ≤3
考点：1．集合的子集关系；2．分情况讨论
m ≥−2
2m −1 ≤5
考点5：并集的运算性质
A组
1
若A, B是全集U的真子集，则下列四个命题：①A ∩B = A；②A ∪B = A；③A ∩B = ∅;④A ∩B = U;⑤B ⊆A中与
命题A ⊆B等价的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
C
直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．
∵A ∩B = A ⇔A ⊆B，则①符合题意；
∵A ∪B = A ⇔B ⊆A，则②不符合题意；
∵A ∩B = ∅⇔A ⊆B，则③符合题意；
∵A ∩B = U ⇔A = B = U，这与A, B是全集U的真子集相矛盾，则④不符合题意；
∵B ⊆A ⇔A ⊆B，则⑤符合题意；
与命题A ⊆B等价的有①③⑤，共3个
故选：C.
–
–
答案
解析
–
–
考点6：补集的运算性质
A组
1
设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S = {1，3，5}，集合T = {3，6}，则S ∩T =
．
–
6
{2, 4, 7, 8}
由已知得可以求得S和T，再由交集运算即可解决.
∵全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S = {1，3，5}，集合T = {3，6}，
∴S = {2, 4, 6, 7, 8}，T = {1, 2, 4, 5, 7, 8}，
∴S ∩T = {2, 4, 7, 8}.
故答案为：{2, 4, 7, 8}.
答案
解析
–
–
–
–
B组
1
设全集U={(x, y)|x, y ∈R}．集合M {(x, y)| y −3
x −2 = 1}，N = {(x, y)|y ≠x + 1}，则M ⋃N等于 ．
{(2, 3)}
集合M表示直线y −3 = x −2，即y = x + 1，除去(2, 3)的点集；集合N表示平面内不属于y = x + 1的点集，
M ⋃N = {(x, y)|x ≠2, y ≠3}，由此能求出∁(M ⋃N)．∵全集U = {(x, y)|x, y ∈R}．
集合M {(x, y)| y −3
x −2 = 1}，N = {(x, y)|y ≠x + 1}，∴M ∩N =
(x, y)|
，
集合M表示直线y −3 = x −2，即y = x + 1，除去(2, 3)的点集；
集合N表示平面内不属于y = x + 1的点集，∴M ∪N = {(x, y)|x ≠2, y ≠3}，则∁(M ∪N) = {(2, 3)}．
故答案为{(2, 3)}．
本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力．
–
答案
解析
U
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
y −3
x −2 = 1
y ≠x + 1
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
U
考点7：利用文氏图解决交并补问题
A组
1
设全集为U，集合A, B是U的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为
．
7
A ∩(∁UB)
根据V enn图，得到集合关系即可.
由V enn图可知元素属于A但不属于B，
即阴影部分对应的集合为A ∩(∁UB)，
故答案为：A ∩(∁UB)
答案
解析
2
给定全集U，A，B是U的子集，且A ⊆B，则（ ）
A. A ⊆B
B. A ∩B = ∅
C. A ∪B = U
D. A ⊆B
B
分析作出韦恩图，数形结合能求出结果.
给定全集U，A，B是U的子集，且A ⊆B，如图，
对于A，A不是B的子集，故A错误；
对于B，A ∩B = ∅，故B正确；
对于C，A ∪B ≠U，故C错误；
对于D，A ⊇B，故D错误.
故选：B.
–
–
答案
解析
–
–
B组
1
将集合A ⋂C ⋂B在如图中用阴影部分表示出来 .
–
8
见解析
根据集合的交集与补集的运算，即可求得A ∩C ∩∁UB.
由交集补集的运算可知，阴影部分如下图所示：
故答案为：
答案
解析
2
设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，若A ∩B = {2}，A ∩B = {4}，A ∪B = {1, 5}，则A =
．
{2, 3}
先由韦恩图表示出集合U，再由韦恩图表示出A ∩B，A ∩B，A ∪B结合图解法解决即可．
解：U = {1, 2, 3, 4, 5}，
由题意如图所示，
由韦恩图可知：A = {2，3}，B = {2，4}．
–
–
答案
解析
–
–
9
故答案为：{2, 3}
3
设全集U =｛x|x ⩽20的素数｝，B ⋂A={3, 5}，A ⋂B={7, 19}，A ⋂B={2, 17}，求集合A，B．
A = {3, 5, 11, 13}， B = {7, 11, 13, 19}
U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}．画出V enn图，如图所示．
全集U由四个集合A ⋂B，(∁UB) ⋂A，(∁UA) ⋂B和(∁UA) ⋂(∁UB)组成，且以上任何两个集合的交集为∅，
故全集中的每个元素仅属于四个集合中的一个集合．
∴A ⋂B = {11, 13}．∴A = {3, 5, 11, 13}，B = {7, 11, 13, 19}．
本题主要考查集合的运算，利用集合运算的结果求解集合时，通常借助V enn图求解，侧重考查逻辑推理的核
心素养.
–
–
–
答案
解析
考点8：文氏图的实际应用
B组
1
某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至少参加一个至多参加两个小组.已知参加数学、
物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，
则同时参加数学和化学小组的有
人.
8
答案
解析
10
利用韦恩图，根据容斥原理，即可求解.
设集合A, B, C分别表示参加数学、物理、化学课外小组，
其中x, y, z, a, b, c, d分别表示集合每部分的人数，其中d = 0
，化简为
所以b = 20 + 5 + 9 −26 = 8
所以同时参加数学和化学小组的有8人.
故答案为：8
⎧
⎨
⎩
x + y + z + a + b + c = 36
x + a + b = 26
a + y + c = 15
b + c + z = 13
a = 6
c = 4
⎧
⎨
⎩
x + y + z + b = 26
x + b = 20
y = 5
b + z = 9
05 常用逻辑关系
1
巩固练习
考点1：命题的概念
A组
1
已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x -5x+6=0.其中是命题的个数是 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
B
根据命题的定义：命题是判断真假的陈述句，对每一项进行排查和判断，即可得出答案.①陈述句，但未表示
判断；②表示判断，但是缺少必要的陈述条件；③是陈述句有判断，是命题；④是陈述句，也有判断，是命题.
故选B.
本题考查命题的定义及命题的判断，关键在于理解命题的定义，注意无需判断命题真假，只需判断是否为命
题.
2
答案
解析
考点2：命题的判断
B组
1
设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（ ）
A. 若A ∩B = ∅，则A ⋃B=U；
B. 若A ∪B = U，则A ⋂B=∅；
C. 若A ∩B = ∅，则A = B = ∅；
D. 若A ∪B = ∅，则A = B = ∅.
–
–
2
ABD
利用集合间的基本关系及交并补的概念与运算计算即可.
对于A，若A ∩B = ∅，则(∁UA) ∪(∁UB) = ∁U (A ∩B) = U成立，即A正确；
对于B，若A ∪B = U，则(∁UA) ∩(∁UB) = ∁U (A ∪B) = ∅成立，即B正确；
对于C，不妨设A = {1}, B = {2}，有{1} ∩{2} = ∅，但A = B = ∅不成立，即C错误；
对于D，若A ∪B = ∅，则集合A、集合B中均没有元素，即D正确.
故选：ABD
答案
解析
考点3：命题与推出关系
B组
1
已知命题p：x ﹣4x﹣5≤0，命题q：x ﹣2x＋1﹣m ≤0(m＞0)．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，求实数x的取值范围．
（1）[4，+∞)；（2 [−4， −1) ∪(5， 6].
（1）求出命题p，q成立时的x的范围，利用充分条件，根据包含关系列出不等式求解即可．
（2）讨论p真q假或p假q真，分别利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可．
(1)对于p : A = [−1，5]，
对于q : B = [1 −m，1 + m]，p是q的充分条件，
2
2
2
答案
解析
3
可得A ⊆B，∴{
，∴m ∈[4，+∞)．
(2)若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，
此时命题q对应得集合为B=[−4, 6]，
则p真q假或p假q真，
所以①当p真q假时，x∈[−1, 5]，且x(−∞, −4)∪(6，+∞)，则此时无解；
②当p假q真时，x∈(−∞, −1)∪(5，+∞)，且x∈[−4, 6]，
∴x ∈[−4，−1) ∪(5，6]．
综上所述，x的取值范围为[−4，−1) ∪(5，6]．
本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的应用，集合的关系，考查转化思想以及计算能力．
1 −m ⩽−1
1 + m ⩾5
考点4：充分条件与必要条件
A组
1
若m, n ∈R，则“m + n ≥0”是“m ≥0且n ≥0”的
条件．
必要不充分
m ≥0, n ≥0时，m + n ≥0成立，是必要的．
m = 2, n = −1时，有m + n = 1 > 0，即m + n ≥0时不一定有m ≥0且n ≥0．不充分，
因此应是必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
答案
解析
2
下列说法正确的是（ ）
A. x ∈Z是x ∈N的必要不充分条件
B. x ≥3是x > 5的充分不必要条件
C. 若q ⇒p，则p是q的充分条件
D. 一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
A
根据充分、必要条件逐项判断即可.
答案
解析
4
对于A，若x ∈N，则x ∈Z，反之，若x ∈Z，则x ∈N不一定成立，例如x = −1，
所以x ∈Z是x ∈N的必要不充分条件，正确；
对于B，若x > 5，则x ≥3，反之，若x ≥3，则x > 5不一定成立，例如x = 4，
所以x ≥3是x > 5的必要不充分条件，错误；
对于C，若q ⇒p，则p是q的必要条件，错误；
对于D，若一个四边形是矩形，则它是平行四边形，
反之，若一个四边形是平行四边形，则它不一定是矩形，
所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，错误.
故选：A.
3
俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 非充分非必要
B
根据充分必要条件的定义可得选项.
解：由“便宜没好货”，得“好货”能推出“不便宜”，
所以“不便宜”是“好货”的必要非充分条件，
故选：B.
答案
解析
考点5：已知条件关系求参数取值
B组
1
设α：1 ≤x ≤3；β: m + 1 ≤x ≤2m + 4，m ∈R，若α是β的充分不必要条件，则m的取值范围是 .
−1
2 ≤m ≤0
α是β的充分不必要条件可知[1, 3][m + 1, 2m + 4]，即可求解.因为α：1 ≤x ≤3；β: m + 1 ≤x ≤2m + 4，
答案
解析
5
m ∈R，α是β的充分不必要条件
所以[1, 3][m + 1, 2m + 4]，
即{
，解得−1
2 ≤m ≤0.
故答案为−1
2 ≤m ≤0
本题主要考查了充分不必要条件，真子集的概念，属于中档题.
m + 1 ≤1
3 ≤2m + 4
考点6：命题的反设
B组
1
对于命题“若a ∈R且a −√2是有理数，则a是无理数”，用反证法证明时，假设a是有理数后下面到处矛盾的方法：
①因为a是有理数，√2是无理数，所以a −√2是无理数，这与a −√2是有理数矛盾；
②因为a −√2有理数，√2是无理数，所以a是无理数，这与a是有理数矛盾；
③因为a是有理数，a −√2是有理数，所以a −a + √2 = √2是有理数，这与√2是无理数矛盾；
其中，推理正确的序号是
.
①③
根据反证法概念，从a是有理数出发，经过正确的推理，结合题意，分析即可得答案.
①从a是有理数出发，经过推理，得到a −√2是无理数，和题干矛盾，故①正确；
②没有从a是有理数出发，推出矛盾，不是反证法，故②不正确；
③从a是有理数出发，经过推理，推出√2是无理数，结论错误，从而证明原命题正确，故③正确.
故答案为：①③
答案
解析
考点7：反证法在证明题中的应用
A组
1
已知实数x, y满足x + y = 2，则下列结论的证明更适合用反证法的是（ ）
A. 证明xy ≤1
B. 证明x, y中至少有一个不大于1
C. 证明x2 + y2 ≥2
D. 证明x, y可能都是奇数
6
B
根据反证法的特点：假设结论的对立面，最终导出矛盾，从而肯定结论成立，观察四个选项可作出判断.
实数x, y满足x + y = 2，
观察四个选项，更适合用反证法的是B，
原因是：假设x > 1且y > 1，
则x + y > 2，与已知矛盾，故原结论成立，
其它选项均不适合.
故选：B
答案
解析
B组
1
用反证法证明命题“设n ∈Z，已知n2是偶数，则n是偶数”时，应假设
.
已知 n2是偶数，则n是奇数
根据反证法证明命题的原理即可得解.
∵命题“设n ∈Z，已知n2是偶数，则n是偶数”，
可得题设为，“a ⋅b（a，b ∈Z∗）为偶数，
∴反设的内容是：假设已知n2是偶数，则n是奇数.
故答案为：已知n2是偶数，则n是奇数.
答案
解析
2
若x ∈R, a = x2 −x, b = x2 −3x + 2.证明：a, b至少有一个不小于0.
7
证明见解析.
假设a, b均小于0，即a < 0, b < 0，计算a + b = 2(x −1)2 ≥0得到矛盾，得到证明.假设a, b均小于0，即
a < 0, b < 0，则有a + b < 0，
而a + b = (x2 −x) + (x2 −3x + 2) = 2x2 −4x + 2 = 2(x −1)2 ≥0，
这与a + b < 0矛盾，所以假设不成立，故a, b至少有一个不小于0.
本题考查了反证法，意在考查学生的推理能力.
答案
解析
06 等式的性质
1
巩固练习
考点1：等式的性质
A组
1
已知4m + 2n −5 = m + 5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m
n(填“>”“<”或“=”)．
>
化简得到m −n = 5
3 > 0，得到答案.
4m + 2n −5 = m + 5n，故3m −3n = 5，即m −n = 5
3 > 0，故m > n.
故答案为：>
答案
解析
B组
1
下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A. 如果a = b，那么a+c = b −c
B. 如果 a
c = b
c ，那么a = b
C. 如果a = b，那么 a
c = b
c
D. 如果a2 = 3a，那么a = 3
B
A.由c ≠0时判断；B.由等式的性质判断；C.由c = 0时判断；D.由a2 = 3a，得到a = 3或a = 0判断.
如果a = b，当c ≠0时，那么a+c = b −c不成立，故A错误；
如果 a
c = b
c ，由等式的性质知a = b，故B正确；
如果a = b当c = 0时，那么 a
c = b
c 不成立，故C错误；
答案
解析
2
如果a2 = 3a，那么a = 3或a = 0，故D错误.
故选：B.
本题主要考查等式的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
考点2：方程及方程的解
A组
1
设k ∈R，若关于x与y的二元一次方程组{
的解集为空集，则k =
.
3
两式相减，得到(3 −k)x = −1，进而分k = 3，k ≠3两种情况讨论求解即可得答案.
两式相减，得到(3 −k)x = −1，
当k = 3时，方程(3 −k)x = −1无解，从而原方程组无解，其解集为空集．
当k ≠3时，方程(3 −k)x = −1的解为x =
−1
3 −k ，解不是空集.
综上，k = 3 ．
故答案为：3.
3x −y = 1
kx −y = 2
答案
解析
B组
1
关于x，y的方程组{
的解集，不正确的说法是（ ）
A. 可能是空集
B. 必定不是空集
C. 可能是单元素集合
D. 可能是无限集
A
当a = 9
2 时，9
2 x −3y = 6与3x −2y = 4重合，当a ≠9
2 时，ax −3y = 6与3x −2y = 4相交，即可求出结果．
ax −3y = 6
3x −2y = 4
答案
解析
3
当a = 9
2 时，9
2 x −3y = 6与3x −2y = 4重合，{
解集是 无限集，则D正确；
当a ≠9
2 时，{
有单元素集合，则B，C正确；
故选：A
ax −3y = 6
3x −2y = 4
ax −3y = 6
3x −2y = 4
考点3：一元二次方程的解集
A组
1
关于x的方程(k −1)x2 −2(k −2)x + k + 1 = 0的解集为非空集合，则实数k的取值范围是
．
k ⩽5
4
对参数k进行分类讨论，当方程为二次方程时，根据Δ ≥0，即可求得参数的范围.
当k = 1时，原方程化为2x + 2 = 0，
解得x = −1，
∴k = 1符合题意．
当k ≠1时，由题意得Δ = [−2(k −2)]2 −4(k −1)(k + 1) ⩾0，
解得k ⩽5
4 ，
故实数k的取值范围是k ⩽5
4 且k ≠1．
综上所述，实数k的取值范围是k ⩽5
4 ．
故答案为：k ⩽5
4 .
本题考查由形如ax2 + bx + c = 0的解集情况，求参数的取值范围，属基础题.
答案
解析
B组
1
若方程组{
有唯一的实数解(x, y)，则r的值是
A. 0
B. 1
C. 1
2
D. −1
2
C
x2 + y2 = r
x + y = a −r
答案
4
方程组关于x和y对称，所以如果(x, y)是方程组的解，则(y, x)也是方程组的解.
由于方程组只有一组解，因此y = x，从而方程组化为{
.
即有 2x2 + 2x −a = 0. （1）
（1）的判别式Δ = 4 + 8a = 0.
于是，a = −1
2 .代入（1），解得x = −1
2 .
进而y = −1
2 ，r = 1
2 .选C.
解析
2x2 = r
2x = a −r
C组
1
记关于x的三个方程分别为：
①x2 + a1x + 1 = 0；
②x2 + a2x + 2 = 0；
③x2 + a3x + 4 = 0，其中a1, a2, a3是正实数，且满足a2
2 = a1a3．
则下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A. 方程①有实根，且②有实根
B. 方程①有实根，且②无实根
C. 方程①无实根，且②有实根
D. 方程①无实根，且②无实根
B
根据一元二次方程的根的判别式，逐一分析选项，即可得出答案．
对于A：方程①有实根，且②有实根，则a2
1 −4 ≥0，a2
2 −8 ≥0，即a2
1 ≥4，a2
2 ≥8，
又a2
2 = a1a3，则a2
3 = ( a2
2
a1 )
2
= a4
2
a2
1
，
要使方程③无实根，则a2
3 −16 < 0，显然不成立，故A错误；
对于B：方程①有实根，且②无实根，则a2
1 −4 ≥0，a2
2 −8 < 0，即a2
1 ≥4，a2
2 < 8，
又a2
2 = a1a3，则a2
3 = ( a2
2
a1
)
2
= a4
2
a2
1
< 16，
即a2
3 −16 < 0，此时方程③满足Δ = a2
3 −16 < 0，故B正确；
对于C：方程①无实根，且②有实根，则a2
1 −4 < 0，a2
2 −8 ≥0，即a2
1 < 4，a2
2 ≥8，
又a2
2 = a1a3，则a2
3 = ( a2
2
a1
)
2
= a4
2
a2
1
，
要使方程③无实根，则a2
3 −16 < 0，显然不成立，故C错误；
对于D：方程①无实根，且②无实根，则a2
1 −4 < 0，a2
2 −8 < 0，即a2
1 < 4，a2
2 < 8，
答案
解析
5
又a2
2 = a1a3，则a2
3 = ( a2
2
a1
)
2
= a4
2
a2
1
，
要使方程③无实根，则a2
3 −16 < 0，显然不成立，故D错误；
故选：B．
考点4：韦达定理的应用
A组
1
若关于方程x2 −2ax + 5 + 2a = 0的两实根的平方和为14，则实数a的值为
．
−2
根据韦达定理求解．
设已知方程两根为x1, x2，则x1 + x2 = 2a, x1x2 = 5 + 2a，
所以x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2 −2x1x2 = 4a2 −2(5 + 2a) = 14，解得a = −2或a = 3，
又Δ = 4a2 −4(5 + 2a) ≥0，即a ≤1 −√6或a ≥1 + √6，所以a = −2，
故答案为：−2
答案
解析
B组
1
已知函数f(x) = ax2 + bx + c有两个零点x1，x2，则可设f(x) = a (x −x1) (x −x2)，由
ax2 + bx + c = a (x −x1) (x −x2) = ax2 −a (x1 + x2)x + ax1x2可知x1 + x2 = −b
a ，x1x2 = c
a ，这就是一元二次
方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若x1, x2, x3为方程
ax3 + bx2 + cx + d = 0(a ≠0)的3个实数根，设ax3 + bx2 + cx + d = a (x −x1) (x −x2) (x −x3)，则
−a (x1 + x2 + x3)为x2的系数，a (x1x2 + x1x3 + x2x3)为x的系数，−ax1x2x3为常数项，于是有x1 + x2 + x3 = −b
a
，x1x2 + x2x3 + x3x1 = c
a ，x1x2x3 = −d
a 实际上任意实系数n次方程都有类似结论．设方程
(x −1)4 + (x −1)3 −7(x −1)2 + 5 = 0的四个实数根为x1, x2, x3, x4，则x1 + x2 + x3 + x4 =
，x1x2x3x4 =
．
答案
6
3 ; −2
首先将式子(x −1)4 + (x −1)3 −7(x −1)2 + 5 = 0展开，再结合所给定义计算可得.
设ax4 + bx3 + ax2 + dx + e = a (x −x1) (x −x2) (x −x3) (x −x4)
= ax4 −a (x1 + x2 + x3 + x4)x3
+a (x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4)x2
−a (x1x2x3 + x1x3x4 + x2x3x4 + x1x2x4)x
+ax1x2x3x4，(a ≠0)，
由(x −1)4 + (x −1)3 −7(x −1)2 + 5 = 0，
可得(x −1)2 (x2 −2x + 1 + x −1 −7) + 5 = 0，
所以x4 −3x3 −4x2 + 13x −2 = 0，即a = 1，b = −3，c = −4，d = 13，e = −2，
所以−a (x1 + x2 + x3 + x4)x3 = bx3，ax1x2x3x4 = e，
∴x1 + x2 + x3 + x4 = −b
a = 3，x1x2x3x4 = e
a = −2．
故答案为：3；−2
解析
07 不等式的性质
1
巩固练习
考点1：作差法比较两实数的大小
A组
1
已知x, y ∈R，比较x2 + y2与2(2x −y) −5的大小.
x2 + y2 ≥ 2(2x −y) −5.
∵x2 + y2−2(2x −y) + 5=(x −2)2 + (y + 1)2 ≥0
∴x2 + y2≥ 2(2x −y) −5
代数式的大小比较方法:作差法,作商法.
答案
解析
B组
1
（1）已知x ∈R，比较2x2 + 3x −1与7x −3的大小；
（2）已知a > 0，b > 0，若a + b > 4，求证：
a
b + 2 和
b
a + 2 中至少有一个大于1
2 .
2
（1） 2x2 + 3x −1 ≥7x −3；（2）证明见详解
（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可；
（2）用反证法，假设
a
b + 2 ≤1
2 ，
b
a + 2 ≤1
2 ，推出a + b ≤4矛盾，即得证.
（1）∵(2x2 + 3x −1) −(7x −3) = 2x2 −4x + 2 = 2(x −1)2 ≥0，
∴2x2 + 3x −1 ≥7x −3.
（2）假设
a
b + 2 ≤1
2 ，
b
a + 2 ≤1
2 ，
∵a > 0, b > 0，∴a + 2 > 0，b + 2 > 0，
∴2a ≤b + 2, 2b ≤a + 2，
两式相加得，a + b ≤4，这与a + b > 4矛盾，所以假设错误.
所以
a
b + 2 和
b
a + 2 中至少有一个大于1
2 .
答案
解析
C组
1
（1）设a, b ∈R，比较a2 + b2与2(2a −b) −5的大小.
（2）解关于x的不等式mx −2 ≥3x −4m，其中m ∈R.
3
（1） a2 + b2 ≥2(2a −b) −5， a = 2且 b = −1取等号；（2）答案见解析
（1）作差之后利用完全平方式判断即可；
（2）分m与3的大小，直接求出即可；
（1）a2 + b2 −2(2a −b) + 5 = (a −2)2 + (b + 1)2 ≥0，
所以a2 + b2 ≥2(2a −b) −5，a = 2且b = −1取等号；
（2）m > 3, x ≥4m −2
3 −m ，
m < 3, x ≤4m −2
3 −m ，
m = 3, x ∈R.
所以不等式的解集为{x
x ≥4m −2
3 −m , (m > 3)或x ≤4m −2
3 −m , (m < 3)或x ∈R, (m = 3)}.
答案
解析
考点2：作商法比较两实数的大小
A组
1
若a > b > 0，求证：aabb > (ab)
a + b
2
．
答案
4
证明见解析
作商法证明不等式.
证明：∵a>b>0，
∴a
b > 1，且a −b > 0．
∴作商得：
aabb
(ab)
a + b
2
= ( a
b )
a −b
2
> 1．
∴aabb > (ab)
a + b
2
．
解析
B组
1
设a, b ∈R+，试比较aabb与abba的大小.
当 a = b时两者相等；当 a ≠b时 aabb > abba.
分成a = b、a > b > 0，b > a > 0三种情况进行分类讨论，结合商比较法，判断出两者的大小关系.
依题意，a, b ∈R+，
当a = b时，aabb = abba；
当a ≠b时，aabb
abba = ( a
b )
a−b
：
当a > b > 0时，a
b > 1, a −b > 0，所以aabb
abba = ( a
b )
a−b
> 1；
当b > a > 0时，0 < b
a < 1, a −b < 0，所以aabb
abba = ( a
b )
a−b
> 1.
答案
解析
5
故当a ≠b时，aabb
abba = ( a
b )
a−b
> 1，即aabb > abba.
本小题主要考查商比较法比较大小，属于基础题.
考点3：不等式的基本性质
A组
1
若a < b < 0下列不等式中：①a
b < 1；②|a| > |b|；③1
b2 < 1
a2 ； ④1
a < 1
b ，成立的有（ ）个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A
根据不等式的性质一一判断即可.
因为a < b < 0，所以a
b > 1，故①错误；
|a| > |b| > 0，故②正确；
|a|2 > |b|2 > 0，即a2 > b2 > 0，所以1
b2 > 1
a2 ，故③错误；
因为a < b < 0，所以1
a > 1
b ，故④错误；
故选：A
答案
解析
B组
1
设a, b为实数，则“a < b < 0”是“ 1
a > 1
b ”的（ ）条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
A
利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解.
答案
解析
6
由a < b < 0，得1
a > 1
b ；反之，1
a > 1
b ，可以为a > 0 > b，
所以“a < b < 0”是“ 1
a > 1
b ”的充分不必要条件.
故选：A
C组
1
已知非零实数a、b满足a > b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. a−1 > b−1
B. a2 > b2
C. a3 > b3
D. |a| > |b|
C
运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否一定成立.
对于A选项，对于a−1 > b−1，即1
a > 1
b .当a = 2，b = 1时，1
a = 1
2 ，1
b = 1，此时1
a < 1
b ，所以a−1 > b−1不
一定成立.故A错误.
对于B选项，对于a2 > b2.当a = 1，b = −2时，满足a > b，此时a2 = 1，b2 = 4，a2 < b2，所以a2 > b2不一定
成立. 故B错误.
对于C选项，对于a3 > b3.因为a3 −b3 = (a −b)(a2 + ab + b2)，又a2 + ab + b2 = (a + b
2 )
2
+ 3b2
4 恒大于0，已
知a > b，即a −b > 0，所以a3 −b3 > 0，即a3 > b3一定成立. 故C正确.
对于D选项，对于|a| > |b|.当a = 1，b = −2时，满足a > b，但|a| = 1，|b| = 2，|a| < |b|，所以|a| > |b|不一定
成立.故D错误.
故选：C.
答案
解析
考点4：叠加性的应用
B组
1
已知−1 < 2a + b < 2，3 < a −b < 4，求5a + b的取值范围.
7
{x|1 < x < 8}
令5a + b = λ (2a + b) + μ (a −b) = (2λ + μ)a + (λ −μ)b.
∴{
解得{
∴5a + b = 2 (2a + b) + (a −b).
∵−1 < 2a + b < 2，∴−2 < 2 (2a + b) < 4.
又3 < a −b < 4，∴1 < 2 (2a + b) + (a −b) < 8.
故5a + b的取值范围为{x|1 < x < 8}.
答案
解析
2λ + μ = 5,
λ −μ = 1,
λ = 2,
μ = 1,
考点5：不等式性质的应用
B组
1
已知a､b都是正实数，且b
a = b −a.
(1)
求证：a > 1；
(2)
求b的最小值.
8
(1) 证明见解析
(2) 4
(1) 因为b
a = b −a，所以b =
a2
a −1 ，因为a､b都是正实数，所以
a2
a −1 > 0，所以a > 1，得证；
(2) 由（1）得b =
a2
a −1 ，a > 1，令t = a −1 > 0，则b = (t + 1)2
t
= t + 1
t + 2 ≥2√t × 1
t + 2 = 4，
当且仅当t = 1
t 即t = 1，a = 2时，等号成立，
所以b的最小值为4.
答案
解析
08 不等式的解法（一）
1
巩固练习
考点1：一元一次不等式的解法
A组
1
不等式组{
无实数解，则m的取值范围是
.
[5, +∞)
分类讨论m的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解.
对于{
，
当m < 5时，解得m < x < 5，不满足题意；
当m ≥5时，x > m ≥5与x < 5矛盾，即不等式组无实数解，
综上，m ≥5.
故答案为：[5, +∞)
x < 5
x > m
答案
解析
x < 5
x > m
B组
1
不等式ax > b (b ≠0)的解集不可能是（ ）
A. (−∞, b
a )
B. R
C. (−∞, −b
a )
D. ( b
a , +∞)
C
对参数a与0的关系以及b与0的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可.
当a > 0时，ax > b，则x > b
a ，不等式解集为( b
a , +∞)；
答案
解析
2
当a = 0时，若b > 0，则原不等式等价于0 ⋅x > b，不等式解集为空集；
当a = 0时，若b < 0，则原不等式等价于0 ⋅x > b，不等式解集为R；
当a < 0时，ax > b，则x < b
a ，不等式解集为(−∞, b
a )；
故不等式解集不可能为(−∞, −b
a ).
故选：C.
考点2：一元二次不等式的解法
A组
1
x ∈R ，则 “ x ≥2 ” 是 “ x2 −x > 0 ” 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
由一元二次不等式求解x2 −x > 0，结合集合的包含关系判断即可.
因为x2 −x > 0，解得x < 0或x > 1，记为M = {x|x < 0或x > 1}，
令N = {x|x ≥2}，
则N是M的真子集，
所以“x ≥2”是“x2 −x > 0”的充分不必要条件.
故选：A.
答案
解析
B组
1
已知集合A = {x|x2 −4x < 0, x ∈N, N > 0}，则集合A的真子集的个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 8
D. 7
3
D
解不等式化简集合A，再求出其真子集个数.
集合A = {x|x2 −4x < 0, x ∈N∗} = {x|0 < x < 4, x ∈N∗} = {1, 2, 3}
所以集合A的真子集的个数为23 −1 = 7.
故选：D
答案
解析
C组
1
若“x > a”是“x2 −2x −3 < 0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A. (−∞−1)
B. (−∞−1]
C. (−1, +∞)
D. [−1, +∞)
B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可．
【详解】由x2 −2x −3 < 0得−1 < x < 3，
∵x > a是−1 < x < 3的必要不充分条件，
∴a ≤−1，
故选：B．
答案
解析
考点3：根据不等式的解集求参数
A组
1
已知一元二次不等式x2 + bx + c < 0的解集为(1, 2)，则不等式bx2 −5x + c ≥0的解集是
.
[−2, 1
3 ]
答案
4
先根据一元二次不等式的解集求出b, c的值，代入到不等式中可求得解集.
由一元二次不等式x2 + bx + c < 0的解集为(1, 2)，
所以方程x2 + bx + c = 0的两根为1和2，则−b = 1 + 2，c = 1 × 2，
∴b = −3，c = 2，
所以不等式bx2 −5x + c ≥0为3x2 + 5x −2 ≤0，
解得−2 ≤x ≤1
3 ，即不等式的解集为[−2, 1
3 ].
故答案为：[−2, 1
3 ].
解析
B组
1
若不等式(1 −a)x2 −4x + 6 > 0的解集是{x ∣−3 < x < 1}．
(1)
求实数a的值；
(2)
当(b2 −1)x2 −2 (b −1)x + a −4 > 0的解集为∅时，求实数b的取值范围．
(1) a = 3
(2) [0, 1]
(1) 由题得(1 −a)x2 −4x + 6 = 0的两个解为x1 = −3, x2 = 1，
代入得{
，解得a = 3,
所以a = 3.
(2) 由（1）得(b2 −1)x2 −2(b −1)x −1 > 0的解集为∅，
当b2 −1 = 0 ⇒b = ±1时：
答案
解析
9(1 −a) + 12 + 6 = 0
(1 −a) −4 + 6 = 0
5
当b = 1时，原不等式等价为−1 > 0，显然为∅，合题意；
当b = −1，原不等式等价为4x −1 > 0，显然不为∅，舍去；
当b2 −1 ≠0时，要想(b2 −1)x2 −2(b −1)x −1 > 0的解集为∅，
需要{
，解得{
，即0 ≤b < 1，
综上b的取值范围为[0, 1].
b2 −1 < 0
Δ = 4(b −1)2 + 4(b2 −1) ≤0
−1 < b < 1
0 ≤b < 1
考点4：含参一元二次不等式的解法
B组
1
求下列关于x的不等式的解集：
(1)
5
x −7 ≥−1；
(2)
2a2x2 −3ax −2 > 0.
(1) {x |x > 7或 x ≤2}
(2) 答案见解析
(1) 由
5
x −7 ≥−1可得
5
x −7 + 1 = 5 + x −7
x −7
= x −2
x −7 ≥0，
即{
，解得x > 7或x ≤2，
即原不等式的解集为{x |x > 7或x ≤2}；
(2) 当a = 0时，原不等式即为−2 > 0，该不等式的解集为∅；
当a ≠0时，2a2 > 0，原不等式即为(2ax + 1) (ax −2) > 0.
①若a < 0，则−1
2a > 2
a ，原不等式的解集为{x
x < 2
a 或x > −1
2a }；
②若a > 0，则−1
2a < 2
a ，原不等式的解集为{x
x < −1
2a 或x > 2
a }.
综上所述，当a = 0时，原不等式的解集为∅；
答案
解析
(x −2) (x −7) ≥0
x −7 ≠0
6
当a < 0时，原不等式的解集为{x
x < 2
a 或x > −1
2a }；
当a > 0时，原不等式的解集为{x
x < −1
2a 或x > 2
a }.
考点5：一元二次不等式在实数集上恒成立问题
B组
1
若关于x的不等式2kx2 + kx + 1
8 > 0对于一切实数x都成立，求实数k的取值范围．
k ∈[0, 1)
分类讨论，当k = 0满足题意；当k ≠0时，列出不等式组求解即可．
当k = 0时，1
8 > 0符合题意；
当k ≠0时，由题可知{
，即{
，解得k ∈(0, 1)；
综上所述，k ∈[0, 1)．
答案
解析
k > 0
Δ < 0
k > 0
k2 −k < 0
C组
1
已知函数h(x) = ax2 + ax + 2．
(1)
若对于任意x ∈R，不等式h(x) > −1恒成立，求实数a的取值范围；
(2)
当a < 0时，解关于x的不等式h(x) < (1 −a)x + 4．
7
(1) [0, 12)；
(2) 答案见解析
(1) h(x) > −1即为ax2 + ax + 3 > 0，
所以不等式ax2 + ax + 3 > 0对于任意x ∈R恒成立，
当a = 0时，得3 > 0，显然符合题意；
当a ≠0时，得{
，解得0 < a < 12．
综上，实数a的取值范围是[0, 12)．
(2) 不等式h(x) < (1 −a)x + 4即为ax2 + (2a −1)x −2 < 0，
即(ax −1)(x + 2) < 0．
又a < 0，不等式可化为(x −1
a ) (x + 2) > 0，
若1
a < −2，即−1
2 < a < 0时，得x < 1
a 或x > −2，即解集为\left\{x| x< \dfrac{1}{a}或x > −2}；
若1
a = −2，即a = −1
2 时，得x ≠−2，即解集为{x|x ≠−2}；
若1
a > −2，即a < −1
2 时，得x < −2或x > 1
a ，即解集为{x|x < −2或x> \dfrac{1}
{a}\right\}
．
综上可知，当−1
2 < a < 0时，解集为\left\{x| x< \dfrac{1}{a}或x > −2}；
当a = −1
2 时，解集为{x|x ≠−2}；
当a < −1
2 时，解集为{x|x < −2或x> \dfrac{1}
{a}\right\}
．
答案
解析
a > 0
Δ = a2 −12a < 0
考点6：一元二次不等式在某区间上恒成立问题
B组
8
1
若对关于x的不等式2kx2 + kx + 1
8 > 0对一切任意x ∈(−1
8 , +∞)都成立，则实数k的取值范围是
.
[0, 4
3 ]
分k = 0和k ≠0两种情况，结合二次函数分析求解.
当k = 0时，则1
8 > 0符合题意；
当k ≠0时，可得
，解得0 < k ≤4
3 ；
综上所述：实数k的取值范围是[0, 4
3 ].
故答案为：[0, 4
3 ].
答案
解析
⎧
⎨
⎩
k > 0
−1
4 < −1
8
2k(−1
8 )
2
−1
8 k + 1
8 ≥0
C组
1
已知关于x的不等式kx2 −2x + 6k < 0 (k > 0)．
(1)
若不等式的解集为A = (2, 3)，求实数k的值；
(2)
若不等式在x ∈(2, 3)时恒成立，求实数k的取值范围．
(1) k = 2
5 ；
(2) $0.
答案
解析
9
(1) 由题设知：2, 3是方程kx2 −2x + 6k = 0 (k > 0)的两个根，
所以2
k = 2 + 3 = 5，即k = 2
5 ，经检验满足题设，
所以k = 2
5 .
(2) 令f (x) = x2 −2
k x + 6，则f(x) < 0在x ∈(2, 3)上恒成立，
而f(x)开口向上且对称轴x = 1
k > 0，故Δ = 4
k2 −24 > 0，
所以0 < k < √6
6 ，此时对称轴x = 1
k ∈(√6, +∞)，
当√6 < 1
k < 3 ⇒1
3 < k < √6
6 时，
⇒k ≤2
5 ，此时$\dfrac13；
当1
k ≥3 ⇒0 < k ≤1
3 时，只需f(2) = 10 −4
k ≤0 ⇒k ≤2
5 ，此时0 < k ≤1
3 ；
综上，$0.
⎧
⎨
⎩
f(2) = 10 −4
k ≤0
f(3) = 15 −6
k ≤0
09 不等式的解法(二)
1
巩固练习
考点1：不含参分式不等式的解法
A组
1
不等式2x −1
x
< 0的解集是
.
{x
0 < x < 1
2 }
根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.
2x −1
x
< 0 ⇒{
或{
，得0 < x < 1
2 .
故答案为：{x
0 < x < 1
2 }.
答案
解析
2x −1 < 0
x > 0
2x −1 > 0
x < 0
B组
1
不等式
x
x2 −4x + 6 ≥1的解集为
．
[2, 3]
由于x2 −4x + 6 > 0恒成立，所以将解分式不等式问题转化为解一元二次不等式x2 −5x + 6 ≤0，则答案可得.
因为x2 −4x + 6 = (x −2)2 + 2 > 0，所以x2 −4x + 6 > 0恒成立，
所以
x
x2 −4x + 6 ≥1 ⇔x ≥x2 −4x + 6，
所以x2 −5x + 6 ≤0，(x −2) (x −3) ≤0，
所以2 ≤x ≤3．
答案
解析
2
故答案为：[2, 3].
考点2：含参分式不等式的解法
A组
1
已知
ax
x −1 < 1的解集是{x ∣x < 1或x > 2}，求实数a的值．
a = 1
2
首先将分式不等式转化为一元二次不等式的形式，再根据解集形式，求参数的取值.
∵
ax
x −1 < 1，∴ax −x + 1
x −1
< 0，即[(a −1)x + 1] (x −1) < 0，
又∵不等式
ax
x −1 < 1的解集为{x ∣x < 1或x > 2}，
∴a −1 < 0，∴(x +
1
a −1 ) (x −1) > 0，∴−
1
a −1 = 2，∴a = 1
2 ．
答案
解析
B组
1
已知不等式ax2 + bx + 1 > 0的解集为{x
−1
2 < x < 1
3 }，则a + b =
，此时不等式ax + 3
x −b ≤0的解集为
．
3
−7 ; (−∞, −1) ∪[ 1
2 , +∞)
根据不等式的解集确定方程的根，利用根与系数的关键求解出参数，代入分式不等式，将分式不等式转化为
一元二次不等式求解．
根据题意可知，ax2 + bx + 1 = 0的两根分别为−1
2 和1
3 ，
则−1
2 + 1
3 = −b
a ，−1
2 ⋅1
3 = 1
a ，
解得a = −6，b = −1，
所以a + b = −7，
而ax + 3
x −b ≤0可化为{
，
解得x ∈(−∞, −1) ∪[ 1
2 , +∞)，
故答案为：−7，(−∞, −1) ∪[ 1
2 , +∞)．
答案
解析
x + 1 ≠0
(−6x + 3) (x + 1) ≤0
考点3：单绝对值不等式的解法
A组
1
下列不等式中，与|x −2|＜3的解集相同的是(
)
A. x2 −4x −5＜0
B. x + 1
x −5 ≤0
C. (5 −x)(x + 1)＜0
D. x2 + 4x −5＜0
A
∵|x −2|＜3，
∴−3＜x −2＜3，−1＜x＜5，
故不等式|x −2|＜3的解集为(−1，5)．
由x2 −4x −5＜0可得 (x + 1)(x −5)＜0，−1＜x＜5，
故不等式x2 −4x −5＜0的解集为(−1，5)．
由x + 1
x −5 ≤0可得 (x + 1)(x −5) ≤0，x −5 ≠0，解得−1 ≤x＜5，
答案
解析
4
故x + 1
x −5 ≤0的解集为[−1，5)．
由(5 −x)(x + 1)＜0可得−1＞x或x＞5，
故(5 −x)(x + 1)＜0的解集为(−∞，−1) ∪(5，+ ∞)．
由x2 + 4x −5＜0可得(x −1)(x + 5)＜0，解得−5＜x＜1，
故x2 + 4x −5＜0的解集为(−5，1)．
故选A。
B组
1
不等式x2 −5 |x| −6 < 0的解集是_____________.
A. (−1, 6)
B. (−6, 1).
C. (−1, 1)
D. (−6, 6)
D
∵x2 = |x|2
x2 −5 |x| −6 < 0可转化为|x|2 −5 |x| −6 < 0
(|x| −6) (|x| + 1) < 0
{
∴(−6, 6)
答案
解析
|x| ∈(−1, 6)
|x| ≥0
C组
1
不等式 x −1 < |2x −1| < x 的解集为 .
( 1
3 , 1)
【分析】分 2x −1 ≥0 和 2x −1 < 0 ，进行分类讨论求不等式解集.
【详解】当 2x −1 ≥0 ，即 x ≥1
2 时，则原不等式转化为 x −1 < 2x −1 < x ，即 {
，解得
答案
解析
x −1 < 2x −1
2x −1
5
0 < x < 1 ，故 1
2 ≤x < 1 ，
当 2x −1 < 0 ，即 x < 1
2 时，则原不等式转化为 x −1 < 1 −2x < x ，即 {
，解得
1
3 < x < 2
3 ，故 1
3 < x < 1
2 ，综上知不等式 x −1 < |2x −1| < x 的解集为 x ∈( 1
3 , 1) ，故答案为:
( 1
3 , 1).
x −1 < 1 −2x
1 −2x < x
考点4：双绝对值不等式的解法
A组
1
解下列不等式：
(1)|2x −1| −|x −2| < 0； (2)|x −1 |+|x −3| ≥4.
(1)(−1, 1)(2)(−∞, 0 ]∪[4, +∞)
(1)∵0 < |2x −1| < |x −2|
∴(|2x −1|)2 < (|x −2|)2
∴(−1, 1)
(2)当x ≤1时,原不等式化为−x + 1 −x + 3 ≥4,即x ≤0
当1x ≤3时,原不等式化为x −1 −x + 3 ≥4,即2 ≥4,则x ∈∅
当x3时,原不等式化为x −1 + x −3 ≥4,即x ≥4
综上,不等式|x −1 |+|x −3| ≥4解集是 (−∞, 0 ]∪[4, +∞)．
答案
解析
B组
1
解下列不等式：
(1)
2
x < x + 1；
6
(2)
|x| +
1
x + 1
>
x +
1
x + 1
．
(1) (−2, 0) ∪(1, +∞)
(2) (−1, 0)
(1) 【分析】：分 x > 0 和 x < 0 两种情况解不等式，再相并．
∵2
x < x + 1，
∴{
或 {
解得：x > 1 或 −2 < x < 0，
原不等式的解集为 (−2, 0) ∪(1, +∞)．
(2) 【分析】：根据绝对值不等式 |a| + |b| ⩾|a + b| 取等号的条件是 ab ⩾0，得 |a| + |b| > |a + b| 成立的充要
条件是 ab < 0．
由 |x| +
1
x + 1
>
x +
1
x + 1
，
得 x ⋅
1
x + 1 < 0，解得 −1 < x < 0，
∴ 原不等式的解集为 (−1, 0)．
答案
解析
x > 0
2 < x2 + x
x < 0
2 > x2 + x
考点5：含参绝对值不等式的解法
B组
1
关于 x 的不等式 |x + 3| −|x −1| ⩽a2 −5a 的解集不是 ∅，则实数 a 的取值范围为
．
7
(−∞, 1] ∪[4, +∞)
∵|x + 3| −|x −1| ⩾−|(x + 3) −(x −1)| = −4，
∴(|x + 3| −|x −1|)min = −4．
∵ 不等式 |x + 3| −|x −1| ⩽a2 −5a 的解集不是 ∅，
∴ 只需 a2 −5a ⩾(|x + 3| −|x −1|)min = −4，
∴a2 −5a + 4 ⩾0，∴a ⩾4 或 a ⩽1，
∴a 的取值范围为 (−∞, 1] ∪[4, +∞)．
故答案为：(−∞, 1] ∪[4, +∞)．
答案
解析
10 基本不等式（一）
1
巩固练习
考点1：积定和最小(积为定值时和有最小值)
A组
1
已知x > 1，则x +
4
x −1 的取值范围是
.
[5, +∞)
化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得.因为x > 1,所以x −1 > 0,
所以x +
4
x −1 = x −1 +
4
x −1 + 1 ≥2√(x −1) ⋅
4
x −1 + 1 = 5,当且仅当x −1 =
4
x −1 ,即x = 3时取等号.
故答案为:[5, +∞).
本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题.
答案
解析
B组
1
《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算
术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两
个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形
进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许
多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作
AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是（ ）
2
A. 由题图（1）和题图（2）面积相等得d =
2ab
a + b
B. 由AE ≥AF可得√a2 + b2
2
≥a + b
2
C. 由AD ≥AE可得√a2 + b2
2
≥
2
1
a + 1
b
D. 由AD ≥AF可得a2 + b2 ≥2ab
BCD
根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中AD
，AE，AF的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案．
对于A，由题图（1），（2）面积相等得S = ab = (a + b) × d，所以d =
ab
a + b ，故A错误．
对于B，因为AF⊥BC，所以1
2 × a × b = 1
2 √a2 + b2 × AF，所以AF =
ab
√a2 + b2 ，
设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得a −t
a
= t
b ，解得t =
ab
a + b ，所以
AE = √2t =
√2ab
a + b ．
因为AE ≥AF，所以√2ab
a + b ≥
ab
√a2 + b2 ，整理可得√a2 + b2
2
≥a + b
2
，故B正确．
对于C，因为D为斜边BC的中点，所以AD = √a2 + b2
2
，
因为AD ≥AE，所以
√a2 + b2
2
≥√2ab
a + b ，整理得√a2 + b2
2
≥
2
1
a + 1
b
，故C正确．
对于D，因为AD ≥AF，所以√a2 + b2
2
≥
ab
√a2 + b2 ，整理得a2 + b2 ≥2ab，故D正确．
故选：BCD
答案
解析
考点2：一正二定三相等
A组
1
x ∈R，且使代数式有意义，则下列代数式中最小值为2的是（ ）
A. x + 1
x
B. 2x + 2−x
C. x2 + 4
x2
D. √x2 + 2 +
1
√x2 + 2
答案
3
B
根据基本不等式判断．
选项A中，x < 0时，y < 0，不合题意；
选项B中，2x + 2−x ≥2√2x ⋅2−x = 2，当且仅当x = 0时等号成立，满足题意；
选项C中，x2 + 4
x2 ≥2√x2 ⋅4
x2 = 4，当且仅当x = ±√2时等号成立，不满足题意；
选项D中，√x2 + 2 +
1
√x2 + 2
≥2√√x2 + 2 ⋅
1
√x2 + 2
= 2，当且仅当√x2 + 2 =
1
√x2 + 2
时等号成立，但
此方程无实解，不合题意．
故选：B．
解析
B组
1
若a > 1，b > 1且a ≠b，则a + b、2ab、2√ab、a2 + b2中值最小的是( )
A. a + b
B. 2ab
C. 2√ab
D. a2 + b2
C
由基本不等式，可求得a + b > 2√ab，a2 + b2 > 2ab，再利用作差比较，可得2ab > 2√ab，即可得到判断，即
可求解.由题意，实数a > 1，b > 1且a ≠b，
根据基本不等式，可得a + b ≥2√ab，当且仅当a = b时，等号成立，
因为a ≠b，所以等号不成立，所以a + b > 2√ab
又由a2 + b2 ≥2ab当且仅当a = b时，等号成立，
因为a ≠b，所以等号不成立，所以a2 + b2 > 2ab，
因为a > 1，b > 1，所以√ab > 1，
所以2ab −2√ab = 2√ab(√ab −1) > 0，即2ab > 2√ab，
所以a + b、2ab、2√ab、a2 + b2中值最小的是2√ab，
故选C.
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，以及熟练应用基本
不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
答案
解析
4
考点3：和定积最大(和为定值时积有最大值)
A组
1
已知正实数x，y满足x + 2y = 3，则xy的最大值为
.
9
8
由两个正数的基本不等式x + 2y = 3 ≥2√2xy即可求得xy的最大值.
由x, y为正实数，x + 2y = 3 ≥2√2xy，得xy ≤9
8 ，
当且仅当x = 2y时，xy的最大值为9
8 ，
又x + 2y = 3，即当x = 3
2 , y = 3
4 时，xy的最大值为9
8 .
故答案为：9
8
本题考查了基本不等式的应用，已知和为定值，求积的最大值，属于基础题.
答案
解析
B组
1
已知x< 5
4 ，求y＝4x－2＋
1
4x −5 的最大值；
答案
5
1
∵x< 5
4 ，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋
1
4x −5 ＝－(5 −4x +
1
5 −4x )＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝
1
5 −4x ，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，y
＝1.
本题主要考查基本不等式求最值，变形是关键，属于中档题.
解析
max
考点4：三角不等式及其取等条件
A组
1
对于任意的实数a、b，有不等式|a + b| ≤|a| + |b|，等号当且仅当（ ）时成立
A. a、b同号
B. a、b异号
C. a = b
D. ab ≥0
D
利用不等式的性质和绝对值的意义，即可求解.
因为|a + b| ≤|a| + |b|，两边平方得到a2 + 2ab + b2 ≤a2 + 2 |a| |b| + b2，
整理得得到ab ≤|ab|，所以等号当且仅当ab ≥0时成立，
故选：D.
答案
解析
B组
1
若x ，x 都满足方程|2x −1 |+|2x + 3| = 4 且x1 < x2 ，则x2 −x1 的取值范围是
．
（0，2]．
1
2
答案
6
根据绝对值三角不等关系等号成立的条件即可x的范围，进而可求解．
∵方程|2x −1 |+|2x + 3| = 4，即x −1
2
+
x + 3
2
= 2,
由于x −1
2
+
x + 3
2
≥
(x −1
2 ) −(x + 3
2 )
= 2，故等号成立的条件为(x −1
2 ) (x + 3
2 ) ≤0
故−3
2 ≤x ≤1
2 ，
从而可得0 < x2 −x1 ≤1
2 −(−3
2 ) = 2，
故x2 −x1的取值范围为（0，2]．
故答案为：（0，2]．
解析
考点5：三角不等式求最值
A组
1
代数式|a −40| + |a + 20|的最小值是
．
60
利用绝对值三角不等式求出最小值.
|a −40| + |a + 20| ⩾|a −40 −(a + 20)| = 60.
故答案为：60
答案
解析
B组
1
已知a = −2，若不等式|a + b| + |a −b| ≥m恒成立，则m的取值范围为
.
m ≤4
答案
解析
7
根据绝对值不等式求解最值即可求解.
|a + b| + |a −b| ≥m恒成立，等价于m ≤(|a + b| + |a −b|)min，
又|a + b| + |a −b| ≥|(a + b) + (a −b)| = 2 |a| = 4，∴m ≤4.
故答案为：m ≤4
2
已知函数f(x) = |x −k| + |x −3k|
(k > 0)，若当3 ≤x ≤4时，f(x)都能取到最小值，则实数k的取值范围是
.
[ 4
3 , 3]
由绝对值的意义可得函数f(x)的最小值为2k，所以可得k ≤3 < 4 ≤3k，可求得实数k的取值范围.根据绝对值
的意义,函数f(x) = |x −k| + |x −3k|(k > 0)表示数轴上的x对应点到k、3k对应点的距离之和，所以
f(x) = |x −k| + |x −3k| ≥|(x −k) −(x −3k)| = 2k(k > 0)，
故当k ≤x ≤2k时，函数取得最小值为2k.
而已知当3 ≤x ≤4时，f(x)能取到最小值,故有[3, 4] ⊆[k, 3k]，
所以k ≤3，且4 ≤3k，求得4
3 ≤k ≤3，
故答案为[ 4
3 , 3].
本题考查绝对值的几何意义，关键在于由绝对值的几何意义得函数f(x)取得最小值的条件，建立关于k的不等
式，属于中档题.
答案
解析
3
已知关于x的不等式|x −1| −1 ≤2a −|x + 1|有实数解，则实数a的取值范围为
.
a ≥1
2
由题意2a + 1 ≥(|x + 1| + |x −1|)min，构造函数f(x) = |x + 1| + |x −1|，求解函数的最小值即可求解.
因为不等式|x −1| −1 ≤2a −|x + 1|有实数解，所以2a + 1 ≥|x + 1| + |x −1|有实数解，
所以2a + 1 ≥(|x + 1| + |x −1|)min，记f(x) = |x + 1| + |x −1|，
则f (x) =
，当x ∈(−1, 1)时，f (x) = 2，
答案
解析
⎧
⎨
⎩
−2x, x ≤−1
2, −1 < x < 1
2x, x ≥1
8
当x ∈(−∞, −1]时，f (x) = −2x，此时函数f (x)单调递减，所以f (x) ≥(−2) × (−1) = 2，
当x ∈[1, +∞)时，f (x) = 2x，此时函数f (x)单调递增，所以f (x) ≥2 × 1 = 2，
综上，函数f (x)取最小值为2，所以2a + 1 ≥2，解得a ≥1
2 ，
所以a ≥1
2 .
故答案为：a ≥1
2
考点6：三角不等式的其他应用
A组
1
设x ∈R，[x]表示不大于x的最大整数，如[π] = 3, [−1.2] = −2, [ 1
2 ] = 0，则使[|x −1|] = 3成立的x的取值范围
．
−3或4\le x<5$
根据[x]的定义可得3 ≤|x −1| < 4，解绝对值不等式可得结果.
由[|x −1|] = 3得3 ≤|x −1| < 4，
所以$-4或3 ≤x −1 < 4，
所以$-3或4 ≤x < 5.
故答案为：$-3或4 ≤x < 5
关键点点睛：根据[x]的定义得到3 ≤|x −1| < 4是解题关键.
答案
解析
2
对任意x ∈R，x ≠−1，不等式|2x −1| + |2 −x|
|x + 1|
≥a恒成立，则实数a的取值范围是
；
(−∞, 1].
由绝对值三角不等式得|2x −1| + |2 −x|
|x + 1|
≥1，进而可解得结果.
答案
解析
9
因为|2x −1| + |2 −x| ≥|(2x −1) + (2 −x)| = |x + 1|，且x ≠−1，
所以|2x −1| + |2 −x|
|x + 1|
≥1，则a ≤1，即实数a的取值范围是(−∞, 1].
故答案为：(−∞, 1].
11 基本不等式（二）
1
巩固练习
考点1：“1“的代换的直接运用
A组
1
已知正数x, y满足x + y = 1，则1
x + 4
y 的最小值为
．
9
把要求的式子变形为(x + y) ( 1
x + 4
y ) = 1 + 4x
y + y
x + 4，利用基本不等式即可得到1
x + 4
y 的最小值．
因为x > 0, y > 0, x + y = 1,
所以(x + y) ( 1
x + 4
y ) = 1 + 4x
y + y
x + 4 ≥5 + 2√4 = 9，
当且仅当4x
y = y
x 即x = 1
3 , y = 2
3 时，取等号．
故答案为： 9
答案
解析
B组
1
已知x > 0，y > 0，若不等式(2x + y) ( m
x + 2
y ) ≥18恒成立，则正实数m的最小值是
.
4
结合基本不等式可得到不等式2m + 2 + 4√m ≥18，解不等式可求得结果.
∵x > 0，y > 0，m > 0，
∴(2x + y) ( m
x + 2
y ) = 2m + 4x
y + my
x
+ 2 ≥2m + 2 + 2√4x
y ⋅my
x
= 2m + 2 + 4√m（当且仅当
答案
解析
2
4x
y = my
x ，即√my = 2x时等号成立），
由题意知：2m + 2 + 4√m ≥18，整理得：(√m + 4) (√m −2) ≥0，解得：m ≥4，
∴正实数m的最小值是4.
故答案为：4.
C组
1
若两个正实数x，y满足4x + y = 2xy，且不等式 x + y
4 < m2 −m有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. (−1, 2)
B. (−∞, −2) ∪(1, +∞)
C. (−2, 1)
D. (−∞, −1) ∪(2, +∞)
D
根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出x + y
4 的最小值，再解一元二次不等式即得.
由两个正实数x，y满足4x + y = 2xy，得1
x + 4
y = 2，
则x + y
4 = 1
2 ( 1
x + 4
y ) (x + y
4 ) = 1
2 (2 + 4x
y + y
4x ) ≥1
2 (2 + 2√4x
y ⋅y
4x ) = 2，
当且仅当4x
y = y
4x ，即y = 4x = 4时取等号，
由不等式 x + y
4 < m2 −m有解，得m2 −m > 2，解得m < −1或m > 2，
所以实数m的取值范围是(−∞, −1) ∪(2, +∞).
故选：D
答案
解析
考点2：“1“的代换的变形
A组
1
已知x, y是正实数，且满足xy −(x + y) = 1，则x + y的取值范围是 .
[2 + 2√2, +∞)
答案
3
x + y ≥2√xy，故xy −1 = x + y ≥2√xy，令√xy = t，t ≥0
则t2 −1 ≥2t，解得t ≥1 + √2或t ≤1 −√2 (舍)，故√xy ≥1 + √2 , x + y ≥2 + 2√2
当且仅当 x = y = √2 + 1时，等号成立
解析
B组
1
设0 < m < 1
2 ，若2
m +
2
1 −2m ≥k恒成立，则k的取值范围为
.
k ≤6 + 4√2
因为0 < m < 1
2 ，所以将2
m +
2
1 −2m 转化为2
m +
1
1
2 −m
然后与2 [m + ( 1
2 −m)]相乘然后运用基本不等
式求解.
因为0 < m < 1
2 ,所以2
m +
2
1 −2m = 2
m +
1
1
2 −m
= 2 [m + ( 1
2 −m)]
2
m +
1
1
2 −m
= 2 3 +
m
1
2 −m
+
2 ( 1
2 −m)
m
≥2 3 + 2
m
1
2 −m
×
2 ( 1
2 −m)
m
= 2 (3 + 2√2) = 6 + 4√2.
当且仅当
m
1
2 −m
=
2 ( 1
2 −m)
m
时，即m = 2 −√2
2
时等号成立,
所以k ≤6 + 4√2.
故答案为：k ≤6 + 4√2.
答案
解析
⎷
考点3：基本不等式的实际应用（填选）
A组
1
如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于
.
4
25
4
设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，由勾股定理可得a2 + b2 = 25，
由重要不等式可知25 = a2 + b2 ≥2ab，
因此，该直角三角形的面积为S = 1
2 ab ≤1
2 × 25
2 = 25
4 .
当且仅当a = b = 5√2
2
时取等号，即这个直角三角形面积的最大值等于25
4 .
故答案为：25
4 .
本题考查利用重要不等式求最值，要根据题意得出定值条件，结合重要不等式的变形进行求解，考查计算能
力，属于基础题.
答案
解析
2
已知a > b > 0，那么，当代数式a2 +
16
b(a −b) 取最小值时，点P(a, b)的坐标为
(2√2, √2)
解：因为a > b > 0 :
∴b(a −b) ≤( b + a −b
2
)
2
= a2
4 ；
所以a2 +
16
b(a −b) ≥a2 + 64
a2 ≥2√64 = 16．当且仅当{
，即{
时取等号，
此时P(a, b)的坐标为：(2√2, √2)．
故答案为：(2√2, √2)．
本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．
答案
解析
a4 = 64
b = a −b
a = 2√2
b = √2
B组
1
三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作
为“（ ）”的几何解释.
5
A. 如果a > b > 0，那么√a > √b
B. 如果a > b > 0，那么a2 > b2
C. 对任意实数a和b，有a2 + b2 ≥2ab，当且仅当a = b时等号成立
D. 对任意正实数a和b，有a + b ≥2√ab，当且仅当a = b时等号成立
C
可将直角三角形的两直角边长度取作a, b，斜边为c(c2 = a2 + b2)，可得外围的正方形的面积为c2，也就是
a2 + b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，可得对任意正实数a和b，有a2 + b2 ≥2ab，即可得出.可将直角三角形
的两直角边长度取作a, b，斜边为c(c2 = a2 + b2)，
则外围的正方形的面积为c2，也就是a2 + b2，
四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2 + b2 ≥2ab，
当且仅当a = b时等号成立，故选C.
该题考查的是有关不等式的问题，结合勾股定理，利用直角三角形的面积公式，得到其对应的关系，从而可
以得到在什么情况下取得等号.
答案
解析
考点4：基本不等式的实际应用（解答）
A组
1
用一根长为l的铁丝制成一个矩形框架，当长和宽分别为多少时，该框架的面积最大？
6
l2
16
由已知结合基本不等式应用条件：和定积最大即可求解.
设矩形框架的长为x，宽为y，矩形面积为xy，由题意可知x + y = l
2 , x > 0, y > 0，
由基本不等式，得l
2 = x + y ⩾2√xy，即xy ≤l2
16 ，当且仅当x = y = l
4 时，等号成立.
故当矩形的长为l
4 ，宽为l
4 时，该框架的面积最大，最大值为l2
16
答案
解析
B组
1
某企业在现有设备下每日生产原先成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式：
y = 2x2 + (15 −4k)x + 120k + 8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企
业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x = 1时，总成本（总成本为原先成
本和除尘费用之和）为142万元．
(1)
求k的值：
(2)
求引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的成本最小，并求出最小值．
(1) 1
(2) 日产量8吨时，每吨产品的成本最小44万元
(1) 该企业引进了除尘设备，
答案
解析
7
每日生产总成本h（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的关系为
h = 2x2 + (15 −4k)x + 120k + 8 + kx = 2x2 + (15 −3k)x + 120k + 8，
当日产量x = 1时，总成本为h = 142万元，代入得2 + (15 −3k) + 120k + 8 = 142 ⇒k = 1，
(2) 由（1）知，h = 2x2 + 12x + 128，
所以每吨产品的成本为w = 2x2 + 12x + 128
x
= 2x + 128
x
+ 12 ≥2√2x ⋅128
x
+ 12 = 44，
当且仅当2x = 128
x ，即x = 8时，取等号，
所以引进除尘设备后日产量为8吨时，每吨产品的成本最小，且最小值为44万元.
12 暑期复习
1
巩固练习
考点2：集合的运算
A组
1
已知集合P = {x ∈Z| −5 ≤x ≤3}，Q = {x ∈N ∣x2 ≥16} ，则P ⋂Q=（ ）
A. [1,3]
B. [1,4]
C. {0,1,2,3}
D. {0,1,2,3,4}
C
因为P = {x ∈Z| −5 ≤x ≤3} = {−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3}，∁N
Q = {x ∈N ∣x2 < 16} = {0，1，2，3} ，
所以P∩(∁NQ)= {0,1,2,3}，
故选：C.
–
答案
解析
2
已知非空集合A、B，A ={a|a具有性质α}，B ={b|b具有性质β}.如果命题“如果α，那么β”为假命题，那么下列哪张
关于集合A、B包含关系的图象一定不成立（ ）
A.
B.
C.
D.
2
C
由命题“如果α，那么β”为假命题，可知A不是B的子集，从而可选出答案.
由题意，如果命题“如果α，那么β”为真命题，那么A是B的子集；
如果命题“如果α，那么β”为假命题，那么A不是B的子集，
根据四个选项，可知C符合题意.
故选：C.
答案
解析
B组
1
已知常数a ∈R，集合A = {x| 2x + 11
x + 2
≥3}，集合B = {x|x2 + 2ax −3a2 < 0}.
(1)
若a = 2，求A ∩B；
(2)
若A ∪B = A，求实数a的取值范围.
(1) (−2, 2)；
(2) −5
3 ≤a ≤2
3 ．
(1) 2x + 11
x + 2
≥3 ⇔−x + 5
x + 2
≥0 ⇔x −5
x + 2 ≤0 ⇔{
⇔−2 < x ≤5，A = (−2, 5]，
a = 2时，B = {x|x2 + 4x −12 < 0} = {x|(x −2)(x + 6) < 0} = (−6, 2)，
A ∩B = (−2, 2)；
(2) 由A ∪B = A得B ⊆A，
a = 0时，B = {x|x2 < 0} = ∅，满足题意，
x2 + 2ax −3a2 = 0的两根分别是a和−3a，
a > 0时，B = (−3a, a)，由题意−2 ≤−3a < a ≤5，解得0 < a ≤2
3 ，
a < 0时，B = (a, −3a)，由题意−2 ≤a < −3a ≤5，解得−5
3 ≤a < 0，
答案
解析
x + 2 ≠0
(x −5)(x + 2) ≤0
3
综上，−5
3 ≤a ≤2
3 ．
考点3：充分条件与必要条件
A组
1
设条件a: x −2
x + 3 ≥0，条件β: (x −2) (x + 3) ≥0，则条件a是条件β的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
分别计算α，β所表示的集合，再根据充分条件和必要条件的定义判定选项即可.
α对应的集合为A = {x|x ≥2或x < −3}，β对应的集合为B = {x|x ≥2或x ≤−3}
∴A ⊂B, ∴条件α是条件β的充分不必要条件.
故选：A.
答案
解析
2
设A、B均为非空集合，则“x ∈A ∩B”是“x ∈A ∪B”的
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
A
分别判断充分性和必要性，推断得到答案.当x ∈A ⋂B时，一定满足x ∈A ⋃B，充分性；
当x ∈A ⋃B，不一定满足x ∈A ⋂B，不必要；
故选：A
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
答案
解析
B组
1
4
已知命题p：x<-1或x>3，命题q：x<3m+1或x>m+2.若p是q的充分非必要条件，求m的取值范围.
[−2
3 , +∞)
按m > 1
2 与m ≤1
2 确定命题q，再根据给定的充分非必要条件得出集合的包含关系并列出关于m的不等式组求
解即得.
因命题p：x<-1或x>3，则命题p所对集合A = (−∞, −1) ∪(3, +∞)，
命题q：x<3m+1或x>m+2，当3m+1>m+2，即m > 1
2 时，命题q：x ∈R，此时AR，
有p是q的充分非必要条件，于是得m > 1
2 ；
当3m+1≤m+2，即m ≤1
2 时，命题q所对集合B = (−∞, 3m + 1) ∪(m + 2, +∞)，
若p是q的充分非必要条件，则必有AB，
于是得
且3m + 1 = −1与m + 2 = 3的“=“不同时成立，解得：−2
3 ≤m ≤1
2 ，
综上得m ≥−2
3 ，
所以实数m的取值范围是[−2
3 , +∞).
答案
解析
⎧
⎨
⎩
m ≤1
2
3m + 1 ≥−1
m + 2 ≤3
考点4：不等式的基本性质
A组
1
如果ab > 0，那么“a > b”是“ 1
a < 1
b ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5
C
由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可.
若ab > 0，a > b，则b −a < 0，
则1
a −1
b = b −a
ab
< 0，即1
a < 1
b ，充分性成立；
若ab > 0，1
a < 1
b ，则1
a −1
b = b −a
ab
< 0，
所以b < a，必要性成立，
所以如果ab > 0，那么“a > b”是“ 1
a < 1
b ”的充要条件.
故选：C
答案
解析
考点5：解不等式
A组
1
不等式1 + 1
x < 0的解集是
.
(−1, 0)
根据分式不等式的解法求解即可.
因为1 + 1
x < 0⇒x + 1
x
< 0⇒x (x + 1) < 0,
所以原不等式的解集为：(−1, 0).
故答案为：(−1, 0)
答案
解析
B组
1
若0<a<1，则不等式(a－x)(x −1
a ) >0的解集是
．
6
$\left\{ x\left| a<\dfrac{1}{a} \right. \right\}$
将原不等式化为(x −a) (x −1
a ) < 0，再根据a的取值范围，得到a与1
a 的关系，从而得解；
解:原不等式即(x −a) (x −1
a ) < 0，
由$0<1$，得a < 1
a ，所以$a<\dfrac{1}{a}$．
所以不等式的解集为$\left\{ x\left| a<\dfrac{1}{a} \right. \right\}$．
故答案为：$\left\{ x\left| a<\dfrac{1}{a} \right. \right\}$．
本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于基础题.
答案
解析
2
已知关于x的不等式x2 + ax + a + 3 > 0的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）．
A. (−2, 6)
B. (−∞, −2) ∪(6, +∞)
C. [−2, 6]
D. (−∞, −2] ∪[6, +∞)
A
根据题意可得Δ = a2 −4(a + 3) < 0，解一元二次不等式可得答案.
由题意关于x的不等式x2 + ax + a + 3 > 0的解集为R，
则Δ = a2 −4(a + 3) < 0 ，解得−2 < a < 6，
即实数a的取值范围是(−2, 6)，
故选：A
答案
解析
3
已知集合A = {x
x −2
2x + 3 ≤0}，集合B = {x |m −1 ≤x ≤2m + 1}，若B ⊆A，求m的取值范围.
7
m ∈(−∞, −2) ∪(−1
2 , 1
2 ]
化简集合A，根据集合的包含关系列不等式可求m的范围.
解不等式x −2
2x + 3 ≤0得−3
2 < x ≤2，
所以A = {x| −3
2 < x ≤2}，
由B ⊆A，B = {x |m −1 ≤x ≤2m + 1}，可得
当集合B = ∅时，m −1 > 2m + 1，解得m < −2；
当集合B ≠∅时，
，解得−1
2 < m ≤1
2 .
综上：m ∈(−∞, −2) ∪(−1
2 , 1
2 ].
答案
解析
⎧
⎨
⎩
m −1 ≤2m + 1
m −1 > −3
2
2m + 1 ≤2
考点6：基本不等式
A组
1
已知x ∈(0, +∞)，则y = 2x +
4
2x + 1 的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 3√2
D. 6
A
根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
由x ∈(0, +∞)，得2x + 1 > 1，
y = 2x +
4
2x + 1 = 2x + 1 +
4
2x + 1 −1 ≥2√(2x + 1) ⋅
4
2x + 1 −1 = 3，
答案
解析
8
当且仅当2x + 1 =
4
2x + 1 ，即x = 1
2 时取等号，
所以y = 2x +
4
2x + 1 的最小值为3.
故选：A
B组
1
已知0＜x＜1，则x(3－3x)取最大值为
A. 1
2
B. 1
4
C. 2
3
D. 3
4
D
配凑成和为定值，再利用均值不等式．x(3－3x)= 1
3 × 3x(3－3x) ≤1
3 ( 3x+（3－3x）
2
)
2
= 3
4 ，当且仅当
3x=3－3x,即x= 1
2 ,时取等，所以选D.法一：构造和为定值，再利用均值不等式．
法二：根据函数的单调性求解．
答案
解析
2
若正数x，y满足x + y = 2，则
1
x + 1 + 1
y 的最小值为
.
4
3
巧妙配凑1，根据均值不等式即可求得最小值.由x + y = 2，可知(x + 1) + y = 3，
所以
1
x + 1 + 1
y = 1
3 (
1
x + 1 + 1
y ) [(x + 1) + y]
= 1
3 (
y
x + 1 + x + 1
y
+ 2) ≥1
3 (2√
y
x + 1 ⋅x + 1
y
+ 2) = 4
3 ，
当且仅当
，即
时等号成立.
故答案为4
3 .
答案
解析
⎧
⎨
⎩
x + y = 2
y
x + 1 = x + 1
y
⎧
⎨
⎩
x = 1
2
y = 3
2
9
本题考查利用均值不等式求和的最小值，属基础题，注意配凑的技巧.
