数列新定义问题、导数新定义问题、解析几何新定义问题专项训练
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将正整数集
*
N 中所有与21 不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列
na
，再按照两项，一项，两项，一项L的顺序循环分组：
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
,
a a
a
a a
a
L，那么2024 在第（ ）
组．
A．771
B．769
C．772
D．775
2．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知
na
是一个公差不为0 的等差数列，其前n 项和为
n
S .若存在正整数
,p q (其中
p
q
<
)使得
0
p
q
S
S
+
=
，则称
na
具有性质G ，称有序数对
,p q 是
na
的一组“ Γ 数对”，记由
na
的全体“ Γ 数对”
所组成的集合为
Ω
n
a .关于命题①“若
na
具有性质Γ 且
1,4
Ω
n
a
Î
，则
Ω
1,4
n
a
=
”与命题②f 存在具有性质Γ
的
na
及互不相同的正整数
1
2
,
,
n n m (其中
1n
m
<
且
2n
m
<
，使得
1,
Ω
n
a
n m Î
且
2,
Ω
n
a
n m Î
，下列说法正确的是
（ ）.
A．①是真命题，②是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①是假命题，②是假命题
3．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意
*
N
nÎ
，都有
1
n
n
a
a
c
+
+
=
（c 为常数），称数列
na
为“等和”数列.
设“等和”数列
na
的首项为
1a ，直线
(
)
2
0
R
kx
y
k
k
-
+
+
=
Î
过定点
1
2
(
,
)
P a a
，则
2025
1
n
n
a
=
=
（ ）
A．2025
B．2562
C．3036
D．3037
4．（2025·江西·模拟预测）若数列
na
满足
1
log
(
1
n
m
n
a
a m
+ =
> 且
)
m
Z
Î
，则称数列
na
为“对数m 底数列”.已知正
项数列
na
是“对数2 底数列”且
5
1
a = ，则当
2
n… 且
*
nÎN 时，
2
3
2
2
2
1
4
n
a
a
a
n
a
a
+
+
+
-
=
L
g
g
…
（ ）
A．
12
2
B．
16
2
C．
32
2
D．
64
2
考点一
数列新定义问题
5．（24-25 高二下·福建泉州·期末·多选）已知数列
n
u
，其前n 项和为
n
S ，若存在常数
0
M >
，对任意
*
nÎN ，恒
有
1
1
2
1
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
M
+
-
-
+
-
+
+
-
£
L
，则称
n
u
为B - 数列.则下列说法正确的是（ ）
A．若
n
u
为等差数列，则
n
u
为B - 数列
B．若
n
u
是以1 为首项，(|
| 1)
q q <
为公比的等比数列，则
n
u
为B - 数列
C．若
n
u
为B 一数列，则
n
S
也为B - 数列
D．若
n
S
为B 一数列，则
n
u
也为B - 数列
6．（24-25 高二下·广东深圳·期末·多选）对于正整数, ( )
n
n
j
是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目（若两
个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数
)
(n
j
以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如
(10)
4
j
=
（10 与1，3，7，9 均互质），则（ ）
A．(20)
(25)
28
j
j
+
=
B．若p 为质数，则数列
n
p
j
为等比数列
C．数列
3n
n
j
ì
ü
ï
ï
í
ý
ï
ï
î
þ
的前5 项和等于179
81
D．
*
n
$ ÎN ，使得
2
3
4
5
n
n
n
j
j
j
é
ù
+
=
ë
û
7．（24-25 高二下·江西抚州·期末）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐
波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2 ，3，5 ，8 ，13，21，
34，¼，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：
0
1
a = ，
1
1
a = ，
*
1
1
n
n
n
a
a
a
n
+
-
=
+
ÎN
，
1
2
2025
,
,
,
A
a a
a
=
L
.若集合B 为集合A 的非空子集，则集合B 中所有元素之和为奇数的概率为
.
8．（24-25 高二下·广西桂林·期末）对于数列
*
na
nÎN
，记
1
Δ
n
n
n
a
a
a
+
=
-
，对于
*
k ÎN ，记
1
1
Δ
Δ Δ
Δ
Δ
k
k
k
k
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
=
=
-
，规定：
0
Δ
n
n
a
a
=
，
1
Δ
Δ
n
n
a
a
=
，称
Δk
na
为数列
na
的k 阶差数列．若
na
的一
阶差数列为等比数列，
1
1
a = ，
2
4
a =
，
3
13
a =
，
nb
的二阶差数列为常数列，常数为4，
1
2
b = - ，
2
0
b =
，则数列
n
n
a
b
×
的通项公式为 ，数列
1
4
2
n
n
a
b
n
ì
ü
æ
ö
+
×
+
í
ý
ç
÷
è
ø
î
þ
的前n 项和为 ．
9．（24-25 高二下·上海奉贤·期末）已知无穷数列
na
，
nb
.若对任意的正整数n ，都有
1
n
n
a
b
-
£ ，则称
na
与
nb
“伴随”.
(1)若
1
2
( )
3
n
na
-
=
，
(
1)π
cos
3
n
n
b
-
=
，判断
na
与
nb
是否“伴随”，说明理由；
(2)已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
n
S 满足
1
n
n
S
a
= -
，证明：
na
与
n
S
“伴随”.
10．（24-25 高二下·江西·期末）若数列
na
使得函数f（x）满足
2
3
1
2
3
e
0
e 1
n
n
f
f a
f a
f a
f a
é
ù
é
ù
é
ù
+
+
+
+
+
<
ë
û
ë
û
ë
û
-
L
，则称
na
为
f x 的进阶数列．已知函数
e
=
x
f x
，
ln
1
g x
x
=
+
，
1
na = - ，
1
nb
n
=
，n
+
ÎN ．
(1)证明：
na
为
f x 的进阶数列．
(2)证明：
1
f
x
g x
>
+
．
(3)证明：
nb
为
g x 的进阶数列．
11．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）在数列
na
中，
1
1
2
a =
，且
3
3
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
-
= ．
(1)求
na
的通项公式．
(2)证明：
1
2
n
i
i
a
i
=
<
．
(3)若数列
nb
中存在两项
p
b ，
qb
p
q
<
，使得
p
q
b
b
=
，则称
,p q 为数列
nb
的等项数对．证明：
na
的等项数
对唯一．
12．（24-25 高二下·浙江·期末）若无穷正项数列
na
同时满足以下两个性质：①存在
0
M >
，使得
*
,
na
M n
<
ÎN ；②
na
为单调数列，则称数列
na
具有性质Q ．
(1)若
1
2
1,
2
n
n
n
a
n
b
æ
ö
=
-
= ç
÷
è
ø
；
（ⅰ）判断数列
,
n
n
a
b
是否具有性质Q ，并说明理由；
（ⅱ）记
n
S 为数列
n
n
a b
的前n 项和，判断数列
n
S
是否具有性质Q ，并说明理由；
(2)某同学投篮命中率为1
4 ，每次投篮相互独立，设随机变量X 为投篮2n 次命中的次数，记
1
2
1
n
n
k
c
P X
k
=
=
=
-
，
证明：数列
nc
具有性质Q ．
13．（24-25 高二下·浙江杭州·期末）对于给定的正整数n ，如果正整数d 能整除n ，则称d 是n 的因子；如果正整
数m ，n 共同的因子只有1，则称正整数m 和n 互素.已知函数
f n 表示正整数n 的因子个数，数列
na
满足以下
条件：
①对于任意素数p 和正整数n ，都有
1
n
p
a
n
=
+ ；
②对于任意的正整数m 和n ，若m 和n 互素，则
mn
m
n
a
a
a
=
×
.
(1)求
1a ，
2024
a
的值，并写出
na 和
f n 的关系（无需证明）；
(2)当n 是偶数时，证明：
1
2
n
n
a £
+ ；
(3)设数列2
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ的前n 项和为
n
S ，证明：
5
3
n
S <
.
14．（24-25 高二下·北京石景山·期末）设
na
为无穷数列，如果对于任意
*
N
nÎ
，都有
4
2
2
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
，则称数列
na
具有性质P.
(1)判断下列两个数列是否具有性质P；（结论不需要证明）
①等差数列A：5，3，1…；②等比数列B：1，2，4，…；
(2)已知数列
na
具有性质P，
1
1
a = ，
2
2
a = ，且由该数列所有项组成的集合
*
N
Z
na nÎ
=
，求
na
的通项公式.
15．（24-25 高二下·北京海淀·期末）给定正整数
3
n n ³
，若数列
1
2
:
,
,
,
n
n
A
a a
a
L
同时满足下列两个性质，则称数列
n
A 为
P n 数列：①
1
2
,
,
,
1,2,
,
n
a a
a
n
=
L
L
；②对任意
1,2,
,
2
i
n
Î
-
L
，总存在
1,
2,
,
j
i
i
n
Î
+
+
L
，使得
2
j
i
a
a
-
=
．记
P n 数列的个数为
nb
(1)写出两个
3
P
数列
3A ；
(2)若
n
A 为
P n 数列，求
1a 的值；
(3)求
1
n
n
b
b
+ 的最大值．
16．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期末）k 为实数，无穷数列
nx
为
k
Á 数列时满足：
1
2
x
x
k
= -
≥
；
1
t
t
x
x
- <
4 ,
t
n n
*
=
ÎN
；
,
,
m n
m n
x
*
+
"
ÎN
{
,
1}
m
n
m
n
x
x
k x
x
k
Î
+
+
+
+
+
．
(1)若数列
na
前四项分别为4 ，4
- ，4
- ，3
- ，判断数列
na
是否有可能为
4
Á 数列；
(2)若数列
na
为
0
Á 数列，求
6a 的值；
(3)数列
na
前n 项和为
n
S ，则是否存在k 值，
n
*
" ÎN ，
10
n
S
S
³
恒成立.如果有，求出所有符合要求的k 值；如果
没有，请说明原因．
1．（24-25 高二下·湖南·阶段练习）牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，其表述如下：若函数
F x 在区间
,a b 上的导函数为
F
x
f x
¢
=
，那么
d
b
a f x
x
F b
F a
=
-
ò
.若
2
1
f x
x
=
+ ，
d
12
n
m f x
x =
ò
，且
2
n
m
-
= ，则
m = （ ）
A．
3
2
-
B．3
2
C．2
-
D．2
2．（2025·河南新乡·二模）曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线
y
f x
=
，其曲率
3
2
2
1
y
K
y
=
é
ù
+
¢¢
û
¢
ë
（y¢是y 的导数，y¢¢ 是y¢的导数），曲率半径r 是曲率K 的倒数，其表示与曲线在某点处具有相
同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v 沿曲率半径为r 的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为
2v
r .若该质
点以恒定速率
0v 沿形状满足
3
2
y
x
x
=
-
的光滑轨道运动，则其在点
0,0 处的向心加速度的大小为（ ）
A．
2
0
1
2 v
B．
2
0
2v
C．
2
0
2
2 v
D．
2
0
2v
3．（24-25 高二下·福建宁德·期中）记
( )
f
x
¢
是
( )
f x 的导函数，
''f
x 是
( )
f
x
¢
的导函数，若曲线
( )
y
f x
=
在点
0
0
,
x
f x
处的曲率
3
2
2
''
0
0
1
K
f
x
f
x
-
é
ù
=
×
+ ë
û
¢
，则曲线
3
( )
f x
x
=
在点2
8
,
3 27
æ
ö
ç
÷
è
ø处的曲率为（ ）
A．
16
27
B．27
16
C．108
125
D．125
108
4．（24-25 高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
f
x
¢
是
f x
的导函数，
f
x
¢¢
是
f
x
¢
的导函数，则曲线
y
f x
=
在点
,x f x
处的曲率
3
2
2
1
f
x
K
f
x
=
+
¢¢
¢
．曲线
2e
sin
x
y
x
=
-
在点
0,
0
f
处的曲率为（ ）
A．4 5
25
B．2
C．
5
5
D．2
考点二
导数新定义问题
5．（24-25 高二下·河北衡水·期中）若函数
f x 的定义域为D ，且存在
0x
D
Î
，使得
0
0
2
0
f x
f
x
¢
+
=
，则称
0x
是
f x 的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（ ）
A．
1
f x
x
=
B．
2
ex
x
f x
-
=
C．
ln
f x
x
=
D．
ex
f x
x
=
+
6．（24-25 高二下·四川泸州·阶段练习）若存在
0x 使得
0
0
(
)
(
)
f x
f
x
¢
=
，则称
0x 是
f x 的一个“巧值点”，则下列函
数中，不存在“巧值点”的是（ ）
A．
( )
x
f x
e
=
B．
1
( )
2
x
f x
æ
ö
= ç
÷
è
ø
C．
( )
sin
f x
x
=
D．
( )
ln
f x
x
=
7．（24-25 高二下·广东广州·阶段练习·多选）对于三次函数
3
2
0
f x
ax
bx
cx
d a
=
+
+
+
¹
，给出定义：
f
x
¢
是函
数
y
f x
=
的导数，
f
x
¢¢
是函数
f
x
¢
的导数，若方程
0
f
x
¢¢
=
有实数解
0x ，则称
0
0
,
x
f x
为函数
y
f x
=
的
“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称
中心，若函数
3
2
2
49
12
3
6
f x
x
x
x
=
-
-
+
，则下列说法正确的是（ ）
A．
f x 的极大值点为137
6
B．
f x 有且仅有3 个零点
C．点1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 是函数
f x 的对称中心 D．
1
2
3
2024
4048
2025
2025
2025
2025
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
8．（24-25 高二下·山东淄博·期末·多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿
法.具体步骤如下：设r 是函数
y
f x
=
的一个零点，任意选取
0x 作为r 的初始近似值，在横坐标为
0x 的点处作曲
线
f x 的切线1l ，直线1l 与x 轴交点的横坐标为
1
x ；用
1
x 代替
0x 重复上面过程得到
2x ；一直进行下去，得到
0
1
,
,
,
n
x x
x
L
，当
1
n
n
x
x -
-
足够小时，我们可以把
nx 的值作为函数
f x 零点的近似值.已知函数
3
3
2
f
x
x
x
=
+
-
，
0
1
x = ，则下列说法正确的是（ ）
A．切线1l 的方程为6
4
0
x
y
-
-
=
B．
2
70
117
x =
C．
3
1
2
2
1
3
1
n
n
n
x
x
x
+
+
=
+
D．设
3
*
3
3
3
,
N
2
2
n
n
n
n
x
x
a
n
x
+
=
Î
+
，则
1
2
1
2
4
3
3
-
<
×
×¼×
×
<
n
n
a a
a
a
9．（2024·湖北·三模）若当
0
x
D ®
时，
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
f x
x y
f x
y
x
+ D
-
D
无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元
函数
( , )
z
f x y
=
在点
0
0
(
,
)
x
y
处对x 的偏导数，记为
0
0
(
,
)
xf
x y
¢
，即
0
0
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
(
,
)
lim
;
x
x
f x
x y
f x
y
f
x
y
x
D ®
+ D
-
¢
=
V
若当
0
y
D ®
时，
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
f x
y
y
f x
y
y
+ D
-
D
无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数
( , )
z
f x y
=
在点
0
0
(
,
)
x
y
处对y
的偏导数，记为
0
0
(
,
)
yf
x
y
¢
，即
0
0
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
(
,
)
lim
.
y
y
f x
y
y
f x
y
f
x
y
y
D ®
+
-
¢
=
V
V
已知二元函数
2
3
( , )
2
f x y
x
xy
y
=
-
+
，则
( , )
( , )
x
y
f
m n
f
m n
¢
¢
+
的最小值为
.
10．（24-25 高二下·北京·阶段练习）若存在实数k 和m 使得函数
f x 和
g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满
足：
g x
kx
m
f x
£
+
£
恒成立，则称此直线y
kx
m
=
+
为
f x 和
g x 的“分离直线”．当
2
f x
x
=
和
ln
g x
a x
=
之间存在唯一的“分离直线”
2 e
e
y
x
=
- 时，a =
；若
2
f x
x
=
和
1 (
0)
g x
x
x
=
<
之间存在“分离直线”，m 的
最小值为
．
11．（24-25 高二下·广东·阶段练习）已知函数
f x 的导函数为
f
x
¢
，我们称函数
f
x
¢
的导函数
f
x
¢¢
为函数
f x 的二阶导函数，若一个连续函数
f x 在区间I 上的二阶导函数
0
f
x
¢¢
³
，则称
f x 为I 上的凹函数，若二
阶导函数
0
f
x
¢¢
£
，则称
f x 为I 上的凸函数．
(1)证明：函数
3
2
1
1
ln
3
2
f x
x
x
x
x x
= -
+
+
-
是凸函数．
(2)已知函数
e
sin
x
f x
x
a
=
+
，
0,π
xÎ
．
①若
f x 是
0,π 上的凹函数，求实数a 的取值范围；
②
f x 在
0,π 内有两个不同的零点
1
x ，
2x ，证明：
1
2
π
π
2
x
x
<
+
<
．
12．（24-25 高二下·江西·阶段练习）已知函数
y
F x
=
的定义域为I ，区间
,a b 是I 的子集，若
y
F x
=
的图象
上存在两点
,
A a F a
，
,
B b F b
，使直线AB 恰好是曲线
y
F x
=
的一条切线，且
,
A B 为切点，记直线AB 的
方程为
y
G x
=
，如果
,
x
a b
" Î
都有
F x
G x
³
，则称函数
y
F x
=
是“桥函数”，称
,
A B 两点为“桥墩”.
(1)若
π
3π
, 1 ,
, 1
2
2
A
B
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，试说明函数
sin
y
x
=
能否是以
,
A B 两点为“桥墩”的“桥函数”？
(2)判断函数
2
1
f x
x
= -
与
sin
g x
x
x
=
+
是不是“桥函数”？并说明你的理由.
13．（24-25 高三下·河南·阶段练习）若函数
( )
F x 在开区间I 内满足：
*
(
1,2,
, )
2,
ix
I i
n
n
n
$
Î
=
××××××
³
ÎN
，
( )
y
F x
=
在
i
x
x
=
处的切线的斜率均为
(
)
m mÎR ，则称
( )
F x 为I 内的“ n
m
-
缘分函数”．
(1)判断
2
( )
ln
2
f x
x
x
x
=
-
+
是否为(0,
)
+¥ 内的“2
3
- 缘分函数”，并说明理由；
(2)若
2
( )
ln
g x
x
x
ax
= -
-
+
为1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 内的“2
3
- 缘分函数”，求实数a 的取值范围；
(3)证明：
2
2
1
( )
2
2 e
2 ln
2
2
x
h x
x
x
x
x
x
x
=
-
+
-
-
+
不是(0,
)
+¥ 内的“
1
n - 缘分函数”
*
2,
n
n
³
ÎN
．
14．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）已知
f
x
¢
是函数
( )
f x 的导函数，
0x 是
( )
f x 的零点，若在x
D
Î
上，
0
( )
f x
f
x
¢
>
恒成立，则称
( )
f x 是D 上的“优函数”.
(1)试判断函数
( )
e
1
x
f x
x
=
-
- 是否是(0,
)
+¥ 上的“优函数”，请说明理由；
(2)已知函数
2
1
( )
ln
(
1)
2
g x
x
m
x
m
x
= -
-
+
+
，
0
m >
.
①证明：( )
g x 只有一个零点；
②已知
0x 是( )
g x 的零点，证明：( )
g x 是
0,1 上的“优函数”.
15．（24-25 高二下·江西上饶·期末）泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点
附近用多项式逼近．若函数
( )
f x 在包含
0x 的闭区间[ , ]
a b 上具有n 阶导数，在开区间( , )
a b 上具有
1
n + 阶导数，则
对[ , ]
a b 上任意一点x，有
( )
2
0
0
0
0
0
0
0
( )
( )
0!
1!
2!
!
n
n
n
f x
f
x
f
x
f
x
f x
x
x
x
x
x
x
R x
n
¢
=
+
-
+
-
+
+
-
+
¢¢
L
，其中
( )
n
R
x
为泰勒公式的余项．（
( )
f x 的n 阶导数记为
( )( )
n
f
x ，其中
( )
f
x
¢¢
为
( )
f
x
¢
的导数，
( )
f
x
¢¢¢
为
( )
f
x
¢¢
的导数，
( )( )
n
f
x 为
(
1)( )
n
f
x
-
的导数．）
(1)若
3
n =
，写出
( )
ln(1
)
f x
x
=
+
在
0
x =
处的泰勒展开式；
(2)当
0
x >
时，判断第（1）问中
3( )
R x 与0 的大小，并证明；
(3)证明：对任意正整数n，有
2
1
1
e
n
k
k
n
=
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
Õ
，其中，
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
n
k
k
n
n
n
n
n
=
æ
ö
æ
öæ
ö
æ
ö
+
=
+
+
+
ç
÷
ç
֍
÷
ç
÷
è
ø
è
øè
ø
è
ø
Õ
L
．
16．（24-25 高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17 世纪提出的一种用导数求方程近似解
的方法，其过程如下：如图，设r 是
0
f x =
的根，选取
0x 作为r 的初始近似值，过点
0
0
,
x
f x
作曲线
y
f x
=
的切线L ，L 的方程为
0
0
0
y
f x
f
x
x
x
¢
=
+
-
．如果
0
0
f
x
¢
¹
，则L 与x 轴的交点的横坐标记为
1
x ，称
1
x 为r
的一阶近似值．再过点
1
1
,
x
f x
作曲线
y
f x
=
的切线，并求出切线与x 轴的交点横坐标记为
2x ，称
2x 为r 的二
阶近似值．重复以上过程，得r 的近似值序列：
1
x ，
2x ，…，
nx ，根据已有精确度e ，当
nx
r
e
-
<
时，给出近似
解．对于函数
ex
f x
x
=
+
，已知
0
f r =
．
(1)若给定
0
0
x =
，求r 的二阶近似值
2x ；
(2)函数
ln
1
ln
e
e
x
x
h x
x
x
x
-
=
-
-
+
-
．
①试写出函数
h x 的最小值m 与r 的关系式；
②证明：
e
2
m >
-
．
17．（24-25 高二下·河南信阳·期末）对于函数
F x ，若实数
0x 满足
0
0
F x
x
=
，则称
0x 为
F x 的不动点．已知函
数
e x
f
x
x
a
=
-
．
(1)若
f x 的极小值小于e
- ，求a 的取值范围；
(2)当
1
a = 时，求函数
1
F x
f x
=
- 的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
18．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）已知函数
f x 的导数为
f
x
¢
，
f
x
¢
的导数为
f x 的二阶导数，记作
f
x
¢¢
．若函数
f x 在包含
0x 的某个开区间
,
a b 上具有二阶导数，那么
,
x
a b
" Î
，
2
0
0
0
0
0
1!
2!
f
x
f
x
g x
f x
x
x
x
x
¢
¢¢
=
+
-
+
-
，我们把
g x 称为函数
f x 在
0
x
x
=
处的二阶拟合函数．
(1)写出函数
ex
y =
在
0
x =
处的二阶拟合函数
x
j
，并证明
ex
x
j
³
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立；
(2)若e
cos
2
x
x
ax
+
³
+
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立，求a 的取值范围；
(3)设函数
2
2 e
1
0
x
g x
x
m x
m
=
-
+
-
>
的两个零点为
1
x ，
2x ，
g x 在
1
x = 处的二阶拟合函数为
h x ，证
明：
h x 有两个零点
3x ，
4x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
+
<
+
．
1．（24-25 高二上·江苏常州·阶段练习）已知点
10
F
,
，直线:
4
l x =
，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离
的一半.若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中错误的是（ ）
A．点P 的轨迹方程是
2
2
1
4
3
x
y
+
=
B．直线1 :
2
4
0
l
x
y
+
-
=
是“最远距离直线”
C．平面上有一点
1,1
A -
，则
2
PA
PF
+
的最小值为5
D．点P 的轨迹与圆
2
2
:
2
0
C x
y
x
+
-
=
是没有交汇的轨迹（即没有交点）
2．（24-25 高三下·山西·开学考试）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互
相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭
圆的蒙日圆.设A，B 为椭圆E：
2
2
1(
1)
y
x
a
a
+
=
>
上的两个动点，动点P 在直线3
4
10
0
x
y
+
-
=
上，若
0, 2
APB
÷
p
æ
ö
Ð
Îçè
ø 恒成立，则E 的离心率的取值范围为（ ）
A．
6
0, 3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
B．
3 ,1
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
C．1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．
2
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
3．（24-25 高二上·江苏常州·阶段练习）已知曲线C ：
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
+
=
-
是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C 的图象不关于原点对称
B．曲线C 经过4 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若直线y
kx
=
与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为
, 1
-¥ -
D．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3
考点三
解析几何新定义问题
4．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线G 的对称中心为原点O ，若对于G 上的任意一点A ，均存在G 上两点
B ，C ，使得原点O 到直线AB ，AC 和BC 的距离都相等，则称曲线G 为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
5．（2025·陕西延安·模拟预测·多选）在平面直角坐标系xOy 中，定义原点的“相伴点”是原点，当
,
P x y 不是原点
时，P 的“相伴点”为
2
2
2
2
,
y
x
P
x
y
x
y
æ
ö
çç
+
+
è
¢
÷÷ø
．平面曲线C 上所有点的“相伴点”所构成的曲线C¢ 定义为曲线C 的“相
伴曲线”，则下列说法正确的是（ ）
A．若A 的坐标为
3,4 ，则A 的“相伴点” A¢的坐标为4 3
,
5 5
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．若不在直线y
x
=
上的点A 的“相伴点”是点A¢，则直线OA¢ 与直线OA关于直线y
x
=
对称
C．若曲线C 是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”C¢ 也是圆
D．若曲线C 是一条直线，则曲线C 的“相伴曲线”C¢ 也是一条直线
6．（2025·海南·模拟预测·多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694 年，雅各布·伯努
利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到
两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲
线C（如图所示）过坐标原点O，且C 上的点
,
P x y 满足到两个定点
1
,0
F
a
-
，
2
,0 (
0)
F
a
a >
的距离之积为4，
则下列结论正确的是（ ）
A．
2
a =
B．点
,1 (
0)
M x
x >
在C 上，则
1
2 2
MF =
∣
∣
C．点N 在椭圆
2
2
1
6
2
x
y
+
= 上，若
1
2
F N
F N
^
，则N
C
Î
D．过
2F 作x 轴的垂线交C 于A，B 两点，则
2
AB <
∣
∣
7．（23-24 高二上·江西·阶段练习）法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆E ：
2
2
2
2
0
x
y
a
b
a
b
+
=
-
>
>
上任意一
点作双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= 的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E 称作双曲线C 的蒙日圆.过双
曲线W ：
2
2
1
3
x
y
-
= 的蒙日圆上一点P 作W 的两条切线，与该蒙日圆分别交于A ，B 两点，若
30
PAB
Ð
=
°，则
PAB
V
的周长为
.
8．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为
5
1
2
+ 的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”
2
2
2
:
1(
0)
2 5
2
x
y
C
b
b
-
=
>
-
，则C 的虚轴长为
．
9．（2025·河南南阳·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
y
C x
b
b
-
=
>
的两条渐近线分别为1 :
3
l
y
x
=
，2 :
3
l
y
x
= -
，若
点A ，B 分别在1l ，2l 上（A ，B 不同于原点O ），且直线AB 是C 的切线，则称
OAB
△
是C 的“渐切三角形”．已知
C 在点
,s t 处的切线方程为
2
1
ty
sx
b
-
= ．
(1)写出C 的一个“渐切三角形”的顶点A ，B 的坐标及切线AB 的方程，并求出其面积；
(2)已知点
1
1
,
A x y
，
2
2
1
2
,
0
B x
y
x x >
分别在1l ，2l 上，
OAB
△
的面积为
3 ，试问
OAB
△
是否是C 的“渐切三角
形”？并说明理由；
(3)若
OAB
△
是C 的“渐切三角形”，AB 与C 相切的切点M 的横坐标大于0，F 为C 的左焦点，证明：
AFB
Ð
为定
值．
10．（2025·宁夏银川·三模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的
三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：
2
2
0
x
py p
=
>
的焦点为F，直线l：
2
y =
过点
F，过x 轴下方的一点P 作C 的两条切线1l ，2l ，且1l ，2l 分别交x 轴于点A，B，交l 于点M，N.
(1)若PMN
V
为阿基米德三角形，求
MPN
Ð
；
(2)证明：切线三角形PAB 的外接圆过定点.
11．（2025·江西·模拟预测）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个
顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭
圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.
(1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(2)如图，已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，椭圆
2
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
¢
¢
¢
¢
+
=
>
>
的离心率为
1
,
e C
¢
与
2
C 相似，且
1
C 与
2
C 的相似比为
:1
k
，若
2
AF B
V
的面积为S ，求
1
2
A F F
¢
¢
¢
V
的面积（用e¢ ，k，S 表示）；
(3)若椭圆
2
2
3 :
1
2
x
C
y
+
= ，写出与椭圆
3
C 相似且长半轴长为a ，焦点在x 轴上的椭圆
a
C 的标准方程.若在椭圆
a
C 上存
在两点M，N 关于直线
3
2
x
y =
- 对称，求椭圆
a
C 的“焦顶三角形”的周长的取值范围.
12．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）某同学利用导数方法求出了过椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上一点
0
0
,
P x
y
的切
线l 的方程为
0
0
2
2
:
1
x x
y y
l
a
b
+
= .事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点
0
0
,
P x
y
和一条直线
0
0
2
2
:
1
x x
y y
l
a
b
+
= ，将点P 和直线l 分别称为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的极点和极线.一般地，
当点P 在椭圆上时，极线l 为椭圆在点P 处的切线；当点P 在椭圆外时，极线l 为过从点P 作椭圆的两条切线的切
点的弦所在的直线；当点P 在椭圆内时，极线l 在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题：
(1)已知点
,0
P p
p
a
>
和直线l 分别为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的极点和极线，
①求极线l 的方程；
②若Q 为极线l 上任意一点，过点P 作椭圆的割线1l 交椭圆C 于
,
A B 两点，记
,
,
PQ QA QB 所在直线的斜率依次为
,
,
PQ
QA
QB
k
k
k
，求证：2
PQ
QA
QB
k
k
k
=
+
.
(2)给定椭圆
2
2
1 :
1
8
4
x
y
C
+
= 和点
4,0
P
，过点
2,n 作斜率为
1
2 的直线2l 和椭圆
1
C 相交于
,
E F 两点，分别连接
,
PE PF 交
1
C 于点
,
M N ，记
,
,
EF MN PQ 和y 轴的交点依次为
1
2
,
T T ，T ，求证：T 为线段
1 2
TT 的中点.
13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为
5,0
F
，离心率为
5
2
．
(1)求E 的标准方程；
(2)设E 的右顶点为
1A ，过点
4,0 的直线1l 与E 的右支交于
,
C D 两点，记直线
1
1
,
AC A D 的斜率分别为
1
2
,
k k ，证明：
1 2
k k 为定值；
(3)已知点
0
0
,
M x
y
是E 上任意一点，直线l ：
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
-
= 是E 在点M 处的切线，点P 是l 上异于点M 的动点，
且过点P 与OM （O 为坐标原点）平行的直线l¢交E 于
,
A B 两点，定义
2
PM
PA
PB
×
为双曲线E 在点M 处的切割比，
记为
0
0
,
x
y
l
，求切割比
2 2,1
l
．
14．（24-25 高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线
2
2
Γ :
1
3
x
y
-
= ．
(1)求Γ 的两条渐近线的夹角；
(2)给定点
,0
T a
，其中正数
2
a ¹
，求Γ 上的动点M 到点T 的距离的最小值；
(3)对平面内不在Γ 上的任意一点P ，记ΩP 为过点P 且与Γ 有两个交点的直线的全体．对任意直线
ΩP
l Î
，记M 、
N 为l 与Γ 的两个交点，定义
Pf
l
PM
PN
=
´
．若存在一条直线0
ΩP
l Î
满足：0l 与Γ 的两个交点位于y 轴异侧，
且对任意不同于0l 的直线
ΩP
l Î
，均有
0
p
p
f
l
f
l
>
，则称P 为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积．
