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第 18 讲 导数的最值
1.函数的最值
(1)在闭区间 上连续的函数f(x)在 上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在 上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；
若函数f(x)在 上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
2.恒成立问题：
(1) 恒成立 ； 恒成立 ．
(2) 恒成立 ； 恒成立 ．
(3) 恒成立 ； 恒成立 ；
(4) ， ， ．
3.常用结论
(1)若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
考点一 利用导数求解函数的最值
考点二 利用导数解决恒能成立问题
考点三 利用导数证明不等式
考点一：利用导数求解函数的最值
例1．函数 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．3
例2．函数 在区间 上的最大值为（ ）A．1 B． C． D．
考点二：利用导数解决恒能成立问题
例3．函数 ，若恒有 ，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对 ， ，都有
成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三：利用导数证明不等式
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列不等式一
定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
例6．以下不等式在 时不成立的是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1． 在区间 上的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．函数 在 上的最大值是（ ）A．0 B． C． D．
3．函数 在 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数 ，若对任意的 有 恒成立，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，存在x>0，使得f（x）≤0有解，则实数a的取值范围是（ ）
0 0
A．（2，＋∞） B．（－∞，－3）
C．（－∞，1] D．[3，＋∞）
6．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 对任意 恒成立，则实数a的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知命题 ；命题 .则（ ）
A． 是假命题 B． 是真命题
C． 是假命题 D． 是真命题
8．已知实数 满足 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
9．已知函数 ， ．(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 上的最小值是 ，求a的值．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在 上的最大
值为20，求函数 在 上的最小值.
11．已知函数 在 处取得极小值-2.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
12．已知函数 .
(1)若 ，求 的最值；
(2)若对任意 ，都有 成立，求 的取值范围.
13．（2023·广西南宁·统考一模） ，
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明 ；
(3)证明对于任意正整数 ，都有 .
14．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ．
