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第 52 讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有 唯一的实数 X ( w )与之对应，我们称X为随机变
量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 ，我们称 X 取每一个值 x 的概率
i
为X的概率分布列，简称分布列.
(2)性质：① ；② .
3.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为：
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
(1)均值：称 为随机变量X的均值或数学期望.它反映
了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差：称
为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为 ，它们都可以度量随机变量取值
与其均值的偏离程度.
(3)性质：① ；② 为常数).
4.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示“失败”，定义 ，
如果 ，则 ，那么X的分布列如下表所示.
X 0 1
P p
我们称X服从两点分布或 分布.考点一 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差
考点二 根据步骤列出离散型随机变量的分布列
考点三 利用均值和方差解决风险评估和决策型问题
考点一：利用均值和方差的性质求解新的均值和方差
例1．随机变量 满足 ，且 ，则 与 的值分别为（ ）
A． B．3，4 C．4，3 D．
例2．已知随机变量 ，随机变量 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
例3．设一组数据 的方差为0.1，则数据 ， ， ，…， 的方差为（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.4 D．2
例4．若一组样本数据 的期望和方差分别为 ，则数据 的期
望和方差分别为（ ）
A．3,1 B．11,1 C． D．
例5．随机变量 的分布列是
1 2
若 ，则 （ ）
A．1 B．4 C． D．
考点二：根据步骤列出离散型随机变量的分布列
例6．（2023·山东烟台·统考二模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从
中任取2个球，记取出的球的最大编号为 ，则 （ ）A． B． C． D．
例7．一个闯关游戏共三关，游戏规则：闯过第一关才能进入第二关，闯过第二关才能进入第三关，闯过
三关或闯关失败则游戏结束且各关闯关是否成功是相互独立的．小明玩这个游戏，他能过一、二、三关的
概率分别是 ， 和 .
(1)求小明闯到第三关的概率.
(2)记游戏结束时小明闯关成功的次数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望.
例8．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生
产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机
器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元 B．37元 C．38元 D．39元
考点三：利用均值和方差解决风险评估和决策型问题
例9．甲、乙、丙、丁四人参加第十四届全运会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差见下表
甲 乙 丙 丁
平均成绩x/环 9.0 8.9 8.6 9.0
方差 2.8 2.9 2.8 3.5
如果从这四人中选择一人参加第十四届全运会射击项目比赛，那么最佳人选是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
例10．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）某学校组织“消防”知识竞赛，有A，B两类题目．每位参加
比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答
正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每
个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分已知小明能正
确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无
关
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
例11．（2022·新疆乌鲁木齐·统考二模）元宵节学校开展了丰富多彩的游乐活动，高三（1）班除了有猜灯
谜有奖活动，另外还设置了一项“买信封”活动，规则如下；一个抽屉中装有5个信封，其中有1个信封
里装有5元钱，2个信封里装有2元钱，2个信封里装有1元钱，某人口袋里有5元钱，最多可以买2个信封（每个信封卖2元钱）.
(1)求此人买的第2个信封里装有5元钱的概率；
(2)问此人是买一个信封好，还是买两个信封好?（以此人最终口袋里的钱数的平均值为依据）.
一、单选题
1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若 表示取得次品的件数，则 （ ）
A． B． C． D．
2．随机变量 的分布列为 ，其中 是常数，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量 的分布列满足： ，其中 为常数，则 （ ）
A． B． C． D．
4．从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记 为取得红球的个数，则其期望
（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．从装有 个白球， 个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出 个红球得 分，每取出 个
白球得 分. 按照规则从容器中任意抽取 个球，所得分数的期望为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知两随机变量X，Y满足 ，若 ，则 __________．
7．若样本数据 ， ，…， 的方差为100，则数据 ， ，…， 的方差为________.
8．已知样本 ､ ､ ､…､ 的平均数与方差分别是1和4， 且样本､ ､ ､…､ 的平均数与方差分别是1和16，则 ___________.
三、解答题
9．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子
的外观完全相同，从中任意选取3个.
(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；
(2)设 表示取到的豆沙粽个数，求 的分布列.
10．医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为 （摄氏
度）．医学统计发现，X的分布列如下．
X 37 38 39 40
P 0.1 0.5 0.3 0.1
(1)求出 ， ；
(2)已知人体体温为 时，相当于 ，求 ， ．
11．（2023·陕西西安·统考一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项
目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，也可能亏损 ，且这两种情况
发生的概率分别为 和 ；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能
损失 ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 .
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），
问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据 ）12．某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：
甲、乙两名同学各自从给定的 个问题中随机抽取 个问题作答，在这 个问题中，已知甲能正确作答其中
个，乙能正确作答每个问题的概率都是 ，甲、乙两名同学作答问题相互独立.记甲答对题的个数为 ，
乙答对题的个数为 .
(1)求甲、乙恰好答对 个问题的概率；
(2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由.
13．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投
进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概
率为 .从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为 ，若前一次没投进，则这次投进的概率
为 .
(1)求甲3次投篮的得分超过3分的概率；
(2)乙3次投篮的得分为 ，求 的分布列和期望.
14．（2023·广东汕头·统考三模）某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设
携带病毒的人占0.05，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方
法：随机地按5人一组分组，然后将5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴
性；如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成）
(1)按照这种化验方法能减少化验次数吗?如果能减少化验次数，大约能减少多少?
(2)如果携带病毒的人只占0.02，按照 个人一组， 取多大时化验次数最少?此时大约化验多少次?
说明： ， 先减后增0.8858 0.8681 0.8508 0.8337
15．（2023·广东广州·统考模拟预测）某学校开展“争做文明学生，共创文明城市”的创文知识问答竞赛
活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了
如下频率分布直方图．
(1)求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；
(2)学校拟对被抽取的100名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于70的学生
获得1次抽奖机会，得分高于70的学生获得2次抽奖机会．假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概
率为 ，抽到价值20元的学习用品的概率为 ．从这100名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得
学习用品的价值总额为 元，求 的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用
品的价值总额．
16．（2023·山西大同·统考模拟预测）国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀
起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，
从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：
保护动物意识强 保护动物意识弱 合计
男
70 30 100
性女
40 60 100
性
合
110 90 200
计
(1)根据以上数据，依据小概率值 的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关？
并说明原因；
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3
人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望 ．
附：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式： ，其中 ．
17．（2023·河南郑州·校考模拟预测）无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，
为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好
的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的
广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用
x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：
卖场 1 2 3 4 5 6
宣传费
2 3 5 6 8 12
用
3 4
销售额 30 40 50 60
4 5
(1)求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万
元；
(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为 ，
若 ，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.
①若抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率；②若抽取的3家卖场中宣传策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.
附：参考数据 ，回归直线方程 中 和 的最小二乘法的估计公式分别为：
， .
