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第 52 讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有 唯一的实数 X ( w )与之对应，我们称X为随机变
量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 ，我们称 X 取每一个值 x 的概率
i
为X的概率分布列，简称分布列.
(2)性质：① ；② .
3.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为：
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
(1)均值：称 为随机变量X的均值或数学期望.它反映
了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差：称
为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为 ，它们都可以度量随机变量取值
与其均值的偏离程度.
(3)性质：① ；② 为常数).
4.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示“失败”，定义 ，
如果 ，则 ，那么X的分布列如下表所示.
X 0 1
P p
我们称X服从两点分布或 分布.考点一 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差
考点二 根据步骤列出离散型随机变量的分布列
考点三 利用均值和方差解决风险评估和决策型问题
考点一：利用均值和方差的性质求解新的均值和方差
例1．随机变量 满足 ，且 ，则 与 的值分别为（ ）
A． B．3，4 C．4，3 D．
【答案】A
【分析】根据二项分布的均值和方差公式求得 ，而 ，再根据均值和方差的性
质即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
例2．已知随机变量 ，随机变量 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合期望和方差的性质即可求解.
【详解】因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，即 ，解得 .
故选：B
例3．设一组数据 的方差为0.1，则数据 ， ， ，…， 的方差为（ ）
A．0.1 B．0.2C．0.4 D．2
【答案】C
【分析】根据方差的定义求解.
【详解】设 的均值为 ，则 的均值为 ，
的方差为
，
故选：C．
例4．若一组样本数据 的期望和方差分别为 ，则数据 的期
望和方差分别为（ ）
A．3,1 B．11,1 C． D．
【答案】B
【分析】根据期望、方差的性质，结合原数据集中期望、方差求新数据集的期望、方差即可.
【详解】由原样本数据集 中 ，而新数据集为 ，
所以新数据集中 ， .
故选：B
例5．随机变量 的分布列是
1 2
若 ，则 （ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据 以及 求得 ，进而求得 .
【详解】依题意 ①，，整理得 ②，
由①②解得 ，且 .
所以 .
故选：D
考点二：根据步骤列出离散型随机变量的分布列
例6．（2023·山东烟台·统考二模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从
中任取2个球，记取出的球的最大编号为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求随机变量 的分布列，再运用公式求
【详解】由题意， 可能取值为2，3
包含事件为取出的两个球为1，2
所以
包含事件为取出的两个球为1，3或2，3
所以
，
.
故选：A.
例7．一个闯关游戏共三关，游戏规则：闯过第一关才能进入第二关，闯过第二关才能进入第三关，闯过
三关或闯关失败则游戏结束且各关闯关是否成功是相互独立的．小明玩这个游戏，他能过一、二、三关的
概率分别是 ， 和 .
(1)求小明闯到第三关的概率.(2)记游戏结束时小明闯关成功的次数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）依题意当小明第一、二关闯关成功时能够闯到第三关，根据相互独立事件的概率公式计算
可得；
（2）依题意 的可能取值为 、 、 、 ，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）依题意小明闯到第三关即第一、二关均闯关成功，故概率 ；
（2）依题意 的可能取值为 、 、 、 ，
则 ， ， ，
，
所以 的分布列为：
所以 .
例8．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生
产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机
器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元 B．37元 C．38元 D．39元
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可根据期望的公式进行求解.
【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30， ，所以X
的分布列为： ， ， ，所以这台机器每生产一件产品平均预
期可获利为： （元）
故选：B考点三：利用均值和方差解决风险评估和决策型问题
例9．甲、乙、丙、丁四人参加第十四届全运会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差见下表
甲 乙 丙 丁
平均成绩x/环 9.0 8.9 8.6 9.0
方差 2.8 2.9 2.8 3.5
如果从这四人中选择一人参加第十四届全运会射击项目比赛，那么最佳人选是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】根据平均数和方差的含义及应用，即可得解.
【详解】甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的方差最
小，说明甲的成绩最稳定，得到甲是最佳人选.
故选：A
例10．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）某学校组织“消防”知识竞赛，有A，B两类题目．每位参加
比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答
正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每
个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分已知小明能正
确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无
关
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【答案】(1)分布列见解析
(2)小明应选择先回答A类问题，理由见解析
【分析】（1）由X的所有可能取值，计算对应的概率，列出分布列；
（2）分别计算先回答A类问题累计得分的期望和先回答B类问题累计得分的期望，比较即可.
【详解】（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，40，100，
则 ；
；
．所以X的分布列为
X 0 40 100
P 0.3 0.35 0.35
（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为
．
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，60，100，
，
，
，
则Y的期望为 ，
因为 ，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答A类问题．
例11．（2022·新疆乌鲁木齐·统考二模）元宵节学校开展了丰富多彩的游乐活动，高三（1）班除了有猜灯
谜有奖活动，另外还设置了一项“买信封”活动，规则如下；一个抽屉中装有5个信封，其中有1个信封
里装有5元钱，2个信封里装有2元钱，2个信封里装有1元钱，某人口袋里有5元钱，最多可以买2个信
封（每个信封卖2元钱）.
(1)求此人买的第2个信封里装有5元钱的概率；
(2)问此人是买一个信封好，还是买两个信封好?（以此人最终口袋里的钱数的平均值为依据）.
【答案】(1)
(2)买两个信封好
【分析】（1）由古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）设X为此人最终口袋里的钱数，若此人只买一个信封，则 , 计算出相应的概率即可求解此
时的平均值 ；同理，若此人买了两个信封，则 ，计算出相应的概率即可求解此时的平
均值 ，最后比较两个平均值的大小关系即可得答案.(1)解：记“此人买的第2个信封里装有5元钱”为事件A，
由题意， ；
(2)解：设X为此人最终口袋里的钱数，
若此人只买一个信封，则只花了2元，还剩3元，所以 ,
所以 ， ， ， ；
若此人买了两个信封，则花了4元，还剩1元，所以 ，
所以 ， ， ， ，
，
，
因为 ，所以买两个信封好.
一、单选题
1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若 表示取得次品的件数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据超几何分布的定义计算即可.
【详解】由题意知 的可能取值为 服从超几何分布，所以
，所以 .
故选：C项.2．随机变量 的分布列为 ，其中 是常数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质求出 ，即可得到 计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ， ， ， ，
则 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：A
3．已知随机变量 的分布列满足： ，其中 为常数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分布列的性质计算可得 的值，再算 即可
【详解】由分布列性质可知： ，即
故
故选：B
4．从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记 为取得红球的个数，则其期望（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】先求出分布列，再求数学期望.
【详解】由题意可知： 的可能取值为1，2.
所以 , .
所以 .
故选：B
5．从装有 个白球， 个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出 个红球得 分，每取出 个
白球得 分. 按照规则从容器中任意抽取 个球，所得分数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据取出小球的所有情况写出得分 的所有可能，根据超几何公式求得 各个取值对应的概率，
进而得到其分布列，求出期望.
【详解】解：设得分为 ，根据题意 可以取 ， ， .
则 ， ，
，
则 分布列为：
4 3 2
所以得分期望为 .
故选： .
二、填空题6．已知两随机变量X，Y满足 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】先由 ，得均值 ，方差 ，然后由 得 ，再根据公式
求解即可．
【详解】解：由题意 ，知随机变量 服从二项分布， ， ，
则均值 ，方差 ，
又 ，
，
，
．
故答案为： ．
7．若样本数据 ， ，…， 的方差为100，则数据 ， ，…， 的方差为________.
【答案】900
【分析】由方差的性质直接写出答案即可.
【详解】 样本数据 ， ，…， 的方差为100，
数据 ， ，…， 的方差为 .
故答案为：
8．已知样本 ､ ､ ､…､ 的平均数与方差分别是1和4， 且样本
､ ､ ､…､ 的平均数与方差分别是1和16，则 ___________.
【答案】5
【分析】依据随机变量的均值和方差的性质列方程组即可求得 ，进而求得 的值.【详解】因为样本 、 、 、…、 的平均数与方差分别是1和4，
样本 、 、 、…、 的平均数与方差是1和16，
所以 ，又 ，解得 ， .
所以 .
故答案为：5
三、解答题
9．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子
的外观完全相同，从中任意选取3个.
(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；
(2)设 表示取到的豆沙粽个数，求 的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算先求全是白粽的概率，然后由对立事件的概率公式可得；
（2）根据超几何分布的知识即可求得 的分布列.
【详解】（1）记事件A：取出的3个都是白粽.
则 ，
所以，既有豆沙粽又有白粽的概率为 .
（2） 的可能取值为 ，
则 ，
，所以 的分布列如下：
0 1 2
10．医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为 （摄氏
度）．医学统计发现，X的分布列如下．
X 37 38 39 40
P 0.1 0.5 0.3 0.1
(1)求出 ， ；
(2)已知人体体温为 时，相当于 ，求 ， ．
【答案】(1)38.4，0.64.
(2)101.12，2.0736.
【分析】（1）利用期望及方差公式即求；
（2）由 可得 , 即求.
【详解】（1）由题可得 ，
.
（2）由 可知， ，
.
11．（2023·陕西西安·统考一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项
目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，也可能亏损 ，且这两种情况
发生的概率分别为 和 ；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能
损失 ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 .(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），
问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据 ）
【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析
(2)大约在2030年年底总资产可以翻两番
【分析】（1）分别计算出两个项目的期望和方差，比较后得到结论；
（2）设 年后总资产可以翻两番，根据题意列出方程，求出答案.
【详解】（1）若投资项目一，设获利为 万元，则 的分布列为
60 -30
若投资项目二，设获利为 万元，则 的分布列为
100 0 -60
，
，
，
，
，
这说明虽然项目一､项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一进行
投资.（2）假设 年后总资产可以翻两番，依题意， ，即 ，
两边取对数，得 ，
， ，
大约在2030年年底总资产可以翻两番.
12．某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：
甲、乙两名同学各自从给定的 个问题中随机抽取 个问题作答，在这 个问题中，已知甲能正确作答其中
个，乙能正确作答每个问题的概率都是 ，甲、乙两名同学作答问题相互独立.记甲答对题的个数为 ，
乙答对题的个数为 .
(1)求甲、乙恰好答对 个问题的概率；
(2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由.
【答案】(1)
(2)选择甲，理由见解析
【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）由已知得 所有可能的取值为 ， ， ，求出所对应的概率，即可得到分布列，从而求出 ，
，在由 ，根据二项分布的期望与方差公式求出 ， ，即可判断.
【详解】（1）设“甲、乙恰好答对 个问题的概率”为事件 ，
则
.
（2）由已知得 所有可能的取值为 ， ， ，
所以 ， ， ，所以 的分布列为
1 2 3
所以 ，
，
由已知得 ，所以 ， ，
因为 ，但是 ，
所以选择甲同学参赛.
13．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投
进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概
率为 .从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为 ，若前一次没投进，则这次投进的概率
为 .
(1)求甲3次投篮的得分超过3分的概率；
(2)乙3次投篮的得分为 ，求 的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见详解，3
【分析】（1）根据题意结合二项分布运算求解；
（2）根据题意结合独立事件的概率乘法公式求分布列，进而可得期望.
【详解】（1）甲3次投篮投进的次数为 ，则 ，
故甲3次投篮的得分超过3分的概率 .（2）记“乙第 次投篮投进”为事件 ，
由题意可得： 的可能取值为 ，则有：
，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 2 4 6
故 的期望 .
14．（2023·广东汕头·统考三模）某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设
携带病毒的人占0.05，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方
法：随机地按5人一组分组，然后将5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴
性；如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成）
(1)按照这种化验方法能减少化验次数吗?如果能减少化验次数，大约能减少多少?
(2)如果携带病毒的人只占0.02，按照 个人一组， 取多大时化验次数最少?此时大约化验多少次?
说明： ， 先减后增
0.8858 0.8681 0.8508 0.8337【答案】(1)混合化验能减少化验的次数，大约减少5738次
(2)当 时， 最小，大约化验：2742次.
【分析】（1）根据题意求出5人一组需要验血次数X的均值，然后求出总共需要多少次，再根据题中数据
作差即可求解；
（2）假设 个人一组，设每个人需要化验的次数为 ，先求出每个人需要化验的次数 的分布列，然后求
出均值 的表达式，再利用函数的单调性即可求解.
【详解】（1）5人一组需要验血次数X的所有可能取值为1，6.
∴ ，
∴ 的分布列为：
1 6
∴
∴共需要化验次数大约为： （次）
大约减少 （次）
∴混合化验能减少化验的次数，大约减少5738次.
（2）假设 个人一组，设每个人需要化验的次数为 ，
若混合血样呈阴性，则 ，若混合血样呈阳性，则
∴ 的分布列为：
∴
∵ 先减后增，
，∴，∴
∴当 时， 最小，最小值为： ，
此时大约化验： 次.
15．（2023·广东广州·统考模拟预测）某学校开展“争做文明学生，共创文明城市”的创文知识问答竞赛
活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了
如下频率分布直方图．
(1)求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；
(2)学校拟对被抽取的100名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于70的学生
获得1次抽奖机会，得分高于70的学生获得2次抽奖机会．假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概
率为 ，抽到价值20元的学习用品的概率为 ．从这100名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得
学习用品的价值总额为 元，求 的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用
品的价值总额．
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析； ，此次抽奖要准备的学习用品的价值总额估计为 ．
【分析】（1）由频率分布直方图确定各组的频率，结合百分位数的定义求解；
（2）由条件确定 的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望，并估计此
次抽奖要准备的学习用品的价值总额．
【详解】（1）由频率分布直方图可得竞赛成绩位于区间
的频率分别为：，
又 ， ，
所以第80百分位数大于 ，小于 ，
设第80百分位数为 ，则 ，
所以 ，
所以该100名学生竞赛成绩的第80百分位数为 ；
（2）由已知 的取值可能为： ，
由已知从 人中任取一名同学，该同学成绩不超过 的概率为 ，
又每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为 ，
抽到价值20元的学习用品的概率为 ．
，
，
，
；
所以 的分布列为：
所以 ，
所以此次抽奖要准备的学习用品的价值总额估计为 元．
16．（2023·山西大同·统考模拟预测）国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀
起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，
从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：
保护动物意识强 保护动物意识弱 合计男
70 30 100
性
女
40 60 100
性
合
110 90 200
计
(1)根据以上数据，依据小概率值 的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关？
并说明原因；
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3
人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望 ．
附：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式： ，其中 ．
【答案】(1)认为保护动物意识的强弱与性别有关，理由见解析
(2)分布列见解析， ．
【分析】（1）根据公式计算 ，与临界值进行比较，可得结论；
（2）根据X的可能取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式计算数学期望.
【详解】（1）零假设为 ：保护动物意识的强弱与性别相互独立，即保护动物意识的强弱与性别无关，
由题意， ．
所以根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立．
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；
（2）由题意可知：在女性的市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为 ，所以 ，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
17．（2023·河南郑州·校考模拟预测）无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，
为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好
的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的
广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用
x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：
卖场 1 2 3 4 5 6
宣传费
2 3 5 6 8 12
用
3 4
销售额 30 40 50 60
4 5
(1)求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万
元；(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为 ，
若 ，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.
①若抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率；
②若抽取的3家卖场中宣传策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.
附：参考数据 ，回归直线方程 中 和 的最小二乘法的估计公式分别为：
， .
【答案】(1) ，至少为25万元时；
(2)① ；②分布列见解析，期望为 .
【分析】（1）计算出相关数据，代入公式即可得到线性回归方程；
（2）①利用条件概率公式即可；② 的取值为0,1,2，分别计算各自概率，再利用期望公式即可.
【详解】（1） ,
,
所以 ,
,
所以 .
令 ,解得 (万元).
故当宣传费用至少为25万元时,销售额能突破100万元.
（2）①记事件 为抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场,事件 为抽取的3家卖场中恰有1家为宣传策划高效.
由已知数据,卖场1,2的宣传策划是高效的,卖场3,4,5,6的宣传策划是非高效的,
,所以 .
故抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率为 .
②由题意知 的取值为0,1,2,则
，
故 的分布列为
0 1 2
所以.
