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第48 讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题
目录
01、考情透视，目标导
航
02、知识导图，思维引航.............................................................................................2
03、考点突破，考法探究.............................................................................................2
考点一.带电粒子在磁场中运动的动态圆问题......................................................2
知识点一.“平移圆”模型..................................................................................2
知识点二.“放缩圆”模型..................................................................................2
知识点三.“旋转圆”模型..................................................................................3
考向1．对平移圆模型的理解..........................................................................3
考向2．利用放缩圆解决磁场中的临界问题..................................................5
考向3．利用“旋转圆”模型解决磁场中的极值问题..................................6
考点二.磁聚焦和磁发散问题..................................................................................9
知识点一.磁聚焦模型........................................................................................9
知识点二.磁发散................................................................................................9
考向1．利用磁聚焦寻求关键性几何条件......................................................9
考向2．利用磁聚焦寻求关键性几何条件....................................................11
04、真题练习，命题洞见...........................................................................................11
考情
分析
2024·湖北·高考物理第10 题
2024·河北·高考物理第10 题
2024·重庆·高考物理第14 题
2024·海南·高考物理第15 题
2024·山东·高考物理第14 题
复习
目标
目标1.进一步理解带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题。
目标2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应的临界状态或极值
的轨迹。
目标3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。
1
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考点一.带电粒子在磁场中运动的动态圆问题
知识点一.“平移圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带
电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度
大小为v0，则半径R＝，如图所示
圆心
共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射
点的连线平行
界定
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫
2
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方法
“平移圆”法
知识点二.“放缩圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，这些带
电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
圆心
共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v 越大，运动半径也越大。可以发
现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′
上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临
界条件，这种方法称为“放缩圆”法
知识点三.“旋转圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场
时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，
则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示
圆心
共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半
径R＝的圆上
界定
方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这
种方法称为“旋转圆”法
考向1．对平移圆模型的理解
1.如图所示是带电粒子收集器的示意图，直角三角形ABC 区域内有垂直于纸
面向
外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，AC 边长为L，∠A＝30°。一束带正电
的粒
3
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子流以相同速度在CD 范围内垂直AC 边射入，从D 点射入的粒子恰好不能从AB 边射出。已知从BC 边垂
直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t，则( )
A．粒子的比荷为
B．粒子运动的轨道半径为L
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．这束粒子在磁场中扫过的面积为L2
2．如图所示，在xOy 平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R 的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y
轴左侧平行于x 轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强
度大小为、方向垂直xOy 平面向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进
入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为( )
A．
B．
C．
D．
考向2．利用放缩圆解决磁场中的临界问题
3.(多选)如图所示，在圆心为O、半径为R 的半圆形区域内(不含边界)有磁感应强度大小为B、方向垂直纸
面向里的匀强磁场，MN 为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O 点在纸面内沿与ON 成30°角
的方向射入磁场。粒子的质量为m、电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法
正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C．若粒子恰好从O 点正上方的P 点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速度，粒子可能从M 点离开磁场
4．(多选)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等为L，梯形
处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c 点存在一个粒子源，可以源源不断射出速
度方向沿cd、大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab 边射出，速度大小可能为( )
A．
B．
C．
D．
考向3．利用“旋转圆”模型解决磁场中的极值问题
5.(多选)如图所示，在荧光板MN 的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面
向里。距荧光板d 处有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为v＝、电荷量为
q、质量为m 的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为N，则( )
A．粒子能打到板上的区域长度为2d
4
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B．打到板上的粒子数为N
C．从粒子源出发到打到板上的最短时间为
D．同一时刻发射的粒子打到板上的最大时间差为
6．如图，x 轴上的P(l,0)点处有一正离子源，在xOy 平面内向第一象限各个方向发射速率相同的同种离子。
当离子沿与x 轴正方向成θ＝30°角射入第一象限内的匀强磁场时，从y 轴上的D 点(未画出)离开磁场，在
所有离子轨迹与y 轴交点中，D 点距离O 点最远。若θ＝ 90°，离子将从C 点(未画出)离开磁场，不计离子
重力及离子间的相互作用，DC 的长为( )
A．(2－)l
B．(－1)l
C．(－1)l
D．(2－)l
3.(多选)如图所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的
匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷
量大小均为q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。已知粒子带负电，
OP＝OS＝d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则( )
A.粒子的速度大小为
B.从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C.从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9 2∶
D.沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
考点二.磁聚焦和磁发散问题
知识点一.磁聚焦模型
电性相同的带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同
一点射出，该点切线与入射方向平行，其轨迹如图所示。
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知识点二.磁发散
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与
入射点的切线方向平行，其轨迹如图所示。
考向1．利用磁聚焦寻求关键性几何条件
1.如图所示，有一圆形区域匀强磁场，半径为R，方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B1，在其右侧有
一与其右端相切的正方形磁场区域，正方形磁场的边长足够长，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
B2。有一簇质量为m、电荷量为＋q 的粒子，以相同的速度v0＝沿图示方向平行射入磁场，不计粒子的重
力及粒子之间的相互作用，则粒子在正方形磁场区域中可能经过的面积为( )
A．S＝
R2
B．S＝R2
C．S＝(π＋1)R2
D．S＝R2
2．如图所示，一圆形区域的半径为R，区域内充满垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，a、b 两个完
全相同的粒子(重力忽略不计)以相同大小的速度水平向右分别从圆形区域边界上的A、B 两点射入磁场(从B
点射入的粒子速度沿半径方向)，其中从B 点射入的粒子刚好从圆形磁场的最上端D 点离开，A 点到BO 的
距离为，则a、b 两个粒子在磁场中运动的时间之比ta∶tb为( )
A．1 2∶
B．∶
C．2 3∶
D．1∶
考向2．利用磁聚焦寻求关键性几何条件
3.(多选)如图所示，在xOy 坐标系的第一象限中有一半径为r＝0.1 m 的圆形磁场区域，磁感应强度为B＝1
T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x 轴、y 轴相切，切点分别为C、A。现有大量质量为1×10－18 kg(重
力不计)、电荷量大小为2×10－10 C、速率均为2×107 m/s 的带负电的粒子从A 处垂直磁场进入第一象限，
速度方向与y 轴夹角为θ，且0＜θ＜180°，则下列说法正确的是( )
6
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A．粒子的轨迹圆和磁场圆的半径相等
B．这些粒子轨迹圆的圆心构成的圆和磁场圆的半径相等
C．部分粒子可以穿越坐标系进入第二象限
D．粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆
1．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、
电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是
（ ）
A．粒子的运动轨迹可能经过O 点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D．若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
2．（2024·河北·高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABCD 和abcd，其各对应边平行，ABCD 的边长
一定，abcd 的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A 处有一个粒子
源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD 方向进入磁场。调整abcd 的边长，可使速度大小
合适的粒子经ad 边穿过无磁场区后由BC 边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（ ）
A．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为45°，则粒子必垂直BC 射出
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B．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为60°，则粒子必垂直BC 射出
C．若粒子经cd 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边的速度方向与ad 边夹角必为45°
D．若粒子经bc 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角必为60°
3．（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为
的带正电的粒子，由固定
于M 点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN 方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN 上
方的K 点，O 在MN 上，且KO 垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直
于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O 点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，
忽略磁场突变的影响。
(1)求OK 间的距离；
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO 间的距离；
(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计
时O 点。求打开磁场的那一时刻。
4．（2024·海南·高考真题）如图，在xOy 坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x 轴和y 轴相切于P 点
和S 点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2 倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心
连线与x 轴平行，半圆与圆相
切于Q 点，QF 垂直于x 轴，半圆的直径MN 所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小
为B、
的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将
质量为m、电荷量为q 的粒子由电场加速到
。改变发射器的位置，使带电粒子在OF 范围内都沿着y 轴
正方向以相同的速度
沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P 点射入区域Ⅰ，并从Q 点射入区域Ⅱ（不计粒
子的重力和粒子之间的影响）
（1）求加速电场两板间的电压U 和区域Ⅰ的半径R；
（2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动
的总时间t；
（3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小
，方向沿x 轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与
y 轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y 轴的距离
。
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5．（2024·山东·高考真题）如图所示，在Oxy 坐标系x>0，y>0 区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大
小为B 的匀强磁场。磁场中放置一长度为L 的挡板，其两端分别位于x、y 轴上M、N 两点，∠OMN=60°，
挡板上有一小孔K 位于MN 中点。△OMN 之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y 轴左侧的粒子发
生器在0＜y＜
的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q 的无初速度的粒子。粒子发生器与y 轴之间
存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子
可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K 的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度
的大小和方向；
（3）当加速电压为
时，求粒子从小孔K 射出后，运动过程中距离y 轴最近位置的坐标。
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