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第 20 讲 一类与平方结构的三角形问题和正切有关的最值问
题
【典型例题】
例1．（2024·湖北武汉·一模）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据a2+b2+2c2＝8，得到 ，由余弦定理得到 ，由正弦定理得到
，两式平方相加得 ，而 ，两式结合有
，再用基本不等式求解.因为a2+b2+2c2＝8，
所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ①
由正弦定理得 ，
即 ②
由①，②平方相加得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 且 即 时，取等号.
故选：B
例2．（2024·河南新乡·二模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，
则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理知 ，因为 且 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为 ，
所以 的面积的最大值为 ．
故选：B.
例3．（2024·浙江·模拟预测）在锐角三角形 中， ，则 的最小值是
（ ）.
A．3 B． C． D．12
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，当且仅当 时取等号，
∴ .
故选：B.
例4．（2024·高一·四川攀枝花·期末）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 边上的
高为 ，且 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由余弦定理可得： ，
故： ，
而 ，
故 ，所以： ．
故选 ．
例5．（2024·高三·河北衡水·期中）在△ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a，b，c，且
则b等于
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】B
【解析】 ，即
由正弦定理得
由余弦定理得
整理得
因为
所以
因为
解得
故答案选
考点：1．正弦定理；2．余弦定理．
例6．（2024·高三·黑龙江绥化·阶段练习）在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，若
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据余弦定理得到 ，再根据正弦定理得到 ，故 ，
，计算得到答案.由余弦定理及 可得 ，
即 ，得 ，整理得 .
， ，得 .
由正弦定理得 ，又 ， ，
整理得 .易知在锐角三角形 中 ， ， ， 且 .
， ，
，
当且仅当 时等号成立.
故选：B.
例7．（2024·全国·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，
则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】由余弦定理 及 ，得
即 ，再由正弦定理，得
即 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为
故答案为：
例8．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）在斜三角形△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若 ， 的最小值为
【答案】 /
【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，
又因为 ，所以 ，
整理可得 ，因为 ，
所以 ，且 ，
，则
，
当且仅当 ，即 时取等号，此时取得最小值 ，
故答案为： .
例9．（2024·江苏常州·模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】 ，
，∴ ，
，
当且仅当 取等号，
故答案为： .
例10．（2024·高二·浙江温州·开学考试）在锐角 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，若
，则 ；若 ，则 的最小值 .
【答案】 /
【解析】因为 ，故 ，
而 为三角形内角，故 .
若 ，则 ，
故 ，
因为 为锐角三角形内角，故 ，
所以 ，
而
，
因为 为锐角三角形内角，故 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
而此时 为等腰直角三角形，与题设矛盾，故 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 等号成立，
故 的最小值为8，
故答案为： .
例11．（2024·高一·江苏盐城·期末）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若
，则 .
【答案】9
【解析】因为 ，
所以
，
即
故原式化为 ，
由正余弦定理得： ，即 ，所以 ，所以 ．
故答案为：9．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·河南·阶段练习）在锐角 中，角 的对边分别为 ， 的面积为 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
∵
∴ ，由 ，得 ，
利用正弦定理 ，，
所以 ，
故 或者 ，
或者 （舍弃），
因为锐角三角形 ，所以 ， ， ，
解得 ，
故选：D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为
S，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中， ，
故题干条件可化为 ，由余弦定理得 ，
故 ，又由正弦定理化简得：
，
整理得 ，故 或 （舍去），得
为锐角三角形，故 ，解得 ，故
故选：C
3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）在 中， 分别是角 的对边，若 ，则
的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【解析】由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ，故
，
故选：C.
4．（2024·高一·上海松江·阶段练习）在 中， 分别是角 的对边，若 ，则
的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】因为 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
，
故选：B.
5．（2024·高一·辽宁·阶段练习）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若
，则 的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2024
【答案】A
【解析】因为 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
，，
故选：A
6．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）在 中， 依次成等差数列，则 的取值范围是
( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知： ，
由已知得2tanB＝tanA＋tanC，
显然tanB≠0，
∵A、B、C是三角形内角，故A、B、C最多只有一个为钝角，即 最多只有一个为负数，
故若B为钝角，A和C为锐角，则tanB＜0，tanA＞0，tanC＞0，
则tanA＋tanC＝2tanB＞0，这与tanB＜0矛盾，
故tanB＞0．
又∵tanB＝－tan(A＋C)=－ ＝－ ≠0，
∴：tanAtanC=3．
又∵
，
因此： ≥3，又tanB＞0，∴tanB≥ ，
∵B∈ ，∴ ≤B＜ ．
故答案为： ．
7．（2024·湖南株洲·一模）在非直角 中， 、 、 成等比数列，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得 ，则
，
若 ，则 ，所以 ，
所以 ，这与 矛盾，故 ，
所以 ，
即 ， ，当且仅当 时取等号，
所以B的取值范围是 ．
故选：B.
8．（2024·高三·全国·专题练习）在锐角三角形 ABC 中，已知 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，得： ，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为 ，所以 ，
化简，得： ，解得： ，
， ，
，
＝
＝ ＝ ，
当且仅当 时取得最小值 .
故选：C9．（2024·高三·浙江宁波·阶段练习）在锐角三角形 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
的面积 ，给出以下两个结论；(1) ；(2) 有最小值为8．则（ ）
A．(1)正确，(2)错误 B．(1)错误，(2)正确
C．(1)(2)都正确 D．(1)(2)都错误
【答案】C
【解析】在 中， ，即 ，由正弦定理 得：
，
由 知 ，于是得 ，(1)正确；
因 是锐角三角形，则 ，即 ，而函数 在 上单调递增，
则有 ，
由 得： ，则
，
，
当且仅当 ，即 时取“=”，
所以，当 ， 时， 取最小值8，(2)正确.
故选：C
10．（2024·高三·湖北·阶段练习）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 的面积
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由三角形面积公式 结合 ，可知 ，即
，
又由平方关系 ，所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
由余弦定理有 ，所以 ，
令 ，所以 ，故只需求出 的范围即可，
由正弦定理边化角得
，
注意到在锐角 中，有 ，简单说明如下：
若 ，则 ，即 不是锐角，但这与 是锐角三角形矛盾，
所以在锐角 中，有 ，
所以在锐角 中，有 ，
因为正切函数 在 上单调递增，
所以 ，
从而 ，
而函数 在 单调递减，在 单调递增，
所以 .
综上所述： 的取值范围为 .故选：B.
11．（2024·高二·四川德阳·开学考试）在锐角 中，角 的对边分别为 ， 为 的面积，
且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角形面积公式可得： ，故 ，
，故 ，
因为 ，所以 ，
解得： 或0，
因为 为锐角三角形，所以 舍去，
故 ， ，
由正弦定理得：
，
其中 ，
因为 为锐角三角形
所以 ，故 ，所以 ， ，
， ，
令 ，则 为对勾函数，在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
又 ，
因为 ，所以 ，则 .
故选：C
二、填空题
12．（2024·全国·一模）已知 的内角 的对边分别为 ， ，角 最大，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】分析：先化简已知 得到 ,再代入 ,利用基本不等式求
取值范围.
∵ , ,
∴ = ，即c-2bcosA=2bsinA,
由正弦定理得sinC-2sinBcosA=2sinBsinA,
即sin(A+B)- 2sinBcosA=2sinBsinA,
即sinAcosB-cosAsinB=2sinBsinA,
∴tanA-tanB=2 tanAtanB
∴ ,
因为角C是最大角，
所以tanA>0,所以2tanA+1>0，
∴ = 当且
仅当 即 时等号成立.
∴ 的取值范围为 ，
故填
13．（2024·高一·全国·课后作业）在锐角三角形 中， ，则 的取值范
围是 ．
【答案】 .
【解析】结合三角形关系和式子 可推出 ，进而得到
，结合函数特性可求得最小值，即可得解由
，又 ，可得
．①由三角形 为锐角三角形，则 ，
在①式两侧同时除以 可得 ．
又 ，则 ．
②
令 ，由A，B，C为锐角可得 ， ， ．由②式得 ，解
得 ，
，由 ，得 ，因此 的最小值为8．
故答案为：
14．（2024·高三·江苏南通·期末）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
，则 的最小值是 ．
【答案】6
【解析】根据题意，已知 ，由余弦定理得
，化简得
由正弦定理：
即 （正弦平方差）
整理可得：
即
设
因为为锐角三角形，所以
此时 即
所以 =
令
当 ，f(x)递增；当 ，f(x)递减；
所以
故 的最小值是6故答案为6
15．（2024·高一·山东泰安·阶段练习） 中，角A，B，C满足 ，
则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】依题意， ，
，
，由正弦定理得 ，
所以 ，所以 为锐角，且 .
，由于 且 ，
所以 且 ，
所以 ，
所以 ，当 ， 是等号成立.
所以 的最小值为 .
故答案为：
16．（2024·高三·上海宝山·阶段练习）设 是 内的一点，且 ， ， ，则的最小值为 .
【答案】24
【解析】
如图，以AB中点为原点建立平面直角坐标系，由题可知， ，
所以 ， ， ，设 ，则
， ， ，
所以
，当 时，取到等号.
故答案为：24.
17．（2024·高一·湖南永州·期末）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴
，
∴ 或 (舍去)，
∴ ，
∴ ，∴ ，
当且仅当 时取等号，
故答案为： .
三、解答题
18．（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）在锐角三角形 中，若 .
(1)求 的值；
(2) 的最小值.
【解析】（1）在 中，
于是由 可得
①
又因为 是锐角三角形，所以 ， 在①两边同时除以
可得
则
（2）又
则 ，且
又
所以
当且仅当 时，等号成立
所以 的最小值为8.
19．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）已知锐角△ 的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的值；
(2)求 的最小值.
【解析】（1）由正弦定理知： ，则 ，
因为△ 为锐角三角形，故 ，
所以 ，可得 .
（2）由 ，又 ，所以 ，则 ，当且仅当 时等
号成立，
令 ，则 ，即 ，
解得 ，即 ，当 时等号成立.
所以 的最小值为3.
20．（2024·高三·湖北·开学考试）在 中，内角 满足 .
(1)求证： ；
(2)求 最小值.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 ，从而 ，
则 ，
所以 ，
即有 .
（2）由（1） ，有 ，
则 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为3.
