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第四章 三角函数与解三角形
§4.6 正弦定理、余弦定理
【高考考向预测】
近三年高考正、余弦定理为解三角形核心必考知识点，大小题型高频考查，主要用于边角互
化、边长角度求解、三角形形状判定、面积计算及条件式化简，是解三角各类题型的基础工具；
预测2027 年仍持续重点考查，命题侧重定理灵活混用、多条件融合推导、边角关系式变形化简，
常结合三角恒等变换、均值不等式探究最值范围，增多含参数与多解情形题型，强化三角形内角
范围限制意识，注重定理选用技巧与运算化简能力考查。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. ( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b. ( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. ( )
(4)在△ABC中，若b2+c2-a2>0，则△ABC为锐角三角形. ( )
2π
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=❑√7，a=1，B= ，则c等于( )
3
A.❑√5 B.2 C.❑√3 D.3
π 5π
3.(2025·广安模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A= ，C= ，b=❑√2，则a
4 12
等于( )
2❑√3 ❑√3 ❑√3
A.2 B. C. D.
3 3 2
4.(2025·辽阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=5，b=7，c=4，则△ABC
的面积为 .
【核心梳理●明考点】
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2= b 2 + c 2 -2 bc cos A ；
a b c
内容 = = =2R b2= c 2 + a 2 -2 ca cos B ；
sin A sinB sinC
c2= a 2 + b 2 -2 ab cos C
(1)a=2Rsin A， b2+c2−a2
变形 cos A= ；
b= 2 R sin B ， 2bcc= 2 R sin C ；
a
(2)sin A= ，
2R c2+a2−b2
cos B= ；
b 2ac
sin B= ，
2R a2+b2−c2
cos C=
c 2ab
sin C= ；
2R
(3)a∶b∶c= sin A ∶ sin B ∶ sin C
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
1
(1)S= ah (h 表示边a上的高)；
2 a a
1 1 1
(2)S= ab sin C = ac sin B = bc sin A ；
2 2 2
1
(3)S= r ( a + b + c ) (r为三角形的内切圆半径).
2
1.熟记以下△ABC中的常用结论：
A+B π C
(1)A+B+C=π， = - .
2 2 2
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)大边对大角，大角对大边，a>b A>B sin A>sin B，cos A<cos B.
(4)sin(A+B)=sin C；cos(A+B)=-cos C；tan(A+B)=-tan C.
⇔ ⇔
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a=bcos C+ccos B；b=acos C+ccos A；c=bcos A+acos B.
2.谨防两个易误点(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.
【题型突破●明方向】
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (1)(2026·临沂模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O是△ABC的外接
圆的圆心，a=4❑√2，b=6，sin C+cos C=❑√2，则该外接圆O的面积为( )
A.8π B.5π C.10π D.20π
(2)(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc=a2.若b=❑√6，
a=3❑√2sin B，则C等于( )
π π π π
A. B. C. D.
4 6 8 12
【跟踪训练】1 (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a+b=10，c=5，
sin 2B+sin B=0，则下列结论正确的是( )
A.a=3 B.b=7
5❑√3
C.B=60° D.sin C=
14
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A.若a=2ccos B，则△ABC是等腰三角形
B.若cos Acos Bcos C>0，则△ABC是锐角三角形
C.若acos A=bcos B，则△ABC是等腰三角形
D.若a-ccos B=acos C，则△ABC是等腰三角形或直角三角形
命题点2 三角形的面积
例3 (2025·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S=
❑√2
(b2+c2-a2)，则cos A= .
2
【跟踪训练】2 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=sin Bsin C，
(b+c+a)(b+c-a)=3bc，则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=❑√2cos B，
a2+b2-c2=❑√2ab.①求B；
②若△ABC的面积为3+❑√3，求c.
题型三 与中线、角平分线、垂线有关的问题
π
例4 (多选)(2026·沈阳模拟)在△ABC中，AB=4，AC=6，A= ，点D为边BC上一动点，则( )
3
A.BC=2❑√7
3❑√21
B.当AD为边BC上的高时，AD=
7
C.当AD为边BC上的中线时，AD=❑√19
12❑√3
D.当AD为角A的平分线时，AD=
5
2π
【跟踪训练】3 (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A= ，角A的平
3
分线AD交BC于点D，AD=2，b=6，则以下结论正确的是( )
A.c=3
B.BD=2CD
9❑√3
C.△ABC的面积为
2
D.a=3❑√5
相关定理在解三角形中的综合应用
1.角平分线定理
AB AC
在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，则 = .
BD CD
进而得到(1)AD2=AB·AC-BD·CD(斯库顿定理).AB BD S
(2) = =
△ABD
.
AC CD S
△ACD
2.张角定理
在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，
sinβ sinα sin(α+β)
则 + = .
AB AC AD
3.中线长定理
在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
典例 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=8，c=9，则AC边上的中线
长为 .
π
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC= ，AD=2
3
❑√3，则2b+c的最小值为 .
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·北京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin B-❑√3sin A=0，则b等
于( )
A.❑√3 B.2❑√3 C.1 D.2
2.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+❑√3，AB=❑√6，则A等于( )
A.45° B.60° C.120° D.135°
b2+c2−a2 1
3.(2025·齐齐哈尔模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 =4，sin A=
cosA 3
，则△ABC的面积为( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3B a+c
4.(2025·杭州期末)在△ABC中，cos2 = (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(
2 2c
)
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.(2026·吉林模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=7，a=4，D为边AB上靠近
点B的三等分点，若CD2=19，则c等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
π 9
6.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B= ，b2= ac，则sin
3 4
A+sin C等于( )
2❑√39 ❑√39 ❑√7 3❑√13
A. B. C. D.
13 13 2 13
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，则下列结
论中正确的是( )
A.A∶B∶C=2∶3∶4
B.△ABC为钝角三角形
C.若a+b+c=18，则△ABC的面积是6❑√15
D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R=16r
8.已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=❑√13，D在BC上，AD为∠BAC的平分线，E为AC的中点，则(
)
2❑√39
A.BC边上的高线长为
13
2❑√3
B.AD=
5
❑√13
C.BD=
5
D.BE=❑√3
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·永州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，b=1，c=4，则
a+b+c
= .
sin A+sinB+sinC3π
10.在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B= ，AB=3❑√2，AD=2❑√10，若AC=3❑√5，则CD=
4
.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2025·天津)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=❑√3bcos A，
c-2b=1，a=❑√7.
(1)求A的值；(4分)
(2)求c的值；(4分)
(3)求sin(A+2B)的值.(5分)
12.(14分)(2026·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C+b=0，b=
❑√2
c.
4
(1)求cos C；(6分)
1 3π
(2)若△ABC的面积为 ，D是BC上的点，且∠ADB= ，求AD的长.(8分)
4 4
[13题6分，14题5分，共11分]
1
13.(多选)(2025·漳州模拟)在△ABC中，AC=2❑√5，tan A=2，向量⃗AC在向量⃗AB上的投影向量为 ⃗AB，
3
则( )
A.边BC上的高为3❑√23❑√10
B.sin∠ACB=
10
C.⃗CA·⃗CB=-8
D.边AB上的中线长为❑√17
1
14.已知△ABC的面积S= (b2+c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为 .
4
