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专题6-3 立体几何大题综合归类
目录
题型01 平行：无交线型.......................................................................................................................................................1
题型02 平行：线面平行探索性...........................................................................................................................................2
题型03 平行：面面平行探索性...........................................................................................................................................4
题型04 垂直：线面垂直探索性..........................................................................................................................................5
题型05 垂直：面面垂直翻折探索性...................................................................................................................................6
题型06 证明与建系：斜棱柱垂面法建系...........................................................................................................................7
题型07 证明与建系：斜棱柱垂线法建系...........................................................................................................................8
题型08 证明与建系：三棱柱投影法建系..........................................................................................................................9
题型09 证明与建系：角平分线法建系............................................................................................................................10
题型10 二面角延长线法.....................................................................................................................................................11
题型11 翻折型.....................................................................................................................................................................12
题型12 台体型.....................................................................................................................................................................13
高考练场.............................................................................................................................................................................. 14
题型01 平行：无交线型
【解题攻略】
两个平面相交：
1.两点确定一条直线，只需确定两平面的两个公共点即可
2.由于两平面有一个公共点A，再找一个公共点即可确定交线
3.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，在平面内，过两平
面的公共点作直线与已知直线平行，则此直线即为两平面的交线
【典例1-1】如图，在平行四边形
中，
，
，
为
的中点，以
为折痕将
折起，使点
到达点
的位置，且
，
，
分别为
，
的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)若平面
与平面
的交线为，求直线与平面
所成角的正弦值.
【变式1-1】如图所示，在四棱柱
中，底面
是等腰梯形，
，
,
,侧棱
⊥底面
且
．
1
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(1)指出棱
与平面
的交点
的位置（无需证明）；
(2)求点
到平面
的距离．
【变式1-2】如图，
为圆锥的顶点，
为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径
，母线
，
是
的中点，四边形
为正方形．设平面
平面
，证明：
；
.
题型02 平行：线面平行探索性
【解题攻略】
平行的常用构造方法
①三角形中位线法；
②平行四边形线法；
③比例线段法.
注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角；
②平行关系的判定.
【典例1-1】如图，在三棱柱
中，侧面
底面
，
，
，
且
，
为
中点.
2
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(1)求证
平面
(2)在
上是否存在一点
，使得
平面
，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.
【变式1-1】如图，四边形
中，
，
，
，
，
，
分别在
，
上，
，现将四边形
沿
折起，使
．
(1)若
，在折叠后的线段
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若
不存在，说明理由.
(2)求三棱锥
的体积的最大值，并求出此时点
到平面
的距离.
【变式1-2】如图，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E 在CD
上，且DE＝2，将△ADE 沿AE 折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G 为AE 中点.
(1)求证：DG⊥平面ABCE；
(2)求四棱锥D-ABCE 的体积；
(3)在线段BD 上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
3
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题型03 平行：面面平行探索性
【解题攻略】
证明平行
(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)线面平行：设直线l 的方向向量为v，平面α 的法向量为u，则l∥α 或l⊂α⇔v⊥u.
(3)面面平行：设平面α 和β 的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.
【典例1-1】在三棱柱
中，
(1)若
分别是
的中点，求证：平面
平面
.
(2)若点
分别是
上的点，且平面
平面
，试求
的值．
【变式1-1】.在长方体
中，
，P 为
的中点．已知过点
的平面
与平面
平行，平面
与直线
分别相交于点M，N，请确定点M，N 的位置；
【变式1-2】已知正方体
中，
､
分别为对角线
､
上的点，且
．
4
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（1）求证：
平面
；
（2）若
是
上的点，
的值为多少时，能使平面
平面
？请给出证明．
题型04 垂直：线面垂直探索性
【解题攻略】
垂直的常见构造：
①等腰三角形三线合一法；
②勾股定理法；
③投影法.
④菱形的对角线互相垂直
【典例1-1】已知正方体
的棱长为
，
、
、
分别是
、
、
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求线段
的长；若不存在，请说明理由；
(3)求
到平面
的距离．
【变式1-1】如图，在四棱锥S－ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC＝60°，△SAD 为正三
角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱AD，SB 的中点．
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB 上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
为棱
上靠
5
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近
的三等分点，
为棱
上靠近
的三等分点.
(1)证明：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点D，使得
面
?若存在，求出
的大小并证明；若不存在，说明理由.
题型05 垂直：面面垂直翻折探索性
【解题攻略】
翻折
1. 翻折前后，在同一平平面内的点线关系不变
2. 翻折过程中是否存在垂直或者平行等特殊位置关系
3. 翻折过程中，角度是否为定值
4. 翻折过程中，体积是否存在变化
【典例1-1】
如图，在四棱锥P－ABCD 中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝
，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M
是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上，且PN＝
PB.
(1)证明：MN
平面PDC；
(2)在线段BC 上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q 的位置；若不存在，请
说明理由.
【变式1-1】如图，在三棱台ABCDEF 中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
6
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(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE 上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G 点
的位置；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】如图（1），点E 是直角梯形ABCD 底边CD 上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE
＝2，将
沿AE 折起，使得D－AE－B 成直二面角，连接CD 和BD，如图（2）．
(1)求证：平面
平面BCD；
(2)在线段BD 上确定一点F，使得
平面ADE.
题型06 证明与建系：斜棱柱垂面法建系
【解题攻略】
斜棱柱垂线型建系
如果存在垂线（投影型）斜棱柱，则可以直接借助垂线作为z 轴建系，下底面，可以寻找或者做出一对垂
线作为xy 轴。这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标。空中点坐标可以有以下思维：
1. 让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度
2. 借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标
【典例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）如图，在三棱柱
中，平面
平面
ABC，
，
，
，
，
，
．
(1)求证：B，D，E，
四点共面；
(2)求二面角
的余弦值．
【变式1-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，在斜三棱柱
中，
，
，
的中点为
，
的中点为
.
7
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(1)证明：OD∥平面
；
(2)若
，
，
，求平面
与平面
所成角的大小.
【变式1-2】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为4 的菱形．
，点D 为棱AC 上动点(不与A，C 重合)，平面B1BD 与棱A1C1交于点
E．
(1)求证：
；
(2)若
，平面ABC⊥平面
，
，求直线BC 与平面B1BDE 所成角的正弦值．
题型07 证明与建系：斜棱柱垂线法建系
【典例1-1】（2023·广东韶关·统考模拟预测）如图，在三棱柱
中，
为
的中点，
，
，
，点
在底面上的射影为点
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
所成角的正弦值.
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【变式1-1】（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）如图所示多面体ABCDEF 中，平面
平面
ABCD，
平面ABCD，
是正三角形，四边形ABCD 是菱形，
，
，
(1)求证：
平面ABCD；
(2)求二面角
的正弦值.
【变式1-2】（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，在三棱柱
中，
，侧面
为菱形，
为等边三角形．
(1)求证：
；
(2)若
，点E 是侧棱
上的动点，且平面
与平面
的夹角的余弦值为
，求点B 到平
面
的距离．
题型08 证明与建系：三棱锥投影法建系
【典例1-1】（2023 春·江苏南通·高三统考期末）如图，在三棱锥
中，
，D 是AC 的中点，
E 是AB 上一点，
平面PDE.
(1)证明：
平面PBC；
(2)若
，
，求二面角
的正弦值．
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【变式1-1】（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）如图，在三棱锥
中，
是点
在平面
ABC 上的投影，
，
，
是BD 的中点.
(1)证明：
平面DAC；
(2)若O 点正好落在
的内角平分线上，
，
，
，求二面角
的正弦值.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥
中，D，E，P 分别在棱AC，AB，BC 上，且
D 为AC 中点，
，
于F.
(1)证明：平面
平面
；
(2)当
，
，二面角
的余弦值为
时，求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型09 证明与建系：角平分线法建系
【解题攻略】
6. 等角射影平分线型建系
如果一条线和一个角的两边所成角度相等，则该线在角度所在平面射影是角平分线。此时，这个模型也满
足“三面角余弦定理”：
大题解答时，需要简单的证明才能使用
【典例1-1】（2024 年九省联考）如图，平行六面体
中，底面
是边长为2 的正
方形，
为
与
的交点，
．
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（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值．
【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱
中，
是
的中点，
是线段
上一点.
(1)求证：
；
(2)设
是棱
上的动点（不包括边界），当
的面积最小时，求直线
与平面
所成角的正
弦值.
【变式1-2】(2024 郑州一质检）如图，在多面体
中，底面
为平行四边形，
平面BC，
为等边三角形，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
题型10 二面角延长线法
【典例1-1】.（2023 春·安徽芜湖·高三统考）在三棱锥
中，底面
是边长为2 的等边三角形，
且直线
与平面
所成角为
为
中点.
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(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
【变式1-1】（2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，在三棱锥
中，
，设点
为
上的动点.
(1)求
面积的最小值；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【变式1-2】（2023 秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，二面角
为钝角，三棱锥
的体积为
.
(1)求二面角
的大小；
(2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.
.
题型11 翻折型
【解题攻略】
翻折型建系
翻折型几何体，寻找翻折前和翻折后的“变与不变”的点线面关系。
1. 翻折前翻折后在同一平面内的点线，数量关系不变。
2. 翻折后，一般情况下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系计算
3. 翻折后，可以构造三棱锥，利用三棱锥斜面建系法来建系计算
【典例1-1】（2023·福建三明·统考三模）如图，平面五边形
由等边三角形
与直角梯形
组成，其中
，
，
，
，将
沿
折起，使点
到达点
的
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位置，且
.
(1)当
时，证明
并求四棱锥
的体积；
(2)已知点
为棱
上靠近点
的三等分点，当
时，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【变式1-1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中
，
，
，
．
(1)在线段CD 上找出点F，将四边形
沿
翻折，形成几何体
．若无论二面角
多大，都能够使得几何体
为棱台，请指出点F 的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角
为直二面角，求棱台
的体积，并求出此时二面角
的余弦值．
【变式1-2】（2023·福建厦门·统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，
四边形
为筝形，其对角线交点为
，将
沿
折到
的位置，形
成三棱锥
．
(1)求
到平面
的距离；
(2)当
时，在棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
题型12 台体型
【解题攻略】
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台体建系型
1. 正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z 轴。
2. 非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系思
维。
【典例1-1】．（2019 上·浙江·高三校联考）在三棱台
中，
是等边三角形，二面角
的平面角为
，
.
（I）求证：
；
（II）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【变式1-1】（2024 上·山东德州·高三统考）如图，在四棱台
中，底面
是边长为2
的菱形，
，
，点
分别为
的中点．
(1)证明：直线
面
；
(2)求二面角
的余弦值．
【变式1-2】（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台
中，
，
，
，
为棱
，
的中点，棱
上存在一点
，使得
平面
．
(1)求
；
(2)当正四棱台
的体积最大时，求
与平面
所成角的正弦值．
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高考练场
1.如图，四棱锥
的底面是平行四边形，设平面
与平面
的交线为直线．证明：
平面
.
2.如图，在正方体
中，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)
上是否存在一点
，使得平面
平面
，若存在，请说明理由．
3..如图，四棱锥
中，
，
，
为
的中点．
(1)求证：
平面
.
(2)在线段
上是否存在一点
，使得平面
平面
？若存在，证明你的结论，若不存在，请说
明理由．
4..如图，在四棱锥
中，侧棱
底面
，底面
是直角梯形，
，
，
且
，
，
是
的中点．
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(1)求证：
平面
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
河南省开封市五县2021-2022 学年高三下学期考试数学试题
5.图1 是由矩形
，
和菱形
组成的一个平面图形，其中
，
，
，将其沿
，
折起使得
与
重合，连接
，如图2.
(1)证明：图2 中的
，
，
，
四点共面，且平面
平面
；
(2)求图2 中的直线
与平面
所成角的正弦值.
6.（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）如图，在三棱柱
中，
．
(1)证明：
；
(2)若
，且
，求二面角
的正弦值．
7.（2023·江西南昌·统考二模）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的菱形，
，
，点E 在线段
上，
，平面
平面
．
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(1)求
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
8.（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥P－ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，PO⊥平面ABC，
垂足O 落在线段AD 上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
9.（2022·江西·校联考模拟预测）如图，在三棱柱
中，
，
，
．
(1)求证：
；
(2)若
为线段
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值．
10.（2023·河南新乡·统考三模）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，
是等边三角
形，
，
，M 是AD 的中点.
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(1)证明：
平面ECD.
(2)当二面角
为
时，求二面角
的余弦值.
.
11.（2022 下·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考阶段练习）如图，在四棱台
中，底面
四边形
是菱形，
面
，且
，E 是棱
的中点．
(1)求证：
；
(2)求多面体
（四棱台
切掉三棱锥
剩下的部分）的体积；
(3)求直线
与平面
所成线面角的正弦值．
12.（2022·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱台
中，底面
为正方形，H 在棱
上，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若M 为
的中点，且
，求直线
和平面
所成角的正弦值．
18
