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第七题 常用逻辑用语
高考真题
7. 记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【思路分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前 n项和与第n项的关系推
理判断作答.，
【解析】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C知识点总结
1. 充分、必要条件
(1) 对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作p⇒q，称p是q的 充分 条件，q
是p的 必要 条件；当它是假命题时，记作p⇒q，称p不是q的 充分 条件，q不是p的
必要 条件．
(2) ①若p⇒q，且q⇒p，则p是q的 充分不必要 条件；
②若p⇒q，且q⇒p，则p是q的 必要不充分 条件；
③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的 充要 条件，记做p⇔q；
④若p⇒q，且q⇒p，则p是q的 既不充分又不必要 条件．
(3) 证明“充要条件”应分为两个环节，一是充分性，二是必要性．应该进行由条件到结
论，由结论到条件的两次证明．证明时要分清哪个是条件，哪个是结论．
2. 判断充分必要条件的常用方法
(1) 定义判断法：通过判断p⇒q与q⇒p是否成立确定p是q的什么条件．
(2) 集合判断法：建立命题p，q相应的集合，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形
式出现，即p：x∈A＝{x|p(x)}，q：x∈B＝{x|q(x)}，则：
①若A⊆B，则p是q的充分条件；
②若B⊆A，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的充分不必要条件；
④若BA，则p是q的必要不充分条件；
⑤若A＝B，则p是q的充要条件；
⑥若A B且B A，则p是q的既不充分又不必要条件．
3. 全称量词
我们把表示 全体 的量词称为全称量词．
对应日常语言中的“一切”“任意的”“所有的”“凡是”“任给”“对每一个”等词，
用符号“∀”表示．
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对任意实数x∈M，都有p(x)成立”简记成
“ ∀ x ∈ M ， p ( x ) ”．
4. 存在量词我们把表示 部分 的量词称为存在量词．
对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”“有个”“某个”“有些”“有的”等
词，用符号“ ∃ ”表示．
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在实数x ∈M，使得p(x )成立”简记成“
0 0
∃ x ∈ M ， p ( x ) ”．
0 0
5. 命题的否定：“∀x∈M，p(x)”与“ ∃ x ∈ M ， 綈 p ( x ) ”互为否定．
6. 常见词语的否定
词语 是 一定是 都是 大于 小于
词语的 不一 小于或 大于或
不是 不都是
否定 定是 等于 等于
必有 至少有 至多有 所有x
词语 且
一个 n个 一个 成立
词语的 一个也 至多有 至少有 存在一个 x 不
或
否定 没有 n － 1 个 两个 成立
题型展示
充要条件的判断
(1) (2022·石家庄一模)已知x∈R，则“x<－1”是“x2>1”的( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【解析】 解不等式x2>1，可得x>1或x<－1，则由充分不必要条件的判定可知“x<－1”
是“x2>1”的充分不必要条件．
(2) “0<a<b”是“a－<b－”的( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【解析】 因为y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，所以当 0<a<b时，a－<b
－，充分性成立；当a－<b－时，a<b<0或0<a<b，必要性不成立．所以“0<a<b”是“a－<b
－”的充分不必要条件．
结合充要条件确定参数的取值范围
(1) (2022·株洲一检)已知“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则 a的取值范围为( B
)
A. (3，＋∞) B. (－∞，2)
C. (－∞，2] D. [0，＋∞)
【解析】 由题意得，{x|x≥2}是{x|x≥a}的真子集，故a<2.
(2) 已知集合A＝{x，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是
x∈A，则实数m的取值范围是 ( 2 ，＋ ∞ ) .
【解析】 A＝＝{x|－1<x<3}，因为 x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A，所以
AB，所以m＋1>3，即m>2.
1. 解决根据充要条件求参数取值范围的问题，一般是把充分条件、必要条件或充要条件
转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求
解．
2. 在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验，在利用集合关系列
不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．
充要条件的探求
(多选)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是( CD )
A. 方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B. 方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根和一负根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}
C. 方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}
D. 方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的一个必要条件是m∈{m|m>1}
【解析】 在A中，二次方程有实数根，等价于判别式 Δ＝(m－3)2－4m≥0，解得m≤1
或m≥9，即二次方程有实数根的充要条件是 m∈{m|m≤1或m≥9}，故A错误；在B中，二
次方程有一正根和一负根，等价于解得 m<0，所以方程有一正根和一负根的充要条件是
m∈{m|m<0}，故B错误；在C中，二次方程有两正实数根，等价于解得0<m≤1，故方程有
两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}，故C正确；在D中，二次方程无实数根，等价于
Δ＝(m－3)2－4m<0，得1<m<9，而{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故m∈{m|m>1}是方程无实数根的
必要条件，故D正确．探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件
的充分性和必要性．
含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．
(1) p：∀x∈R，x2－1<0；
【解答】 ¬ p：∃x∈R，x2－1≥0.由于当x＝2时，x2－1≥0，故其是真命题．
(2) q：∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
【解答】¬ q：∀x∈R，使得x2＋x＋1＞0.由于x2＋x＋1＝2＋＞0，故其是真命题．
在含有一个量词的命题的否定中，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题
的否定是全称量词命题，一般命题的否定则是直接否定结论．对于存在量词命题的判断，只
要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立；对于全称量词命题的判断，必
须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不
成立．
结合命题真假求参数取值范围
(1) 已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都
是真命题，则实数a的取值范围为 ( － ∞ ，－ 2 ] .
【解析】 由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或
a≥1.综上，实数a的取值范围为(－∞，－2]．
(2) (2022·抚顺一模)学校开设了多种体育类的校本选修课程，以更好地满足学生加强体育
锻炼的需要．该校学生小明选择确定后，有三位同学根据小明的兴趣爱好，对他选择的体育
类的校本选修课程进行猜测．甲说：“小明选的不是游泳，选的是武术．”乙说：“小明选
的不是武术，选的是体操．”丙说：“小明选的不是武术，也不是排球．”已知这三人中有
两个人说的全对，有一个人只说对了一半，则由此推断小明选择的体育类的校本选修课程是(
C )
A. 游泳 B. 武术
C. 体操 D. 排球
【解析】 若甲说的全对，则小明选的是武术；若乙说的全对，则小明选的是体操，矛盾．
若甲说的全对，则小明选的是武术；若丙说的全对，则小明选的不是武术，矛盾．若乙说的
全对，则小明选的是体操；若丙说的全对，不是武术也不是排球，满足题意，此时甲说的不
是游泳正确，是武术错误，所以甲说对了一半，满足题意，所以小明选择的是体操．
根据命题的真假求参数取值范围的策略：(1) 已知命题的真假，可根据每个命题的真假，
利用集合的运算求解参数的取值范围；(2) 对于含有量词的命题求参数的取值范围的问题，
可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．恒成立与能成立问题
已知 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对任意的 x ∈[0,3]，存在 x ∈[1,2]，使得
1 2
f(x )≥g(x )，则实数 m 的取值范围是 ；若对任意的 x ∈[0,3]，任意 x ∈[1,2]，有
1 2 1 2
f(x )≥g(x )，则实数m的取值范围是 .
1 2
【解析】 ①当x∈[0,3]时，f(x) ＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x) ＝g(2)＝－m.对任意的
min min
x ∈[0,3]，存在x ∈[1,2]，使得f(x )≥g(x )等价于f(x ) ≥g(x ) ，即0≥－m，所以m≥.
1 2 1 2 1 min 2 min
②当x∈[0,3]时，f(x) ＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x) ＝g(1)＝－m.对任意的x ∈[0,3]，
min max 1
任意x ∈[1,2]，有f(x )≥g(x )，等价于f(x ) ≥g(x ) ，即0≥－m，所以m≥.
2 1 2 1 min 2 max
1. 恒成立问题的转化：a>f(x)恒成立⇒a>f(x) ；a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x) .
max min
2. 能成立问题的转化：a>f(x)能成立⇒a>f(x) ；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x) .
min max
3. 设函数 f(x)，g(x)，对任意的 x ∈[a，b]，存在 x ∈[c，d]，使得 f(x )≥g(x )，则
1 2 1 2
f(x ) ≥g(x ) .
1 min 2 min
4. 设函数 f(x)，g(x)，对任意的 x ∈[a，b]，存在 x ∈[c，d]，使得 f(x )≤g(x )，则
1 2 1 2
f(x ) ≤g(x ) .
1 max 2 max
5. 设函数 f(x)，g(x)，存在 x ∈[a，b]，存在 x ∈[c，d]，使得 f(x )≥g(x )，则
1 2 1 2
f(x ) ≥g(x ) .
1 max 2 min
6. 设函数 f(x)，g(x)，存在 x ∈[a，b]，存在 x ∈[c，d]，使得 f(x )≤g(x )，则
1 2 1 2
f(x ) ≤g(x ) .
1 min 2 max
真题演练
一、单选题
1．设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
2．若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
4．已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
5．等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
6．已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7．下列命题为真命题的是（ ）
A． 且 B． 或
C． ， D． ，
【答案】D
8．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
9．若 ≤ ，则 为（ ）
A． B． ≥C． ≥ D．
【答案】A
10．命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A．若 ，则 ，或 B．若 ，则
C．若 ，或 ，则 D．若 或 ，则
【答案】D
11．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
12．设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时，
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
二、填空题
13．设有下列四个命题：
p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
1
p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
2
p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
3
p ：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
4
则下述命题中所有真命题的序号是 .
① ② ③ ④
【答案】①③④14．已知m、n是不同的直线， 是不重合的平面，给出下列命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④m，n是两条异面直线，若 ，则 ．
上面的命题中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）
【答案】③④
15．已知z为复数，则 的一个充要条件是z满足 ．
【答案】
16．命题“存在x∈R，使得x22x+5=0”的否定是
+
【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
模拟训练
一、单选题
1．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
2．以下说法正确的有（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C．“ ”是“ ”成等比数列的充分必要条件
D．设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件【答案】D
3．已知集合 ， ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的所有
可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
5．“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
6．已知数列 的前 项和 ，则“ "是“数列 为等差数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
二、多选题
7．下面命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．命题“若 ，则 ”的否定是“存在 ， ”
C．设 ，则“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
D．设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件【答案】AD
8．已知命题p： ；命题 ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
三、填空题
9．若命题“ ，使得 成立”为真命题，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
10．若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
【答案】
11．数列 的前n项和为 ，且 ，则“ ”是“ ”的 条件.
（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一种）
【答案】充分不必要
12．“ ”是“ ”的 条件．（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充
要”，“既不充分也不必要”中选择一个）
【答案】充分不必要．
