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第11 讲 极值点偏移问题（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】对称化构造函数............................................................................................................2
【考点二】比值代换.......................................................................................................................3
【专题精练】.................................................................................................................................4
考情分析：
目录
1
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极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常
出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移
问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．
一、解答题
1．（2021·全国·高考真题）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
【考点一】对称化构造函数
一、单选题
1．（2023·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y 满足
，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数
有两个零点
，且
，则下列命题正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（22-23 高三上·湖北·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
真题自测
考点突破
2
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4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于
的方程
有两个不等的实根
，且
，则下列
说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2022·吉林·三模）已知函数
的极大值点为0，则实数m 的值为 ；设
，且
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
四、解答题
6．（2023·山东泰安·二模）已知函数
，
.
(1)当
时，讨论方程
解的个数；
(2)当
时，
有两个极值点
，
，且
，若
，证明：
（i）
；
（ii）
.
7．（22-23 高二下·辽宁·期末）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
（e 是自然对数的底数），且
，
，
，证明：
.
规律方法：
对称化构造函数法构造辅助函数
(1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．
(2)对结论x1x2>x 型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边
取对数，转化成ln x1＋ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成两变量即可．
【考点二】比值代换
一、解答题
3
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1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
有两个零点
，
，且
，求证：
．
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知
．
(1)当
时，讨论函数
的极值点个数；
(2)若存在
，
，使
，求证：
．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，判断
在区间
内的单调性；
(2)若
有三个零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
4．（23-24 高三上·云南昆明·阶段练习）设
，
为函数
（
）的两个零点．
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明：
．
5．（2023·陕西安康·二模）已知函数
，
（e 为自然对数的底数）
(1)当
时，恰好存在一条过原点的直线与
，
都相切，求b 的值；
(2)若
，方程
有两个根
，（
），求证：
．
规律方法：
比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单
调性证明．
4
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一、单选题
1．（2023·江西·模拟预测）已知
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·四川成都·一模）已知
，且
，则下列说法正确的有（ ）
①
； ②
；③
； ④
.
A．①②③
B．②③④
C．②④
D．③④
3．（22-23 高三上·河北衡水·期末）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
恒成立，则
B．当
时，
的零点只有个
C．若函数
有两个不同的零点
，则
D．当
时，若不等式
恒成立，则正数
的取值范围是
5．（2023·湖南永州·二模）已知
，
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·山东德州·二模）已知函数
，则（ ）
专题精练
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A．
B．若
有两个不相等的实根
、
，则
C．
D．若
，x，y 均为正数，则
7．（2023·河北衡水·一模）直线：
与
的图象交于
、
两点
，
在
A､B 两点的切线交于
，
的中点为
，则（ ）
A．
B．点
的横坐标大于1
C．
D．
的斜率大于0
8．（22-23 高三·全国·阶段练习）已知函数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上是增函数
B．
，不等式
恒成立，则正实数
的最小值为
C．若
有两个零点
，则
D．若
，且
，则
的最大值为
三、解答题
9．（2024·广东湛江·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
10．（2022·山东·模拟预测）已知函数
.
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(1)若
有两个零点，
的取值范围；
(2)若方程
有两个实根
、
，且
，证明：
.
11．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性：
(2)若
是方程
的两不等实根，求证：
；
12．（2022 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，当
时，
恒成立．
(1)求实数
的取值范围；
(2)若正实数
、
满足
，证明：
．
13．（2022 高三·全国·专题练习）已知函数
在其定义域内有两个不同的极
值点.
(1)求
的取值范围；
(2)记两个极值点为
，且
. 若
，证明：
.
14．（2023·河南·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当时，若，求证：
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