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第4 讲 函数的极值、最值（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】利用导数研究函数的极值..............................................................................................3
【考点二】利用导数研究函数的最值..............................................................................................4
【考点三】极值、最值的简单应用..................................................................................................5
【专题精练】.................................................................................................................................6
考情分析：
目录
1
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利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，
难度中等偏上，属综合性问题．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2022·全国·高考真题）函数
在区间
的最小值、最大值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·广东江苏·高考真题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
4．（2024·全国·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
5．（2023·全国·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
真题自测
2
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6．（2023·全国·高考真题）若函数
既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．（2022·全国·高考真题）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
三、填空题
8．（2022·全国·高考真题）已知
和
分别是函数
（
且
）的极小值点和
极大值点．若
，则a 的取值范围是 ．
【考点一】利用导数研究函数的极值
核心梳理：
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．
一、单选题
1．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数
在区间
上的最大值为k，则函数
在
上（ ）
A．有极大值，无最小值
B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值
D．无极大值，无最大值
2．（2023·四川凉山·三模）已知函数
的导函数
，若1 不是函数
的极值
点，则实数a 的值为（ ）．
A．－1
B．0
C．1
D．2
二、多选题
考点突破
3
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3．（22-23 高三下·浙江·开学考试）定义：设
是
的导函数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都
有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A．
，
B．函数
既有极大值又有极小值
C．函数
有三个零点
D．过
可以作三条直线与
图象相切
4．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数
在
处取得极值，则（ ）
A．
B．
为定值
C．当
时，
有且仅有一个极大值
D．若
有两个极值点，则
是
的极小值点
三、填空题
5．（2023·云南红河·二模）若
是函数
的极小值点，则函数
在区间
上的最大值为 ．
6．（2024·江苏·模拟预测）已知
有两个极值点，则实数
的取值范围为 ．
规律方法：
4
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(1)不能忽略函数的定义域．
(2)f′(x0)＝0 是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，
所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0 的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性．
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
【考点二】利用导数研究函数的最值
核心梳理：
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
一、单选题
1．（2023·浙江·模拟预测）对函数
(
，
且
)的极值和最值情况进
行判断，一定有（ ）
A．既有极大值，也有最大值
B．无极大值，但有最大值
C．既有极小值，也有最小值
D．无极小值，但有最小值
2．（2024·广东深圳·二模）设函数
，
，若存在
，
，使得
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
二、多选题
3．（2023·重庆·模拟预测）已知函数
，
，则（ ）
A．
与
的定义域不同，
与
的值域只有1 个公共元素
B．在
与
的公共定义域内，
的单调性与
的单调性完全相反
C．
的极小值点恰好是
的极大值点，
的极大值点恰好是
的极小值点
D．函数
既无最小值也无最大值，函数
既有最小值也有最大值
5
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4．（2024·广东广州·一模）已知直线
与曲线
相交于不同两点
，
，曲线
在点
处的切线与在点
处的切线相交于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2023·吉林·二模）若P，Q 分别是抛物线
与圆
上的点，则
的最小值为
．
6．（2024·江苏·一模）已知
，
，则
的最小值为 .
规律方法：
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论．
(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，
画出函数图象，借助图象得到函数的最值．
【考点三】极值、最值的简单应用
一、单选题
1．（2023·湖南·模拟预测）已知函数
在
处取得极大值4，则
（ ）
A．8
B．
C．2
D．
2．（23-24 高二下·四川广元·阶段练习）如图是y = f (x)的导函数f
' (x)的图象，对于下列四个判断，其中正
确的判断是（ ）
A．当
时，
取得极大值
B．
在
上是增函数
C．当
时，
取得极大值
D．
在
上是增函数，在[2,4]上是减函数
二、多选题
6
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3．（2023·海南·一模）已知函数
的图象关于直线
对称,则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于点
对称
D．若
,且
在
上无极值点,则
的最小值为
4．（23-24 高三上·河北保定·期末）已知
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（23-24 高三上·安徽合肥·期末）已知函数
，若
恒成立，则
.
6．（2023·湖北武汉·二模）在同一平面直角坐标系中，P，Q 分别是函数
和
图象上的动点，若对任意
，有
恒成立，则实数m 的最大值为 ．
规律方法：
方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法．分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不
能等于0，易忽视．
一、单选题
1．（2023·河南·模拟预测）已知函数
，则下列说法错误的是（ ）
A．当
时，函数
不存在极值点
专题精练
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B．当
时，函数
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．若
是函数
的一条切线，则
2．（2022·四川·模拟预测）已知函数
在
上有零点，则m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数
有极值
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
4．（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）已知正数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．（2024·云南楚雄·一模）若
，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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6．（2023·上海松江·二模）已知函数
，
，在区间
上有最大值，则实数
t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）等差数列
中的
，
是函数
的极值点，
则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
8．（2023·云南保山·二模）若函数
与函数
的图象存在公切线，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023·山西·二模）已知
在
处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数
，下列结论中正确的是（ ）
A．函数
在
时，取得极小值
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B．对于
，
恒成立
C．若
，则
D．若对于
，不等式
恒成立，则
的最大值为
，
的最小值为
三、填空题
12．（2023·广东·二模）已知函数
的最小值为0，则a 的值为 .
13．（2023·河南郑州·模拟预测）在等比数列
中，
是函数
的极值点，则
＝ ．
14．（22-23 高三下·湖北武汉·期中）已知函数
，若有且仅有两个整数
，满足
，则实数a 的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2024·浙江杭州·二模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点，
（ⅰ）求实数
的取值范围；
（ⅱ）证明：函数
有且只有一个零点．
16．（2024·陕西榆林·一模）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求
；
10
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(2)证明：.
11
