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专题三 空间几何（解答题10 种考向）
1
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2
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考向一 平行
【例1-1】（2025·贵州六盘水·一模）在四棱台
中，底面
为平行四边形，侧面
为
等腰梯形，且侧面
底面
，
与BC 的距离为
，点
分别在
棱
，
上，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求四棱台
的高；
3
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(3)求异面直线
与
所成的角的余弦值．
【例1-2】（24-25 新疆乌鲁木齐）如图，已知在四棱柱
中，底面
为梯形，
，
底面
，
，其中
，
，
是
的中点，
是
的中点．
(1)求证：
平面
．
(2)求点
到平面
的距离．
【例1-3】（2025·四川·模拟预测）如图，在三棱台
中，
，
，点
，
分别为
，
的中点，
平面
，
．
4
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(1)若平面
平面
，求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
【例1-4】（24-25 高三下·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥
中，
，
，
平面
ABC，H 为垂足，D 为AC 的中点.
(1)证明：
平面
(2)若
，
，求二面角
的正弦值.
5
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【例1-5】（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，点
在棱
上，且
．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值．
【例1-6】（24-25 高三下·湖北武汉·开学考试）在五面体
中，
平面
，
平面
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，
，求二面角
的大小．
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【例1-7】（24-25 高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，在四面体
中，
平面
，
是
的
中点，
是
的中点，点
在线段
上，且
．
(1)求证：
平面
．
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
考向二 垂直
【例2-1】（24-25 河南漯河·期末）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
为
中点，点Q 满足
．
(1)证明：
面
；
7
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(2)求二面角
的大小．
【例2-2】（24-25 高三上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，平面
平面
，
，四棱锥
的体积为4.
(1)求证：
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【例2-3】（24-25 高三上·广东深圳·期末）如图，四棱锥
中，平面
平面
，
为棱
上一点.
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(1)证明：
；
(2)若
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【例2-4 】（2025·广东惠州·三模）如图，正三棱柱
的所有棱长都为
为
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与面
所成角的余弦值.
【例2-5】（2025·广东汕头·一模）如图，在四棱锥
中，底面四边形
是正方形，
平面
，二面角
与二面角
的大小相等．
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(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值．
考向三 空间距离
【例3-1】（24-25 高三下·天津·开学考试）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
底面
，
，
是
的中点，点
在棱
上且
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
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【例3-2】（24-25 高三上·天津·期末）如图，四棱锥
中，平面
平面ABCD
是以
为斜
边的等腰直角三角形，底面
为直角梯形
其中
是
的中
点，
是
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
【例3-3】（24-25 高三下·天津·阶段练习）在如图所示的几何体中，
平面
，
，F 是
的中
点，
，
，
.
(1)求证:
平面
;
(2)求平面
与平
所成夹角的余弦值；
(3)求点 A 到平面
的距离.
11
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考向四 动点问题
【例4-1】（24-25 广东茂名·期末）如图所示，在五面体
中，已知平面
平面
，底面
是平行四边形，
是正三角形，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：四边形
为矩形；
(3)若点
是棱
上的动点，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
【例4-2】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为2 和4 的
正方形，平面
平面ABCD，
，点M 是线段
的中点，N 为线段CD 上一点．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)在线段CD 上是否存在点N，使平面
与平面MNB 夹角的余弦值为
？若存在，指出点N 的位置；
若不存在，说明理由．
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【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）如图1 所示，在平行四边形EBCD 中，
，垂足为
，
，将
沿
折到
的位置，使得二面角
的大小为
，如图2 所示，点
为棱
的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)证明：
；
(3)若点
在棱
上，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
考向五 折叠问题
【例5-1】（2025·新疆·模拟预测）如图，在等腰梯形
中，
，点
为
中点，点
分别为
的中点，将
沿
折起到
的位置，使得平面
平面
.
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(1)求证：
平面
；
(2)侧棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求平面
与平面
夹角的余弦值，若不存在，
请说明理由.
【例5-2】（2025·云南昆明·模拟预测）如图1，在△ABC 中，
将
沿EF 折起，使点A 到达点
位置，连接
，得到四棱锥.
如图2.
(1)若平面
平面
，在线段
上是否存在一点P，使得
，如果存在，指出点P 的位置；如
果不存在，说明理由；
(2)如图3，若平面
平面
，且点N 为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【例5-3】（24-25 高三下·江西·开学考试）如图，在直角梯形
中，
14
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.以
为折痕将
折起，使
到达
的位置且
.
(1)试在线段
上确定一点
，使
平面
，并说明理由；
(2)求二面角
的正切值.
【例5-4】（2025·海南·模拟预测）如图（1），正方形
的边长为
，
是
的中点，点
在边
上且
.将
沿
折起到图（2）中
的位置，使得平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)如图（2），点
在线段
上，过点
、
的平面
截四棱锥
所得的截面是一个直角三角形，在
图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由）
考向六 最值问题
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【例6-1】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方体
的棱长为1，点M，N 分别在线段
，
上，且
，
.
(1)若
，证明：
；
(2)若
，点P，Q 分别在直线
，
上，且
，
，求
的取值范围.
【例6-2】（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱
中，
，
，
，
，E，F 分别为AD，AB 的中点.
(1)求证：
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)若
，P 是线段
上的动点，求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
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【例6-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
是边长为2 的等边三角形，
，点
为
的中点，且
，
.
(1)求证：
；
(2)若二面角
的平面角的余弦值为
，求三棱锥
的体积；
(3)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
【例6-4】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在平面四边形
中，
，
，将
沿AC 翻折至
，其中P 为动点.
(1)设
，三棱锥
的各个顶点都在球O 的球面上．
（i）证明：平面
平面
；
（ii）求球O 的半径
(2)求二面角
的余弦值的最小值.
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考向七 外接球
【例7-1】（24-25 高三上·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱
中，
.
(1)证明：三棱柱
是正三棱柱；
(2)证明：
；
(3)设
平面
平面
，若直线
与平面
的距离为
，求三棱柱
外接球的表面积.
【例7-2】（2024 湖北）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
.
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（1）求证：
平面
；
（2）若直线
与底面
所成的角的余弦值为
，求三棱锥
的外接球表面积.
【例7-3】（2023·全国·模拟预测）如图，球O 是正三棱锥
和
的外接球，M 为
的外心，
直线AM 与线段BC 交于点D，D 为BC 的中点，两三棱锥的高之比为
，E 为PA 上一点，且
．
(1)证明：
；
(2)求二面角
的正弦值．
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【例7-4】（2024 云南昆明·期末）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点，
（1）求证：
，
，
，
四点在同一球面上，并说明球心及半径；
（2）画出平面
与平面
的交线（不需要写画法）．
（3）设平面
与平面
的交线为，直线与平面
所成角的正切值为
，求平面
与平面
所成的锐二面角的大小．
考向八 轨迹（长度）
【例8-1】（24-25 上海·期中）如图，在三棱柱
中，
，
，
，点
在底
面
的射影为
的中点
，点
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
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(2)求异面直线
和
夹角的大小；
(3)设点
为底面
内（包括边界）的动点，且
平面
，若点
的轨迹长度为
，求三棱柱
的侧面积.
【例8-2】（23-24 高三上·广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥
内，
平面
，四边形
为正方形，
，
．过
的直线交平面
于正方形
内的点
，且满足平面
平
面
．
(1)求点
的轨迹长度；
(2)当点
到面
的距离为
时，求二面角
的余弦值．
【例8-3】（2024·全国·模拟预测）如图，四边形
为圆台
的轴截面，
，圆台的母线与底面
所成的角为45°，母线长为
，
是
的中点．
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(1)已知圆
内存在点
，使得
平面
，作出点
的轨迹（写出解题过程）；
(2)点
是圆
上的一点（不同于
，
），
，求平面
与平面
所成角的正弦值．
【例8-4】（2024·安徽芜湖·二模）在三棱锥
中，
平面
，
，点
在平面
内，且满足平面
平面
垂直于
．
(1)当
时，求点
的轨迹长度；
(2)当二面角
的余弦值为
时，求三棱锥
的体积．
22
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【例8-5】（24-25 上海·阶段练习）已知面积为
的菱形
如图①所示，其中
，
是线段
的中
点．现将
沿
折起，使得点
到达点的位置.
(1)证明：
；
(2)若二面角
的平面角大小为
，求点到平面
的距离；
(3)若二面角
的平面角
，点
在四面体的表面运动，且始终保持
，求点
的轨
迹长度的取值范围
【例8-6】（24-25 高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥
中，
面
，
，且
，
，
，
，
，E、F 分别为
，
的中点.
(1)求直线
到平面
的距离；
(2)在线段
上是否存在一点M，使得直线
与平面
所成角的正弦值是
？若存在，求出
的值，若
不存在，说明理由；
(3)在平面
内是否存在点H，满足
，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H 的轨迹
图形形状.
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【例8-7】（24-25 福建福州·期中）如图，四边形
与
均为菱形，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)
为线段
上的动点，求
与平面
所成角正弦值的最大值；
(3)设
中点为
，
为四边形
内的动点（含边界）且
，求动点
的轨迹长度.
考向九 四点共面
【例9-1】（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在多面体
中，
的中点为
.
24
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(1)求证：
四点共面；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求二面角
的余弦值.
【例9-2】（24-25 广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
.
为
的中点，点
在
上，且
.
(1)求证：
；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)点
在
上，且
.判断
，
，
，
四点是否共面，说明理由.
【例9-3】（2024 河北邯郸·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为直角梯形，
分别为棱
的中点，
.
25
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(1)证明：
四点共面；
(2)求平面
与平面
的夹角的大小.
【例9-4】（2025 山东威海）如图，在四棱锥
中，
面
，
．E 为
的中点，点F 在
上，且
．
(1)求证：
面
；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)设点G 在
上，且
．判断是否存在这样的
，使得A，E，F，G 四点共面，若存在，求出
的值；
若不存在，说明理由．
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【例9-5】（2023·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥
中，
面ABCD，
，
，
，
．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且
．
(1)求证：
面PAD；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)设点G 在PB 上，且
．判断是否存在这样的
，使得A，E，F，G 四点共面．
考向十 新定义
【例10-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，离心率
为
，经过点
且倾斜角为
的直线与椭圆交于
、
两点（其中点
在
轴上方），且
面积的最大值为2．将平面
沿
轴向上折叠，使二面角
为直二面角，如图1，2 所示．
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(1)求椭圆
的标准方程；
(2)当
时，求折叠后，平面
与平面
所成锐二面角的余弦值；
(3)求折叠后
面积的最大值．
【例10-2】（2024 高三·全国·专题练习）空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标
系”．类比空间直角坐标系，
分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（
轴、
轴、
轴）正方向的单位向
量，若向量
，则
与有序实数组
相对应，称向量
的斜坐标为
，记作
．
如图，在平行六面体
中，
，
，
，
．以
为基底建立“空间斜坐标系”．
(1)若点
在平面
内，且
平面
，求
的斜坐标；
(2)若
的斜坐标为
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
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【例10-3】（2025·山东日照·一模）已知在四面体
中，
分别为所在棱的中点，如图所
示．
(1)证明：
平面
；
(2)若
两两垂直，则称四面体
为“斜垂四面体”．
①在斜垂四面体
中，若
，求直线
与平面
所成角的正弦值；
②在空间直角坐标系
中，
平面内有椭圆
，直线
与
交于
两点．
为空间
中一点，若
为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程．
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【例10-4】（24-25 高三下·江西九江·阶段练习）已知在空间直角坐标系
中，球
的半径为1．对于一个
三维空间，如果一个平面与一个球只有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面，唯一的公共点叫切点，
球心和切点的连线垂直于切平面，类似于二元一次方程表示平面内的直线，三元一次方程可以表示空间的平面．
例如：方程
表示经过
三点的平面．方程
表示坐标平面
．
(1)求球
在点
处的切平面方程，并求该平面与坐标平面
的交线在
平面内的直线方程；
(2)过球面上任意一点
作切平面
，若平面
分别与x，y，z
的正半轴相交于
三点，求
面积的最小值；
(3)过球外一个定点
作球
的切平面有无数个，全体切点所确定的平面记为面
．设
是球外两个定点，
证明：若
面
，则
面
．
30
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