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模块 02 函数与导数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ，则函数 的定义域是
（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数中真数大于0，二次根式下被开方数非负，求出定义域.
【详解】要使 有意义，则 ，
即 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ，
要使 有意义，则 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：B
2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数 满足 且 ，
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件可得函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合指数函数单调性列式求解.【详解】依题意，函数 满足 且 ， ，则 是R上的增函
数，
因此 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C
3．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数 ，则曲线 在 处的切线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可.
【详解】由题意得 ，
于是当 时，曲线y=f (x)在点 处的切线斜率为 ，
此时切线方程为 ，即 .
故选:D.
4．（24-25高三上·山东烟台·期末）函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性可判断CD不符合，利用赋值法可判断AB.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，所以 ，
解得 或 ，定义域关于原点对称，
又 ，故函数 为奇函数，故排除CD；
又 ， ，
故B符合，A不符合.
故选：B.
5．（24-25高三上·河北保定·期末）已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性、余弦值的符号结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为余弦函数 在 上为减函数，且 ，则 ，即 ，
对数函数 为增函数，则 ，即 ，
又因为 ，故 .
故选：B.
6．（2025高三·全国·专题练习）为加强环境保护，治理空气污染，某生态环境部门对某工厂产生的废气进
行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 与时间 满足
（ 为初始污染物含量， 为参数）．若污染物含量达到初始含量的12.5%就达到排放标准，且
在过滤的前15个小时消除了50%的污染物，则达到排放标准至少需要（ ）
A．44小时 B．45小时 C．46小时 D．47小时
【答案】B
【分析】根据条件建立方程，求出过滤过程中废气的污染物含量 ，进而得出达到排放标准至少所需的时
间.
【详解】由题意，当 时，废气的污染物含量 ，
，则 ，
所以 ．
设达到排放标准至少所需的时间为 ，
则 ，化简得 ，
即 ，所以 ，解得 ．
故选：B．
7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若 在 处取得极大值 ，则 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． D．【答案】C
【分析】求出 ，由题意可得出 ，解出 、 的值，再结合题意进行检验，即可得解.
【详解】因为 ，则
又 在 处取得极大值 ，
，解得 或 ，
当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 处取得极小值，与题意不符；
当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 处取得极大值，符合题意，则 ，
故选：C.
8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数 的定义域为R，且对任意 ，满足
，且 ，则 （ ）
A．651 B．676 C．1226 D．1275
【答案】D
【分析】根据条件变形得到 ，再结合条件求得 ，再通过赋值求
的值.【详解】由条件 ，可知， ， ，以上三个
式子相加得： ，
又 ，所以 ，
， ， ，…， ，
以上式子相加得 ，
所以 .
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递增 B． 的最小值为
C．方程 的解有 个 D．导函数 的极值点为
【答案】ABD
【分析】利用导数分析函数 的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数
的关系可判断D选项.
【详解】因为 ，该函数的定义域为 ， ，
令 ，可得 ，列表如下：
减 极小值 增
且当 时， ；当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
对于A选项， 在区间 上单调递增，A对；
对于B选项， 的最小值为 ，B对；
对于C选项，方程 的解只有 个，C错；
对于D选项，令 ，该函数的定义域为 ，
，令 ，可得 ；令 ，可得 .
所以，函数 的单调递减区间为 ，递增区间为 ，
所以，函数 的极值点为 ，D对.
故选：ABD.
10．（2025高三·全国·专题练习）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空
气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑 ，二类建筑 ，二类建筑室内甲醛浓度小于等
于 为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环
境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为 ，4周后室内甲醛浓度为 ，且室内甲醛浓度（单位： ）与竣工后保持良好通风的时间 （单位：周）近似满足函数关系式
，则（ ）（参考数据： ， ， ）
A．
B．
C．3周后室内甲醛浓度为
D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周
【答案】ACD
【分析】根据题意列式求解得 ， ，即可求出 ，即可判断选项ABC，令
，利用指对互化解不等式即可判断选项D.
【详解】由题意可得 ，
解得 ， ，
所以A正确，B错误；
所以 ，
，故C正确；
令 ，得 ，
两边取对数得 ，
即 ，所以该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，
至少需要放置的时间为6周，故D正确.
故选：ACD
11．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知定义域为 的偶函数 ，满足 ，当
时， ．则（ ）
A． 的一个周期为2
B．
C． 的解集为 （ ）
D． （ ）
【答案】ABD
【分析】根据条件推得 的一个周期为2判断A项，利用函数的周期性和对称性，化简计算即可判断B
项，结合函数的图象即可判断C，D两项.
【详解】对于A，因 是定义域为 的偶函数，则 ，
由 可知： 的图象对称轴为直线 ，且 ，
即得 ，则 的一个周期为2，故A正确；
对于B，因 ，而 ，
因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，根据题意，可以作出函数 的图象如下：由上分析知，函数的最小正周期为2，当 时， ，则由 可得 ；
而当 时， ，则由 可得 ，
综上可得 时，由 可得 ，
故对于 ，则 的解集为 ，故C错误；
对于D，由图知对于 ，必有 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高三上·全国·专题练习）函数 为定义在 上的增函数，且 ，则
实数 的取值范围是 ．
【答案】 ．
【分析】根据函数的单调性可得 ，解不等式组即可求解.
【详解】由题意得 ，解得 ．
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
13．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数 ，若 在区间 上单调递增，
则实数 的取值范围是 .【答案】
【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.
【详解】由 得 ，
由于函数 的定义域为 ，故令 ,解得 ，故 的单调递增区间为 ，
若 在区间 上单调递增，则 ，解得 ，
故答案为：
14．（24-25高三上·江西·期中）已知函数 ，若存在实数 ， ， 且 ，
使得 ，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】先由题设数形结合得 和 ，再构造函数
，利用导数求出其最大值即可得解.
【详解】由题 ，当 时， ；当 时， ；
故作出 的图象如图所示：因为存在实数 ， ， 且 ，使得 ，
所以直线 与y=f (x)图象有三个交点，
所以 ，且 ， ，
所以 ，
设 ，则 恒成立，
所以函数 在 单调递增，所以函数 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合得到 和 ，从而将问题
转化成求函数 的最大值，简化了问题的难度.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高三·北京·专题练习）已知函数 .
(1)当a＝1时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当a＞0时，函数 在区间 上的最小值为-2，求a的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出导数 ，根据导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出导数 ，分三种情况讨论 的范围，判断单调性求得函数最小值，令所求最小值等于 ，排
除不合题意的 的取值，即可求得到符合题意实数 的取值范围.【详解】（1）当 时， ， ，
则 ， ，
所以曲线 在点 处切线的方程为 .
（2）当 时， ， ，
令 ，得 或 ，
当 即 时，对 ， ，即函数 在 上单调递增，
所以 ，符合题意；
当 ，即 时， ， ， ， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，不合题意；
当 即 时， ， ，即函数 在 上单调递减，
，不合题意；
综上，实数 的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：本题第二问利用单调性求最值. 求出导数 ， ，分析发现
导数正负取决于 的正负，抓住零点 与区间 的关系讨论，得到函数 在 上的单调性，求
出最小值进行判断求解.
16．（2024·山西·模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，且.
(1)求 的值，并求出 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得 ，再由偶函数定义可得其解析式；
（2）将不等式恒成立转化为求 恒成立问题，由基本不等式计算可得 的取值范围.
【详解】（1）因为 是偶函数，所以 ，
解得 ，
当 时，可得 ，所以 ，
所以函数 的解析式为
（2）由（1）知，当 时， ，
因为 在 上恒成立，
所以 ，
又因为 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 ，即 的取值范围是 .17．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数 ，且不等式
的解集为 ．
(1)求函数 图象的对称中心；
(2)证明：函数 在区间 上单调递增；
(3)若方程 有6个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) ．
【分析】（1）结合一元二次不等式解集求参，进而求出对称中心；
（2）应用单调性定义证明函数的单调性；
（3）根据方程根的个数列不等式组计算参数范围.
【详解】（1）由 的解集为 知，方程 有两个不相等的实数根 ，且
，则 故 ，因此 ．
因为 为奇函数，故函数 图象的对称中心为点 ，
将 的图象向上平移1个单位长度可得 的图象，
所以函数 图象的对称中心为点 ．
（2）任取 ，且 ，则
，因为 ，又 ，即 ，
则 ，故 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递增．
（3）因为 ，所以由（1）知， ，从而直线 与曲线 共有
6个公共点．
又函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，故 解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
18．（2024·云南·二模）已知常数 ，函数 .
(1)若 ，求 的取值范围;
(2)若 、 是 的零点，且 ，证明: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意
，即可求出 的取值范围；
（2）由（1）不妨设 ，设 ，利用导数说明函数的单调性，即可得到
，结合 及 的单调性，即可证明.
【详解】（1）由已知得 的定义域为 ，
且，
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增.
所以 在 处取得极小值即最小值，
，
，
，即 的取值范围为 .
（2）由（1）知， 的定义域为 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，且 是 的极小值点.
、 是 的零点，且 ，
、 分别在 、 上，不妨设 ，
设 ，
则
当 时， ，即 在 上单调递减.
，
，即 ，
，
，
，，
又 ， 在 上单调递增，
，即 .
【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数
值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；
（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围
以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明
不等式.
19．（24-25高三上·河北张家口·期末）若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数
，都有 成立，则称 为函数 的上界，最小的 称为函数 的上确界，
记作 . 与之对应，若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，
都有 成立，则称 为函数 的下界，最大的 称为函数 的下确界，记作
.
(1)若 有下确界 ，则 一定是 的最小值吗? 请举例说明.
(2)已知函数 ，其中 .
(i) 若 ，证明: 有下确界，没有上确界.
(ii)若函数 有下确界，求实数 的取值范围，并证明 .
【答案】(1) 不一定是 的最小值，如 ；
(2)（i）（ii）证明见解析
【分析】（i）举例 ，根据下确界的定义即可判断；（ii）直接求导得 ，得到其最小值即可得 ，再通过反证法假设其有上确界，根据
上确界定义即可得到相反的结论；
（ii）设 ，再利用导数证明 ，再利用反证法得其没有下确界，再利用隐零点法得
的最小值为 ，结合（i）中结论即可证明.
【详解】（1） 不一定是 的最小值．如 的下确界 ，
但0不是 的最小值．
（2）（i）证明：当 时， ，定义域 ，
所以 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以对任意的 恒成立，
所以函数 有下确界， ．
假设函数 有上确界，设 ，则 ，
.
因为 ，这与 是 的上确界相矛盾，故假设不成立，函数 无上确界．
（ii）：先证明 ．
令函数 ，则 ，
设 ，则 ，
当 ， ， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 ．
若 ，当 时， ．
假设 有下确界，则一定存在负数 恒成立．
当 时，有 ，矛盾，
故假设不成立，即 时， 没有下确界．
若 ，因为 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增．
当 时， ，所以 ．
因为连续函数 满足 ，
所以函数 在 上有零点．
因为 在 上单调递增，所以 在 上只有一个零点，设为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 的最小值为 ．
结合（i），若函数 有下确界，则实数 的取值范围为 ．
又 时， ，
由（i）知 ，故 的下确界 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用反证法，假设其有上确界，再得到相反结论从而
得到其无上确界.
