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磁聚焦 磁发散
目标要求 1.理解磁聚焦、磁发散的原理。2.会分析解决磁聚焦、磁发散的问题。
考点一 磁聚焦
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁
场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出。(会聚)
证明：四边形OAO'B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO'(即竖直方向)，可知从A 点入
射的带电粒子必然经过B 点。
例1 (多选)在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所
示，正方形abcd 边长为L，一束相同的正离子以相同的速度v 垂直ab 边射入，如果在abcd 的某区域内
存在着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从c 点射出，不计离子的重力
和离子间的相互作用，则( )
A.磁场方向垂直纸面向里
B.离子的比荷为v
BL
C.磁场区域的最小面积为π L
2
4
D.离子在磁场中运动的最长时间为π L
2v
答案 BD
解析 由题意可知，离子向下偏转，由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，故A 错误；画出离子轨迹，
如图，
1
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由图可知为磁聚焦模型，故运动半径r＝L，再由qvB＝mv
2
r 得q
m ＝v
BL，故B 正确；由图可知，磁场区域
的最小面积为“叶”形面积S＝2(π L
2
4 －L
2
2 )＝(π −2)L
2
2
，故C 错误；离子在磁场中运动的最大圆心角为
π
2 ，则最长时间为t＝
π
2 L
v ＝π L
2v
，故D 正确。
考点二 磁发散
如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿
不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子
射出磁场的方向平行。(发散)
例2 (多选)(2024·山东菏泽市模拟)如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发
射大量质量为m、电荷量为q 的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间的相互作用。
圆心在(0，R)、半径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小
为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y 轴的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y 轴正方向的粒
子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则( )
A.粒子速度大小为qBR
m
B.所有粒子均能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为2π m
3qB
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴正方向夹角满足45°≤θ≤135°
答案 AC
2
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解析 由题意，初速度沿y 轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qBv＝mv
2
r ，r＝R，解
得v＝BqR
m ，A 正确；由于所有粒子的速度大小相等，方向不同，但粒子离开磁场区域的出射点距离O 点
的竖直高度最大值为2R，并不会全部垂直打在光屏上，B 错误；如图甲，
由几何关系可得，能射在光屏上的粒子中，运动时间最长的对应轨迹的圆心角为2
3π，根据周期公式T＝
2π r
v
＝2π m
Bq ，可得t＝1
3T＝2π m
3 Bq ，C 正确；若能打在光屏下端，如图乙，
由几何关系可得θ1＝60°，即初速度与x 轴正方向夹角为θ1＝60°，同理，粒子打在光屏上端时，初速度与x
轴正方向夹角为θ2＝120°，则60°≤θ≤120°，D 错误。
1.带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中半径为r 的圆形区域
内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为2r、沿x 轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原
点O。已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的速度均为v，不计电子的重力和电子间的相互作
用力，则磁感应强度的大小为( )
A. mv
2er
B.√2mv
2er
C.mv
er
D.2mv
er
答案 C
解析 由题可知，从左侧任选一束电子流从A 点进入磁场经磁场偏转后，通过坐标原点O，如图所示
3
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由于电子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，可知AO2∥O1O
由几何关系可知，平行四边形AO2OO1为菱形，因此电子在磁场中运动的轨道半径R＝r
又由于evB＝m v
2
R ，可知磁感应强度的大小为B＝mv
er ，故选C。
2.(多选)如图所示，坐标原点O 处有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量
为q 的正粒子(不计重力及粒子间相互作用)，所有粒子速度大小相等。圆心在(0，R)、半径为R 的圆形
区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场右侧有一点A(2R，3
2R)，已知
初速度沿y 轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x 轴的正方向，则( )
A.初速度方向与x 轴夹角为120°的粒子经过A 点
B.初速度方向与x 轴夹角为135°的粒子经过A 点
C.经过A 点的粒子在磁场中运动时间为2π m
3qB
D.经过A 点的粒子在磁场中运动时间为3 π m
4 qB
答案 AC
解析 初速度沿y 轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x 轴的正方向，则粒子的轨迹半径r＝
R，由qvB＝mv
2
r
可得粒子轨迹半径都为R；结合题意和几何关系可知，平面第一、二象限射入的粒子从磁
场射出时，速度一定沿x 轴正方向，设经过A 点的粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为α，根据几何
关系有R＋Rsin (α－90°)＝3
2R，解得α＝120°，故A 正确，B 错误；
该粒子在磁场中的运动时间为t＝120°
360° ×2π m
qB ＝2π m
3qB ，故C 正确，D 错误。
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3.(多选)(2024·山东威海市模拟)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理
运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半
径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O 点进入正方形区
域，正方形过O 点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区
域，使会聚到O 点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的
相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是( )
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为1
2B0，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r0
2
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为π −2
2
r0
2
答案 BC
解析 根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，由qB0v＝m
v
2
r0
解得B0＝mv
qr0
，要使会聚到O 点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向
右射出，作出轨迹如图所示，
由几何关系可知粒子的轨迹半径为2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qB1v＝m v
2
2r0
，
解得B1＝mv
2qr0
＝1
2B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A 错误，B 正确；由图可知，磁场区域的最
小面积为Smin＝2[π(2r0)
2
4
－1
2
(2r0)2]＝2(π－2)r0
2，C 正确，D 错误。
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