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第 32 讲 数列的求和方法
1.基本数列求和公式法
n(a +a ) n(n-1)
(1)等差数列求和公式:S = 1 n =na + d.
n 2 1 2
{ na ,q=1,
1
(2)等比数列求和公式:S = a -a q a (1-qn)
n 1 n = 1 ,q≠1.
1-q 1-q
2.几种数列求和的常用方法
(1)倒序相加法：如果一个数列{a}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个
n
数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(2)分组（并项）求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可
用分组求和法，分别求和后相加减．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
(4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个
数列的前n项和即可用错位相减法求解．
3.常用结论
(1)一些常见的数列的前n项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
(2)常见的裂项技巧
①＝－.
②＝.
③＝－.④＝.
考点一 等差等比公式法
考点二 倒序相加法
考点三 分组（并项）求和法
考点四 裂项相消法
考点四 错位相减法
考点一：等差等比公式法
例1．已知数列 ，等差数列 满足 ， ， ．
(1)证明： ；
(2)若 为等差数列，求 的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设数列 的公差为 ，则有 ，结合 即可求出 ，再升次作差
即可证明.
（2）设数列 的公差为 ，由（1）解得 ，结合 求出 ，再利用等差数列
求和公式即可得到答案.
【详解】（1）设数列 的公差为 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，故 ,
即 ①
递推,得 ②
① ②得 ，故 得证.
（2）若 为等差数列，设公差为 ，
由 ,可得 ，则 .
又 ， ， ，
的前 项和 .
考点二：倒序相加法
例2．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非
欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，
比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个n阶代数方程必有n个复数解等．已知某数列的通项
，则 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】D
【分析】利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】函数 ，
，
又 ，
所以 ．
则 ， ，∴ ，所以 ．
故选：D
考点三：分组（并项）求和法
例3．求值： （ ）
A．1013 B．－1012 C．－1013 D．1012
【答案】A
【分析】利用分组求和法求解即可.
【详解】
．
故选：A
例4．数列 的前 项和为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.
【详解】由题意知：数列的通项公式为 ，
前 项和 .
故选：C.
考点四：裂项相消法
例5．（2023·江西九江·统考二模）已知数列 的通项为 ，则其前8项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】 ，
所以前8项和为 ，
故选：D
考点五：错位相减法
例6．已知数列 满足 ，则 的前100项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合错位相减法进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以数列 是以8为首项，2为公比的等比数列，则 ，即 .
设 的前 项和为 ，则
两式相减，得 ，
所以 .
故选：D
一、单选题
1．记 为等比数列 的前n项和．若 ，则 （ ）A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】B
【分析】设公比为 ，根据等比数列的求和公式，分 与 两种情况讨论，可求出结果.
【详解】设公比为 ，
当 时，由 ， ，解得 ，则 ；
当 时，由 ， ，得 ，显然 ，从而得 ，
即 ，得 ，
即 ，解得 或 ，均不符合题意，
综上， .
故选：B．
2．（2023·安徽滁州·校考一模）小李年初向银行贷款 万元用于购房，购房贷款的年利率为 ，按复利计
算，并从借款后次年年初开始归还，分 次等额还清，每年 次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出每年应还款的数额，分别求出10年还款的现金与利息和以及银行贷款10年后的本利和，列
等式后求得每年应还款数．
【详解】设每年应还 万元，则有 ，
得 ，
解得 ．故选：B．
3．已知 是数列 的前n项和， ， ， ，记 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得数列 为等差数列，又 ，进而得解.
【详解】由 ，可知数列 为等差数列，公差为 ，
且 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
4．已知函数 ，数列 满足 ，则 （ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
【答案】A
【分析】先求得 ，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．令 ，
则 ，两式相加得 ，∴ ．
故选:A
5．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】采用并项求和的方式，结合等差数列求和公式可求得结果.
【详解】
.
故选：A.
6．设数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用并项求和和等比数列的求和公式进行求解即可
【详解】因为数列 的前n项和为 ， ，
所以
故选：C
7．在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由累加法与裂项相消法求解，
【详解】由题意得 ，则 ，
而 ，得 ，
故选：C
8．已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，
都有 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意累加法求得 ，再根据裂项相消求和解决即可.
【详解】当 ， ，
所以 ，
解得： ，当n=1适合
因为 ，
所以
，
又因为 是单调递增数列，
所以有 ，对任意的正整数 ，都有 ，
所以 ，
故选：C
二、解答题9．已知数列 的前n项和为 ，且 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在任意相邻两项 与 （其中 ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ．
记 为数列 的前n项和，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设 ，应用 求通项公式即可；
（2）根据已知确定 前36项的元素构成，应用分组求和、等比数列前n项和公式求 .
【详解】（1）由题设 ，则 ，
当 时， ，而 满足上式，
所以 的通项公式为 .
（2）由题意， 数列元素依次为 ，
在 到 之间3的个数为 ，故在 处 共有 个元素，
所以前36项中含 及31个3，故 .
10．（2023·全国·校联考二模）在数列 中， ， .
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析； ；(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列的通项公式化简，可得数列 的通项公式；
（2）由分组求和法化简求解即可．
【详解】（1） ，
当 时， ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
， ；
（2）
数列 的前 项和
．
11．（2023·河北石家庄·统考一模）已知等比数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列通项公式、前n项和求基本量，即可写出通项公式；
（2）由（1）得 ，应用裂项相消法求前 项和 .【详解】（1）设 的公比为 ，由题意知， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
.
（2）由（1）知， ，
，
.
12．（2023·四川南充·统考二模）已知数列 前n项和为 ．从下面①②中选择其中一个作为条件解答
试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分．
①数列 是等比数列， ，且 成等差数列；
②数列 是递增的等比数列， ， ；
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 的前n项的和为 ，且 ．证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）选①：根据等比数列基本量的计算，求出首项 及公比 即可求解；
选②：根据等比数列的性质有 ，结合已知求出 即可得公比 ，从而得答案；
（2）由（1）根据对数的运算性质求出 ，然后利用裂项相消求和法求出 即可证明.【详解】（1）选①：因为数列 是等比数列，设公比为 ， ，且 ， ， 成等差数列，
所以 ，解得 ，所以 ；
选②：因为数列 是递增的等比数列， ， ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ；
（2）由（1）知： ，且 ，
所以 .
13．（2023·江西赣州·统考一模）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用项与和的关系使用公式 求解通项公式；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由 …①
当 时， ;当 时，有 …②
①-②得： ，即 ;
不符合上式，故 .
（2）由（1）知
故当 时， ；
当 时， ，
；
因为 符合上式，故 .
14．（2023·山西太原·太原五中校考一模）数列 满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和为 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据对数的运算和等比数列的定义证明；
（2）利用分组求和以及错位相减法求和.
【详解】（1）所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得， ，所以 ，
设 设其前 项和为 ，
则 ①
②
减②得
所以
所以
15．（2023·山东德州·统考一模）已知等比数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且 ， ，
成等差数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用 ， ， 成等差数列以及 求出首项和公比，再利用等比数列的通项公
式写出即可；
（2）由（1）将数列 的通项公式代入 中化简，再利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）设数列 的公比为 ，
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
即 ，
解得 或 ，
因为 各项均为正数，
所以 ，
所以 ，
由 ，
得 ，
解得 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，
则 ，
所以 ，
两式相减可得 ，整理可得 ．
16．已知数列 的前n项和为 ，当 时， ；数列 中， ， ．
(1)求数列 、 的通项公式 和 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据题意得到 ，从而得到 ，根据递推公式得到数列 是等差数列，
再求 .
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
两式相减得 ，即 ，得 ．
又 ，∴ ，即 ，
可得数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，则 ；
∵ ，∴ ，即数列 是等差数列，
又 ，∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，两式相减可得： .
∴ ．
17．（2023·四川巴中·统考一模）已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证，
（1）由等比数列求解 ，进而根据错位相减法即可求和.
【详解】（1）由 得：
由 知：
∴ ，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）方法一
由（1）得： ，∴
∴ ①
②
②-①得：∴ ．
方法二
由（1）得： ，∴
∴ ①
②
①-②得：
∴ ．
18．（2023·河北唐山·统考二模）已知数列 是正项等比数列，其前 项和为 ， 是等差数列，且
， ，
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和
(3)证明：
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）首先根据题意得到 ，再解方程组即可.
（2）利用错位相减法求解 即可.（3）首先根据分组求和得到 ，即可证明结论.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，等差数列 的公差为 ，
，解得 或 （舍去）.
故 ， .
（2）由（1）知 ，
则 ，①
则 ②
由①－②得
所以
（3）由（1）知， ， ，所以
所以 ，即.
